07 Integral Lipat Tiga - Gunadarma...

of 21 /21
Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom [MA1124] KALKULUS II Integral Lipat Tiga Integral Lipat Tiga

Embed Size (px)

Transcript of 07 Integral Lipat Tiga - Gunadarma...

  • Program Perkuliahan Dasar Umum

    Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

    [MA1124] KALKULUS II

    Integral Lipat TigaIntegral Lipat Tiga

  • Integral Lipat Tiga pada BalokIntegral Lipat Tiga pada Balok

    z

    ∆∆∆∆xk

    ∆∆∆∆yk

    1. Partisi balok B menjadi n bagian;

    B1, B2, …, Bk, …, BnDefinisikan ||∆|| = diagonal ruang terpanjang dari Bk

    2. Ambil

    3. Bentuk jumlah Riemann

    )z,y,x( kkk

    B

    Bk ∆∆∆∆zk

    kkkk B)z,y,x( ∈

    ∑ ∆n

    V)z,y,x(f

    2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

    2

    x

    y

    4. Jika ||∆||� 0 diperoleh limit jumlah Riemann

    Jika limit ada, maka fungsi w = f(x,y,z) terintegralkan Riemann pada balok B, ditulis

    k

    n

    1kkkk

    0V)z,y,x(flim ∆∑

    =→∆

    ∑=

    ∆1k

    kkkk V)z,y,x(f

    k

    n

    1kkkk

    0B

    V)z,y,x(flimdV)z,y,x(f ∆= ∑∫∫∫=→∆

  • Integral Lipat Tiga pada Balok (2)Integral Lipat Tiga pada Balok (2)

    ∆vk = ∆xk ∆yk ∆zk �dV = dx dy dzSehingga integral lipat dalam koordinat kartesius:

    ∫∫∫∫∫∫ =BB

    dzdydx)z,y,x(fdV)z,y,x(f

    2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

    3

  • ContohContoh

    ∫∫∫B

    dVyzx2Hitung dengan B adalah balok dengan ukuran

    B = {(x,y,z)| 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1, 1 ≤ z ≤ 2}

    Jawab.

    ∫∫∫ dVyzx2 dzdydxyzx∫ ∫ ∫=

    2 1 22

    2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

    4

    ∫∫∫B

    dVyzx dzdydxyzx∫ ∫ ∫=1 0 1

    dzdyxyz∫ ∫

    =2

    1

    1

    0

    2

    1

    3

    3

    1

    dzyz∫

    =2

    1

    1

    0

    2

    2

    1

    3

    7

    2

    1

    2

    2

    1

    6

    7

    = z4

    7=

  • Integral Lipat Tiga pada Daerah Integral Lipat Tiga pada Daerah SembarangSembarang

    � Pandang S benda padat yang terlingkupi oleh balok B, dan definisikan nilai f nol untuk luar S (gb. 1)

    z

    B

    ∫∫∫S

    2 dVyzxHitung , Jika S benda padat sembarang

    2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

    5

    x

    y

    z

    S

    (gb. 1)

  • Integral Lipat Tiga pada Daerah Integral Lipat Tiga pada Daerah Sembarang (2)Sembarang (2)

    � Jika S dipandang sebagai himpunan z sederhana (gb.2) (S dibatasi oleh z=ψ1(x,y) dan z=ψ2(x,y), dan proyeksi S pada bidang XOY dipandang sebagai daerah jenis I) maka:

    z

    S

    z=ψ2(x,y)

    z=ψ1(x,y)

    2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

    6

    � Catatan:

    Jika f(x,y,z) = 1, maka menyatakan volume benda pejal S

    ∫ ∫ ∫∫∫∫ =b

    a

    x

    x

    yx

    yxS

    dxdydzzyxfdVzyxf

    )(

    )(

    ),(

    ),(

    2

    1

    2

    1

    ),,(),,(φ

    φ

    ψ

    ψ

    ∫∫∫S

    dVzyxf ),,(x

    y

    Sxyb

    a

    y=φ2(x)y=φ1(x)

    (gb. 2)

  • ContohContoh

    ∫∫∫S

    dVzyxf ),,(Hitung dengan W=f(x,y,z) = 2xyz dan S benda

    padat yang dibatasi oleh tabung parabola z=2- ½x2 danbidang-bidang z = 0, y=x, y=0

    y=0

    y=xz=2–½ x2z Jawab.

