repository.usd.ac.idrepository.usd.ac.id/27010/2/043114002_Full.pdf · 2018-05-28 · integral...

89

Transcript of repository.usd.ac.idrepository.usd.ac.id/27010/2/043114002_Full.pdf · 2018-05-28 · integral...

1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Dalam mempelajari kalkulus peubah banyak, seringkali kita jumpai

berbagai masalah dalam pengintegralan. Masalah sederhana yang sering muncul

dalam pengintegralan adalah tentang bagaimana menghitung suatu integral yang

daerah pengintegralannya sulit untuk diintegralkan. Misalnya, pada perhitungan

integral lipat dua dari fungsi dua variabel atau pada integral lipat tiga dari fungsi

tiga variabel seringkali kita jumpai beberapa kesulitan perhitungan dalam

mengintegralkan fungsi tersebut. Untuk mengatasi masalah ini, diperlukan suatu

transformasi yaitu transformasi koordinat yang mentransformasikan integral dari

suatu koordinat ke koordinat yang lain melalui perubahan variabel. Transformasi

koordinat yang terjadi dalam pengintegralan misalnya transformasi koordinat dari

koordinat Cartesius ke dalam koordinat kutub, koordinat tabung, atau ke dalam

koordinat bola. Jadi, melalui transformasi koordinat dan adanya perubahan

variabel dalam integral lipat maka konsep Jacobian atau determinan Jacobi dapat

digunakan. Determinan Jacobi digunakan sebagai upaya untuk mempermudah

perhitungan integral lipat.

Transformasi koordinat ialah pemetaan sebuah sistem koordinat pada

sebuah sistem koordinat yang lain. Tujuan adanya transformasi koordinat adalah

untuk menemukan suatu daerah baru yang lebih sederhana dan untuk

mempermudah perhitungan pada integral lipat yang rumit menjadi lebih

2

sederhana. Misalnya, untuk setiap pasangan terurut ),( yx dalam daerah asal yang

berhubungan dengan pasangan terurut ),( vu dalam daerah lawan, dapat

dinyatakan dalam bentuk:

),(),( vuyxT = ……………………………………. (1)

Persamaan (1) digambarkan sebagai berikut:

Jika setiap pasangan ),( vu ditentukan oleh ),( yx maka u dan v merupakan fungsi

dari x dan y. Fungsi x dan y ini akan digunakan dalam proses penggantian variabel

menurut C.G. Jacobi. Fungsi tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut:

( ) ( )yxgvyxfu ,,, == ...............................................(2)

di mana fungsi ),( yxf dan ),( yxg adalah kontinu dan mempunyai turunan

parsial pertama yang kontinu. Persamaan (2) menggambarkan suatu transformasi

koordinat T dari bidang-xy ke bidang-uv.

Seorang matematikawan Perancis bernama Cauchy merupakan orang

pertama yang menggunakan determinan khusus yang melibatkan turunan parsial,

tetapi pada tahun 1804-1851, seorang ilmuwan matematika berasal dari Jerman

yang bernama Carl Gustav Jacob Jacobi mengembangkan teori determinan dan

transformasi untuk menyelesaikan permasalahan berbagai integral dalam

y

x

(x,y)

u

(u,v)

vT

3

perhitungan integral lipat. Determinan yang telah dikembangkannya tersebut

dikenal sebagai determinan Jacobi.

Misalnya, dalam mengintegralkan fungsi

dxdyeR

yx∫∫ +− )( 22

di mana R adalah daerah integral pada koordinat Cartesius yang dibatasi oleh

lingkaran 222 ryx =+ atau }.),({ 222 ryxyxR =+= Penyelesaian integral

lipat dua pada fungsi )( 22 yxe +− tidaklah mudah untuk diintegralkan seperti biasa.

