Materi Kalkulus 2 (Integral)

Click here to load reader

  • date post

    05-Aug-2015
  • Category

    Documents

  • view

    13.403
  • download

    27

Embed Size (px)

description

Integral tentu,sifat integral tentu, mencari luas daerah dengan teknik integrasi, volume benda putar, menentukan panjang kurva dengan teknik integrasi, integral parsial, integral fungsi trigonometri, integral subtitusi trigonometri, integral subtitusi bentuk kuadrat, integral fungsi rasional, integral funsi rasional bentuk sinus dan cosinus, integral tak wajar, integral tak wajar untuk integran tak terdefinisi.

Transcript of Materi Kalkulus 2 (Integral)

INTEGRAL TENTU Definisi : Misalffungsiyangdidefinisikanpada[a,b],fdikatakanterintegralkanpada[a,b]jika =Anii iPx x f10) ( lim ada,selanjutnya }badx x f ) ( disebutIntegralTentu(Integral Riemann) f dari a ke b, dan didefinisikan}badx x f ) (= =Anii iPx x f10) ( lim Teorema : Jika fungsi f kontinu pada selang , - dan F suatu anti turunan dari fungsi f pada selang itu,maka : ()

F(b)-F(a) Bukti:JikaP=*

+adalahpartisisebarangdariselang, -, maka : F(b)-F(a) = F(

)-F(

)+F(

)- F(

)+. . .+F(

)-F(

)= ,(

)(

)-

Menurut teorema nilai rata-rata yang diterapkan pada fungsi F pada selang ,

- kita perolehF(

) (

)=F(

) . (

)=f(

) .

dengan

.Jadi F(b) F(a) = (

)

Ruas kiri adalah suatu konstanta,sedangkan ruas kanan adalah jumlah Riemann fungsi f pada selang , -. Jika kedua ruas kita ambil limitnya untuk ||,kita peroleh F(b) F(a) =|| (

)

()

SIFAT-SIFAT INTEGRAL TENTU 1.Sifat Penambahan SelangTeorema : Jika f terintegralkan pada suatu selang yang mengandung tiga titik a, b dan c, maka dx x fca}) (= dx x fba}) (+dx x fcb}) (bagaimanapun urutana, b dan c. Contoh : 1.dx x dx x dx x} } }+ =2121022022. dx x dx x dx x} } }+ =232302202 3. dx x dx x dx x} } }+ =212102202 2.Sifat Simetri Teorema : Jikaffungsi genap[f(-x) = f(x)] , maka dx x faa}) (= 2dx x fa}0) ( dan Jikaffungsi ganjil[f(-x) = - f(x)],maka dx x faa}) (=0. Contoh: 1.

()

2.

()

Sifat yang lainnya : Jika fungsi f dangkontinyupada selang , - dan k suatu konstanta, maka 1. ()

2. ()

()

3. ()

()

, untuk k konstanta sebarang 4.,() ()-

()

()

5.,() ()-

= ()

()

6. ()

0 jika f(x)0 pada , - 7. ()

()

jika f(x)g(x) pada , - 8. ()

+ ()

= ()

Bukti : kita buktikan sifatsebagai berikut 1. ()

() () 2. ()

() ()() () ()

Bukti no. 4 : ,() ()-

||,() ()-

||()||()

()

()

Contoh soal : 1. ()

() () 2. ()

() ()() () ()

3.,

-

4.Hitung dx x x ) 6 4 (212} Jawab : dx x dx x dx x x} } } = 212212126 4 ) 6 4 (=4213212362 (((

(((

x x

=4|.|

\|+ |.|

\|313862124 = 12 MENCARILUAS DAERAHDENGAN TEKNIK INTEGRASI Perhatikan grafik fungsi dibawah ini! Fungsi f(x) pada selang [a,b], bagi selang [a,b] menjadi n partisi Panjang a = x 0 < x 1 < x 2< < x n-1< x n

Panjang partisi xi = xi -xi-1

()

CONTOH1 Hitunglah luas daerah dibawah kurva f(x) = x+3 yang dibatasi oleh x = -1 dan x = 4! JAWAB : Luas daerah dibawah kurva f(x) dapat dicari melalui limit jumlah Riemann sebagai berikut. Partisikan selang [-1,4] menjadi n bagian! P = { x0, x1, x2, ,xi-1, xi, , xn-1,xn } Panjang selang dapat ditentukan :

()

Ambil titik sampel xidi selang [xi-1, xi] Nilai titik untuk i = 0, 1, 2, , n adalah : x0= -1

(

) (

) (

)Jadi : f (xi) = xi+ 3 , .

/-.

/ Sehingga :()

()

x 012345678-2 -1 0 1 2 3 4 5 6f(x) = x+3

.

/

(

)(

)

.

()

/

. (

)/ .

)/

CONTOH 2 Cari luas yang dibatasi oleh kurva f(x)=x2 - 2x dan g(x)=6x - x2 dengan selang [0,4] JAWAB : P = { x0, x1, x2, ,xi-1, xi, , xn-1,xn } x =

=

x0= 0 x1= 0 + xi = 0 +

x2= 0 + 2x

= 0 + 2 .

/ x i = 0 + i . x = 0 + i .

/ -2-10123456789100 1 2 3 4 5 6 7x y f(x)=x2 - 2x g(x)=6x - x2 x n = 0 + n . x

= 0 + n .

