Integral Lipat DuaIntegral Lipat Dua

04/26/2304/26/23 11Mat2-UnpadMat2-Unpad

Integral Lipat Dua

• Integral lipat dua pada persegi panjang• Integral lipat dua pada daerah sembarang• Perubahan urutan pengintegralan• Integral lipat dua dalam koordinat polar

04/26/23 2Mat2-Unpad

Integral Lipat Dua

1. Bentuk partisi [a,b] dan [c,d] menjadi n bagian.

2. Pilih pada setiap sub interval pada [xi, xi-1] dan [yi, yi-1] 1. Bentuk jumlah Riemann.

2. Jika n (|P| 0) diperoleh limit jumlah Riemann.

Jika limit ada, maka z = f(x,y) terintegralkan Riemann pada R, ditulis

04/26/23 3

Z=f(x,y)

x

y

z

b

a

R

c d

xkyk

)y,x( kk

1 1

( , )n n

k k ki i

f x y A

1 1

lim ( , )n n

k k kn i i

f x y A

Misalkan z = f(x,y) terdefinisi pada R merupakan suatu persegi panjang tertutup, yaitu : R = {(x, y) : a x b, c y d}

1 1

( , ) lim ( , )n n

k k kn i iR

f x y dA f x y A

)y,x( kk

Mat2-Unpad

Integral Lipat DuaDefinisi integral lipat dua : Misalkan f suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang tertutup R.

04/26/23 4

n

kkkk

PAyxf

10

),(limJika ada, kita katakan f dapat

diintegralkan pada R. Lebih lanjut ( , ) ( , )R R

f x y dA f x y dxdy

R

dAyxf ),(

n

kkkk

PAyxf

10

),(lim

yang disebut integral lipat dua f pada R diberikan

oleh :

( , )R

f x y dx dy 0 1

lim ( , )n

k k k kP k

f x y x y

atau

Mat2-Unpad

ANIMASI

Arti Geometri Integral Lipat Dua

04/26/23 5

Jika z = f(x,y) kontinu, f(x,y) 0 pada persegpanjang R,

maka ( , )R

f x y dA menyatakan volume benda padat yang

terletak di bawah permukaan permukaan z = f(x,y) dan

di atas R.

Mat2-Unpad

Menghitung Integral Lipat DuaJika f(x,y) 0 pada R, maka volume dapat dihitung dengan metode irisan sejajar, yaitu: (i) Sejajar bidang XOZ

04/26/23 6

y

x

z z= f(x,y)

ca

b

da b

z

x

A(y)

( ) ( , )b

a

A y f x y dx

A(y)

Mat2-Unpad

04/26/23 7

( , ) ( )d

R c

f x y dA A y dy

( , )d b

c a

f x y dx dy

( , )d b

c a

f x y dx dy

Maka

( , )R

f x y dA ( , )d b

c a

f x y dx dy

Mat2-Unpad

(ii) Sejajar bidang YOZ

04/26/23 8

y

x

z z= f(x,y)

ca

b

dc d

z

y

A(x)

( ) ( , )d

c

A x f x y dy

A(x)

