Matematika Teknik 1

s. johanes, dtm sv ugm 98

2013

BAB VIII BENTUK-BENTUK TAKTENTU (Pertemuan ke 14)

PENDAHULUAN

Diskripsi singkat

Pada bab ini yang dibahas adalah tentang bentuk-bentuk tak tentu, yaitu: , 0. ,

- , .. Limit-limit tersebut tak dapat diselesaikan dengan aturan-aturan yang ada,

Yang dapat dipakai untuk menghitung limit-limit demikian, yang lazim disebut dengan aturan

l’Hopital,

Manfaat

Bab ini merupakan lanjutan bab tiga, yaitu tentang limit, hanya bentuknya yang berbeda

dengan yang telah dibicarakan.

Relevansi

Lihat bab tiga.

Learning Outcomes

Lihat bab tiga.

Matematika Teknik 1

s. johanes, dtm sv ugm 99

2013

PENYAJIAN

Di bawah ini ada tiga masalah, yaitu

, ,

Ketiga limit tersebut memiliki penampilan yang sama, yaitu hasil bagi, dan limit pembilang

dan penyebutnya berlimit nol. Kalau limit tersebut dihitung dengan menggunakan aturan

penarikan limit untuk hasil bagi akan diperoleh jawaban yang tak ada artinya, yaitu 0/0. Memang

aturan itu tak dapat digunakan di sini karena atuaran itu hanya berlaku apabila limit penyebut

bukan nol. Jadi limit tersebut tak dapat ditentukan dengan aturan hasil bagi limit.

Dengan geometri, dapat dibuktikan bahwa , dan dengan faktorisasi dalam

aljabar, dapat ditentukan bahwa

Limit yang ketiga sebenarnya mendefinisikan turunan f’(a) !

Tentunya akan lebih baik bila ada aturan baku yang dapat dipakai untuk menghitung limit-

limit demikian. Aturannya ada dan lazim disebut dengan aturan l’Hopital (dibaca: loupital). Pada

tahun 1696, Guillaume Francois Antonine de l’Hopital menerbitkan buku pertama tentang kalkulus

diferensial, yang di dalamnya ada aturan berikut, yang ia peroleh dari gurunya bernama Johann

Bernoulli.

Bentuk-bentuk tak tentu adalah : , 0. , - ,

A. Bentuk

Teorema A

Andaikan

Apabila lim [f()/g(x)] ada, baik ia berhingga (L) atau tak berhingga ( atau - ), maka

Bentuk-bentuk tak tentu adalah : , 0. , - ,

Matematika Teknik 1

s. johanes, dtm sv ugm 100

2013

Disini u dapat mewakili sebarang simbul a, a-, a+, - atau .

Contoh 1. Tentukan :

Penyelesaian.

Contoh 2. Tentukan :

Penyelesaian.

Walau aturan l’Hopital mudah digunakan,namun perlu hati-hati dalam penggunaannya,

khususnya harus teliti benar apakah persyaratan yang diminta terpenuhi. Bila tidak, dapat terjadi

kesalahan-kesalahan seperti dalam contoh di bawah ini.

Contoh 3. Tentukan :

Penyelesaian.

Penerapan pertama aturan l’Hopital benar, penerapan kedua salah, karena limit kedua tidak

berbentuk 0/0. Yang benar adalah sebagai berikut,

Berhenti mendiferensialkan apabila pembilang atau penyebut berlimit tak nol.

Walau aturan l’Hopital dapat digunakan, ada kalanya aturan itu tak dapat menolong. Lihat

contoh berikut.

Contoh 4. Tentukan :

Penyelesaian.

Aturan l’Hopital dapat diterapkan sebanyak kita mau.

Matematika Teknik 1

s. johanes, dtm sv ugm 101

2013

Tampak bentuk yang diperoleh makin rumit. Jalan terbaik adalah limit tersebut diubah

menjadi bentuk / sebagai berikut.

B. Bentuk

Teorema A

Andaikan

Apabila lim [f()/g(x)] ada, baik ia berhingga (L) atau tak berhingga ( atau - ), maka

Disini u dapat mewakili sebarang simbul a, a-, a+, - atau + .

Contoh 1. Tentukan :

Penyelesaian.

Tampak bahwa x dan menuju apabila x . Dengan menggunakan aturan l’Hopital

Contoh 2. Apabila a bilangan riil positif, buktikan bahwa :

Penyelesaian.