/= 4 Jadi : f (xi) = x2 - 2x = .

/ .

/- 2.

/ =

g(xi ) = 6x-x2 = 6 .

/- .

/ .

/ = .

/.

/

,

(xi ) g(xi )] . x

,(

)(

)] .

(

) .

=

.()()

/

()

=

.

)

/

=

=

=

VOLUME BENDA PUTAR Suatubidangdatarjikadiputarmengelilingisuatugaristertentuakanmenghasilkan benda yang dapat dihitung volumenya. Ada duametode untuk menghitungnya, yaitu metode cakram dan metode kulit silinder. A. Metode cakram Diketahui suatu bidang datar yang dibatasi oleh grafik fungsi f(x), sumbu x, garis x = a, dan x = b, seperti tampak pada gambar 1. Jika luasan tersebut diputar mengelilingi sumbu x maka akan didapatkan suatu benda yang dapat dihitung volumenya (gambar 1 (b)). Jika suatu y Y=f(x) f() X=ax=b x y piasdenganpanjangf()danlebarxdiputarmengelilingisumbux,makaakanterbentuk suatu silinder dengan jari-jari alasnya f() dan tinginya x. Gambar 1. Volume benda Putar dengan Menggunakan Metode Cakram (c) hasil putaran pias terhadap sumbu x

Volume silinder (hasil putaran pias terhadap sumbu x) tersebut adalah Selanjutnya,volumebendasecarakeseluruhandapatdidekatidenganmenjumlahkan volume silinder yang diperoleh dari seluruh interval, yaitu, Jumlahan ini akan semakin mendekati volume benda sesungguhnya jika diambil nilai limitnya seperti pada saat mencari luas datar. (a) gambar daerah yang hendak diputar x =

(b) hasil putaran daerah terhadap sumbu x X=

xx=

X=1xx=1 y=f(x) x f(

) x

((

))

((

))

((

))

X = 2 Y =

x y DaridefinisijumlahanRiemanndiperolehrumusuntukmencarivolumebendaputar daridaerahyangdibatasiolehgrafikfungsif(x),sumbux,garisx=a,x=b,dandiputar mengelilingi sumbu x sebagai berikut. Contoh 1 Hitungvolumebendayangterjadijikadaerahpadakuadran1yangdibatasioleh kurva y =

dan garis x = 2 diputar mengelilingi sumbu x. Jawab: Daerah pada kuadran 1 yang dibatasi oleh kurva y =

, sumbu x dan garis x = 2 Hitung volume dengan menggunakan persamaan: (())

= (

)

=

=

(

) =

(())

10 y Y=f(x) f() X=ax=b x y x f() g() x=ax=b y=g(x) y=f(x) g() x=g(y) y = d y =

y =

y = c x y y f() y=

Rumus Volume Benda Putar Menggunakan Metode Cakram: Daerah dibatasi oleh Sumbu putar Gambar daerahRumus Y = f(x) Sumbu x Garis x = a Garis x = b Sumbu x V = (())

Y=f(x) Y=g(x) Garis x=a Garis x=b Sumbu x V = 0(())

(())

1

x=g(y) sumbu x garis y=c garis y=d Sumbu y y=

V = (())

x=g(y) x=h(y) garis y=c garis y=d Sumbu y V = 0(())

(())

1

Contoh 2 Hitungvolumebendaputardaridaerahyangdibatasiy=

dany=xjikadiputar pada sumbu y. X=

xx=

X=

x=

x=h(y) x=g(y) g(

) y=d y=

y=c 11 o Jawab:Tentukan titik potong kedua kurva tersebut:

Jadi titik potongnya adalah (0,0) dan (1,1) Hitung volume dengan persamaan:V = .()

()

/

= (

)

= .

/

= (.

/) =

satuan volume B.Metode Kulit Silinder Metodecakramdapatdipakaijikasumbuputarnyategaklurusdenganpiasnya.Jika pengambilan piasnya sejajar dengan sumbu putar, maka dipergunakan metode kulit silinder. Jika luasan diputar terhadap sumbu y, maka akan tersebut suatu benda yang berlubang di tengahnya. Jika pias pada interval ke-i diputar mengelilingi sumbu y, maka akan terbentuk suatu silinder yang tingginya f(

) dan berlubang di tengahnya. Daerahyangdibatasiy=

dan y = x y x y=

y=x

()

12 Akan dihitung adalah volume silinder yang diarsir (gambar 2 (c)) dan itu sama artinya denganmenghitungvolumesilinderyangberjari-jari

dikurangidenganvolumesilinder yang berjari-jari

atau . (

)

(

) (

)

(

) = f(

)((

)

(

)

) = f(

) ((

) (

)) ((

) (

)) Jika

adalah titik tengah dari

dan

, maka

Sehingga

(

)

,maka ()

Contoh 1 Hitungvolumebendajikadaerahnyadibatasidengany=

danx=2dandiputar mengelilingi sumbu y. Jawab:Hitungvolumedengan menggunakan persamaan: .

