Oleh : Bambang Supraptono, M.Si.

Referensi : Kalkulus Edisi 9 Jilid 1 (Varberg, Purcell, Rigdom) Hal 56 - 211

BAB 01

1. Limit Fungsi Definisi: Pengertian presisi tentang limit

Mengatakan bahwa lim ( )x c

f x L berarti bahwa untuk tiap 0 yang diberikan (betapun kecilnya), terdapat 0 yang

berpadanan sedemikian rupa sehingga ( )f x L asalkan bahwa 0 x c yaitu:

0 ( )x c f x L

Contoh soal 1:

Buktikan bahwa 4

lim (3 7) 5x

x

Penyelesaian:

Analisis Pendahuluan: akan ditentukan sedemikian rupa sehingga

0 4 (3 7) 5x x

Ruas kanan

(3 7) 5x 3 12x

3( 4)x

3 4x

43

x

Dengan demikian yang dipilih adalah 3

Bukti Formal: Misal diberikan 0 , pilih 3

. Maka, dari 0 4x diperoleh:

(3 7) 5 3 12 3( 4) 3 4 3x x x x

Contoh soal 2:

Buktikan bahwa 2

5

11 5lim 9

5x

x x

x

Penyelesaian

Bukti Formal: akan ditentukan sedemikian rupa sehingga

2 11 50 5 9

5

x xx

x

Ruas kanan: untuk 5x (ini diperlukan agar penyebutnya tidak nol)

2 11 5

95

x x

x

(2 1)( 5)9

5

x x

x

(2 1) 9x

2 10x

2( 5)x

2 ( 5)x

( 5)2

x

Dengan demikian yang dipilih adalah 2

Bukti Formal: Misal diberikan 0 , pilih 2

. Maka, dari 0 5x diperoleh:

2 11 5 (2 1)( 5)9 9 (2 1) 9 2 10 2( 5) 2 5 2

5 5

x x x xx x x x

x x

Soal untuk dibuktikan sendiri:

Dengan menggunakan definisi pengertian presisi limit, buktikan bahwa:

A. 2

5

25lim 10

25x

x B.

2

0

2lim 1x

x x

x

2. Teorema Limit Perhatikan Teorema A!

Teorema B

Jika f fungsi polinomial atau fungsi rasional, maka

lim ( ) ( )x c

f x f c

Asalkan ( )f c terdefinisi, jika f fungsi rasional nila penyebut pada c tidak nol.

Teorema C:

Jika ( ) ( )f x g x untuk semua x di dalam suatu interval terbuka yang mangandung bilangan c, terkecuali mungkin pada

bilangan c itu sendiri, dan jika lim ( )x c

g x ada, maka lim ( )x c

f x ada dan lim ( )x c

f x = lim ( )x c

g x

Tips:

Untuk menyelesaikan soal-soal tentang limit fungsi rasional, ikuti diagram alir berikut

Ingat bentuk bentuk berikut:

2 2 ( )( )x a x a x a

3 3 2 2( )( )x a x a x ax a

Contoh Soal 3:

Selesaikan :

a. 2

2lim (2 4 2)

xx x

Solusi:

gunakan terorema B 2 2

2lim (2 4 2) 2( 2) 4( 2) 2 18

xx x

Subtitusi

Apakah

Gunakan teorema B

selesai

ya

tidak

Gunakan teorema C

Lakukan:

Faktorisasi atau kalikan dengan

bentuk sekawan, bagilah faktor

yang sama

b. 2

0

1limx

x

x

Solusi:

gunakan terorema B

2 2

0

1 (0) 1 1lim

0 0x

x

x

Ingat! Kita tidak pernah membaginya dengan nol, tetapi kita membaginya dengan bilangan yang sangat dekat dengan

nol.

c. 2

21

1lim

1x

x

x

Solusi:

gunakan terorema B

2

21

1 1 1 0lim 0

1 1 21x

x

x

d. 2

1

2lim

1x

x x

x

Solusi:

Karena 0

( 1)0

f , gunakan teoreme C

2

1 1 1

2 ( 1)( 2)lim lim lim ( 2)

1 1x x x

x x x xx

x x

Gunakan teorema B pada bentuk terakhir

1lim ( 2) ( 1) 2 3

xx

e. 2

23

2 7 3lim

9x

x x

x

Solusi:

Gunakan teorema C

2

23 3 3

2 7 3 (2 1)( 3) (2 1) 2(3) 1 5lim lim lim

( 3)( 3) ( 3) (3) 3 69x x x

x x x x x

x x xx

f. 2

25

9 ( 1)lim

25x

x x

x

Solusi:

Kalikan dengan bentuk sekawannya

2

25

9 ( 1)lim

25x

x x

x =

2 2

2 25

9 ( 1) 9 ( 1)lim

25 9 ( 1)x

x x x x

x x x

= 2 2

5 2

9 ( 2 1)lim

( 5)( 5) 9 ( 1)x

x x x

x x x x

= 5 2

2 10lim

( 5)( 5) 9 ( 1)x

x

x x x x

= 5 2

2( 5)lim

( 5)( 5) 9 ( 1)x

x

x x x x

= 5 2

2lim

( 5) 9 ( 1)x x x x

= 2 2 1

10(4 4) 40(5 5) 25 9 (5 1)

Soal – soal untuk dikerjakan sendiri

Tentukanlah nilai limit berikut:

1. 2

2

7 10lim

2x

x x

x

2. 2 2

2 2

2 6 4limx

x x

x

3. 3

3

3 3lim

2 6x

x

x

4. 2

2

2lim

2x

x

x

5. 2

23

5 ( 1)lim

9x

x x

x

3. Limit Tak Berhingga

Cara menyelesaikan limit tak hingga (biasanya dalam bentuk rasional) adalah dengan cara membagi pembilang dan

penyebut dengan variabel berpangkat tertinggi

Contoh soal 4:

Selesaikan limit berikut:

a. 2

2

2 3 7lim

1x

x x

x

Solusi: pangkat tertinggi adalah 2, jadi bagilah pembilang dan penyebut dngan 2x

2

2

2 3 7lim

1x

x x

x =

2

2 2 2

2

2 2

72 3

2(1) 3(0) (0) 2lim 2

(0) 1 11x

x x

x x x

x

x x

b. 2 3

2

1 2lim

3 11 4x

x x x

x x

Solusi: pangkat tertinggi adalah 3, jadi bagilah pembilang dan penyebut dngan 3x

2 3

2 3 3 3 3 3

2 2

3 3 3

1 2

1 2 0 0 0 1 1lim lim

0 0 03 11 4 3 11 4x x

x x x

x x x x x x x

x x x x

x x x

c. 2

2 1lim

4x

x

x

Solusi

2 2

2 2

2 2

2 1

2 1 0 0 0lim lim 0

1 0 14 4x x

x

x x x

x x

x x

d. 2lim 3 1 ( 4)x

x x x

Solusi: munculkan bentuk dengan mengalikan bentuk sekawannya

2lim 3 1 ( 4)x

x x x =2

2

2

3 1 ( 4)lim 3 1 ( 4)

3 1 ( 4)x

x x xx x x

x x x

=2 2

2

3 1 ( 8 16)lim

3 1 ( 4)x

x x x x

x x x

=2 2

2

3 1 ( 8 4)lim

3 1 ( 4)x

x x x x

x x x

=2

2 2 2

5 15

5 0 5lim

21 0 0 (1 0)3 1 4( )

x

x

x x

x x x

x xx x x

Soal untuk dikerjakan sendiri:

Tentukan nilai limit berikut:

1. 3 2

3

2 3 2 3lim

1 9x

x x x

x x

2. 2lim 4 8 1 (2 3)x

x x x

4. Limit Fungsi Trigonometri Perhatikan Teorema A

Teorema B: Limit Fungsi Trigonometri Khusus

1. 0

sinlim 1x

x

x 2.

