Integral Lipat Dua Dan Penggunaannya

5.1 Integral Lipat Dua5.1.1 Integral Lipat Dua Pada Bidang SegiempatPerhatikan Gambar 5.1. Proyeksi kurva permukaan z

f ( x, y) pada bidang xoy adalah daerah pengintegralan D. Jika daerah pengintegralannya berupa bidang segiempat dengan a x b dan c y d , secara umum ditulis: D {( x, y ) | a x b, c y d } .z y

z

f ( x, y)d D

c a b xD

d

c y a b x

Gambar 5.1

Pengintegralan f ( x, y ) terhadap daerah D sebagai integral berulang sebagai berikut:

{( x, y ) | a

x

b, c

y

d } dinyatakan

b d

f ( x, y)dAD a c

f ( x, y)dydx

Catatan: Ketika mengintegralkan terhadap x, anggap y konstanta. Demikian pula, ketika mengintegralkan terhadap y, anggap x konstanta.

CONTOH 1 Penyelesaian

HitungD

(2 x

y)dA dengan D {( x, y ) | 0

x

2, 0

y

1} .

Integralkan dulu bagian dalam terhadap y (anggap x konstanta), hasilnya kemudian integralkan terhadap x.2 1

(2 xD

y)dA0 0

(2 x2

y)dydx2

[2 xy0

1 2

y 2 ]1 dx 00

(2 x

1 2

)dx [ x 2

1 2

2 x]0

5

Aip Saripudin

Modul 5 Integral Lipat - 69

Seri Modul Kuliah EL-121 Matematika Teknik I

3 2

CONTOH 2 Penyelesaian3 2

Hitung0 1

(x2 y

xy 2 )dxdy .

3

(x y0 1

2

xy )dxdy03

2

[ 1 x3 y 3

1 2

2 x 2 y 2 ]1 dy

[7 y 30

3 2

y 2 ]dy [ 7 y 2 6

1 2

y 3 ]3 0

24

Interpretasi geometris integral lipat duaD

f ( x, y)dA adalah volume bangun di bawah

permukaan z

f ( x, y) yang berada di atas bidang D. Jika f ( x, y) 1 , integral tersebut

dA sama dengan luas bidang D.D

CONTOH 3

Tentukan volume bangun di bawah permukaan z di atas bidang D

{( x, y ) | 0

x 1, 0

4 x2 y 1} .

y 2 yang berada

Penyelesaian z 4 3 Bangun di bawah permukaan z atas bidang D

{( x, y ) | 0

4 x 2 y 2 yang berada di x 1, 0 y 1} adalah seperti1 1

pada Gambar 5.2 di samping. Volume bangun tersebut adalah

V2D1

(4 x 2

y 2 )dA0 0

(4 x 21

y 2 )dydx

[4 y0 1 x Gambar 5.2 1 y0

x2 y1 3

1 3

y 3 ]1 dx 0010 3

( 11 3

x 2 )dx

[ 11 x 3

x 3 ]1 0

5.1.2 Integral Lipat Dua Pada Bidang Bukan SegiempatDaerah pengintegralan dapat berupa bidang sebarang (bukan segiempat), seperti diilustrasikan pada Gambar 5.4. Untuk kasus seperti ini, kita dapat mengambil batas pada sumbu-x konstanta, sedangkan batas pada sumbu y sebagai fungsi dari x atau sebaliknya. Pada Gambar 5.4(a), daerah ( x)} . Sementara itu, pada pengintegralan adalah D {( x, y ) | a x b, ( x ) y Gambar 5.4(b), daerah pengintegralan adalah D

{( x, y ) | ( y )

x

( y ), c

y

d }.

Aip Saripudin



y

y

(x)D d

( y) ( y)D

(x)a b (a) x

c x (b) Gambar 5.4

Jika f ( x, y ) diintegralkan terhadap D integralnya ditulis sebagai

{( x, y ) | a

x

b,

( x)

y

( x)} ,

b

( x)

f ( x, y )dAD a

f ( x, y )dydx( x)

Di lain pihak, jika daerah pengintegralannya D

{( x, y ) | ( y )

x

( y ), c

y

d},

d

( y)

f ( x, y )dAD c

f ( x, y )dxdy( y)

2 2x

CONTOH 4 Penyelesaian2 2x

Hitung0 x2

xydydx .