Untuk itu, diperlukan transformasi koordinat ke koordinat yang lain misalnya

ditransformasikan ke dalam koordinat kutub. Jika daerah integral R pada

koordinat Cartesius ditransformasikan ke daerah integral S pada koordinat kutub

maka perubahan variabel dari koordinat Cartesius ke koordinat kutub dituliskan

θcosrx = dan θsinry = .

Jadi, dengan adanya transformasi koordinat melalui perubahan variabel tersebut

akan mengubah integral dalam x dan y ke integral dalam r dan θ sehingga

perhitungan pada integral menjadi lebih mudah untuk di integralkan dan

dituliskan

dAedxdyeS

r

R

yx ∫∫∫∫ −+− =222 )(

di mana pada koordinat kutub θθ

ddrr

yxdA),(),(

∂∂

= dan bentuk),(),(

θryx

∂∂

merupakan determinan Jacobi dari transformasi tersebut.

4

B. Rumusan Masalah

Masalah yang akan dibahas pada skripsi ini adalah:

1. Apakah yang dimaksud dengan determinan Jacobi?

2. Bagaimana menggunakan determinan Jacobi dalam menyelesaikan

masalah dalam perhitungan integral lipat?

C. Batasan Masalah

Pembahasan masalah determinan Jacobi dalam skripsi ini hanya dibatasi pada

penerapan determinan Jacobi pada fungsi dengan dua atau tiga variabel.

D. Tujuan Penulisan

Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah untuk:

1. Membahas transformasi dua variabel atau tiga variabel dari daerah asal

tertentu ke dalam sistem koordinat baru dengan daerah asal baru.

2. Menentukan turunan-turunan parsial dari sistem persamaan implisit

dengan dua variabel dan tiga variabel.

3. Menggunakan determinan Jacobi dalam menghitung integral lipat dua

atau integral lipat tiga.

5

E. Metode Penulisan

Penulisan skripsi ini menggunakan metode studi pustaka yaitu dengan

menggunakan buku-buku dan makalah yang telah dipublikasikan sehingga

tidak ditemukan hal baru.

F. Manfaat Penulisan

Manfaat dari penulisan skripsi ini adalah:

1. Untuk memperdalam pengetahuan dalam mempelajari kalkulus peubah

banyak.

2. Memberikan wawasan mengenai peranan determinan Jacobi di dalam

mempelajari kalkulus peubah banyak.

G. Sistematika Penulisan

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

B. Perumusan Masalah

C. Pembatasan Masalah

D. Tujuan Penulisan

E. Metode Penulisan

F. Manfaat Penulisan

G. Sistematika Penulisan

6

BAB II TRANSFORMASI

A. Sistem Koordinat

B. Transformasi Koordinat

C. Fungsi Implisit: 0),,(,0),( == zyxfyxf

BAB III INTEGRAL LIPAT

A. Integral Lipat Dua

B. Integral Lipat Tiga

C. Determinan Jacobi pada Integral Lipat

BAB IV PENUTUP

7

BAB II

TRANSFORMASI

A. Sistem Koordinat

Ada beberapa macam sistem koordinat yang akan dibahas pada bab

II ini, di antaranya sistem koordinat Cartesius, sistem koordinat kutub,

sistem koordinat tabung, dan sistem koordinat bola.

1. Sistem Koordinat Cartesius Dua Dimensi

Dua orang Prancis bernama Pierre de Fermat dan Rene Descartes

telah memperkenalkan sistem koordinat yang sekarang kita kenal dengan

sebutan sistem koordinat Cartesius atau sistem koordinat siku-siku

(rectanguler). Sistem koordinat Cartesius dua dimensi merupakan sistem

koordinat yang terdiri dari dua sumbu yang saling tegak lurus satu dengan

yang lain di mana keduanya terletak pada satu bidang yaitu bidang-xy.

