INTEGRAL TENTU

Perhatikan Gambar 1 berikut:

Gambar 1 Gambar 2

panjang selang bagian terpanjang dari partisi P.

Definisi:Misal fungsi yang terdefinisi pada selang tertutup [a,b]. Jika

ada, maka dapat diintegralkan pada [a,b].Selanjutnya integral tentu atau integral Riemann dari a ke b adalah:

.

Dengan cara yang sama dapat didefinisikan integral untuk fungsi dua peubah.

INTEGRAL LIPAT DUA

a b

D

y=f(x)

a=x1 c1 x2 c2 x3.… xn=b

D

1. INTEGRAL LIPAT DUA ATAS PERSEGI PANJANG

>

Definisi:Misal fungsi dua peubah yg terdefinisi pada suatu persegipanjang tertutup R. Jika

ada maka dapat diintegralkan pada R. Selanjutnya integral lipat dua pada R adalah:

Jika , maka menyatakan volume benja pejal

dibawah permukaan dan diatas persegi panjang R, yang dapat ditentukan dengan metode irisan sejajar yaitu:

Volume benda pejal dibawa atas R adalah :

Padahal :

Jadi diperoleh:

Secara analog diperoleh

=

Jika negatif pada bagian R, maka menghasilkan volume

bertanda dari benda pejal antara permukaan dan persegi panjang R dari bidang xy.

SIFAT-SIFAT INTEGRAL LIPAT DUA

1.

2.

3. jika f(x,y) g(x,y)

4. Jika R terdiri dari dua daerah bagian R1 dan R2 yang tidak mempunyai titik persekutuan kecuali titik-titik pada sebagian batasnya, maka:

Contoh:

Hitung jika:

dan

Penyelesaian:

Latihan:

Tentukan integral rangkap dua berikut:

1.

2.

3.

4.

5.

2. INTEGRAL LIPAT DUA ATAS DAERAH BUKANPERSEGI PANJANG.

Misal S adalah daerah sebagai berikut:

MMissal

Untuk menghitung integral lipat dua dari z = f(x,y) atas S dilakukan dengan cara membentuk daerah persegi panjang R yang melingkupi S dan didefinisikan suatu fungsi baru, g(x,y) yaitu:

Nilai integral lipat dua dari g(x,y) atas R sama dengan integral lipat dua dari f(x,y) atas S ditulis:

Analog dengan pendefinisian pd daerah persegi panjang

1. Integral lipat dua dari z = f(x,y) atas S denganS={ (x,y) : f1(x) ≤ y ≤ f2(x) , a≤x≤b }

Contoh:

Hitung integral lipat jika S ={ (x,y) : 1 ≤ x ≤ 2, -x ≤ y ≤ x2 }

Penyelesaian:

2. Sedangkan integral lipat dua dari z = f(x,y) atas S denganS={ (x,y) : y1(y) ≤ x ≤ y2(y) , c ≤ y ≤ d }

Contoh:

Hitung integral lipat jika S ={ (x,y) | 0 ≤ y ≤ 1, -y ≤ x ≤ y }

Prosedur menentukan batas integrasi

1. Gambar / sketsa grafiknya 2. Batas integrasi y

Buatlah garis vertikal memotong S. Batas bawah ketika garis mulai memasuki S. Batas atas ketika garis meninggalkan S.

3. Batas integrasi xBuat semua garis x (vertikal) pada S

Atau1. Gambar / sketsa grafiknya 2. Batas integrasi x

Buatlah garis horisontal memotong S. Batas bawah ketika garis mulai memasuki S. Batas atas ketika garis meninggalkan S.

3. Batas integrasi yBuat semua garis y (horisontal) pada S

Contoh:

Latihan:Hitung integral berikut:

1.

2.

3.

4. Hitung dengan S={ (x,y) : y = x2 , y = 1}

5.Hitung dg S segitiga yg titik sudutnya

(0,0) , (0,4) , (1,4)

Tugas

1.

2.

3. dengan S={ (x,y) : y = x2 , y = }

4. dengan S={ (x,y) : y = x , y = 3x - x2}

5. dengan S={ (x,y) : y = 2x , x+y = 2, sb x}

Integral Lipat Dua dalam Koordinat Kutub.

Kurva-kurva tertentu pada suatu bidang, spt lingkaran, kardioid dan mawar lebih mudah diuraikan dalam bentuk koordinat kutub daripada koordinat cartesius, sehingga lebih mudah dihitung dengan menggunakan koordinat kutub.

