BAB 7 INTEGRAL LIPAT TIGA -...
Transcript of BAB 7 INTEGRAL LIPAT TIGA -...
BAB 7
INTEGRAL LIPAT TIGA
KALKULUS II
EXPERT COURSE
#bimbelnyamahasiswa
Integral Lipat Tiga pada Balok
1. Partisi balok B menjadi n bagian; B1, B2, …, Bk, …, Bn
Definisikan ||D|| = diagonal D ruang terpanjang dari Bk
2. Ambil (xk , yk , zk ) Є Bk
3. Bentuk jumlah Riemann
∑ 𝑓𝑛(x , y , z )ΔV
k k k ) Vk
k=1
4. Jika ||Δ|| -> 0 diperoleh limit jumlah Riemann
limΔ →0
𝑘=1
𝑓(𝑋𝑘, 𝑌𝑘, 𝑍𝑘)Δ𝑉𝑘
Jika limit ada,maka fungsi w = f x, y, z terintegralkan Riemann pada balok B, ditulis
𝐵𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉 = lim
|Δ |→0σ𝑘=1𝑛 𝑓(𝑋𝑘, 𝑌𝑘, 𝑍𝑘) Δ𝑉𝑘
2
x
z
y
B
( 𝑋𝑘, 𝑌𝑘, 𝑍𝑘 ) Bk
Δ𝑌𝑘
Xk
Δ𝑍𝑘
Δ vk = Δ xk Δ yk Δ zk dV = dx dy dz
Sehingga integral lipat dalam koordinat kartesius:
𝐵𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉 = 𝐵
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧
Contoh:
Hitung 𝐵𝑥2 𝑦 𝑧 𝑑𝑉 dengan B adalah balok dengan ukuran
B = x, y, z 1 ∈ 𝑥 ∈ 2, 0 ∈ 𝑦 ∈ 1, 1 ∈ 𝑧 ∈ 2}
Jawab:
𝐵𝑥2 𝑦 𝑧 𝑑𝑉 𝐵 =
𝑥2 𝑦 𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧
1 0 1
2 1 2𝑥2 𝑦 𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = 1 0
2 1 7
3𝑦 𝑧 dy dz
12 7
6𝑧 dz =
7
4
3
Integral Lipat Tiga pada Balok (2)
2
12
1
4
Integral Lipat Tiga pada Daerah Sembarang
Hitung x2 y z dV, Jika S benda padat sembarang. Pandang S benda padat yang
terlingkupi oleh balok B, dan definisikan nilai f nol untuk luar S (gambar 1).
x
z
y
B
S
Gambar 1
5
Integral Lipat Tiga pada Daerah Sembarang (2)
Jika S dipandang sebagai himpunan z sederhana (gambar 2) (S dibatasi
oleh z = y1(x,y) dan z = y2(x,y), dan proyeksi S pada bidang XOY dipandang
sebagai daerah jenis I, maka:
Jika f(x,y,z) = 1, maka 𝑠𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉 = 𝑎 𝑥1 𝑋 𝑦1 (𝑥,𝑦)
𝑏 𝑥2 𝑋 𝑦2 (𝑥,𝑦)𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧
Catatan:
Jika f(x,y,z) = 1, maka 𝑠𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉 menyatakan volume benda pejal S.
6
x
z
y
Gambar 2
Z = y1 (x,y)S
a
Sxyb Y = 𝜑2(𝑥)
Z = y2 (x,y)
7
Contoh
Hitung sf x, y, z dV dengan W=f(x,y,z) = 2xyz dan S benda padat yang dibatasi oleh
tabung parabola z=2- ½x2 dan bidang-bidang z = 0, y=x, y=0.
Jawab:
Dari gambar terlihat bahwa S={(x,y,z)|0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤x, 0 ≤ z ≤ 2 -1
2𝑥2}
Sehingga, 𝑠2𝑥𝑦𝑧 𝑑𝑉 = 0 0 0
2 𝑥 2−1
2𝑥22𝑥𝑦𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥
0 = 0
2 𝑥𝑥 𝑦 𝑧2 dy dx
0 = 0
2 𝑥𝑥 𝑦 (2 −
1
2𝑥2)2 dy dx
0 =2𝑥 (4 − 2𝑥2 +
1
4𝑥4)
1
2𝑦2 dx
0 =2(2𝑥3 − 𝑥5 +
1
8𝑥7) 𝑑𝑥
2-1
2𝑥2
0
x
0
= 1
2𝑥4 −
1
6𝑥6 +
1
64𝑥8
= 4
3
2
0
1. Hitung 𝑠𝑧 𝑑𝑉, S benda padat di oktan pertama yang dibatasi oleh bidang-
bidang z = 0, x=y, y=0 dan tabung 𝑥2 + 𝑧2 = 1.