2

2

xydydx0 x2 0

[ xy ] dx0

1 2

2 2x x2

(2 x 3

1 2

x 5 )dx [ 1 x 4 2

1 12

2 x 6 ]0

8 3

.


Tentukan luas daerah D yang dibatasi oleh y

2 x dan yy

x2 .

Dari skets daerah pengintegralan diperoleh 4

yD

2x2

Aip Saripudin

y x Modul 5 Integral Lipat - 71 x 0 2Gambar 5.3

D {(x, y) | 0

x

2, x 2

y

2x}

Dengan demikian, luas daerah D adalah2 2x 2

AD

dA0 x2

dydx0

(2 x

x 2 )dx

[x2

1 3

2 x 3 ]0

4 3


Tentukan volume tetrahedron yang dibatasi oleh bidang z bidang koordinat.

4 2x

y dan

Bangun tetrahedron yang dibatasi oleh bidang diperlihatkan pada Gambar 5.5. z 4

zy 4

4 2x

y dan bidang koordinat

yD 4 2 x y 0 2

4 2xx

D

{( x, y ) | 0

x

2, 0

y

4 2 x}

Gambar 5.5

Daerah pengintegralan (proyeksi bangun pada bidang xoy) berupa segitiga dan dapat dinyatakan oleh D {( x, y ) | 0 x 2, 0 y 4 2 x} . Dengan demikian, volume tetrahedron tersebut dapat ditentukan sebagai berikut.2 4 2x

VD2

(4 2 x

y)dA0 0

(4 2 x2

y)dydx

[4 y 2 xy0 2

1 2

y ]

2 4 2x 0

dx0

(4(4 2 x) 2 x(4 2 x)

1 2

(4 2 x) 2 )dx

(16 8 x 8 x 4 x 20

1 2

(16 16 x 4 x 2 ))dx

2

(8 8 x 2 x 2 )dx [8 x 4 x 20

2 3

2 x 3 ]0

16 3

Aip Saripudin


Mengubah Urutan Pengintegralan Kadang-kadang, mengintegralkan dalam urutan tertentu sulit dilakukan. Salah satu cara mengatasinya adalah dengan mengubah urutan pengintegralan dari bentuk dydx menjadi dxdy. Meskipun urutan pengintegralan ini berubah, daerah pengintegralannya tetap sehingga hasil akhirnya akan tetap sama. Mengubah urutan pengintegralan dapat dilakukan jika fungsi batas pengintegralan memiliki invers.

CONTOH 7

HitungD

x 2 ydA dengan D adalah daerah yang dibatasi oleh garis yx 2 . Hitung integral ini dengan dua cara (berbeda urutan).

2x

dan y Penyelesaian

Daerah pengintegralan D seperti diperlihatkan pada Gambar 5.6. Daerah D ini dapat dinyatakan dalam dua cara sebagai berikut. (1) (2)

y

D {(x, y) | 0

x

2, x 2

y

2x}

4

y

2x

x

y/2

D {(x, y) | 0

y

4, y / 2

x

y}0

D

y2

x2x

x

y

Untuk2

D {(x, y) | 02 2x 2

x

2, x2 1 2

2

y2 2x x2

2x}:2

Gambar 5.6

x ydAD 0 x2

x ydydx0

[ x y ] dx0

2

(2 x 4

1 2

2 x 6 )dx [ 5 x 5

1 14

2 x 7 ]0

128 35

Untuk2

D {(x, y) | 04 y 2

y

4, y / 24

xy y/2

y} :4

x ydAD

x ydxdy0 y/2 0

[ x y]

1 3

3

dx0

(1 y 2 3

5

1 24

2 y 4 )dx [ 21 y 2

7

1 120

4 y 5 ]0

128 35

Perhatikan bahwa hasil akhirnya sama. Jadi, mengubah urutan pengintegralan tidak akan mengubah hasil akhir hasil pengintegralan.

2 4


Hitung0 x2

x3 x4 y2

dydx .

Pengintegralan dengan urutan seperti di atas sulit dilakukan. Oleh karena itu, kita ubah urutan pengintegralannya. Dari batas-batas pengintegralan di atas diperoleh daerah pengintegralannya adalah

D {(x, y) | x 2

y

4, 0

x

2}. Daerah ini diperlihatkan pada Gambar 5.7.D {(x, y) | 0 x y, 0 x 4} . Dengan

Daerah ini juga dapat dinyatakan sebagai

demikian, menghitung integralnya sebagai berikut.