Dalam koordinat kutub, suatu persegipanjang kutub R mempunyai bentuk:R = { (r,) | a r b , ≤ }

dengan a 0 dan - ≤ 2

Persamaan permukaan dapat ditulis sebagai

z = f(x,y) = f ( r cos , r sin ) = F(r,)

dengan

x = r cos y = r sin

x2 + y2 = r2 tan = y/x

Menghitung volume V dg menggunakan koordinat kutub:R = { (r,) | a r b , ≤ }

A(Rk) = ̄r rk k dengan ̄r : radius rata-rata Rk

Jadi

Contoh:Hitung integral lipat dua

Menggunakan Koordinat Cartesius

Menggunakan Koordinat Kutub/Polar

Tentukan volume dari benda padat diatas persegipanjang kutub

R = { (r,) | 1 r 3 , 0 ≤ /4 }

dan dibawah permukaan

Selanjutnya jika daerah S adalah 1. S = { (r,) | f1() r f2(), ≤ }

2. S = { (r,) | a r b, y1(r) ≤ y2(r) }

Contoh:

Hitung dengan S daerah kuadran pertama yang berada diluar

lingkaran r=2 dan didalam kardioid r = 2(1+cos).

Jawab:

Latihan

1. Hitung integral lipat berikut:

a. c.

b. d.

2. Tentukan luas daerah S dengan menghitung

bila:

a. S adalah daerah didalam lingkaran r = 4cos() dan diluar

lingkaran r = 2.

b. S adalah daerah yg kecil yg dibatasi oleh = /6 dan

r = 4sin()

c. S adalah satu daun dari mawar daun empat r = 4sin(2)

d. S adalah daerah didalam kardioid r = 6 - 6sin()

>

;

Penerapan Integral Lipat Dua Volume Benda Pejal

Contoh:Tentukan volume dari tetrahedron yang dibatasi bidang-bidang koordinat dan bidang z = 6-2x-3y.

Massa dan Pusat MassaMassa

Menghitung massa total dari lamina (pelat tipis) yang terbuat dari bahan tak homogen ( kerapatannya berubah)

Misal suatu lamina mencakup suatu daerah S di bidang xy dan misal kerapatan (massa persatuan luas) di xy dinyatakan oleh (x,y) maka :

Contoh 1.Tentukan massa total sebuah lamina dengan kerapatan dibatasi oleh sumbu x, garis x=8 dan kurva

Jawab: Massa total

Pusat massa ( Titik Kesetimbangan)

dengan : momen total terhadap sumbu ym : massa total

dengan : momen total terhadap sumbu xm : massa total

Titik kesetimbangan =

Contoh 2.

Tentukan pusat massa/titik kesetimbangan dari lamina pada Contoh 1.

Jawab:Momen total terhadap sumbu y

Momen total terhadap sumbu x

Pusat massa =

Latihan:

Tentukan massa dan pusat massa dari lamina yang

mempunyai daerah S dan dg kerapatan yg ditunjukkan.

a. S={(x,y)|0≤x4, 0y3} dan (x,y)= y+1

b. S={(x,y)|-1≤x1, 0y1} dan (x,y)= x2

c. S daerah segitiga dengan titik sudut (0,0), (1,1),

(4,0) dan (x,y)= x+y

d. S daerah di kuadran pertama yg dibatasi oleh

y=x2 dan garis y=1serta (x,y)= xy

e. S daerah yg dibatasi oleh x=y2 dan garis y=x-2

serta (x,y)=3

Integral Lipat Tiga

I. Jika B daerah didalam R3 yang berbebtuk balok yang

dibatasi enam bidang x=a1, x=a2, y=b1, y=b2, z=c1 dan z=c2

dengan a1<a2, b1<b2, c1<c2.

Diket fungsi tiga peubah kontinu pada daerah B. Partisi

daerah B menjadi balok-balok siku-siku B1,B2,…,Bn

dengan menarik bidang-bidang yang sejajar dengan

bidang-bidang koordinat. Nyatakan partisi ini dengan Vk

dan n menyatakan banyaknya balok.

Misal volume balok ke-k adalah Vk=xkykzk

Pilih titik pada balok ke-k kemudian dibentuk

jumlahan

Misal Padalah panjang diagonal terpanjang dari semua

balok didefinisikan integral lipat tiga:

asalkan limitnya ada.

Jika maka

volume daerah B.

Contoh:

Hitung dengan B adalah balok

B = {(x,y,z)| 1 x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 2}

II. Jika daerah S dinyatakan oleh

S={(x,y,z)|a1≤x≤a2, f1(x)≤y≤f2(x), y1(x,y)≤z≤y2(x,y) }

Maka integral lipat tiga dari fungsi f adalah:

Contoh:

Hitung integral lipat tiga

Latihan

Hitung integral lipat berikut:

1.

2.

3.

4.

Penerapan integral

Latihan:

1. Tentukan luas daerah S jika S adalah satu daun dari mawar daun empat r = 4sin(2)

2. Tentukan volume dari tetrahedron yang dibatasi bidang-bidang koordinat dan bidang 3x+4y+z-12=0

3. Tentukan massa dan pusat massa dari lamina yang mempunyai daerah S dan dg

kerapatan yg ditunjukkan.

S daerah di kuadran pertama yg dibatasi oleh y=x2 dan garis y=1serta (x,y)= xy

4.