0

1 coslim 0x

x

x

Secara umum:

0

sinlimx

ax a

bx b

0

tanlimx

ax a

bx b

0lim

sinx

ax a

bx b

0lim

tanx

ax a

bx b

Contoh Soal 5:

a. 0

coslim

1x

x

x

Solusi:

0

cos 0 0lim 0

1 0 1 1x

x

x

b. 0

sin 3lim

tan 5x

x

x

Solusi:

0 0 0 0 0

sin3 sin3 3 5 sin3 5 3 3 3lim lim lim lim lim 1 1

tan5 tan5 3 5 3 tan5 5 5 5x x x x x

x x x x x x x

x x x x x x x

c. 2

30

3 tanlim

sin 2x

x x

x

Solusi: perhatikan pangkat masing-masing fungsinya!

3 32 2 2 2 2

3 3 2 3 2 3 30 0 0 0 0

2 23 tan 3 tan tan 3 3 3lim lim lim lim lim 1 1

8 8sin 2 sin 2 sin 22 2x x x x x

x xx x x x x x x x

x x x x xx x

d. 20

1 cos 2lim

3t

t

t

Solusi:

Ingat rumus 2 2cos 2 1 2sin 1 cos 2 2sint t t t

2 2

2 2 20 0 0

1 cos 2 2sin 2 sin 2 2lim lim lim 1

3 3 33 3t t t

t t t

t t t

Soal untuk dikerjakan sendiri:

Tentukan nilai limit berikut:

20

3 sin 4lim

tan 3x

x x

x

20

1 cos 4lim

sin 3x

x

x

BAB 02

1. TURUNAN FUNGSI

Defisi Turunan

Turunan fungsi f adalah fungsi lain 'f (dibaca “f aksen”) yang nilainya pada sebarang bilangan c adalah

0

( ) ( )'( ) lim

h

f c h f cf c

h

Asalkan limit ini ada dan bukan atau

Notasi Leibniz

0

( ) ( )'( ) lim

h

dy f c h f cf x

dx h

Contoh 1:

Jika 2( ) 3 2f x x x , tentukan '( )!f x

PENYELESAIAN

'( )f x = 0

( ) ( )limh

f c h f c

h

=

2 2

0

3( ) 2( ) 3 2limh

x h x h x x

h

=

2 2

0

3( 2 ) 2( ) 3 2limh

x xh h x h x x

h

=

2 2 2

0

3 6 3 2 2 ) 3 2limh

x xh h x h x x

h

=2

0

6 2 3limh

xh h h

h

=0

lim 6 2 3h

x h

= 6 2x

Soal untuk dicoba sendiri:

Dengan menggunakan definisi turunan, tentukanlah turunan fungsi berikut:

1. 2( ) 2 4 1f x x x

2. 2( ) 3 2f x x

2. ATURAN MENCARI TURUNAN FUNGSI

Tiga notasi untuk turunandari fungsi f , yaitu '( ) atau atau D ( )xdy

f x f xdx

Resume dari Teorema A s.d. H

A. Jika ( )f x k , maka '( ) 0f x

B. Jika ( ) ,f x x maka '( ) 1f x

C. Jika ( ) ,nf x ax maka 1'( ) nf x nax

D. Jika ( )f x ( ),kg x maka '( ) . '( )f x k g x

E. Jika ( )f x ( ) ( ),u x v x maka '( ) '( ) '( )f x u x v x

F. Jika ( )f x ( ) ( ),u x v x maka '( ) '( ) '( )f x u x v x

G. Jika ( )f x ( ) ( ),u x v x maka '( ) '( ) ( ) ( ) '( )f x u x v x u x v x

H. Jika ( )f x ( )

,( )

u x

v x maka

2

'( ) ( ) ( ) '( )'( )

( )

u x v x u x v xf x

v x

Contoh Soal 2:

Tentukan turunan setiap fungsi berikut:

a. 7( ) 3f x x

Solusi

Teorema C sangat sering digunakan!