    Dari gambar terlihat bahwa

    2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

    7

    y=0

    x

    ySxy

    Sxy = proyeksi S pada XOY(segitiga)

    Dari gambar terlihat bahwa

    S={(x,y,z)|0≤x≤2, 0≤y≤x0≤z≤ 2 – ½x2}

    2

    0 Sehingga,

    ∫∫∫S

    dVxyz2 ∫ ∫ ∫−

    =2

    0 0

    2

    12

    0

    2

    2x

    x

    dxdydzxyz

    ∫ ∫−

    =2

    0 0

    2

    12

    0

    22x x

    dxdyzxy

  • Contoh (lanjutan)Contoh (lanjutan)

    ∫ ∫

    −=2

    0 0

    2

    2

    2

    12

    x

    dxdyxxy

    +−=2

    0 0

    242

    2

    1

    4

    124 dxyxxx

    x

    +−=2

    753

    8

    12 dxxxx

    2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

    8

    +−=0

    82 dxxxx

    2

    0

    864

    64

    1

    6

    1

    2

    1xxx +−=

    3

    44

    3

    328 =+−=

  • LatihanLatihan

    ∫∫∫S

    dVz1. Hitung , S benda padat di oktan pertama yang

    dibatasi oleh bidang-bidang z = 0, x=y, y=0 dan tabungx2 + z2 = 1.

    2. Sketsa benda pejal S di oktan pertama yang dibatasi tabung y2 + z2 = 1 dan bidang x =1 dan x = 4, dan

    2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

    9

    tabung y + z = 1 dan bidang x =1 dan x = 4, dan tuliskan dan hitung integral lipatnya.

    3. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh :a. y = x2, y + z = 4, x = 0, z = 0.b. 1 = z2+y2, y = x, x = 0.c. x2 = y, z2 =y, y = 1.d. y = x2 + 2, y = 4, z = 0, 3y - 4z = 0.

    ∫ ∫ ∫π

    ++2/

    0

    z

    0

    y

    0

    dxdydz)zyxsin(4. Hitung

  • Integral Lipat Tiga (Koordinat Tabung Integral Lipat Tiga (Koordinat Tabung dan Bola)dan Bola)

    θθθθ r

    z

    P(r,θθθθ,z)

    x

    y

    z

    θθθθ r

    z

    P(ρρρρ,θθθθ,φφφφ)

    x

    y

    z

    φφφφρρρρ

    Syarat & hubungan dg KartesiusSyarat & hubungan dg Kartesius

    Koordinat Tabung Koordinat Bola

    2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

    10

    Syarat & hubungan dg Kartesiusr ≥≥≥≥ 0, 0 ≤≤≤≤ θθθθ ≤≤≤≤ 2 π

    x = r cos θy = r sin θz = zr2 = x2 + y2

    Syarat & hubungan dg Kartesius

    ρ ≥≥≥≥ 0, 0 ≤≤≤≤ θθθθ ≤≤≤≤ 2 π, 0 ≤≤≤≤ φ ≤≤≤≤ πx = r cos θr = ρ sin φy = r sin θr = ρ sin φz = ρ cos φx2 + y2 + z2 = ρ2

    } x = ρ cos θ sin φ

    } y = ρ sin θ sin φ

    Jika D benda pejal punya sumbu simetri ���� Koordinat TabungJika D benda pejal yang simetri terhadap satu titik ���� Koordinat Bola

  • ContohContoh

    1. Sketsa D; D benda pejal di oktan I yang dibatasi oleh tabung x2+y2=4 dan bidang z = 0, z = 4

    z

    4

    D dalam koordinat:

    a. Cartesius:

    Jawab.