2. Sketsa benda pejal S di oktan pertama yang dibatasi tabung 𝑦2 + 𝑧2 = 1 dan
bidang x =1 dan x = 4, dan tuliskan dan hitung integral lipatnya.
3. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh :
a. y = x2, y + z = 4, x = 0, z = 0
b. 1 = z2+y2, y = x, x = 0
c. x2= y, z2=y, y = 1
d. y = x2 + 2, y = 4, z = 0, 3y -4z = 0
4. Hitung 0 0 0
𝜋
2𝑧 𝑦
sin 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧
8
Latihan
Integral Lipat Tiga (Koordinat Tabung Integral Lipat
Tiga (Koordinat Tabung dan Bola)
Koordinat Tabung
Syarat dan hubungan dengan kartesius
r ≥ 0, 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋
X= r cos 𝜃
Y= r sin 𝜃
Z= z
𝑟2= 𝑥2 + 𝑦29
x
z
y𝜃 𝑟
𝑧
P(𝑟, 𝜃, z)
Koordinat Bola
Syarat dan hubungan dengan kartesius
𝜌 ≥ 0, 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋, 0 ≤ φ ≤ 𝜋
X= r cos 𝜃
r = 𝜌 sin φ
Y= r sin 𝜃
r = 𝜌 sin φ
Z= 𝜌 cos φ
𝜌2= 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
x
z
y𝑟
𝑧
P(𝜌, 𝜃, φ)
𝜃
φ
𝜌
X = 𝜌 cos 𝜃 sin φ
Y = 𝜌 sin𝜃 sin φ
Jika D benda pejal punya sumbu simetri Koordinat Tabung
Jika D benda pejal yang simetri terhadap satu titik Koordinat Bola
Contoh:
1. Sketsa D; D benda pejal di oktan I yang dibatasi oleh tabung 𝑥2 + 𝑦2 =4
dan bidang z = 0, z = 4.
Jawab:
D dalam koordinat:
a. Cartesius: D={(x,y,z)| 0≤ x ≤2, 0≤ y ≤ 4 − 𝑥2, 0≤ z ≤4}
b. Tabung: D={(x,y,z)| 0≤ r ≤2, 0≤ θ ≤ 𝜋
2, 0 ≤ z ≤ 4} x
z
y𝜃 r
2
20
4 𝑥2 + 𝑦2 =4
Contoh:
2. Sketsa D; D bagian bola x2+y2 + z2=4 di oktan I.
Jawab:
D dalam koordinat:
a. Cartesius: D = {(x,y,z)| 0≤x≤2, 0≤y≤ 4 − 𝑥2, 0≤z≤ 4 − 𝑥2 − 𝑦2}
b. Bola: D = {(x,y,z)| 0≤ ρ ≤2, 0≤ φ ≤ 𝜋
2, 0≤ θ ≤
𝜋
2}
11
rθ
ρ
x
z
y
2
2
2
0
4 − 𝑥2 − 𝑦2
Penggantian Peubah dalam Integral Penggantian Peubah
dalam Integral Lipat Tiga
Definisi misalkan x=m(u,v,w); y=n(u,v,w); z=p(u,v,w), maka:
ම𝐷
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = ම
𝐷
𝑓 𝑚 𝑢, 𝑣, 𝑤 , 𝑛 𝑢, 𝑣, 𝑤 , 𝑝 𝑢, 𝑣, 𝑤 𝐽(𝑢, 𝑣, 𝑤)|𝑑𝑢 𝑑𝑣 𝑑𝑤
dimana,
J(u,v,w) =
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜕𝑣
𝜕𝑥
𝜕𝑤𝜕𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝜕𝑤𝜕𝑧
𝜕𝑢
𝜕𝑧
𝜕𝑣
𝜕𝑧
𝜕𝑤
, J = Jacobian
12
Koordinat Kartesius Koordinat Kartesius Tabung
x = r cos θ
y = r sin θ
z = z
Matriks Jacobiannya:
J(u,v,w) =
𝜕𝑥
𝜕𝑟
𝜕𝑥
𝜕θ𝜕𝑥
𝜕𝑧𝜕𝑦
𝜕𝑟
𝜕𝑦
𝜕θ𝜕𝑦
𝜕𝑧𝜕𝑧
𝜕𝑟
𝜕𝑧
𝜕θ𝜕𝑧
𝜕𝑧
=cosθ − 𝑟 sinθ 0𝑠𝑖𝑛θ 𝑟 𝑐𝑜𝑠θ 00 0 1
= r cos2 θ + r 𝑠𝑖𝑛2 θ = r
𝐷𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = 𝐷
𝑓( 𝑟 𝑐𝑜𝑠θ, 𝑟 sinθ, z) r dr dθ dz
13
Koordinat Kartesius Koordinat Kartesius Bola
x = ρ cosθ sinφ
y = ρ sinθ sinφ
z = ρ cosφ
Matriks Jacobiannya:
J(u,v,w) =
𝜕x
𝜕ρ𝜕x
𝜕θ𝜕x
𝜕φ𝜕y
𝜕ρ𝜕y
𝜕θ𝜕y
𝜕φ𝜕z
𝜕ρ𝜕z
𝜕θ𝜕z
𝜕φ
=
sinφ cosθ − ρ sinφ sinθ ρ cosφ cosθ
sinφ sinθ ρ cosφ cosθ ρ cosφ sinθcosφ 0 1
= - 𝜌2sin 𝜃
14
ම
D
f x, y, z dx dy dz = ම
D
f( ρ cosφ cosθ, ρ sinφ sinθ , ρ cosφ) ρ2sinφ dρ dθ dφ
Contoh (Tabung)
1. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh paraboloid z = x2 + y2 dan z
= 4.