Aip Saripudin


2 4

x3 x4 y2

4

y

dydx0 0

x3 x4 y2

dxdy (*)

y

0 x2

y4 D

x2y 4

x

y

Untuk mengintegralkan bagian dalam (terhadap x), gunakan metode substitusi:

u

x4

y2

du 0

4 x 3 dx u y2 ,0 2 x

dengan batas-batas: x

x

y

u

2y 22 4 2y

Gambar 5.7

Dengan demikian, diperoleh4 y

x3 x4 y2

4 1 4

4

dxdy0 y2

u

1/ 2

dudy

1 2 0

[u 1 / 2 ]2 2y dy y

2

1 2 0

( 2 1) ydy

0 0

4 [ 1 ( 2 1) y 2 ]0 4

4( 2 1)

Jadi,2 4

x3 x4 y2

4

y

dydx0 0

x3 x4 y2

dxdy

4( 2 1) .

0 x2

SOAL-SOAL LATIHAN 5.11. Hitung integral berikut.2 3 2 4

(a)1 0

(x2

y )dxdy

(b)0 1

xy 2 dydx

2.

TentukanD

xydA jika:0, x 2 , dan yx2 .

(a) D adalah daerah yang dibatasi oleh garis x (b) D adalah daerah yang dibatasi oleh garis 3.

2x .

y

x dan y

Nyatakan luas daerah D berikut dalam bentuk integral lipat dua, kemudian hitung integralnya. (a)

D {(x, y) | 0

x

4, x

y

x}x 1, x 3 , dan yx 3.2

(b) D adalah daerah yang dibatasi oleh garis 4.

Tentukan volume benda padat yang dibatasi oleh permukaan 9 x bidang 9 x

4y2

36

0 dan

4 y 6z

0.y 2z 4 0 dengan bidang

5.

Tentukan volume bangun yang dibatasi oleh bidang 2 x koordinat.

Aip Saripudin



6.

Ubah urutan pengintegralan dari integral berikut.2 x 4 y/2

(a)0 1

f ( x, y )dydx

(b)0 0

f ( x, y )dxdy

7.

Skets daerah pengintegralan, ubah urutannya, kemudian hitung integralnya.1 y

(a)0 0

e x dxdy

2

(b)0

sin y dydx y x

5.2 Integral Lipat TigaIntegral lipat tiga merupakan perluasan dari integral lipat dua ke dimensi yang lebih tinggi. Sebagai ilustrasi, tinjau sebuah balok yang panjangnya p, lebarnya l, dan tingginya t, seperti pada Gambar 5.8(a). Dalam bentuk integral lipat dua, volume balok ditentukan dengan f ( x, y) t pada daerah D {( x, y, z ) | 0 x p, 0 y l} mengintegralkan z sebagai berikut.p l p p

VD

f ( x, y )dA0 0

tdydx0

[ty]l0 dx0

p ltdx [ltx]0

plt

z t dz dy l p x (a) Gambar 5.8 y a b x dx

z

zB

( x, y)

zy

( x, y)(x)y

y

(x)(b)

Sekarang, ambil segmen panjang pada x = dx, segmen panjang pada y = dy, dan segmen panjang pada z = dz. Segmen volume balok adalah dV dzdydx . Daerah penginteralannya adalah

B

{( x, y, z ) | 0

x

p, 0

yp l t

l, 0

z

t} . Volume total balok ditentukan denganp l p

integral lipat tiga sebagai berikut.

dVB 0 0 0

dzdydx0 0

tdydx0

ltdx

plt .

Hasilnya sama dengan cara menggunakan integral lipat dua.

Aip Saripudin


Secara umum, fungsi f ( x, y, z ) dapat diintegralkan pada daerah pengintegralannya. Daerah pengintegralan integral lipat tiga (lihat Gambar 5.8(b)) secara umum ditulis:

B

{( x, y, z ) | a

x

b,

( x)

y

( x),

( x, y )

z

( x, y )} .

Bentuk integral lipat tiga dalam ditulis sebagai

b

( x) ( x, y )

f ( x, y, z )dVB a

f ( x, y, z )dzdydx( x) ( x, y )

Interpretasi

geometri

dan

fisis

Secara

geometri,

dalam

kasus

f ( x, y, z) 1 , 0 pada

f ( x, y, z )dVB B

dV adalah volume benda B. Secara fisis, untuk f ( x, y, z )massa benda dengan f ( x, y, z )

B,B

f ( x, y, z )dV

massa jenis benda B di ( x, y, z ) .