Perpotongan kedua sumbu tersebut dinamakan titik asal dan diberi tanda

O. Dasar pemikiran Pierre dan Descartes adalah untuk menunjukkan

kedudukan titik P pada bidang dengan pasangan bilangan yang ditulis

dengan lambang ),( yx di mana x adalah jarak pada sumbu X (diukur dari

O) yang disebut absis dan y adalah jarak pada sumbu Y (diukur dari O)

yang disebut ordinat (Gambar 2.1).

8

2. Sistem Koordinat Kutub

Selain dengan sistem koordinat Cartesius yang merupakan jarak

berarah dari dua sumbu yang tegak lurus, kedudukan suatu titik pada

bidang dapat juga dinyatakan dalam suatu sistem koordinat yang

diperkenalkan oleh Newton yaitu sistem koordinat polar atau sistem

koordinat kutub. Sistem koordinat kutub dimulai dengan menetapkan

suatu titik tetap misalkan titik O yang disebut titik kutub atau titik asal dan

sinar tetap Ox yang disebut sumbu kutub atau sinar awal. Sumbu kutub

dimulai dari titik kutub dan diperluas sampai tak hingga ke satu arah, yang

biasanya dibuat mendatar dan mengarah ke kanan seperti pada (Gambar

2.2). Sumbu kutub ini berhimpit dengan sumbu X positif di dalam sistem

koordinat Cartesius.

Andaikan P titik sebarang pada bidang, maka titik P pada bidang

dapat ditentukan jika jarak dari O ke P diketahui, misalnya r adalah jarak

dari O ke P dan jika sudut antara sumbu kutub dan garis OP adalah θ

maka koordinat titik P adalah ),( θr dan ditulis ),( θrP (Gambar 2.3).

P(x, y)

X O

Y

y

xGambar 2.1

9

Hubungan antara koordinat kutub dengan koordinat Cartesius tampak

pada (Gambar 2.4)

Apabila titik kutub dan titik asal dihimpitkan, demikian pula sumbu kutub

dan sumbu X positif juga dihimpitkan, maka terdapat hubungan antara

koordinat kutub dengan koordinat Cartesius titik P:

θθ sin,cos ryrx == dan xy

=θtan jika 0≠x (2.1)

Tampak bahwa

222 ryx =+ (2.2)

),(),( yxPrP =θ

Y

X

y

θ

r

x Gambar 2.4

O

P ),( θr

Sumbu kutub

Gambar 2.2

θO

r

xx OSumbu kutub

Gambar 2.3

10

3. Sistem Koordinat Cartesius Tiga Dimensi

Sistem koordinat Cartesius tiga dimensi pada prinsipnya sama

dengan sistem koordinat Cartesius dua dimensi, yaitu dengan

menambahkan satu sumbu koordinat yaitu sumbu Z yang ketiganya saling

tegak lurus sehingga dalam koordinat tegak, sebuah titik P mempunyai

koordinat ),,( zyxP di mana x adalah jarak pada sumbu X yang disebut

absis, y adalah jarak pada sumbu Y yang disebut ordinat, dan z adalah

jarak pada sumbu Z yang disebut applikat. Titik O merupakan titik pusat

dari ketiga sumbu koordinat X, Y, dan Z (Gambar 2.5).

4. Sistem Koordinat Tabung (Silinder)

Suatu sistem koordinat lain dalam ruang dimensi tiga adalah

koordinat tabung (silinder). Pada koordinat tabung digunakan koordinat

kutub r dan θ sebagai pengganti x dan y dalam sistem koordinat

Cartesius dan koordinat z yang sama dengan koordinat dalam sistem

koordinat Cartesius. Jika ),,( zyx merupakan koordinat Cartesius suatu

titik P dalam ruang berdimensi tiga maka koordinat tabung dari suatu titik

),,( zyxP

Y

Z

xy

O

X

y

Gambar 2.5

11

P mempunyai koordinat ),,( zrP θ dengan ),( θr adalah koordinat kutub

dari proyeksi P pada bidang-XY dan z koordinat Cartesius proyeksi P

pada sumbu Z (Gambar 2.6).