= 2

=

,

=

(

) = 8 satuan volume Daerah yang dibatasi y =

, sumbu x dan garis x = 2 x x=2 y=

y 13 y Y=f(x) f() X=ax=b x y x f() g() x=ax=b y=g(x) y=f(x) g() x=g(y) y = d y =

y =

y = c x y h(

) y=

y y=g(x) x Rumus Volume Benda Putar dengan Metode Kulit Silinder Daerah dibatasi oleh Sumbu putar Gambar daerahrumus y = f(x) Sumbu x Garis x = a Garis x = b Sumbu y V = ()

y=f(x) y=g(x) Garis x=a Garis x=b Sumbu y V = (() ())

x=g(y) sumbu y garis y=c garis y=d Sumbu x y=

V = ()

x=g(y) x=h(y) garis y=c garis y=d Sumbu x V = (() ())

Contoh 2 Hitunglahvolumebendaputarpadagambardibawahinijikadiputarmengelilingi sumbu x. X=

x=

X=

x=

y x=h(y) x=g(y) g(

) y=d y=

y=c 14 O Hitung volume dengan menggunakan persamaan: . ( )

= 2 (

)

= 2 .

/

= 2 (.

/ ) =

satuan volume C. Menghitung Volume Benda dengan Metode Penampang Melintang Selainuntukmenghitungvolumebendaputar,integraljugadapatdipakaiuntuk menghitungvolumeyangsudahdiketahuibentukpenampangmelintangnya.Mula-mula ditentukanletaksumbu-sumbukoordinatpadabendatersebutsedemikianhinggaluas penampangnya dapat dicari. Kemudian benda tersebut dibagi dalam n subinterval yang sama besar.Volumebendadalamsatusubintervaldapatdipandangsamadenganvolumesilinder yangluasalasnyaA(x)(luaspenampangbendatersebut)dantingginyax,yaitu

(

). Volumebendasecarakeseluruhanadalahlimitdari jumlahan volume seluruh subinterval, yaitu Contoh 1 Tentukanberapavolumegelasyangterlukisdibawahini,jikatinggibagianyang dapat menampung air 16 cm. Bentuk luar gelas tersebut dianggap parabola dengan persamaan x =

. Daerah yang dibatasi y =

dan y = x x y=x y=

y A V = ()

15 O y x y

Jawab: Mula-muladitentukanterlebih dahulu luas penampang benda tersebut. Olehkarenapenampangnyaberupa lingkaran,makaluasnyasamadengan kalikuadratdarijari-jarilingkaran darigambardibawahterlihatbahwa panjangjari-jarilingkarantersebut adalah y sehingga() ()

dan

= .

/

=

(()

) = 128 satuan volume MENENTUKAN PANJANG KURVA TEKNIK INTEGRASI Jika diketahui suatu fungsi f(x) maka akan dihitung panjang grafik fungsi tersebut dari x = a sampai x = b. Interval a x b dibagi menjadi n subinterval. Karena subinterval sangat kecil maka potongan potongan kurva (S) dapat dianggap sebagai suatu garis lurus (W) sedemikian sehingga S W . Sehingga dapat diterapkan Teorema Phytagoras, yaitu ()

= ()

+ ()

Atau S = ()

()

Jika ruas kanan persamaan tersebut dikalikan dengan bentuk

diperoleh S =

()

()

16 = ()

()

()

. x = (

)

x Untuk menghitung panjang seluruh kurva, sama artinya dengan menjumlahkan potongan potongan kurva tersebut. Jadi, panjang kurva y = f(x) dari x = a sampai x = b adalah S = (

)

dx atauS = (())

dx Rumus Panjang Kurva KurvaRumus y = f(x) dari x = a sampai x = b S = (

)

dxatau S = (())

dx x = (y) dari y = c sampai y = d S = (

)

dyatauS = (())

dy {()() Dari t = a sampai t = b S = (

)

(

)

dt

Contoh 1 Carilah panjang ruas garis dari A(0, 1) ke B(13) dengan persamaan garis y =

x + 1 ? Penyelesaian: persamaan garisnya y =

x + 1, sehingga

=

dan mengerjakan berdasar rumus nomer satu pada tabel, S = (

)

= (

)

dx =

dx =

dx =

dx =

=

= 13 Contoh 2 Hitung panjang kurva x =

, y =

, untuk 0 x 1! Penyelesaian:

=

dan

= 2t sehingga(

)

=

dan (

)

=

17 S = (

)

(

)

dt=

dt=

dt=

(

)

-

=

( ) INTEGRALPARSIAL Ialahmetodeuntukmemecahkanpermasalahanintegraldenganmenggunakan subtitusiganda.Metodeinididasarpadapengintegralanrumusuntukturunanhasilkali2 fungsi. Secara umum: Y= U.V Y' = U'V +V'U

=

.V +

.U Dy = du.V +dv.U = ( ) y=y-=u.v-Dengan x adalah variabel di setiap fungsi y.u dan v A.Integral Parsial Sederhana Integral Parsial Sederhana Tak Tentu 1) = Misal = u =v du =dx dv =cosx dx v==sinx uv =x sinx =x sinx + cosx + c 2)= Misal : u =lnxdv=dx du=

dxv = x lnx dx = uv 18 = x lnx -

dx = x lnx - = x lnx x + C 3) = .. U = arc sinxdv = dx du =

=x arc sinx

= x arc sinx -

=x arc sinx

+ C Integral Parsial Sederhana dengan Batas (Tentu)

= (uv)

-

Contoh : 1)