1

xy

CONTOH 1 Penyelesaian1 xy

Hitung0 x 0

xyzdzdydx .

1

x

1 1 2 2 y 0 1 2

x

xyzdzdydx0 x 0 0 x1 1 8 0

[ xyz ] dydx1

xy 3 dydx0 x

[ xy ] x dx

4

x

1 8 0

( x3

x 5 )dx

1 8

[ 1 x4 4

1 6

x 6 ]1 0

1 96

.

CONTOH 2

TentukanB

x 2 yzdV dengan

B {(x, y, z) | 0Penyelesaian1 2 x xy

x 1, x 2

y

2x, 0

z

xy} .

1 2x

x 2 yzdVB 0 x2 0

x 2 yzdzdydx1 2x 1 2 0 x21 1 8 0

1 2 0 x2

xy [ x 2 yz 2 ]0 dydx

1

x 4 y 3 dydx

1 8 0

[ x 4 y 4 ]22x dx x1 16 8 9

(16 x8

x12 )dx

[ x9

1 13

x13 ]1 0

119 936

Aip Saripudin


CONTOH 3

Sebuah benda B dibatasi oleh silinder parabol z

2

1 2

x 2 dan bidang z

0,

yPenyelesaian

x , dan y

0 . Nyatakan volume benda dalam bentuk integral lipat tiga,

kemudian carilah nilainya.

Benda B yang dimaksud seperti ditunjukkan pada Gambar 5.9. Dari Gambar 5.9(b) jelas bahwa daerah pengintegralannya adalah Dengan demikian,2 x 21 2 x 2

B {(x, y, z) | 02 x

x

2, 02

y

x, 0

z

2

1 2

x 2 }.

VB

dV0 0 0

dzdydx0 0

(2

1 2

x )dydx0

2

(2 x

1 2

x 3 )dx [ x 2

1 8

2 x 4 ]0

2

z Bidang y = 0 Bidang y = x

Pemukaan

z

z

2

1 2

x22 Pemukaan

z

2

1 2

x2

y 2 x x (a)

0

y

y=x

(b)

Gambar 5.9

SOAL-SOAL LATIHAN 5.21. Hitung integral berikut.1 1 12 2 1 3y8 x y

(a)0 0 0

(x

2

y

2

z )dzdydx

2

(b)

dzdxdy0 0 x2 3 y 2

2.

HitungB

xdzdydx jika{( x, y, z ) | 0 x 1, 0 y 2 x, 0 z 2 x y}

(a) B

(b) B adalah daerah yang dibatasi oleh permukaan z

4

x2

y dan bidang x 1 ,

y

0 , y 1 x 2 , dan z

3.

Aip Saripudin



3. 4.

Benda B dibatasi oleh bidang y z 1 dan y x . Nyatakan volume benda B dalam bentuk integral berulang lipat tiga kemudian tentukan nilainya. Tentukan volume benda yang dibatasi oleh bidang koordinat dan bidang x y 2z 2 di oktan pertama.

2

z 1 dan

5.3 Transformasi Koordinat Pada Integral Lipat5.3.1 Transformasi Integral Lipat Dua pada Koordinat PolarKoordinat polar Tinjau Gambar 5.10. Titik (x, y) dalam koordinat bidang dapat dinyatakan dalam koordinat polar (r, ). Hubungan antara besaran dalam koordinat kutub dan koordinat polar sebagai berikut. y

xyr2

r cosr sinx2 y20 r x

P(x, y) y x

Gambar 5.10

Integral lipat dua dalam koordinat polar Tinjau Gambar 5.11. Pada Gambar 5.11(a), daerah , } . Pada Gambar 5.11(b), pengintegralan dinyatakan oleh D {( r , ) | a r segmen luas dA dapat dinyatakan oleh dA

rdrdb

maka

f (r , )dAD*

f (r , )rdrda

= r=b r=a D = rd dA

d dr

Sumbu polar (a) Gambar 5.11 (b)

Aip Saripudin



HitungD

r 2 sin dA dengan D adalah bidang setengah lingkaran berjari-jari 2.

