Integral Lipat

Integral Rangkap

Indikator Pencapaian Hasil Belajar Mahasiswa menunjukkan kemampuan dalam : 1. Menjelaskan pengertian integral rangkap atas persegi panjang 2. Menghitung integral rangkap atas persegi panjang dengan menggunakan integral

lipat 3. Menjelaskan pengertian integral rangkap atas daerah bukan persegi panjang 4. Menghitung integral rangkap atas daerah bukan persegi panjang dengan

menggunakan integral lipat 5. Menjelaskan pengertian integral rangkap dalam koordinat kutub 6. Menghitung integral rangkap dengan menggunakan integral lipat dalam koordinat

kutub

Materi Ajar

Integral Rangkap atas Persegi Panjang

Misal R persegi panjang dengan sisi-sisi yang sejajar dengan sumbu-sumbu

koordinat, yakni

Bentuk suatu partisi P dari R yang terdiri dari garis-garis yang sejajar dengan sumbu- x

dan sumbu- y . Persegi panjang R terbagi atas berhingga persegi panjang–persegi

panjang bagian, katakan ada n persegi panjang bagian , yang dinyatakan dengan

nkRk ,...,2,1, = . Misal kx dan ky panjang sisi dari kR dan misal kkk yxA = adalah

luasnya. Pada setiap kR , ambil sebarang titik sampel ),( kk yx . Sebagai ilustrasi dapat dilihat

seperti pada gambar berikut :

Selanjutnya bentuk jumlah Riemann

Jika 0),( yxf untuk setiap Ryx ),( , maka jumlah Riemann bisa diinterpretasi secara

geometris sebagai jumlah dari n volume balok . Lihat gambar berikut :

Norm dari partisi P , dinotasikan dengan P , didefinisikan sebagai panjang

diagonal terpanjang dari persegi panjang-persegi panjang bagian . Selanjutnya definisi

formal dari integral rangkap atas persegi panjang diberikan sebagai berikut :

Definisi

Misal f adalah fungsi dua variabel yang didefinisikan pada persegi panjang tertutup R .

Jika

ada, kita katakan bahwa f terintegralkan pada R . Lebih lanjut

disebut integral rangkap dari f atas R , dan diberikan sebagai

Latihan :

Misal

Hitung jumlah Riemann yang diperoleh dengan membagi R atas delapan persegi yang

sama luasnya dan menggunakan titik tengah persegi-persegi tersebut sebagai titik

sampel.

Jika 0),( yxf , maka

merepresentasikan volume dari benda pejal yang terletak di di bawah permukaan

),( yxfz = di atas persegi panjang R .

Tidak semua fungsi terintegralkan atas persegi panjang. Fungsi yang tidak terbatas

pada R tidak terintegralkan. Teorema berikut membantu kita menentukan kelas fungsi

yang terintegralkan.

Teorema

Jika f terbatas pada persegi panjang tutup R dan kontinu di R kecuali diberhingga kurva

mulus maka f terintegralkan pada R . Khususnya jika f kontinu pada semua titik di R ,

maka f terintegralkan pada R .

Latihan

Berikan pendapatmu tentang keterintegralan fungsi-fungsi berikut

Berikut adalah sifat-sifat dari integral rangkap, yang serupa dengan integral fungsi

satu peubah riil

1. Integral rangkap bersifat linier

2. Integral rangkap bersifat aditif atas persegi panjang yang berimpit hanya pada

suatu ruas garis

3. Berlaku sifat pembandingan, yakni jika ),(),( yxgyxf untuk setiap Ryx ),(

maka

Catatan :

Jika 1),( =yxf untuk semua Ryx ),( , maka integral rangkap atas R sama dengan luas

R , sehingga

Latihan :

Misal

Hitung

dengan

Menghitung Integral Rangkap atas Persegi Panjang

Berikut ini kita akan mebicarakan tentang bagaimana cara menghitung integral

rangkap, meski tidak analitik tapi paling tidak secara intuitif masuk akal. Misal 0),( yxf

pada R , dengan

maka kita dapat menginterpretasikan integral rangkap atas R sebagai volume benda

pejal di bawah permukaan ),( yxfz = di atas R ,

Iris benda pejal dengan bidang-bidang yang sejajar dengan bidang- xz , sehingga

benda pejal terbagi atas lempengan-lempengan tipis. Tipikal lempengan tersebut dapat

diilustrasikan sebagai berikut :