    2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

    11

    x

    yrθθθθ2

    2

    a. Cartesius:

    D={(x,y,z)| 0≤x≤2, 0≤y≤ , 0≤z≤4}

    24 x−

    b. Tabung:

    D={(x,y,z)| 0≤r≤2, 0≤θ≤ π/2, 0≤z≤4}

    0

    x2+y2=4

  • ContohContoh

    2. Sketsa D; D bagian bola x2+y2 + z2=4 di oktan I.

    z

    2

    D dalam koordinat:

    a. Cartesius:

    D={(x,y,z)| 0≤x≤2, 0≤y≤ , 24 x−

    Jawab.

    2

    ρρρρ

    224 yxz −−=

    2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

    12

    x

    yrθθθθ2

    2 D={(x,y,z)| 0≤x≤2, 0≤y≤ , 0≤z≤ }

    24 x−

    b. Bola

    D={(x,y,z)| 0≤ρ≤2, 0≤φ≤ π/2, 0≤θ ≤ π/2}

    ρρρρ

    224 yx −−0

  • Penggantian Peubah dalam Integral Penggantian Peubah dalam Integral Lipat TigaLipat Tiga

    Definisi misalkan x=m(u,v,w); y=n(u,v,w); z=p(u,v,w)

    maka:

    dimana

    ∫∫∫∫∫∫ =DD

    dwdvdu)w,v,u(J))w,v,u(p),w,v,u(n),w,v,u(m(fdzdydx)z,y,x(f

    xxx ∂∂∂

    2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

    13

    dimana

    wz

    vz

    uz

    wy

    vy

    uy

    wx

    vx

    ux

    )w,v,u(J

    ∂∂

    ∂∂

    ∂∂

    ∂∂

    ∂∂

    ∂∂

    ∂∂

    ∂∂

    ∂∂

    =

    Jacobian

  • Koordinat Kartesius Koordinat Kartesius ��TabungTabung

    x = r cos θy = r sin θz = z

    Matriks Jacobiannya:

    xxx ∂∂∂

    2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

    14

    rsinrcosr

    100

    0cosrsin

    0sinrcos

    zzz

    rz

    zyy

    ry

    zxx

    rx

    )w,v,u(J 22 =θ+θ=θθθ−θ

    =

    ∂∂

    θ∂∂

    ∂∂

    ∂∂

    θ∂∂

    ∂∂

    ∂∂

    θ∂∂

    ∂∂

    =

    ∫∫∫∫∫∫ θθθ=DD

    dzddrr)z,sinr,cosr(fdzdydx)z,y,x(f

  • Koordinat Kartesius Koordinat Kartesius ��BolaBola

    x = ρ cos θ sin φy = ρ sin θ sin φz = ρ cos φMatriks Jacobiannya:

    ∂∂∂ xxx

    2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

    15

    φρφ

    θφρθφρθφθφρθφρθφ

    φθρ

    φθρ

    φθρsin

    10cos

    sincoscossinsinsin

    coscossinsincossin

    ),,( 2−=−

    =

    ∂∂

    ∂∂

    ∂∂

    ∂∂

    ∂∂

    ∂∂

    ∂∂

    ∂∂

    ∂∂

    =

    zzz

    yyy

    xxx

    wvuJ

    ∫∫∫∫∫∫ φθρφρφρθφρθφρ=D

    2

    D

    dddsin)cos,sinsin,cossin(fdzdydx)z,y,x(f

  • Contoh (Tabung)Contoh (Tabung)

    1. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh paraboloidz = x2 + y2 dan z = 4.

    Z

    z = 4

    Jawab.