=. Misal : u = xdv=cosx dx du = dxv =sin x

= (uv)

-

=(x sinx )

-

=

=+ cos - cos=0-1-1 =-2 2)

= x ln x

- x

= e ln e 1 ln 1 (e-1) =e-o-e+1=1 19 3)

=x arc sin x

=

arc sin

( (

)

- ) =

(

)

+ 1 =

-

+ 1 B.Integral Parsial Berulang Integral Parsial Berulang Tak Tentu 1)

sinx dx =. Misal :u=

dv=sinx dx du=2x dx v=-cosx

sinx dx = u.v - =-

cosx +() =-

cosx +2 =-

cosx +2(x sinx ) =-

cosx +2x sinx +2 cosx +C 2)

sinx dx =. Misal: u =

dv = sinx dx du =

v = -cosx

sinx dx= uv = -

cosx -()

dx = -

cosx +

cosx dx

cosx dx = Misal :u =

dv = cosx du = dxv = sinx

cosx dx = uv =

sinx

dx Jadi : sinx dx = -

cosx +

cosx dx 20 = -

cosx +

sinx

dx 2

sinx dx =

sinx -

cosx

sinx dx =

sinx -

cosx +C 3)

x dx = Misal : u = sec xdv =

x dx du = sec x tg x dxv = tg x

x dx =uv = sec x tg x ( ) dx =sec x tg x -

x sec x = sec x tg x (

x-1) sec x dx = sec x tg x -

x + 2

x dx = sec x tg x + dx

x dx =

sec x tg x +

in I sec x tg x I +C Integral Parsial Berulang Dengan Batas(Tentu) Contoh : 1)

sinx dx = Misal : u =

dv = sin x dx du = 2x dx v = -cosx

sinx dx =(uv )I

-

= -

I

+ 2 x sin x I

+ 2 cos I

= -(

))

cos(

) +

cos0 + 2(

) sin (

) - 2 (0) sin o + 2 cos (

)-2 cos 0 =0+0+o+-0+0-2 =-2 2)

sinx dx = =

sinxI

-

cosxI

=

sin

sin0

cos +

cos0 21 =0 - 0 +

+

=

(

+ 1 ) INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI TrigonometriAturan Integral

Identitas Trigonometri

Untuk Sudut Rangkap

()

()Pengubahan dari bentuk perkalian menjadi bentuk penjumlahan 1. ( )( ) 2. () ( ) 3.() ( ) 4.( ) ( )Contoh Soal ( ) (

) 22 ( )

Pembahasan ( )

(

)

()

(

)

(( ) ( ))

( )

(

(

))

(

)

()

( )

(

) 23

INTEGRAL SUBSTITUSI TRIGONOMETRI A. Substitusi Fungsi Trigonometri Metode Substitusi Trigonometri dapat digunakan untuk mengitung integral dengan bentuk integran adalah :

,

,

dengan a,b adalah konstanta,maka gunakan substitusi Trigonometri yang merujuk kepada Rumus Trigonometri/Identitas Phytagoras:

a)

gunakan substitusi

atau

Maka :

=

=

=

=Atau

=

=

=

=b)

gunakan substitusi

atau

Maka :

=

=

=

=Atau

=

=

=

=c)

gunakan substitusi

atau

Maka : 24

=

=

=

= Atau

=

=

=

=Sehingga didapatkan differensialnya berturut-turut sebagai berikut : a)

atau

, b)

atau

, c)

atau

.Oleh karena itu diperoleh :

=

dengan -/2/2

=

dengan -/ 2 / 2

=

dengan 0 / 2 atau3/ 2 Agar lebih mudah maka gunakan tabel berikut : Bentuk IntegranGunakan SubstitusiIntegran RasionalDifferensialnya

Atau

Atau

Atau

Atau

Atau

Atau

Atau

Atau

Atau

25 Contoh Soal: 1.

= Misal :

=

=

=

= =+ c 2.

(

)

= Misal :

(

)

=

(

)

=

(

) =

(

) =

(

) =

=

=

| |=

Ingat :

Substitusi Dengan

Bila suatu integral, integrannya merupakan fungsi dari atau maka integral tersebut diselesaikan dengan substitusi

Perhatikan :

z

x 1 26 Sehingga : 1.Sin x =

2.Cos x = cos2

Contoh soal : 1.Diselesaikan

Substitusi

Ingat sin x =

Sehingga :

=

=

()

=

()

= 2

=

2.Diselesaikan

Substitusi

Ingat : cos x =

Sehingga :

=

=

=

()

dz = 2

27 =

INTEGRAL SUBSTITUSI BENTUK KUADRAT Bila diketahui f(x) = (2x-5)4 maka: (2x-5)disebut bilangan pokok / bilangan dasar 4disebut pangkat / eksponen Tampak diatas bahwa pangkatnya lebih dari 1 dan bilangan pokoknya terdiri dari 2 buah sukuyangmerupakanpersamaanliniermakauntukmenentukanintegralfungsialjabar bentuk diatas, menggunakan rumus sebagai berikut : Contoh Soal : Selesaikanlah ! a.( )}+ dx x52 3( )( )( )( )( ) c xc xc x+ + =+ + =+ ++=+661 52 31812 36 312 31 5 31 b. ( )( )} }=32323 433 43xdxxdx ( )( )( )( )( )( )( ) c xc xc xc xc xdx x+ =+ =+ =+ |.|

