FISIKA MATEMATIKA

INTEGRAL RANGKAP

DISUSUN OLEH:

1. NOVITA WIDIYASTUTI

1101135015

2. NOVITA YUSNIAWATI

110113506

3. TITAH ESTUNING AYU

1101135

4. WULAN SARI RAHAYU

1101135

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN FISIKA

FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU

PENGETAHUA ALAM

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF.DR.HAMKA

2013

A. INTEGRAL RNGKAP 2

1. Integral Lipat Dua Atas Daerah Persegi Panjang

Konsep integral tentu untuk fungsi satu peubah dapat kita perluas untuk

fungsi banyak peubah. Integral untuk fungsi banyak peubah dinamakan integral

lipat atau integral rangkap. Pada integral lipat satu, fungsi yang dipakai dibatasi,

yaitu fungsi tersebut dibatasi pada selang tertutup di R1. Untuk integral lipat dua

dari fungsi dua peubah , pembatasannya adalah fungsi tersebut terdefinisi pada

suatu daerah tertutup di R2. Berikut akan kita bahas tentang integral lipat dua juga

integral lipat tiga.

Gambar 1.1

Tetapkan R berupa suatu persegi panjang dengan sisi-sisi sejajar sumbu-

sumbu koordinat, yakni misal : R : {(x,y) : }. Bentuk suatu

x

b

adc

kR),( kk yx

z

y

partisi dengan cara membuat garis-garis sejajar sumbu x dan y. Ini membagi R

menjadi beberapa persegi panjang kecil yang jumlahnya n buah, yang ditunjukkan

dengan k = 1,2,...n. Tetapkan dan adalah panjang sisi-sisi dan =

. adalah luas. Pada ambil sebuah titik misal dan bentuk

penjumlahan Riemann .

Definisi :

Integral lipat dua

Andai suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang

tertutup R, jika :

ada . maka f dapat diintegralkan pada R, lebih lanjut

, yang disebut integral lipat dua dan pada R diberikan oleh

=

Sifat-sifat Integral Lipat Dua :

1. Jika f(x,y) dan g(x,y) masing-masing kontinu dalam daerah R maka:

2.

3. Sifat pembanding berlaku jika f(x,y) g(x,y) untuk semua (x,y) di R, maka :

Perhitungan Integral Lipat dua

Jika f(x,y) =1 pada R, maka integral lipat dua merupakan luas R, maka integral

lipat dua merupakan luas R.

=

= k.A(R)

Contoh Soal

1. Andai f sebuah fungsi tangga yakni :

f(x,y) =

hitung dengan R = {

jawab :

misal persegi panjang R1, R2, R3

R1 = {

R2 = {

R3 = { , lalu gunakan sifat penjumlahan di integral lipat

dua, sehingga :

+ +

= 1.A(R1) + 2. A(R2) + 3.A(R3)

= 1.3 + 2.3 + 3.3

= 18

2. Hampiri dengan ,

R = { . Kerjakan dengan menghitung penjumlahan

Riemann!

Jawab :

Penjumlahan Riemann yang diperoleh dengan membagi atas 8 bujur sangkar yang

sama dengan tiap-tiap pusat bujur sangkar sebagi titik. Titik-titik contoh yang

diperlukan dan nilai-nilai yang berpadanan dari fungsi itu adalah :

= (1,1), f =

= (1,3), f =

= (1,5), f =

= (1,7), f =

= (3,1), f =

= (3,3), f =

= (3,5), f =

= (3,7), f =

Jadi karena = 4, = = 2.2 = 4

4

8

(4,8)

(0,8,8)

(4,8,6)

(4,0,2)

(0,0,4)

x

y

z

≈

=

=

= 138

Integral Lipat

Jika pada R sehingga dapat kita tafsirkan integral lipat dua sebagai volume dari benda pejal dibawah permukaan gambar 1

V = , R = { .

Gambar 1.2

Iris : Iris benda pejal itu menjadi kepingan-kepingan sejajar terhadap bidang xz (gb. 2a)

b

a

a b

R

z

Gb. 1

LATIHAN SOAL 1

Irisan bidang y = k, kepingan volume yang berpadanan ≈ A(y)

Volume dari kepingan secara aproksimasi diberikan oleh ≈ A(y) ,

diintegralkan ,

V = , untuk y tetap kita hitung A(y) dengan integral tunggal biasa :

A(y) = , sehingga : V = …….. (2)

Dari (1) dan (2) :

= begitu juga =

LA(y)

x

y

y Gb. 1.3

Gb. 2b

Permasalahan :

Hitung :

Jawab :

a.