Daerah pengintegralannya adalah D2

{( r , ) | 0

r

2, 0

} (Gambar 5.12) makay

r sin dAD 0 0

2

r 2 sin2

rdrd

r 3 sin drd0 0

r = 2 0 Gambar 5.12 =0 x 2

1 4 0

[r ] sin d

4 2 0

8 sin d0

8[ cos ]0

16

Transformasi Integral Lipat Dua pada Koordinat Polar Hubungan antara integral lipat dua dalam koordinat bidang dan koordinat polar sebagai berikut.

f ( x, y)dAD D*

f (r , )rdrd .

dengan

D*

{(r, ) |

, g1 ( )2

r

g 2 ( )}.


HitungS

ex

y2

dA dengan S adalah bidang lingkaran x 2

y2

4.

y 4 adalah lingkaran berpusat di Persamaan x (0, 0) dan berjari-jari 2. Dengan demikian, daerah pengintegralanya dapat dinyatakan oleh S {( x, y ) | x y 4} seperti diperlihatkan pada Gambar 5.13. Dalam bentuk polar, daerah ini dinyatakanoleh2 2

2

2

y 2 r 2 0 2 =0 = 2

S

*

{(r, ) | 0 r2

2, 0x2

2 } . Dengany 2 , maka

x

transformasi koordinat, r

2 2

eS

x2 y 2

dAS*

e dA0 02 1 2 0 2 [e r ]0 d2

r2

e rdrdGambar 5.132 1 2

r2

(e 4 1) d0

(e 4 1)

Aip Saripudin



1

1 x2


Hitung0 0

1 1 x2 y2

d ydx .

Daerah pengintegralan dari integral di atas adalah D

{( x, y) | 0

x 1, 0

y

1 x 2 }.

Daerah ini diperlihatkan pada Gambar 5.14. Dengan memperhatikan Gambar 5.14, daerah D dapat dinyatakan dalam bentuk polar sebagai berikut. y = /2 1

y x2

1 x2 y2 1

y2 r2

1 x2 1

yr

1 x

2

sehingga diperoleh

D*=0 1 Gambar 5.14 0 x

{(r, ) | 0 r 1, 0

/ 2}

Dengan transformasi koordinat ke koordinat polar,

1 x2

y2

1 r2rdrd

dA dydxmaka1 1 x2

1 1 x2 y2

/2 1

d ydx0 0

1 1 r2

/2

rdrd0

1 r2 0d0

1

/2

d

0

0

2

.

1

1 y2


Hitung0 y

sin( x 2

y 2 )dxdy .

Daerah pengintegralan di atas adalah D

{(x, y) | 0

y 1, y

x

1 y 2 } . Daerah ini

diperlihatkan pada Gambar 5.15. Dengan memperhatikan Gambar 5.15, daerah D dapat dinyatakan dalam bentuk polar sebagai berikut. y 1 2 = /2 1 = /4 x 0 1 Gambar 5.15 sehingga diperoleh4 2

x

1 y2

Titik potong kedua kurva: x1

x2

y

1 y2 11

y21 2

1 y2 21 2 1 2

x

y

2y2

y

x

maka tan

y x

2 2

12 1 0

1

4

Untuk y = 1, x = 0 maka tan . Selanjutnya,

2

2

Aip Saripudin


xsehingga diperoleh

1 y2

x2

1 y2

x2

y2

1

r2

1

D*

{(r, ) | 0 r 1, 0y2 ) sin r 2

/ 2}.

Dengan transformasi koordinat ke koordinat polar,

sin( x 2

dA dxdymaka1 1 y2

rdrd

/2 1

/2

sin( x 20 y

y 2 )dxdy/4 0

(sin r 2 )rdrd/2 1 2

1 2

[ cos r 2 ]1 d . 0/4

(1 cos1) d/4

4

(1 cos1)

5.3.2 Mengganti Peubah Integral: Transformasi JacobiMisalnya daerah S dalam bidang uv ditransformasikan satu ke satu pada daerah D dalam bidang xy dengan persamaan berbentuk:

x

g (u, v), y

h(u, v) ,

seperti diilustrasikan pada Gambar 5.16. Sebuah fungsi f ( x, y ) yang didefinisikan pada D dapat dipandang sebagai fungsi f ( g (u, v), h(u, v)) yang didefinisikan pada G. Jika g, h, dan f memiliki turunan parsial kontinu,

f ( x, y)dxdyD S

f ( g (u, v), h(u, v)) | J (u, v) | dudv

u x = g(u, v) y = h(u, v)

y

(u, v)

(x, y)

v Koordinat bidang-uv Gambar 5.16 Koordinat bidang-xy

x

dengan J (u , v) adalah determinan Jacobi yang didefinisikan sebagai berikut.