\|=+ + = =+ }33131313332323 4493 4493 43433 431433 43332433 4 3 Kadang-kadangsuatuintegraldapatdicaridenganmelakukansubstitusisederhana menggunakan rumus sebagai berikut: }++=+c xnadu axn n 11 }++=+c undu un n 111 ( )( )( )}+ ++= ++c b axn adx b axn n 111 28 Contoh Soal : a.( ) ( )}+ + dx x x x 12 16 6 4102 misalkan( ) x x u 6 42+ =4( ) dx x d du 6 42+ =dx x du 6 8 + = ( ) c x xc udu u+ + =+ == }11211106 4111111. Interagran berbentuk( )p qb ax +dengan p dan q bilangan bulat Akar dapat dihilangkan dengan substitusi pb ax z + =atau ax + b = zp. Jadi a dx = p . z p-1dz Contoh : 1. }31 . dx x xJawab Subsitusi 333111z xx zx z = = =

( ) ( )dz z dxdz z dxz d x dz x22333311 = = = = Maka : ( ) ( )} } = dz z z z dx x x2 333 1 1 . ( )( )( ) ( ) c x xc z zc z zdz z zdz z z+ + =+ +=+ |.|

\| = = =}} }} }37347 47 46 33 31 .731 .4373437141331 3 29 Jadi : ( ) ( )}+ + = c x x dx x x373431 .731 .431 .2. }+dxxx1 Jawab: Subsitusi : ( ) ( )dz z dxz d x dz xz xx zx z2111112222== += + =+ =+ = Maka : } }=+dx zzzdxxx2 .112 ( )( ) c x xc z zdx zdx z+ + + =+|.|

\| = = =}}1 2 1322322 22 13322 Maka: ( ) c x x dxxx+ + + =+}1 2 13213 .Integran berbentuk pqa cxb ax|.|

\|++ dengan p dan q bilangan bulat. Akar dapat dihilangkan dengan substitusi : z = pqa cxb ax|.|

\|++ Contoh : 1. ( )}+dxxxx322222 Jawab: 1)Substitusi. pqa cxb ax|.|

\|++ ke dalam 2 2)Cari x dalam notasi 2 3)Cari dx dalam notasi 2 4)Kembalikan lagi dari 2 ke variabel x 30 Subsitusi ( )((

+=+= = + = + = + +=+=12 212 22 22 22 2222233333 33 3333zzd dxzzxz x x zx x z zx x zxxzxxz 12 22 233+ = zzx

( )( )1412 2 2 212 211 23333 33333+=+ + +=+++=zzzz zzzzz 21 1vu v v udx= ( )( ) ( )( )( )( )( )dzzxdzzz z z zdzzz z z z232235 2 2 5233 3 3 211216 6 6 612 2 3 1 6+=++ =+ + = u = 2 2 2z3 u1 = -6z2 v = z3 + 1 v1 = 3z2 31 Maka : ( )( )( )( ) ( )cxxczc zc zdz zdzzdzzdzzzdzz zz zdzzzzzzdxxxx+|.|

\|+=+ =+|.|

\|=+|.|

\|==== =++ =+||.|

\|=+}}}}}}}32223 13336323233232322333222434321233 1123231231162416241 4124112. .422222 Jadi : ( )}+|.|

\|+=+cxxdxxxx323222432222 Integran memuat akar-akar yang tidak sempurna senama, misalnya : ( ) 13+ x xdx Akar-akar menjadi senama, substitusi 6x z =Angka6padapangkatdiperolehdengancaramencariKPKdariakarpangkatyangada, yaitu 3 dan 2. Darix z x z = =6 6,( ) dx z d =6 32 dx dz z =56 3266z z z x = = = 2363 6 3z z z x = = = Maka : ( ) ( )} }+=+1612 353z zdz zx xdx

( ) ( )( )( ) ( ) c x tag arc xc z tg arc zc z tg arc zdzzdzz zzdzzzdzzz+ =+ =+ =|.|

\|+ =||.|

\|+++=+ +=+=}}}}6 622 222222. 6 6. 6 6. 6111 61111611 1616 Jadi :( )( ) ( )}+ =+c x tag arc xx xdx6 63. 6 61 Kesimpulan : 1.( ) ( )pp qb ax Z b ax + = +2. p pd cxb axZ qd cxb ax++= |.|

\|++ 3.( ) ( ) ( )rq px f Z x f x f , 33 INTEGRAL FUNGSI RASIONAL Bentuk ()() dikatakan integral fungsi pecah rasional bila M(x) dan N(x) merupakan bentuk polinomial (suku banyak). Yang dimaksud dengan derajat dari M(x) dan N(x) adalah pangkat tertinggi untuk x yang koefisiennya bukan bilangan nol, sehingga dapat ditulis ditulis : ) () () (x Nx Mx F =, M(x) dan N(x) fungsi fungsi Polinom dengan N(x) 0 atau dapat dituliskan menjadi : ()

Yang perlu diperhatikan dalam integral fungsi rasional adalah : 1.Jika M(x) dx = dN(x), maka untuk ()()adalah ()()()()|()|,Contoh :