Perhitungan Volume

Contoh soal :

Hitung volume V dari benda pejal diatas yang dibatasi oleh z = 4 – x2 –y dan

dibawah persegi panjang R = {

Jawab :

Jawab :

V =

= =

= =

= satuan volume

1.. Hitung :

12

(1,2)

(0,0,4)

(1,0,3)(1,2,1)

(0,2,2)

y

z

x

a.

b.

2. Integral Lipat Dua Atas Daearah Bukan Persegi Panjang

Gambar 2.1

Himpunan S terrtutup dan terbatas di bidang (Gb.1) keliling S oleh suatu

persegi panjang R dan sisinya sejajar sumbu-sumbu koordinat (Gb.2). andai f(x,y)

terdefinisi pada S dan didefinisikan f(x,y)=0 pada bagian R diluar S (Gb.3), f

dapat diintegralkan pada S jika dapat diintegralkan pada R.

=

Perhitungan Integral Lipat Dua Atas Himpunan-himpunan Umum

Suatu himpunan S adalah y sederhana (gb.4) jika terdapat fungsi-fungsi

kontinu dan pada [a,b] sedemikian sehingga :

Gb.1Gb.2

Gb.3

S S

f(x,y)=0

z = f(x,y)

S

Gb.2.2 Gb. 2.3 Sebuah himpunan y sederhana sebuah himpunan x sederhana

Bukan himpunan x sederhana

Atau y sederhana

ba

S

c

d

x= x=

x

y y=(x)

y= (x)x

y

00

S

S

y= (x)

y= (x)

x

y

0

S

R

xa b

Gb.2.4

Suatu himpunan S adalah y sederhana (gb.4) jika terdapat fungsi-fungsi

kontinu dan pada [a,b] sedemikian sehingga :

. Sedangkan suatu himpunan S adalah x

sederhana (gb.5) jika terdapat fungsi-fungsi kontinu dan pada [c,d]

sedemikian sehingga : . Jika kita ingin

menghintung integral lipat dua dari suatu fungsi f(x,y) atau suatu himpunan S

yang y sederhana. Kita lingkungi S di dalam suatu persegi panjang R (gb.6) dan

membuat f(x,y)=0 di luar S, maka :

= =

= , secara ringkas

=

Dalam integral sebelah dalam, x dipertahankan tetap. Pengintegralan itu

adalah sepanjang garis tebal dari gambar 6. pengintegralan menghasilkan luas

A(x) dari gambar tersebut, akhirnya A(x) diintegralkan mulai dari a sampai b. Jika

himpunan S adalah x sederhana, maka

=

Kerjakan soal berikut!

1. Hitung :

a.

Jawab :

a.

a

b

A(x)

z=f(x,y)

Gb.2.5

y= (x) y= (x)x

z

y

LATIHAN 3

3. Integral Lipat Dua Dalam Koordinat Kutub

Jika z = f(x,y) menentukan suatu permukaan atas R dan andaikan f adalah

kontinu dan tak negatif, maka volume V dari benda pejal dibawah permukaan ini

dan diatas R adalah

V = ...... (1)

Dalam koordinat kutub, suatu persegi panjang kutub R berbentuk : R = {

Dengan dan . Persamaan permukaan diatas dapat ditulis sebagai

z = f(x,y) =

R

z=f(x,y)=F(r, )

x

y

z

r=a

r=b

R

Rk

Rk

R

k

Partisi R dalam persegi panjang kutub yang

lebih kecil R1, R2

, …. Rn. dengan menggunakan suatu kisi kutub

pada gambar diatas luas A(Rk) dapat ditulis :

dengan adalah radius

rata-rata Rk. Jadi V

Gb.2.6

Gb.2.7

Sehingga :

V = ........ (2)

Dari (1) dan (2) :

=

Jika pada integral lipat dua diatas daerah bidang yang telah kita pelajari

yang lalu kita mengenal istilah himpunan x sederhana dan himpunan y sederhana,

pada pengintegralan kutub ini, kita mengenal istilah istilah himpunan r sederhana

dan himpunan sederhana. Himpunan r sederhana berbentuk

dan disebut sederhana jika berbentuk :

Gb.2.8

S

r=

r=

S

=

=

r=a r=b

1. Penerapan Integral 2

Penerapan integral dua selain untuk mencari volume benda pejal, penerapan

lain yaitu mencari massa, pusat massa dan momen inersia.

a. Massa

Andai suatu lamina mencakup daerah s di bidang xy dan jika kerapatan

(massa/ satuan luas) di (x,y) dinyatakan oleh . Partisikan s dalam

persegi panjang kecil Ambil titik ( pada . Massa

secara hampiran dan massa total lamina secara hampiran

Gb.2.9Himpunan r sederhana

Gb.2.10Himpunan sederhana

Massa (m) diperoleh dengan mengambil limit rumus diatas untuk norma

partisi mendekati nol, sehingga :

Limit jumlah tersebut membentuk integral rangkap 2:

b. Pusat Massa

Jika adalah kumpulan titik massa yang masing-masing

ditempatkan di ( ,( ,.......,( pada bidang maka momen

total terhadap sumbu y dan sumbu x. , .