( ) ,nf x ax → 1'( ) nf x nax

7 1 6'( ) 7 3 21f x x x

b. 2( ) 4 3 12f x x x

Solusi:

'( ) 8 3 0

'( ) 8 3

f x x

f x x

Begini ceritanya …… 2( ) 4 3 12f x x x → 2 1'( ) 2 4 3 1 0f x x

c. ( )f x x

Solusi: sederhanakan menjadi pangkat rasional

12( )f x x x

1 112 2

12

1 1 1 1 1'( )

2 2 2 2f x x x

xx

d. 3 2( ) 3f x x

Solusi: Sederhanakan menjadi pangkat rasional 1 1 2

3 2 2 3 33( ) 3 3 3f x x x x

1 2 1 1 2 11 13 3 3 3 3 32'( ) 3 3 2 3

3f x x x x …. Ingat

1 dan

mn m n

n n

aa a

a a

Bila dijadikan pangkat positif, maka diperoleh

2 1 1 3

23 3 3

1 1 1'( )

93 3

f xx

x x

e. 3( ) (3 1)f x x x

Solusi: gunakan teorema G

( )f x ( ) ( ),u x v x → '( ) '( ) ( ) ( ) '( )f x u x v x u x v x

3 2 3 3 2 3 2'( ) 3 (3 1)(3 ) 3 9 3 12 3f x x x x x x x x x

f. 22

( )(3 1)

xf x

x

Solusi: gunakan teorema I

( )f x ( )

,( )

u x

v x →

2

'( ) ( ) ( ) '( )'( )

( )

u x v x u x v xf x

v x

2 2 2 2

2 2 2

4 (3 1) 2 3 12 4 6 6 4'( )

(3 1) (3 1) (3 1)

x x x x x x x xf x

x x x

Soal untuk dicoba sendiri:

Tentukan turunan setiap fungsi berikut:

1. 4( ) 5f x x

2. 5

4( )f x

x

3. 3 211

( ) 12 6 3f x x x xx

4. 2 3( ) 3 2 3f x x x x

5. 215

( )(1 3 )

xf x

x

C B A

Turunan x = 1

Turunan konstanta = 0

3. TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

Teorema A

(sin ) cos dan (cos ) sinx xD x x D x x

Teorema B 2(tan ) secxD x x

2(cot ) cscxD x x (sec ) sec tanxD x x x (csc ) csc cotxD x x x

Dalil rantai

( ( ( ))) '( ( )) '( ) atau xdy dy du

D f g x f g x g xdx du dx

Contoh Soal 3:

Tentukan turunan fungsi berikut:

1. 12( ) (4 2)f x x

Solusi: misal 12( )f x u , maka (4 2)u x sehingga

11

11

'( )

12 4

48(4 2)

dy dy duf x

dx du dx

u

x

2. ( ) sin4f x x

Solusi:

Misal ( ) sin ,f x u maka 4u x sehingga

'( )

cos 4

4cos

dy dy duf x

dx du dx

u

x

3. 3( ) sinf x x

Solusi:

Bila dipandang sebagai komposisi fungsi, maka 3( ) ; sinf x u u x sehingga

2 23 cos 3sin cos

dy dy duu x x x

dx du dx

Dengan rumus sin 2 2sin cosx x x , dapat disederhanakan menjadi

2 3 3'( ) 3sin cos sin (2sin cos ) sin sin 22 2

f x x x x x x x x

4. 2( ) 4cos (3 1)f x x

Solusi: 2( ) 4 ; cos ; 3 1f x u u v v x

8 ( sin ) 3 24cos(3 1)sin(3 1)