Hubungan antara koordinat Cartesius dan koordinat tabung ditentukan

oleh

θθ sin,cos ryrx == dan zz = (2.3)

dan tampak bahwa

xyyxr =+= θtan,222 jika 0≠x (2.4)

5. Sistem Koordinat Bola

Sistem koordinat yang ketiga dalam ruang dimensi tiga dinamakan

koordinat bola. Sebuah titik P memiliki koordinat bola ),,( φθρ di mana

ρ (rho) = OP adalah jarak dari titik asal O ke P, dan θ adalah sudut

kutub Q yaitu proyeksi P pada bidang-xy dan φ menyatakan besarnya

Y

X

Z

),,( zrP θ

θ r

z

Gambar 2.6

)0,,( θr

12

sudut antara sumbu z positif dengan garis OP (Gambar 2.7). Pada

koordinat bola dinyatakan bahwa

πφπθρ ≤≤≤≤≥ 0,20,0 (2.5)

Hubungan koordinat bola dan koordinat Cartesius digambarkan sebagai

berikut

Jika dilihat pada gambar 2.7 maka

φρθθ sin,sin,cos === OQOQyOQx (2.6)

Karena φρ sin=OQ maka

φρθφρθφρ cos,sinsin,cossin === zyx (2.7)

dan tampak bahwa

2222 zyx ++=ρ (2.8)

y

x

z

θ

φ ρ

Gambar 2.7 Q

O

),,( φθρP

13

B. Transformasi Koordinat

Definisi 2.1 (Transformasi koordinat):

Transformasi koordinat adalah pemetaan sebuah sistem koordinat pada

sebuah sistem koordinat yang lain.

Sistem persamaan

⎩⎨⎧

==

),(),(

yxgvyxfu

secara umum mendefinisikan transformasi atau pemetaan dari bidang-xy

ke bidang-uv. Suatu fungsi T yang domain (daerah asal) dan range (daerah

hasil) adalah himpunan bagian dari RR × maka untuk setiap pasangan

terurut ),( yx dalam domain yang bersesuaian dengan suatu pasangan

terurut tunggal ),( vu dalam range adalah

),(),( vuyxT = .

Fungsi T tersebut dapat diperlihatkan secara geometri seperti pada ilustrasi

di bawah ini, di mana titik ),( vu dalam bidang-uv bersesuaian dengan titik

),( yx dalam bidang-xy, sehingga ),( vu disebut sebagai image (peta) dari

),( yx di bawah T.

14

Karena setiap pasangan ),( vu ditentukan oleh (x, y), jadi u dan v adalah

fungsi dari x dan y sehingga

),(),(

yxgvyxfu

==

di mana fungsi f dan g mempunyai daerah asal yang sama seperti T.

Pilihan sistem koordinat yang digunakan bergantung pada persoalan yang

dihadapi. Oleh karena itu, perlu diketahui transformasi koordinatnya

misalnya, sistem koordinat Cartesius dengan sistem koordinat kutub,

sistem koordinat tabung atau sistem koordinat bola.

Misalnya, diberikan transformasi koordinat persamaan

),(),,( yxgvyxfu == dan daerah pada bidang-uv disekat dengan garis

vertikal ...,,, 321 cucucu === dan garis horizontal ...,,, 321 dvdvdv ===

maka kurva yang bersesuaian untuk fungsi f dan g dapat dituliskan

ji dyxgvcyxfu ==== ),(,),(

di mana i = 1, 2, 3,… dan j = 1, 2, 3,… menentukan suatu hubungan

“kurvilinier” yang membagi daerah dalam bidang-xy. Gambar di bawah ini

y

x

v

u

(x, y) . . (u, v)

T

),(),( vuyxT =

15

akan mengilustrasikan empat kurva dari tiap jenis persamaan di atas yang

menghubungkan suatu transformasi T tertentu di mana jenis kurva pada

bidang-xy diperoleh tergantung pada persamaan fungsi f dan g yang

diberikan.