Aip Saripudin


J (u, v)

( x, y ) (u, v)

x u y u

x v y v

x y u v

y x u v

CONTOH 1

HitungD

(2 x 2

xy

y 2 )dA dengan D adalah daerah yang dibatasi oleh2x 7 , y x 2 , dan y x 1.

garis y Penyelesaian

2x 4 , y

Daerah pengintegralan D dalam koordinat bidang-xy diperlihatkan pada Gambar 5.17. Untuk mentranformasikan ke koordinat kurvilinear, kita tentukan dahulu daerah S pada bidang-uv yang terkait dan determinan Jacobi. Untuk itu, pilih u 2 x y dan v x y . Selanjutnya, nyatakan x dan y dalam u dan v dengan memecahkan sistem persamaan di atas sebagai berikut.

u v udiperoleh

2x y x y v 3x

u 2x y 2v 2 x 2 y u 2v 3 y

x

1 (u v) dan y 3

1 (u 2v) 3

Turunan parsial pertama x dan y masing-masing adalah

x umaka

1 ; 3( x, y ) (u , v)

x v

1 ; 3x y u v

y u

1 ; 31 3

y v2 3

2 31 1 3 3 1 3

y x u v

Batas-batas daerah S sebagai berikut.

y y

2x

4

2x 2x

y y

4 7

u u

4 7

2x 7

yy

x 2x 1

xx

yy u

21 7,

vv

21 2} (Gambar 5.17).

sehingga diperoleh S

{( u , v) | 4

1 v

Aip Saripudin


y 7 4

u

y

2x 7

v = 1

v=2 u=7 S u=4

yy

x 1x 2x

1

D 2 7/2

v

y

2x 4Gambar 5.17

Selanjutnya, integrannya ditransformasikan menjadi sebagai berikut.

2x2

xy

y2

(2 x

y )( x

y)

uv

Dengan demikian,

(2 x 2D

xy

y 2 )dAS

uv | J (u, v) | dudv2 7

uv(14 2

1 3

)dudv

1 1 2 7 [ 2 u v]4 dv 3 1 11 1 2 2 [2 v ] 1 2 33 41 , xy4, y 2 x , dan

2

1 33vdv 6 1CONTOH 2

Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh xy

xPenyelesaian

2y .

Daerah yang dimaksud pada soal diperlihatkan pada Gambar 5.18. Daerah S yang berkaitan dengan daerah D dapat ditentukan sebagai berikut. y u

y

2x

v

1 2

v

2 u 4

xD

2y4x 0

S

xy xy 1

u 1v

0

Gambar 5.18

Aip Saripudin


Pilih u xy dan v y / x . Kita juga dapat menentukan determinan Jacobi dengan terlebih dahulu menentukan turunan parsial u dan v masing-masing terhadap x dan y sebagai berikut.

u x

y;

u y

x;

v xv u x y( x, y ) (u, v)

y ; x2y 1 x

v y

1 xy x x21 2v

(u , v) ( x, y )maka

u v x y

2

y x

2v

J (u, v)

1 (u, v) ( x, y )

Persamaan garis pada bidang-uv yang berkaitan dengan garis pada bidang-xy sebagai berikut.

xy 1xyy x

u 1uy x y x

42x 2y

42 1 2 v v 2 1 2

Keempat garis tersebut pada bidang-uv diperlihatkan pada Gambar 5.18. Dari gambar jelas bahwa daerah S yang bersesuaian dengan daerah D adalah S {( u , v) | 1 u 4, 1 v 2} . 2 Dengan demikian, luas daerah D adalah2 4 2

dxdyD S

| J (u, v) | dudv1/ 2 1

1 dudv 2v

3 dv 2v 1/ 2

3 2 [ln v]1/ 2 2

3 ln 4 . 2

5.3.3 Transformasi Integral Lipat Tiga pada Koordinat TabungKoordinat Tabung Hubungan antara koordinat bidang (x, y, z) dan koordinat tabung (r, , z) sebagai berikut (Gambar 5.18). z z P(r, , z) = P(x, y, z) r x y y

xyz

r cosr sinz

x2

y2

r2

x Gambar 5.18

Aip Saripudin


Transformasi Integral Lipat Tiga pada Koordinat Tabung Tinjau benda pejal B pada Gambar 5.19. Pada Gambar 5.19(a), proyeksi B pada bidang-xy adalah daerah D yang dapat dinyatakan r r2 ( )} . Pada sumbu-z, benda B dibatasi oleh oleh D {( r , ) | 1 2, r ( ) 1

z

z1 (r , ) dan zB

z2 (r , ) . Dengan demikian, benda pejal B dapat dinyatakan oleh1 2

{( r , , z ) |

, r1 ( )

r

r2 ( ), z1 (r , )z dr

z

z 2 (r , )} .