Perhatikan d(

) = 2x dx Sehingga

= (

)

|

| 2.Jika pangkat M(x)pangkat N(x) atau nm, maka dilakukan pembagian terlebih dahulu, sehingga didapatkan bentuk :()() () ()() Dengan P(x) merupakan hasil bagi M(x) oleh N(x) dan () adalah sisa pembagian dengan pangkat Q(x) < pangkat N(x), sehingga : ()()[() ()()]= () ()() 3.Jika pangkat M(x) < pangkat N(x) atau n < m, maka penyelesaian integral tersebut bergantung pada faktor-faktor dari N(x).Setiap suku banyak dengan koefisien real dapat dinyatakan sebagai perkalian dari faktor-faktor linear dan kuadrat sedemikian sehingga tiap-tiap faktor mempunyai koefisien real. 34 Fungsi Rasional dibedakan atas : a.Jika derajat dari M(x) lebih kecil daripada derajat N(x), maka F(x) disebut fungsi rasional sebenarnya (properrational function) b.Jika derajat dari M(x) lebih besar daripada derajat N(x), maka F(x) disebut fungsi rasional tak sebenarnya (improper rational function). Suatu fungsi rasional tak sebenarnya selalu dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dari Suatu polinom dan suatu fungsi yang sebenarnya dengan melakukan operasi pembagianbiasa. Misalnya :

(

)

(

)

Permasalahan mengintegralkan fungsi rasional terletak pada bagaimana mengintegralkan fungsi rasional sebenarnya. Suatu fakta, bahwa fungsi rasional sebenarnya dapat ditulis sebagai jumlah dari fungsi rasional sebenarnya yang lebih sederhana (partial fraction), dimana penyebutnya berbentuk (

)

, dengan n bilangan bulat positif. Bentuk dari pecahan sederhana tersebut tergantung pada faktor N(x), penyebut fungsi tersebut. Contoh : 131211 52++=x xxx Ada 4 kasus dari pemfaktoran penyebut N(x) yaitu : 1.Faktor linear tidak berulang Bentuk N(x) adalah : N(x) = (

)(

) (

) Dengan bentuk N(x) tersebut, maka F(x) dapat dibentuk seperti berikut : F(x) =()() =

Contoh : Tentukan}+dxxx912 Jawab :faktorkan penyebut :maka ) 3 )( 3 ( 92+ = x x x( ) ( ) ) 3 )( 3 () 3 ( ) 3 (3 3 912+ + + =++=+x xx B x AxBxAxx( ) ( ) 3 3 1 + + = + x B x A x 35 samakan koefisien ruas kiri dan ruas kanan substitusi B ke persamaan A + B= 1 A +

= 1 A= 1 -

A=

Sehingga :

( )

( )

()

()

||

| | 2.Faktor Linear yang Berulang Jika pada N(x) terdapat (ax + b) berulang sebanyak m kali, misalnya N(x) = ( )

Maka : F(x) =

()

()

Contoh : Tentukan Jawab : Samakan penyebut : Maka ( ) ( ) B A x B A 3 3 + + + =A + B=1 -3A + 3B=1 3A +3B=3 -3A+3B=1 + 6B=4 B =

( ) ( )12 12x xdx+ }( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 212 2++++= + xCxBxAx x( ) ( ) ( ) ( ) 1 2) 2 ( ) 1 ( ) 1 )( 2 (1 21222 ++ + + += + x xx C x B x x Ax x2) 2 ( ) 1 ( ) 1 )( 2 ( 1 + + + + = x C x B x x A) 2 4 ( ) 4 ( ) ( 12B A C x C B A x C A + + + + + = 36 dieliminasi Substitusi C ke persamaan A + C = 0, maka diperolehKemudian substitusi A dan C ke persamaan A + B + 4C = 0, maka diperoleh sehingga diperoleh hasil : 3.Faktor kuadrat tidak berulang Dalam kasus ini N(x) berbentuk : N(x) = (

)(

) (

) Maka : F(x) =

Contoh :

( )(

) Jawab :

()(

)

()

(

) (

) ()( )()(

) Jadi: x2+ x + 6=A(x2 + 4) + (Bx + C)(x + 2) =Ax2 + 4A + Bx2 + Cx + 2Bx + 2C =(A + B)x2 + (2B + C)x + 4A + 2C Maka : A + B= 1 2B + C= 1 4A + 2C= 6 A+C=0 A+B+4C=0 -2A-B+4C=1 A+B+4C=0 -2A-B+4C=1 + -A+8C=1 A+C=0 -A+8C=1 + 9C=1 C=1/9 A=-1/9 B=-1/3 C=

A=

B=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )dxxdxxdxxdxx x} } } }+++= + 1191213121911 212 2C xxx + +++ + = | 1 | ln91) 2 ( 31| 2 | ln91 37 Samakan koefisien ruas kiri dan ruas kanan dengan eliminasi

Substitusi : 2B + C=1A + B= 1 2B + 1=1A + 0= 1 2B=0A= 1 B=0 Maka didapat

()(

)

()

(

) =

()

(

) = | |

.