Contoh 2.1:

Misalkan T merupakan transformasi koordinat dari bidang-xy ke bidang-uv

yang ditentukan dengan persamaan

yxvyxu 2,2 −=+=

a. Tentukan peta dari (0,1), (1,2), dan (2,-3).

b. Dalam bidang-uv, digambarkan garis vertikal u = 2, u = 4, u = 6, u = 8,

dan garis horizontal v = -1, v = 1, v = 3, v = 5. Gambarkan hubungan yang

bersesuaian dengan kurva-u dan kurva-v dalam bidang-xy.

16

Penyelesaian:

a. Untuk menentukan peta dari (0,1), (1,2), dan (2,-3) dapat

menggunakan persamaan:

)2,2(),(),( yxyxvuyxT −+==

sehingga peta dari (0,1), (1,2), dan (2,-3) adalah:

T(0,1) = (2,-2), T(1,2) = (5,-3), dan T(2,-3) = (-4,8)

b. Persamaan garis untuk u = 2, u = 4, u = 6, u = 8, dan persamaan garis

untuk v = -1, v = 1, v = 3, v = 5 dalam bidang-uv terlihat pada gambar di

bawah ini, dan untuk menentukan persamaan garis pada bidang-xy

berdasarkan fungsi u dalam bidang-uv adalah:

82,62,42,22 =+=+=+=+ yxyxyxyx

dan untuk menentukan persamaan garis dalam bidang-xy berdasarkan

fungsi v dalam bidang-uv adalah:

52,32,12,12 =−=−=−−=− yxyxyxyx

Jadi, hubungan yang bersesuaian dengan kurva-u dan kurva-v dalam

bidang-xy digambarkan sebagai berikut:

17

Dari gambar di atas dapat diperlihatkan bahwa daerah pada bidang-xy

yang berupa jajargenjang dapat ditransformasikan ke dalam bidang-uv

yang berupa daerah persegi yang lebih sederhana.

Contoh 2.2:

Sebuah daerah R dalam bidang-xy dibatasi oleh 2,6 =−=+ yxyx dan

0=y . Tentukan daerah 'R dalam bidang-uv di mana R dipetakan dengan

transformasi ., vuyvux −=+=

Penyelesaian:

Daerah R yang dibatasi oleh garis-garis

2,6 =−=+ yxyx , dan 0=y

jika digambarkan pada bidang-xy akan membentuk suatu segitiga

sebarang.

Untuk persamaan garis

6=+ yx

jika ditransformasikan ke dalam bidang-uv maka akan diperoleh

persamaan garis

3626)()(

===−++

uuvuvu

Dengan cara yang sama, untuk persamaan garis

2=− yx

18

jika ditransformasikan dalam bidang-uv maka akan diperoleh persamaan

garis

1222)()(

===−−+

vvvuvu

Sedangkan untuk 0=y jika ditransformasikan dalam bidang-uv maka

akan diperoleh persamaan garis

0=− vu atau vu = .

Jadi, dengan adanya transformasi vuyvux −=+= , maka daerah R

yang berupa segitiga sebarang dalam bidang-xy akan menjadi segitiga

siku-siku pada daerah 'R dalam bidang-uv yang dibatasi oleh ,1,3 == vu

dan vu = seperti pada gambar berikut:

Contoh 2.3:

Sebuah daerah R dalam bidang-xy yang dibatasi oleh 222 ayx =+ ,

0,222 ==+ xbyx dan 0=y di mana ba <<0 .

19

Tentukanlah daerah 'R di mana R dipetakan dengan transformasi

,sin,cos θθ ryrx == di mana πθ 20,0 ≤≤>r .