12(2sin(3 1)cos(3 1)

12sin(2(3 1))

12sin(6 2)

dy dy du dvu v x x

dx du dv dx

x x

x

x

Soal untuk diselesaikan sendiri:

Tentukan turunan masing-masing fungsi berikut:

1. 10( ) (3 2 )f x x

2. 24

( ) 2 1f x x

3. 4( ) 6sin 5f x x

4. 4 3( ) 3cos (2 )f x

4. TURUNAN TINGKAT TINGGI

Turunan kedua dari fungsi f dinotasikan dengan 2

2

2''( ) atau atau x

d yf x D y

dx

Contoh Soal 4:

Tentukan turunan pertama dan kedua fungsi 3 3 2( ) sin (2 )f x x x

PENYELESAIAN 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2

'( ) 3 3sin (2 ) cos(2 ) 2(2 ) 2

3 24sin 4 cos 4

3 12sin 4 sin8

''( ) 6 12(8 sin 4 sin8 sin 4 16 sin8 )

6 288 sin 4 sin8

f x x x x x

x x x

x x x

f x x x x x x x x

x x x x

5. APLIKASI TURUNAN

a. Persamaan garis singgung suatu kurva Perhatikan gambar di samping

gradien garis PQ adalah

( ) ( )PQ

f x h f xm

h

Jika titik Q digeser sepanjang kurva sedekat mungkin dengan titik P

maka diperoleh garis singgung. Dengan demikian, gradien garis

singgungnya adalah

0

( ) ( )lim '( )gh

f x h f xm f x

h

Contoh soal:

Tentukan persamaan garis singgung pada kurva 3 21

32y x x x yang mempunyai kemiringan 1.

Solusi:

2

2

1 2

81 2 3

'( ) ' 1

' 1 2 2 1

2 3 0

( 3)( 1) 0

3; 1

12;

m f x y

y x x

x x

x x

x x

y y

Soal untuk diselesaikan:

1. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva 2 2 1y x x di titik (2, 1)

2. Tentukan 22y x x yang mempunyai kemiringan garis 1 .

b. Maksimum dan Minimum Teorema

A. Jika f kontinu pada interval tertutup ,a b , maka f mencapai nilai maksimum dan minimum di sana

B. Titik kritis: misal f didefinisan pada interval I yang memuat titik c. Jika ( )f c adalah nilai ekstrim, maka c

haruslah berupa suatu titik kritis, dengan kata lain c adalah salah satu dari:

(i) Titik ujung dari I

(ii) Titik stasioner dari f ; yakni titik di mana '( ) 0f c

(iii) Titik singular dari f ; yakni di mana '( )f c tidak ada

C. Misalkan f kontinu pada interval I dan terdeferensial pada setiap titik dalam I

(i) Jika '( ) 0f x untuk semua titik dalam I , maka f naik pada I

(ii) Jika '( ) 0f x untuk semua titik dalam I , maka f turun pada I

x h

P

Q

X

Y

g

nilai y diperoleh dengan mensubtitusikan nilai x pada persamaan kurvay.

Sehingga diperoleh titik singgung (3, 12) dan

Di titik (3, 12) persamaan garis singgungnya adalah:

Tentukan persamaan garis yang lainnya.

Tanda di sekitar titik kritis

+ + + - - - - - - - - + + +

1

D. Misalkan f terdeferensialkan dua kali pada setiap titik dalam I

(i) Jika ''( ) 0f x untuk semua titik dalam I , maka f cekung ke atas pada I

(ii) Jika ''( ) 0f x untuk semua titik dalam I , maka f cekung ke bawah pada I

E. Uji turunan pertama untuk maksimum dan minimum

Misal kontinu pada interval terbuka ( , )a b yang memuat sebuah titik c.