/ 4.Faktor kuadrat berulang Dalam kasus ini N(x) berbentuk : N(x) =Maka : Contoh : Jawab : Maka : ( )pi i ic x b x a + +2( )( ) ( ) ( )pi i ip ppi i ip pi i ii i i c x b x aB x Ac x b x aB x Ac x b x aB x Ac x b x aB x Ax F+ + +++ + ++ ++ + +++ ++ 2121 1222 221 1... ) (( )( )6 15 223 2222x xx xdx ++ +}( )( )( ) ( ) ( )222 22222 32 322 15 6+++++++=+ ++ xE DxxC x BxAx xx x( ) ( )( )( )( )222222 3) 3 )( ( 3 2 ) ( 2+ ++ + + + + + + +=x xx E Dx x x C x B x A( ) ( )( ) ) 3 )( ( 3 2 ) ( 2 22 15 6222 2+ + + + + + + + = + x E Dx x x C x B x A x x 38 Dengan menyamakan koefisien ruas kiri dan ruas kanan maka diperoleh : 1.Substitusi persamaan 1 ke persamaan 3 dan 5 -4A+2B+3C+D=6(3)

(6) -4A+6C+3E=22(5) (7) 2.Substitusi persamaan 2 ke persamaan 4 dan 6 -6B+2C+3D+E=-15 (4) (8) -(6) (9) 3.Substitusi persamaan 2 dan 8 ke persamaan 7 (7)

(10) 4.Substitusi persamaan 9 kepersamaan 10 (10) 7 1 + + + + + + + + = + 2 3 4 2) 3 2 4 ( ) 3 ( ) ( 22 15 6 x D C B A x C B x B A x x ) 3 6 4 ( ) 3 2 6 ( E C A x E D C B + + + + + +A+B=0() 3B+C=0 (2) 4A+2B+3C+D=6(3) 6B+2C+3D+E=-15(4) 4A+6C+3E=22(5) 39 5.Substitusi B ke persamaan 1, 2, dan 9 6.Substitusi D ke persamaan 8 Maka didapat : INTEGRAL FUNGSI RASIONAL BENTUK SINUS DAN COSINUS Bilaintegranmerupakanfungsirasionalyangmemuatsuku-sukudarisindancos maka akan lebih mudah bila dikerjakan menggunakan substitusi, yaitu z = tan ( x/2) ,- < x < . Integralfungsirasionaldalamsinxdancosxataukeduanyapenyelesaiannyadapat melakukan perubahan bentuk berikut:

( )( )( ) ( )( )} } } }+++=+ ++ dxxxdxxxdxxdxx xx x222 2222523312 322 15 6} } } }+++++= dxxxxdxdxxxxdx2 2 2 2) 2 (2252322213.) 2 ( 252tan23) 2 ln(21| 3 | ln21 2Cxxx x +++ |.|

\|+ + + =( )( )( ) ( )( )} } } }+++++++=+ ++ 222 22222 32 322 15 6xE DxdxxC x BdxxAdxx xx x

40 Jika ketiga harga diatas digantikan dalam rumus sudut ganda didapat:

(

)

(

)

Bila

makaadalah:

(

)

Contoh soal: 1.

Dengan mengganti

dan

, didapat:

( )

41 Dimisalkan:

Jadi:

( )

.

/

2.Hitunglah

Jawab: Dengan substitusi

,

, dan

kita peroleh:

( )( )

( )( )

( )

( ) Jadi( ) ( )

( ) -A+B = 0-3A+B = 2 3A-A = 2 2A = 2 A = 1 -B = -A B = -1

( )

( ) 42

( )

( ) ( )(

) INTEGRAL TAK WAJAR Untuk fungdi F yang terintegralkn Riemann pada selang [a,b] definisi integral tentu : dx x fba}) ( Disebut integral tak wajar jika : a.Salah atau kedua batas integralnya tak hingga b.Integral f(x) mempunyai satu atau lebih titik ketidakkontinuan dalam interval a x b atau batas integralnya berhingga. Integral tak wajar mempuyai 2 bentuk : 1. Integral tak wajar pada selang hingga Integral tak wajar jika integran f(x) memiliki satu atau lebih titik ketidak kontinuan dalam interval a x b yang merupakan daerah integrasinya. Integral takwajar dx x fba}) (dapat memiliki integran f(x) diskontinu pada x = a, atau f(x) diskontinu dibatas atau x = b atau f(x) diskontinu disembarang titik x = c, dimana c terletak dalam interval [a,b]. Untuk integral tak wajar pada selang hingga, terdapat tiga definisi yaitu : a.Integral tak wajar dari fungsi f pada [a,b] dengan x = a maka : } }+ +=babt atdx x f dx x f ) ( lim ) (0........................ Rumus 1 Contoh : Hitungdxx}5221 Jawab : dxxdxxt} }=+5225221lim21 43 | |5222 2 limttx+ =+ | |5222 2 limttx+ =+ ( ) 2 3 2 lim2 =+tt 3 2 = Jadi nilai dari dxx}5221 adalah 3 2 = dan konvergen b.Integral tak wajar dari fungsi f pada [a,b] dengan x = b, maka} }+ +=bat batdx x f dx x f ) ( lim ) (0........................ Rumus 2 Selesaikandxx}3031 Jawab : ( ) ( ) x d x dxxtt =} } +3 3 lim3121300300 ( )tttx}(((((