Penyelesaian:

Daerah R yang dibatasi oleh

0=x , 0=y , 222 ayx =+ dan 222 byx =+

pada bidang-xy berupa seperempat lingkaran di mana ba <<0 . Jika

transformasi yang diketahui

,sin,cos θθ ryrx == di mana πθ 20,0 ≤≤>r

ditransformasikan pada 222 ayx =+ dan 222 byx =+ maka akan

didapatkan persamaan dalam bidang- θr sebagai berikut

22

2222

22222

222

)sin(cos)sin()cos(

arar

arrayx

=

=+

=+

=+

θθ

θθ

dan

22

2222

22222

222

)sin(cos)sin()cos(

brbr

brrbyx

=

=+

=+

=+

θθ

θθ

atau berturut-turut dapat dituliskan

ar = dan br = .

20

Untuk persamaan garis 0=x di mana bya ≤≤ dengan adanya

transformasi ,sin,cos θθ ryrx == di mana πθ 20,0 ≤≤>r akan

didapatkan persamaan garis dalam bidang- θr sebagai berikut

2

0cos0cos

πθ

θθ

=

==r

Persamaan garis 2πθ = dalam bidang- θr terletak pada interval garis

bra ≤≤ .

Untuk persamaan garis 0=y di mana bxa ≤≤ dengan adanya

transformasi ,sin,cos θθ ryrx == di mana πθ 20,0 ≤≤>r akan

didapatkan persamaan garis dalam bidang- θr sebagai berikut

00sin0sin

===

θθθr

Persamaan garis 0=θ dalam bidang- θr terletak pada interval garis

bra ≤≤ . Jadi, daerah R dalam bidang-xy yang berupa seperempat

lingkaran dengan adanya transformasi ,sin,cos θθ ryrx == dan

πθ 20,0 ≤≤>r akan berubah menjadi daerah yang lebih sederhana

yaitu persegi panjang pada daerah 'R dalam bidang- θr yang dibatasi oleh

ar = , br = , 2πθ = dan 0=θ pada interval garis bra ≤≤ seperti pada

gambar di bawah ini:

21

C. Fungsi Implisit

Definisi 2.2 (Fungsi Implisit):

Fungsi implisit adalah suatu fungsi di mana variabel bebas dan variabel

tak bebasnya diletakkan pada ruas yang sama, biasanya dinyatakan dalam

bentuk 0),( =yxF .

Suatu bentuk persamaan

0),( =yxF

menentukan y sebagai suatu fungsi dari x, yang ekuivalen dengan

)(xfy = di mana x disebut variabel bebas sedangkan y disebut variabel

tak bebas. Dengan memandang y sebagai fungsi dari x, turunan dari kedua

sisi terhadap x dapat ditentukan. Persamaan dalam bentuk

),,( yxfz =

22

menunjukkan bahwa x dan y adalah variabel bebas dan variabel tak bebas z

adalah suatu fungsi dari kedua variabel bebas x dan y. Bentuk persamaan

),( yxfz = jika dituliskan dalam bentuk implisit menjadi 0),,( =zyxF .

Definisi 2.3 (Turunan Parsial Dua Variabel):

Jika ),,( yxfz = maka turunan parsial dari z terhadap x pada ),( yx

didefinisikan dan ditulis

hyxfyhxf

xz

h

),(),(lim0

−+=

∂∂

→,

di mana y tetap dan limitnya ada.

Turunan parsial dari z terhadap y pada ),( yx didefinisikan dan ditulis

hyxfhyxf

yz

h

),(),(lim0

−+=

∂∂

→,

di mana x tetap dan limitnya ada.

Definisi 2.4 (Turunan Parsial Tiga Variabel):

Jika ),,( zyxfw = adalah suatu fungsi dari tiga variabel x, y, dan z maka

turunan parsial dari w terhadap x pada ),,( zyx didefinisikan dan ditulis

hzyxfzyhxf

xw

h

),,(),,(lim0

−+=

∂∂

→,

di mana y, z tetap dan limitnya ada.