z

z2(r,)

B z1(r,) y 2 x 1 r1() (a) Gambar 5.19 D r2() xd

dz

y rd

(b)

Gambar 5.19(b) memperlihatkan elemen volume dV. Elemen volume ini dapat dinyatakan oleh

dV

rdzdrd

Dengan menggunakan transformasi koordinat: (x, y, z) (r, , z), diperoleh hubungan antara integral lipat tiga pada koordinat bidang dan koordinat tabung sebagai berikut.

2 r2 (

) z2 ( r , )

f ( x, y, z )dVB1 r ( 1

F (r , , z )rdzdrd) z1 ( r , )

CONTOH 1

Benda B dibatasi oleh tabung x

2

y2

4 , bidang xoy, dan bidang

yPenyelesaian

2z

2 . Tentukan volume benda B.

Benda B seperti diperlihatkan pada Gambar 5.20(a). Daerah pengintegralan dalam koordinat tabung ditentukan sebagai berikut. Proyeksi benda B pada bidang xoy adalah daerah D yang diperlihatkan pada Gambar 5.20(b). Jika ditransformasikan ke koordinat tabung, diperoleh

x2

y2

4 r2

4r

22 , 0 r 2} .

Dengan demikian, daerah D dapat dinyatakan oleh D

{( r , ) | 0

Aip Saripudin


z

y

z

1

1 2

y

x2

y2x

4

y x

2

2

D(a)

{( r , ) | 0(b)

2 , 0

r

2}

Gambar 5.20

Batas-batas pada sumbu z adalah bidang xoy (z = 0) dan bidang y tabung,

2z

2 . Dalam koordinat

y 2z

2 r sin

2z

2 z 1

1 2

r sin1 2

sehinga diperoleh batas-batas pada sumbu z adalah 0 keseluruhan daerah pengintegralannya adalah

z 1z 1

r sin . Jadi, secara

B

{( r , , z ) | 0

2 , 0

r

2, 0

1 2

r sin }

Selanjutnya, volume benda B ditentukan sebagai berikut.2 211 r sin 2

2 2

VB

dV0 0 0

rdzdrd0 0

[rz ]02

1

1 r sin 2

drd

2 2

(r0 02

1 2

r sin )drd0

2

[1 r2 22 cos ]0

1 6

2 r 3 sin ]0 d

(20

8 6

sin )d

[2

8 6

4

CONTOH 2

HitungB

(x2

y 2 )dV jika B dibatasi oleh permukaan z

4

x2

y2

dan bidang Penyelesaian

z

0.

Benda B diperlihatkan pada Gambar 5.21. Proyeksi benda B pada bidang xoy berupa lingkaran berpusat di (0, 0) dan berjari-jari 2. Daerah ini dapat dinyatakan oleh

DDalam koordinat tabung,

{( r , ) | 0

2 , 0

r

2} .

Aip Saripudin


x2z

y24 x2

r 2 ; dVy2

rdzdrd

4 r2

Maka batas-batas dalam sumbu-z adalah 0 dinyatakan oleh

z

4 r 2 . Dengan demikian, benda B dapat

B {(r, , z) | 0z

2 , 0 r

2, 0

zy

4 r 2} .