Jawab.
Daerah S dalam koordinat kartesius adalah:
S = {(x,y,z)|-2 ≤ x ≤ 2, - 4 − x2 ≤ y ≤ 4 − x2, x2 + y2 ≤ z ≤4}
Dalam koordinat tabung:
S = {(r, θ ,z)|0 ≤ r ≤2, 0 ≤ θ ≤ 2π, r2 ≤ z ≤ 4}
Sehingga volum e benda pejalnya adalah:
s1 dV 0 = 0 r2
2 2π 4r dz dθ dr
15
Contoh Lanjutan
V= 0 0 r22 2π 4
r dz dθ dr
V= 0 0
2 2πr (4 − r2) dθ dr
V = 02r 4 − r2 2π dr
V = 8π
16
x
Z = 4
Sxy
z
y
Insertion Sort2. Hitung volume benda pejal 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4 di oktan I
Jawab.
D dalam koordinat:
a. Kartesius: D={(x,y,z)| 0≤x≤2, 0≤y≤ 4 − 𝑥2, 0≤z≤ 4 − 𝑥2 − 𝑦2}
b. Bola: D = D={(x,y,z)| 0≤ ρ ≤2, 0≤ φ ≤ π/2, 0≤ θ ≤ π/2}
17
Contoh Bola
ρ
x
z
y
2
r
θ
4 − 𝑥2 − 𝑦2
2
2
Contoh Lanjutan
Sehingga, volume benda pejalnya adalah
V = 𝑠1 𝑑𝑉 = 0 0 0
π
2
π
22ρ2 sinφ dρ dφ dθ
V = 0 0
π
2
π
2 𝑠𝑖𝑛𝜑 (8
3) d𝜃 𝑑𝑟
V = 0
π
28
3(−𝑐𝑜𝑠𝜑) ቤ
𝜋
20
d𝜃
v = 4
3𝜋
18
Latihan
1. Hitung 𝐷𝑥2 𝑑𝑉, dengan D benda pejal yang dibatasi oleh z = 9 - 𝑥2 - 𝑦2 dan bidang
xy.
2. Hitung volume benda pejal dioktan I yang dibatasi bola 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 1 dan 𝑥2 + 𝑦2 +
𝑧2 =4.
3. Hitung volume benda pejal yang dibatasi diatas oleh bola 𝑟2 + 𝑧2 = 5 dan dibawah
𝑟2 = 4𝑧.
4. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh paraboloid z = 𝑥2 + 𝑦2 dan bidang z = 4.
5. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh bola 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 9, dibawah oleh
bidang z=0 dan secara menyamping oleh tabung 𝑥2 + 𝑦2 = 4.
6. Hitung volume beda pejal yang didalam bola 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 9, diluar kerucut z =
𝑥2 + 𝑦2 dan diatas bidang xy.19
Latihan
7. Hitung 3 − 9−𝑥2 − 9−𝑥2−𝑦23 9−𝑥2 9−𝑥2−𝑦2
(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)3
2 dy dz dx
8. Hitung 0 0 0
3 9−x2 2x2 + y2 dz dy dx
9. Hitung 0 0 0
2 4−𝑥2 4−𝑥2−𝑦2𝑧 4 − 𝑥2 − 𝑦2 dy dz dx
20