C. Bentuk 0.

berbentuk 0 . untuk x = a, bila dan . Disini aturan l’Hopital

dapat diterapkan setelah bentuknya diubah menjadi bentuk 0/0 atau / , sebagai berikut.

Bentuknya /

Matematika Teknik 1

s. johanes, dtm sv ugm 102

2013

, berbentuk

, berbentuk

Contoh 1. Tentukan :

Penyelesaian.

Tampak bahwa dan , sehingga limit tersebut

berbentuk 0. . Maka perlu diubah dulu menjadi bentuk 0/0 sebagai berikut.

D. Bentuk -

berbentuk - untuk x = a, bila dan . Disini aturan

l’Hopital dapat diterapkan setelah bentuknya diubah menjadi bentuk 0/0, sebagai berikut.

, berbentuk , untuk x = a

Contoh 1. Tentukan :

Penyelesaian.

Bentuk A

Matematika Teknik 1

s. johanes, dtm sv ugm 103

2013

E. Bentuk

Sebelum menerapkan aturan l’Hopital, bentuk tak tentu di atas diubah dulu sebagai bentuk

logaritma berikut.

berbentuk

untuk x = a, bila &

untuk x = a, bila &

untuk x = a, bila &

Diubah bentuknya menjadi sebagai berikut.

Sehingga

berbentuk 0. untuk x = a , sehingga penyelesaiannya kembali ke Bentuk B.

Contoh 1. Tentukan

Penyelesaian.

Dicari dulu:

Maka:

Contoh 2. Tentukan

Penyelesaian.

Dicari dulu:

Bentuk

Matematika Teknik 1

s. johanes, dtm sv ugm 104

2013

Maka:

Contoh 3. Tentukan

Penyelesaian.

Dicari dulu:

Maka:

Ikhtisar

Telah digolongkan beberapa persoalan limit sebagai bentuk tak tentu dengan

menggunakan 7 buah simbol yaitu 0/0, / , 0. , - , 0 , 0, dan 1 . Masing-masing bentuk

melibatkan persaingan kekuatan yang berlawanan, yang berarti bahwa hasilnya tak jelas terlihat.

Akan tetapi dengan bantuan aturan l’Hopital, yang hanya diterapkan secaa langsung pada bentuk

0/0 dan / , dapat menentukan harga limit yang tepat.

Terdapat banyak kemungkinan lain yang misalnya dilambangkan oleh 0/ , /0, + ,

. , 0 , dan . Mengapa yang kelompok terakhir ini tak disebut sebagai bentuk-bentuk tak

tentu ? Karena pada tiap kasus ini, gaya-gayanya itu saling membantu, bukannya bersaing.

Bentuk

Matematika Teknik 1

s. johanes, dtm sv ugm 105

2013

Contoh 4. Tentukan

Penyelesaian.

Dapat disebut sebagai bentuk , tetapi ini bukan bentuk tak tentu. Hal ini disebabkan

menuju nol, sedangkan pangkat cot x menuju tak berhingga, sehingga dapat dikatakan

bentuk keseluruhan menuju nol (0) sangat cepat. Jadi,

Tugas pertemuan ke 14. Selesaikan tiga dari soal-soal di bawah ini.

Soal-soal

Telitilah dengan seksama sebelum menggunakan aturan l’Hopital

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

Bentuk

Matematika Teknik 1

s. johanes, dtm sv ugm 106

2013

PENUTUP

Petunjuk penilaian dan umpan balik

Penilaian hasil tugas, latihan dan ujian debiri skor (nilai) antara 0 sampai ddengan 100.

Kesahan hasil akhir bukanlan merupakan kesalahan yang fatal, kalaupun dikurangi skornya, hanya

sedikit saja (atau bahkan tak perlu dikurangi), tetapi kesalahan proses itu yang perlu pengurangan

nilai .

Tindak lanjut

Bagi mahasiswa yang skornya kurang dari 50, wajib mempelajari lagi uraian di depan, dan

selanjutnya diuji lagi.

Matematika Teknik 1

s. johanes, dtm sv ugm 107

2013

Daftar Pustaka

1. Ayres, F., 1972, Theory and Problems of Differential and Integral Calculus, 2nd

edition, McGraw-Hill, Inc.

2. Wardiman, Hitung Diferenssial dan Integral,

3. Purcell, E.J., dkk, 1992, Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid 1 (terjemahan), edisi 5,

Erlangga, Jakarta,

4. Stewart, J., 2001, Kalkulus, Jilid 1 (terjemahan), edisi 4, Erlangga Jakarta.