Mat2-Unpad

04/26/23 9

( , ) ( )b

R a

f x y dA A x dx

( , )b d

a c

f x y dy dx

( , )b d

a c

f x y dy dx

Maka

( , )R

f x y dA ( , )b d

a c

f x y dy dx

Mat2-Unpad

Contoh

04/26/23 10

1. Hitung integral lipat dua berikut ini : 2 22

R

x y dAdimana R = {(x,y) | 0 x 6, 0 y

4}Jawab: 2 22

R

x y dA 6 4

2 2

0 0

2x y dy dx 6 4

2 3

00

23

x y y dx

6

2

0

12843

x dx

63

0

4 1283 3

x x 288 256 544

R

6

4

y

x

Mat2-Unpad

Contoh

04/26/23 11

2. Hitung integral lipat dua berikut ini : sin

R

x y dAdimana R = {(x,y) | 0 x /2, 0 y

/2}

R

/2

/2

y

x

Jawab: sin

R

x y dA / 2 / 2

0 0

sin x y dy dx

/ 2 / 2

00

cos( )x y dx

6

0

cos cos2

y y dx

/ 2

/ 2

00

sin sin2

y y

sin sin sin 22 2

Mat2-Unpad

Latihan

04/26/23 12

2 21 1

0 0

. x ya xy e dy dx

2 1

2

0 1

.b xy dy dx

1 2

20 0

.1

yc dy dxx

1. Hitung

2. ,R

f x y dx dy untuk

2 2. ( ) , [0,1] [0,1]a f x x y R

2. ( ) ( 2 ) , [ 1,2] [0,2]b f x x y R

Mat2-Unpad

Sifat Integral Lipat Dua

04/26/23 13

Misalkan f(x,y) dan g(x,y) terdefinisi di persegipanjang R

1. , ,R R

k f x y dA k f x y dA 2. , , , ,

R R R

f x y g x y dA f x y dA g x y dA 3. Jika

1 2

, , ,R R R

f x y dA f x y dA f x y dA 4. Jika f(x,y) g(x,y), maka

, ,R R

f x y dA g x y dA

1 2R R R maka

Mat2-Unpad

Integral Lipat Dua atas Daerah Sembarang

04/26/23 14

D

a b x

y

Definisikan

DRyxjikaDyxjikayxf

yxg),(,0

),(),,(),(

D R

dAyxgdAyxf ),(),(Maka

Mat2-Unpad

04/26/23 15

Ada dua jenis daerah

1. Jenis 1 ( x konstan )

)()(,|),( 21 xgyxgbxayxD

2. Daerah jenis 2 ( y konstan )

dycyhxyhyxD ,)()(,|),( 21

Mat2-Unpad

Jenis 1

Integral lipat dua pada daerah D dapat dihitung sebagai berikut :

04/26/23 16

D

a b x

q(x)

p(x)

y

b

a

xq

xpD

dxdyyxfdAyxf)(

)(

),(),(

x

y

)()(,|),( 21 xgyxgbxayxD

Mat2-Unpad

Jenis 2

Integral lipat dua pada daerah D dapat dihitung sebagai berikut :

04/26/23 17

( )

( )

( , ) ( , )s yd

D c r y

f x y dA f x y dx dy

x

y

D

c

d

r (y) s (y)x

dycyhxyhyxD ,)()(,|),( 21

Mat2-Unpad

Aturan Integrasi• Urutan pengintegralan dalam integral lipat dua

tergantung dari bentuk D (daerah integrasi). • Dalam perhitungannya, kadangkala kita perlu merubah

urutan pengintegralan. Hal ini dapat disebabkan dengan perubahan urutan pengintegralan akan memudahkan dalam proses integrasinya.

• Oleh karena itu, langkah pertama kita harus dapat menggambarkan daerah integrasidaerah integrasi, selanjutnya kita dapat merubah urutan integrasi dengan mengacu pada sketsa daerah integrasi yang sama.

04/26/23 18Mat2-Unpad

ANIMASI

Contoh

04/26/23 19

1. Hitung 2 x

R

y e dA ,R dibatasi x= y2, y =1, sumbu y

x R 2 x

R

y e dA 21

0 0

2y

xy e dx dy21

00

2yxy e dy

21

0

2 1yy e dy

2 12

01 1 2ye y e e

x

yx = y2

1

1

R = {(x,y)| 0 x y2, 0 y 1}

Mat2-Unpad

Contoh

04/26/23 20

Atau dibalik urutan pengintegralannya, yaitu:

R

2 x

R

y e dA 1 1

0

2 x

x

y e dy dx1

12

0

x

xe y dx

1

0

x xe xe dy

1

0

x x xe xe e

R = {(x,y)| 0 x 1, x y 1}

y x

yx = y2

1

1

2 (1 1) 2e e e Mat2-Unpad

04/26/23 21

2

2

4 2

0

2.x

ye dy dx

Daerah integrasinya Jawab:

x R

x

yy = x/2

4

2

y

Diubah urutan pengintegralannya, yaitu:x=2y

( , ) |0 4, 22xR x y x y

( , ) |0 2 ,0 2D x y x y y

Mat2-Unpad

04/26/23 22

2

2

4 2

0 x

ye dy dx2

22

0 0

yye dx dy

22

2

00

yye x dy2

2

0

2 yy e dy2 2

4

01ye e

Sehingga

Mat2-Unpad

Latihan

04/26/23 23

333

1

1.y

y

y

x e dx dy2

0 0

sin2. cos

xy x dy dx

21 1

0

3. y

x

e dy dx

34 1

0

4. x

y

e dx dy

2

0 0

cos5. sin

xy x dy dx

A

Mat2-Unpad

04/26/23 24

B

1.Hitung integral berikut

2. ( 2 ) ,S

a x y dA S daerah antara 2y x dan y x

. ,S

b xdA S daerah di kuadran I antara 3y x dan y x

2. Tulis integral lipat berikut dengan urutan berbeda

1

0 0

. ( , )x

a f x y dydx1

0

. ( , )y

y

b f x y dxdy

Mat2-Unpad

C. Dengan menggunakan integral lipat dua 1. Hitung Luas daerah yang dibatasi oleh parabola Y2 = 4 – X dan Y2 = 4 –

4X2. Hitung Luas daerah yang dibatasi oleh parabola Y = 2X – X2 dan Y =

3X2 – 6X3. Hitung Luas daerah yang dibatasi oleh X + Y = 2 , 2Y = X + 4 , Y = 04. Hitung Luas daerah yang dibatasi oleh X2 = 4Y , 8Y = X2 + 16

04/26/23 Mat2-Unpad 25