B 2 2 x Gambar 5.21 D 2 y D 2 x

Dengan demikian,2 2 4 r2 2 2 4 [r 3 z ]0 0 02

(xB

2

y )dV0 02 2

2

r 2 rdzdrd0

r2

drd16 d 3 02

( 4r 30 0

r 5 )drd0

[r 4

1 6

2 r 6 ]0 d

32 3

5.3.4 Transformasi Integral Lipat Tiga pada Koordinat BolaTitik-titik pada koordinat bola dinyatakan oleh (r, , ) dan hubungannya dengan koordinat bidang (x, y, z) seperti diperlihatkan pada Gambar 5.22. Dalam hal ini, z

P(r, , )

x

r sin cos ;

y

r sin sin x

r y

zr2

r cos ;x2 y2 z2

0

Gambar 5.22

Aip Saripudin


Elemen volume dV dalam koordinat bola diperlihatkan pada Gambar 5.23. Besarnya adalah

dV

r 2 sin drd d

Hubungan antara integral lipat tiga dalam koordinat bidang dan koordinat bola dinyatakan oleh

2

2(

f ( x, y, z )dVB1 1(

) r2 ( , ) 2 ) r1 ( , )

r sin drd d

z

dr d r d d x y rd

r sin d

r sin dGambar 5.23


Buktikan bahwa volume bola berjari-jari R adalah

4 3 R . 3, 0z

Daerah pengintegralan bola adalah B (Gambar 5.24). Volume bola adalah2 R

{( r , , ) | 0

2 , 0

r

R}

VB 2

dV0 0 0

r 2 sin drd d2

B1 3

R [ 1 r 3 sin ]0 d d 3 0 0 0 0

R 3 sin d dR y

1 3 0

2 R 3 sin [ ]0 d

2 R 3 sin d 3 04 3 R 3

R x

2 R 3 [ cos ]0 3

Gambar 5.24

Aip Saripudin


3

9 x2

9 x2 z 2


Hitung3 9 x2 9 x2 z 2

(x2

y2

z 2 ) 2 dydzdx .

3

Kita selesaikan integral di atas dengan mengubahnya ke koordinat bola. Daerah pengintegralannya adalah

B {(x, y, z ) | 3

x

3,

9 x2

z

9 x2 ,

9 x2

z2

yz 3

9 x2

z2 }

Daerah ini diperlihatkan pada Gambar 5.25. Dalam koordinat bola, daerah pengintegralannya dapat dinyatakan oleh

B*

{(r, , ) | 0 r3 2

3, 03 2

, 0

2 }B y 3 x

Integran dan elemen volumenya

(x

2

y

2

z )

2

(r )

2

r

3

dV

r 2 sin drd d

Dengan demikian diperoleh3 9 x2 9 x2 z 2

Gambar 5.253 2

2 3

(x3 9 x2 9 x2 z 2

2

y

2

z ) dydzdx0 0 02

2

r 5 sin drd d2

[ 1 r 6 sin ]3 d d 0 60 0 0 0

243 2

sin d d

243 2 sin [ ]0 d 2 0 243 [ cos ]0

243 2 sin d 2 0 486

SOAL-SOAL LATIHAN 5.31. Hitung integral berikut./ 2 sin 1 cos

(a)0 0

rdrd

(b)0 0

r sin drd

2.

Hitung integral berikut dengan cara mentransformasikannya terlebih dahulu ke koordinat polar.1 1 x22 4 y2

(a)0 x

(x

2

y )dydx

2

(b)0 0

e

( x2 y 2 )

dxdy

Aip Saripudin


3.

Gunakan koordinat polar untuk menentukan volume benda padat di oktan pertama yang berada di dalam paraboloida z

x2

y 2 dan di dalam silinder x 24y 2

y21

9.

4.

Gunakan transformasi Jacobi untuk menentukan integral berikut:0y 2

2x 2

y

dxdy1,

5.

Jika D adalah daerah di kuadran pertama bidang-xy yang dibatasi oleh hiperbola xy

xy 9 , dan garis y x , y 4 x . Gunakan transformasi x u 0 dan v 0 untuk mengubah integral:y x D

u / v dan y uv dengan

xy dxdy

sebagai integral di atas daerah S pada bidang-uv, kemudian tentukan hasilnya.3 9 x2 2

6.

Hitung0 0 0

x2

y 2 dzdydx . (Petunjuk: Gunakan koordinat tabung!)4 x2 y 2 , bidang

7.

Tentukan volume benda padat yang dibatasi oleh paraboloid z

z8.

0 . (Petunjuk: Gunakan koordinat tabung!)2

Tentukan volume volume benda padat di dalam bola x

y2

z2

16 , di luar kerucut

z

x2

y 2 , dan di atas bidang xoy. (Petunjuk: Gunakan koordinat bola!)

5.4 Penggunaan Integral Lipat

Aip Saripudin


Integral Lipat Dua Dan Penggunaannya

Documents

Transcript of Integral Lipat Dua Dan Penggunaannya