(i) Jika '( ) 0f x untuk semua x dalam (a,c) dan '( ) 0f x untuk semua x dalam (c,b) maka ( )f c adalah

nilai maksimum lokal f .

(ii) Jika '( ) 0f x untuk semua x dalam (a,c) dan '( ) 0f x untuk semua x dalam (c,b) maka ( )f c adalah

nilai minimum lokal f .

(iii) Jika '( )f x bertanda sama pada kedua pihak c, maka ( )f c bukan nilai ekstrim lokal f .

F. Uji turunan kedua untuk maksimum dan minimum

(i) Jika ''( ) 0f x , maka ( )f c adalah nilai minimum lokal f .

(ii) Jika ''( ) 0f x , maka ( )f c adalah nilai maksimum lokal f .

Contoh soal:

Diketahui fungsi 3 24 3 6 12y x x x . Tentukanlah:

a. Titik kritis f

b. Interval di mana f naik dan di mana f turun

c. Nilai maksimum dan nilai minimum f

d. Titik maksimum dan minimum f

PENYELESAIAN

'( ) 0f x

2

2

11 22

12 6 6 0

2 1 0

(2 1)( 1) 0

dan 1

x x

x x

x x

x x

5512 4

( )f ; (1) 7f

a. Titik kritis ( '( ) 0f c )

Yaitu titik 5512 4

( , ) dan (1,7)

b. Perhatikan perubahan tada pada '( )f x

( )f x akan naik jika '( )f x > 0, yaitu pada interval 12

( , ) atau pada (1, ) .

Dengan notasi lain, ( )f x naik pada interval 12

x atau pada 1x

( )f x akan turun jika '( )f x < 0, yaitu pada interval 12

( ,1)

c. Nilai maksimumnya adalah 5512 4

( )f , dan nilai minimumnya adalah (1) 7f

(coba menggunakan uji turunan ke dua)

d. Titik maksimumnya 5512 4

( , ) dan titik minimumnya (1,7)

Tanda di sekitar titik kritis

+ + + - - - - - - - - + + +

2 9

Contoh Soal lagi:

Kotak segi empat tanpa tutup akan dibuat dari selembar kartun

dengan panjang 26 cm dan lebar 9 cm dengan cara memotong

keempat sudut kartun dengan bentuk persegi yang identik. Tentukan

volume kotak maksimum yang dapat dibuat, hitunglah volume

maksimal tersebut.

PENYELESAIAN

Misalkan ukuran sisi persegi yang harus dipotong pada keempat

sudutnya adalah x. Maka volume kotak tersebut adalah

2

2 3

(24 2 )(9 2 )( )

(216 48 18 4 )( )

216 66 4

V x x x

x x x x

x x x

Perhatikan bahwa ukuran potongan tidak akan melebihi 4,5 cm.

Titik kritis

2

2

1 2

'( ) 0

216 132 12 0

12( 11 18) 0

( 2)( 9) 0

2; 9

f x

x x

x x

x x

x x

Hanya ada sebuah titik kritis yang memenuhi yaitu pada

x = 2, dan 2 3(2) 216(2) 66(2) 4(2) 200f

Nilai ekstrim

a) Uji tanda '( )f x

Disekitar x = 2 tanda berubah dari (+) menjadi (–) atau

dengan kata lain, di sekitar x = 2 funggsi f berubah dari

naik menjadi turun. Ini berarti bahwa f melalui titik

maksimum.

b) Uji turunan kedua 2'( ) 216 132 12

''( ) 132 24

''(2) 132 24(2)

84 0

f x x x

f x x

f

Jadi (2)f maksimum

Dengan demikian, agar volume kotak yang terbentuk maksimum, maka ukuran kotak terbut harus: Panjang = 24 – 2x = 24 – 2(2) = 20 cm

Lebar = 9 – 2x = 9 – 2(2) = 5 cm

Tinggi = x = 2 cm

Volume terbesarnya = 20 x 5 x 2 = 200 3cm