Koordinat ( dari pusat massa:

Koordinat ( dari pusat massa.

dan

Pusat massa diatas jika lamina tersebut tak homogen (kerapatan tak sama),

tapi jika kerapatannya sama (homogen), maka pusat massa menjadi:

dan

c. Momen Inersia

Definisi:

Momen inersia dari suatu partikel adalah hasil kali massa dan kuadrat

jarak terpendek dari partikel terhadap sumbu. Jika m adalah massa dan r

adalah jarak, sehingga :

Suatu lamina tak homogen dengan kerapatan yang mencakup suatu

daerah s dari bidang xy, lalu dipartisi seperti pada gambar 1, hampiri

momen inersia tiap keping , ambil limit dan dbawa ke rumus diatas,

sehingga momen inersia terhadap sumbu x, y dan z adalah , , dan

Latihan.

Sebuah lamina dengan kerpatan dibatas sumbu x, garis x =8 , kurva

. Tentukan :

a. Massa

b. Pusat massa

c. Momen inersia terhadap sumbu x, y dan z

Jawab :

a.

=

=

=

=

B. INTEGRAL RANGKAP 3

1. Integral Rangkap Tiga Pada Koordinat Kartesius

y

z

∆z

B

Perhatikan suatu fungsi f tiga peubah yang didefinisikan atas suatu daerah

berbentuk balok B dengan sisi-sisi sejajar sumbu-sumbu koordinat. Bentuk suatu

partisi P dari B dengan meletakkn bidang-bidang melalui B sejajar bidang

koordinat, jadi memotong B ke dalam balok-balok bagian, yaitu:

. Pada , ambil satu titik contoh dan dengan

penjumlahan Riemann diperoleh:

Dengan = adalah volum . Jika P adalah panjang diagonal terpanjang dari setiap balok bagian, maka kita definisikan integral lipat tiga sebagai berikut:

Jika limitnya ada, seperti halnya pada integral lipat dua. Pengertian integral lipat

tiga mempunyai urutan pengintegralan serupa seperti pada integral lipat dua.

Sehingga integral lipat di fungsi f(x,y,z) atas daerah B ditulis sebagai berikut:

, misalnya kita tuliskan , yang

mempunyai arti:

a. Pengintegralan pertama dilakukan terhadap x dengan menganggap y dan z

sebagai konstanta

x

∆y

∆xBkGb. 3.1

b. Pengintegralan pertama dilakukan terhadap y dengan menganggap z

sebagai konstanta

c. Terakhir, hasil dari b, diintegrasikan terhadap z.

Begitu juga jika pengintegralannya ditulis dalam bentuk yang lain ururtan

pengintegralannya menyesuaikan.

Sebagaimana pada integral lipat dua, jika f adalah fungsi pada daerah tertutup

maka untuk menghitung integral tentu digunakan integral berulang dua kali,

demikian pula untuk menghitung integral lipat tiga, digunakan tiga kali, asalkan f

kontinu. Sehingga bila B balok persegi panjang yang dibatasi. }

x

z

y

b

dc

a

e

f

Gb. 3.2

Bila }, maka untuk menghitung integral lipat tiga atas benda B adalah:

}

Merupakan bentuk perhitungan integral lipat tiga.

2. Perhitungan dan Penerapan Integral Rangkap 3

Andai f(x,y,z) terdefinisi pada S dan f(x,y,z) bernilai nol, bila diluar S. Andai S

himpunan z sederhana dan adalah proyeksi permukaan benda S pada bidang

xy, untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut:

y

z

Bila f kontinu dan terintegral pada benda pejal S, maka diperoleh:

Dimana adalah proyeksi permukaan benda S pada bidang xy. Selanjutnya

jika Sxy daerah pada bidang xy yang berbentuk y sederhana, seperti pada gambar

3.4 . yang dibatai oleh: , sehingga

dengan integral berulang diperoleh:

=

Dari rumus di atas perlu diperhatikan bahwa batasan integrasi harus sesuai dengan

urutan-urutan pengintegralannya.

Sxy

x

Sxy

y

x

Gb. 3.3

Gb. 3.4

Sxy

1. Hitung

Jawab :

LATIHAN 4

2. Hitung

Jawab :