Luas permukaan lempengan bergantung pada berapa jauh lempengan tersebut dari

bidang , selanjutnya kita notasikan luas lempengan tersebut dengan )(yA . Volume

lempengan V diaproksimasi dengan

Terapkan “iris, aproksimasi dan integralkan”, kita peroleh

Sementara itu untuk y ( tetap ) , kita dapat menghitung )(yA menggunakan integral satu

peubah

Sehingga kita dapat menghitung volume benda pejal tersebut dengan

Integral ini disebut sebagai integral lipat

Jika kita memulai dengan mengiris benda pejal dengan bidang-bidang yang sejajar

dengan bidang- yz , kita memperoleh integral lipat dengan urutan yang ditukar. Sekarang

kita memiliki rumus

Luas )(yA

Catatan :

(i) Meski rumus yang kita peroleh di atas berdasarkan asumsi f non negatif, tapi hal

tersebut berlaku secara umum.

Jika ),( yxf negatif maka integral rangkap

diinterpretasikan sebagai negatif dari volume benda pejal diantara permukaan

dengan persegi panjang R .

(ii) Rumus integral lipat di tidak dapat digunakan jika masing-masing integral integral

tidak dapat di hitung. Tapi untungnya integral lipat biasanya tidak terlalu sulit untuk

dihitung.

Latihan :

1. Hitung integral lipat berikut :

2. Hitung volume benda pejal yang terletak di bawah permukaan yxz −−= 24 di atas

persegi panjang

Integral Rangkap atas Daerah Bukan Persegi Panjang

Tinjau daerah tutup dan terbatas S di bidang. Tutup S dengan persegi panjang R

yang sisinya sejajar dengan sumbu-sumbu koordinat.

Misal ),( yxf terdefinisi pada S dan definisikan 0),( =yxf pada bagian dari R yang

terletak di luar S

Dikatakan f terintegralkan pada S jika f terintegralkan pada R , dan ditulis

Integral rangkap pada sebarang himpunan tutup dan terbatas S memenuhi sifat (1)

linier, (2) aditif pada himpunan yang berimpit hanya pada suatu kurva mulus dan

memenuhi sifat pembandingan

Menghitung Integral Rangkap atas Daerah Bukan Persegi Panjang

Himpunan yang dibatasi oleh kurva tutup dapat sangat rumit bentuknya. Untuk

keperluan kita, karenanya kita akan mulai dari himpunan yang lebih sederhana yang di

namakan himpunan −x sederhana dan himpunan −y sederhana.

Himpunan S dikatakan −y sederhana jika terdapat fungsi 1 dan 2 pada ],[ ba

sedemikian sehingga

Kita dapat memeriksa dengan cepat suatu himpunan adalah −y sederhana dengan

melihat apakah garis dalam arah y memotong himpunan tersebut dalam suatu ruas

garis, satu titik atau tidak sama sekali.

Himpunan S dikatakan −x sederhana jika terdapat fungsi 1 dan 2 pada ],[ dc

sedemikian sehingga

Kita dapat memeriksa dengan cepat suatu himpunan adalah −x sederhana dengan

melihat apakah garis dalam arah x memotong himpunan tersebut dalam suatu ruas

garis, satu titik atau tidak sama sekali.

Gambar berikut adalah contoh himpunan yang bukan himpunan himpunan −x

sederhana dan bukan himpunan −y sederhana.

Sekarang misal kita akan menghitung integral rangkap fungsi ),( yxf atas

himpunan S yang merupakan himpunan −y sederhana. Kita menutupi S dengan persegi

panjang R ( lihat Gambar 5 )dan definisikan 0),( =yxf di luar S

Pertama x dibuat tetap, integral sepanjang garis yang ditebalkan pada Gambar 5

menunjukkan )(xA yaitu luas penampang ( lihat Gambar 6 ) .