    Daerah S dalam Koordinat Cartesius adalah:

    S={(x,y,z)|-2 ≤ x ≤ 2, ≤y≤ , 24 x−24 x−−

    2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

    16

    x

    y S={(x,y,z)|-2 ≤ x ≤ 2, ≤y≤ , x2 + y2 ≤ z ≤ 4}

    24 x−24 x−−

    Dalam koordinat tabung:

    S={(r,θ,z)|0 ≤ r ≤ 2, 0≤ θ ≤ 2π , r2 ≤ z ≤ 4}

    Sehingga, volume benda pejalnya adalah

    ∫ ∫ ∫=2

    0

    2

    0

    4

    2

    π

    θr

    drddzr∫∫∫=S

    dVV 1

    Sxy

  • Contoh (Lanjutan)Contoh (Lanjutan)

    ∫ ∫ ∫=2

    0

    2

    0

    4

    2

    π

    θr

    drddzrV

    ∫ ∫=2

    0

    2

    0

    4

    2

    π

    θ drdzrr

    ( )∫ −=2

    2

    0

    24 drrrπθ

    2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

    17

    ( )∫0

    0

    0

    242

    4

    122

    −= rrπ π8=

    Jadi volume benda pejalnya adalah 8π

  • Contoh (bola)Contoh (bola)

    2. Hitung volume bola pejal x2 + y2 + z2 = 4 di oktan I

    z

    2

    2

    ρρρρ

    224 yxz −−= D dalam koordinat:

    a. Cartesius:

    D={(x,y,z)| 0≤x≤2, 0≤y≤ , 24 x−

    Jawab.

    2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

    18

    x

    yθθθθ2

    2ρρρρ

    0D={(x,y,z)| 0≤x≤2, 0≤y≤ ,

    0≤z≤ }

    24 x−

    b. Bola:

    D={(x,y,z)| 0≤ρ≤2, 0≤φ≤ π/2, 0≤θ ≤ π/2}

    224 yx −−

    Sehingga, volume benda pejalnya adalah

    ∫ ∫ ∫=2/

    0

    2/

    0

    2

    0

    2 sinπ π

    θφρφρ ddd∫∫∫=S

    dVV 1

  • Contoh (Lanjutan)Contoh (Lanjutan)

    ∫ ∫ ∫=2/

    0

    2/

    0

    2

    0

    2 sinπ π

    θφρφρ dddV

    ∫ ∫

    =2/

    0

    2/

    0

    2

    0

    3

    3

    1sin

    π π

    θρφ drd

    ( )∫ −=2/ 2/

    cos3

    8π π

    θφ d

    2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

    19

    ( )∫ −=0 0

    cos3

    θφ d

    ( ) 2/03

    8 πθ= π3

    4=

    Jadi volume benda pejalnya adalah 4π/3

  • ContohContoh

    ∫∫∫D

    2 dVx1. Hitung , dengan D benda pejal yang dibatasi

    z =9 – x2 – y2 dan bidang xy.

    2. Hitung volume benda pejal yang di oktan I yang dibatasi

    bola x2 + y2+ z2 = 1 dan x2 + y2+ z2 =4.

    3. Hitung volume benda pejal yang di batasi di atas oleh

    2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

    20

    3. Hitung volume benda pejal yang di batasi di atas oleh

    bola r2+ z2 = 5 dan di bawah r2 =4z.

    4. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh paraboloid

    z = x2 + y2 dan bidang z =4.

    5. Hitung volume benda pejal yang di batasi oleh bola

    x2+ y2+ z2 = 9, di bawah oleh bidang z = 0 dan secaramenyamping oleh tabung x2+y2=4.

  • LatihanLatihan

    6. Hitung volume benda pejal yang di dalam bola

    x2+ y2+ z2 = 9, di luar kerucut 22 yxz +=

    dan di atas bidang xy.

    ( )∫ ∫ ∫− −−

    ++3 9 9

    2/3222

    2 22x yx

    dxdzdyzyx7. Hitung

    2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

    21

    ∫ ∫ ∫− −− −−−3 9 92 22x yx

    ∫ ∫ ∫−

    +3

    0

    9

    0

    2

    0

    22

    2x

    dxdydzyx8. Hitung

    ∫ ∫ ∫− −−

    −−2

    0

    4

    0

    4

    0

    22

    2 22

    4x yx

    dxdzdyyxz9. Hitung