+ =+30302101 . 31211lim0 ( )ttt((

=+302103 2 lim0 ( ) ( )((

)` |.|

\| =+212100 3 3 3 2 lim0tt (((

)` =+3 ) ( 2 lim2100tt ( )((

= 3 0 2 21 3 2 = Jadi nilai dari dxx}3031 adalah 3 2 = dan konvergen 44 c.Integral tak wajar dari fungsi f pada [a,b] dengan x = c, maka} } } }++ ++ =bt ct catbat catdx x f dx x f dx x f ) ( lim ) ( lim ) (0 0........................ Rumus 3 Dengan catatan a < c < b Contoh : Selidiki kekonvergenan integral tak wajar }531 xdx Jawab : Bentukinimerupakanbentukintegraltakwajarkarenfungsi 11) ( xx fkontinu pada himpunan (-3,1)(1,5) dengan =11lim1xx. Integral tak wajar ari fungsi f pada selang [-3,5] adalah : } } }+= 5113531 1 1 xdxxdxxdx } }++=51131 1ttxdxxdx ( ) | | ( ) | | } } ++ + =515113131 2 1 2ttttx x ( ) ( )} }+ + + =51132 4 4 2ttt t84 4=+ = Jadi integral tak wajar dari fungsi selang [-3,5] konvergen ke 8 Integraltakwajartersebutdisebutkonvergenataudivergensesuaiintegraltersebut ada atau tidak setelah digunakan proses limit. 2. Integral tak wajar pada selang tak hingga Integral tak wajar pada selang tak hingga ada 3 definisi yaitu : a.Integral tak wajar dari fungsi f pada [a,] didefinisikan sebagai } } =atatdx x f dx x f ) ( lim ) ( ....................... Rumus 4 45 ContohTentukan apakah integral }1xdx konvergen atau divergen Jawab} } +=ttxdxxdx101lim } =ttxdx1lim | |ttx In1lim = ( ) 1 lim In Intt+ = Intt = lim = Jadi}1xdx adalah divergen b.Integral tak wajar dari fungsi f pada [a,] didefinisikan sebagai } } =b bttdx x f dx x f ) ( lim ) ( ....................... Rumus 5 Contoh : Diketahui 31) (xx f =kontinu pada selang [-,-1] Tentukan integral tak wajar dari fungsi F Jawab :} } =1 133 lim1ttxdxx 112123lim }(((

||.|

\|=tttx||.|

\| = 211 lim tt =Jadi integral tak wajar dari fungsi f dapa selang [-,-1]divergen 46 c.Integral tak wajar dari fungsi f pada [-,] di definisikan sebagai} } } + =ccdx x f dx x f dx x f ) ( ) ( ) (} } + =tctctdx x f dx x f ) ( lim ) ( lim ....................... Rumus 6 ContohTentukandxx} +211 Jawab} }+=+ ttxdxdxx02021lim11 | |ttx01tan lim = ( ) 0 tan tan lim1 1 = tt tt1tan lim =2t= } }+=+ 02021lim11ttxdxdxx | |01tan limttx = ( ) tt1 1tan 0 tan lim =|.|

\| =20t 2t= Jadi 2 2 112t t + =+} dxx t =konvergen 47 INTEGRAL TAK WAJAR UNTUK INTEGRAN TAK TERDEFINISI Dalammakalahinikamiakanmembahasintegraltakwajarjikaintegranf(x) memilikisatuataulebihtitikketidakkontinuandalamintervalaxbyangmerupakan daerah integrasinya. Integral tak wajar dx x fba}) (dapat memiliki integran f(x) diskontinu padax = a, atau f(x)diskontinudibatasataux=batauf(x)diskontinudisembarangtitikx=c,dimanac terletak dalam interval [a,b]. Untuk integral tak wajar pada selang hingga, terdapat tiga definisi yaitu : 1.x = a, maka } }+ +=babt atdx x f dx x f ) ( lim ) (0 2.x = b, maka } }+ +=bat batdx x f dx x f ) ( lim ) (0 3.x = c, maka } } } }++ ++ =bt ct catbat catdx x f dx x f dx x f ) ( lim ) ( lim ) (0 0 dengan catatan a < c < b. Jika f(x) memiliki beberapa titik diskontinu misalnya di x = c dan x = d dalam interval (a,b), maka integral dapat dihitung sebagai berikut: () =

()

+

()

+

()

Integraltakwajartersebutkonvergenataudivergensesuaiintegraltersebutadaatau tidak setelah digunakan proses limit. Contoh soal: 1.Hitungdxx}5221 Jawab : dxxdxxt} }=+5225221lim21 | |5222 2 limttx+ =+ 48 | |5222 2 limttx+ =+ ( ) 2 3 2 lim2 =+tt 3 2 = Jadi nilai dari dxx}5221 adalah 3 2 = dan konvergen. 2.Selesaikandxx}3031 Jawab : ( ) ( ) x d x dxxtt =} } +3 3 lim3121300300 ( )tttx}(((((

+ =+30302101 . 31211lim0 ( )ttt((

=+302103 2 lim0 ( ) ( )((

)` |.|

\| =+212100 3 3 3 2 lim0tt (((

)` =+3 ) ( 2 lim2100tt ( )((

= 3 0 2 21 3 2 = Jadi nilai dari dxx}3031 adalah 3 2 = dan konvergen. 3.Hitung

49 Jawab : Integralinitakwajarkarenaintegranf(x)=

diskontinudix=0,batas bawah. Maka:

=

,-

( ) = lim (0 . ()) =+ ( integral divergen)