Selanjutnya )(xA dihitung dengan integral dari a ke b , sehingga kita punyai

Jadi untuk menghitung integral f atas himpunan −y sederhana

Kita gunakan rumus :

Dengan cara yang serupa kita dapat menghitung integral atas himpunan −x

sederhana

dengan rumus

Jika S bukan himpunan −x sederhana dan bukan himpunan −y sederhana,

biasanya dapat ditinjau sebagai gabungan dari himpunan himpunan −x sederhana atau

−y sederhana . Sebagai contoh annulus pada Gambar 7 berikut ini bukan himpunan −x

sederhana dan bukan himpunan −y sederhana, tetapi dapat dipandang sebagai

gabungan dua himpunan −y sederhana 1S dan 2S . Integral pada himpunan ini dapat

dihitung dengan menjumlahkan satu sama lain untuk mendapatkan integral atas R.

Latihan :

1. Hitung integral lipat berikut

2. Gunakan integral rangkap untuk menentukan volume tetrahedron yang dibatasi

oleh bidang-bidang koordinat dan bidang 012463 =−++ zyx

3. Cari volume benda pejal pada oktan pertama ) 0,0,0 ( zyx yang dibatasi oleh

paraboloid 22 yxz += , silinder 422 =+ yx dan bidang-bidang koordinat.

4. Dengan menukar urutan pengintegralan hitung

Integral Rangkap atas Persegi Panjang Kutub

Kurva-kurva tertentu seperti lingkaran, cardioid dan mawar lebih mudah

dideskripsikan dalam koordinat kutub daripada dengan koordinat Cartesius. Sehingga

wajar jika kita berharap integral rangkap atas daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva

tersebut juga akan lebih mudah dihitung dengan menggunakan koordinat kutub.

Misal R daerah seperti pada Gambar 1 yang kita sebut sebagai persegi panjang

kutub.

Misal ),( yxfz = adalah permukaan yang terletak di atas R dan misal f kontinu

dan non negatif seperti yang diilustrasikan Gambar 2 berikut.

Maka volume benda pejal di bawah permukaan dan di atas R diberikan dengan

Dalam koordianat kutub, kita menyatakan persegi panjang kutub sebagai himpunan

dengan 0a dan 2− , dan permukaan sebagai

Buat partisi pada R menggunakan garis-garis kutub, sehingga diperoleh persegi

panjang kutub bagian 1R , 2R , ... , nR dan misal kr dan ks menyatakan ukuran dari

persegi panjang kutub bagian kR , seperti yang ditunjukkan Gambar 3 berikut

Luas )( kRA adalah

dengan kr adalah radius rata-rata dari kR . Jadi

Jika kita menarik imit dengan norm dari partisi mendekati nol maka kita memperoleh

volume dari benda pejal yang terletak di atas R dan di bawah permukaan ),( yxfz = .

Limit ini adalah integral rangkap

sehingga

Hasil yang ada pada kotak diperoleh dari asumsi f kontinu dan non negatif , tetapi

sesungguhnya ini benar untuk semua fungsi kontinu.

Latihan :

Cari volume benda pejal di atas persegi panjang kutub /40 ,1 ),( = rrR

dan di bawah permukaan 22 yxez +=

Integral Rangkap atas Daerah yang Bukan Persegi Panjang Kutub

Kita melakukan hal yang serupa dengan yang kita lakukan pada integral rangkap

pada koordinat Cartesius kecuali bahwa kita bekerja pada koordinat kutub sekarang. Kita

tetapkan himpunan himpunan −r sederhana

dan − sederhana

Latihan :

1. Hitung :

jika S adalah daerah pada kuadran pertama yang terletak di luar lingkaran 2=r

dan di dalam kardioid ) cos1 (2 +=r

2. Cari volume benda pejal di bawah permukaan 22 yxz += di atas bidang- xy dan di

dalam silinder yyx 222 =+

3. Cari luas daerah yang terletak di dalam lingkaran 𝑟 = 4 cos 𝜃 dan di luar lingkaran

𝑟 = 2