Turunan parsial dari w terhadap y pada ),,( zyx didefinisikan dan ditulis

hzyxfzhyxf

yw

h

),,(),,(lim0

−+=

∂∂

→,

di mana x, z tetap dan limitnya ada.

23

Turunan parsial dari w terhadap z pada ),,( zyx didefinisikan dan ditulis

hzyxfhzyxf

yw

h

),,(),,(lim0

−+=

∂∂

→,

di mana x, y tetap dan limitnya ada.

Contoh 2.4:

Diberikan ,sincos),( yxeyxf xy= tentukan xz ∂∂ / dan yz ∂∂ / .

Penyelesaian:

Misalkan ,sincos),( yxeyxfz xy== maka berdasarkan definisi 2.2

untuk menentukan xz ∂∂ / dengan menganggap y tetap dan yz ∂∂ / dengan

menganggap x tetap akan didapatkan:

)sincos(sin

sin)sin(sincos

xxyye

yxeyxyexz

xy

xyxy

−=

−+=∂∂

)cossin(cos

coscossincos

yyxxe

yxeyxxeyz

xy

xyxy

+=

+=∂∂

Contoh 2.5:

Diberikan )ln(3),( 222 yxxyxyxf ++−= , tentukan xz ∂∂ / dan yz ∂∂ / .

24

Penyelesaian:

Misalkan )ln(3),( 222 yxxyxyxfz ++−== maka berdasarkan definisi

2.2 untuk menentukan xz ∂∂ / dengan menganggap y tetap dan yz ∂∂ /

dengan menganggap x tetap akan diperoleh:

22

22

23

232

yxyy

yz

yxxyx

xz

++−=

∂∂

++−=

∂∂

Contoh 2.6:

Diberikan 23sin),( yxyxxeyxf y +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= , tentukan xz ∂∂ / dan yz ∂∂ / .

Penyelesaian:

Misalkan 23sin),( yxyxxeyxfz y +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−== maka berdasarkan definisi

2.2 untuk menentukan xz ∂∂ / dengan menganggap y tetap dan yz ∂∂ /

dengan menganggap x tetap akan diperoleh

yxyx

yxxe

yz

yxyx

ye

xz

y

y

32

22

2cos

3cos1

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

∂∂

25

Contoh 2.7:

Diberikan ,222 xzzyyxw −+= tentukan ./,/,/ zwywxw ∂∂∂∂∂∂

Penyelesaian:

Berdasarkan definisi 2.3, penyelesaian untuk menentukan xw ∂∂ / dengan

menganggap y dan z tetap, dengan menganggap x dan z tetap dan

untuk menentukan zw ∂∂ / dengan menganggap x dan y tetap akan

diperoleh

,2 2zxyxw

−=∂∂ ,22 yzx

yw

+=∂∂ dan .23 zxy

zw

−=∂∂

Teorema 2.1 (Aturan Rantai)

Jika ),,( yxfz = ),(tFx = dan ),(tGy = dan jika xz ∂∂ / dan yz ∂∂ /

limitnya ada dan dtdx / dan dtdy / kontinu, maka

dxdy

yz

dtdx

xz

dtdz

⋅∂∂

+⋅∂∂

=

Bukti:

Misalkan bahwa ),,( yxfz = ),(tFx = dan ).(tGy = Ini berarti bahwa z

adalah suatu fungsi dari t dan dapat dituliskan )),(),(( tGtFfz = sehingga

dapat ditentukan turunan untuk z terhadap t. Berdasarkan definisi 2.2

diperoleh:

yw ∂∂ /

26

htGtFfhtGtFf

hhtGtFfhtGhtFf

htGtFfhtGhtFf

dtdz

h

h

))(),(())(),(())(),(())(),((lim

))(),(())(),((lim

0

0

−++

+−++=

−++=

htGhtG

tGhtGtGtFfhtGtFf

htFhtF

tFhtFhtGtFfhtGhtFf

h

)()()()(

))(),(())(),((

)()()()(

))(),(())(),((lim0

−+−+−+

+

−+−+

+−++=

dengan mengganti )()( tFhtFi −+= dan )()( tGhtGj −+= akan

didapatkan

dtdy

yz

dtdx

xz

htGhtG

jyxfjyxf

htFhtF

ijyxfjyixf

htGhtG

jtGtFfjtGtFf

htFhtF

ijtGtFfjtGitFf

dtdz

jih

jih

⋅∂∂

+⋅∂∂

=

−+−++

−++−++=

−+−++

−++−++=

→→→

→→→

)()(),(),(

)()(),(),(lim

)()())(),(())(),((

)()())(),(())(,)((lim

000

000

Contoh 2.8:

Jika txyxz sin,22 =+= dan tey = , tentukan ./ dtdz

27

Penyelesaian:

Berdasarkan teorema 2.1 untuk menentukan ./ dtdz adalah

)cos(22cos2

t

t

yetxeytx

dtdy

yz

dtdx

xz

dtdz

+=

⋅+⋅=

∂∂

+∂∂

=

Dengan mengganti tx sin= dan tey = , didapatkan persamaan hasil

tersebut dalam t menjadi

)cos(sin2 2tettdtdz

+=

Teorema 2.2:

Jika ),( yxfz = dan )(xgy = dan jika xz ∂∂ / dan yz ∂∂ / ada dan dxdy /

kontinu, maka

dxdy

yz

xz

dxdz

⋅∂∂

+∂∂

=

Bukti:

Misalkan ),( yxfz = dan ),(xgy = hal ini berarti bahwa z adalah fungsi

dari x dan dapat ditulis ))(,( xgxfz = . Berdasarkan definisi 2.2, turunan

dari z terhadap x adalah:

hxgxfhxgxf

hhxgxfhxghxf

hxgxfhxghxf

dxdz

h

h

))(,()(,())(,()(,(lim

))(,()(,(lim

0

0

−++

+−++=

−++=

28

hxghxg

xghxgxgxfhxgxf

hxfhxf

xfhxfhxgxfhxghxf

h

)()()()(

))(,()(,(

)()()()(

))(,()(,(lim0

−+⋅

−+−+

+

−+⋅

−++−++

=→

Dengan mengganti )()( xghxgj −+= maka,

dxdy

yz

xz

dxdz

hxghxg

jyxfjyxf

hjyxfjyhxf

hxghxg

jxgxfjxgxf

xfhxfxfhxf

hjxgxfjxghxf

jh

jh

⋅∂∂

+∂∂

=

−+⋅

−++⋅

+−++=

−+⋅

−++

−+−+

⋅+−++

=

→→

→→

)()(),(),(1),(),(lim

)()())(,())(,(

)()()()())(,())(,(lim

00

00

Jadi, terbukti bahwa dxdy

yz

xz

dxdz

⋅∂∂

+∂∂

= ■

Contoh 2.9:

Jika 22 yxyxz ++= dan ,sin xy = tentukan ./ dxdz

Penyelesaian:

Berdasarkan teorema 2.2, maka penyelesaian dxdz / untuk

22 yxyxz ++= dan xy sin= adalah

29

xxxxxxyxyx

dxdy

yz

xz

dxdz

cos)sin2()sin2(cos)2()2(

+++=+++=

⋅∂∂

+∂∂

=

Teorema 2.3:

Jika persamaan 0),( =yxF , xF ∂∂ / dan yF ∂∂ / keduanya ada dan

0/ ≠∂∂ yF maka dxdy / ada dan

yFxF

dxdy

∂∂∂∂

−=//

Bukti:

Berdasarkan teorema 2.2 dengan memisalkan 0),( == yxFz , maka,

0/ =dxdz sehingga

dxdy

yz

xz

dxdy

yz

xz

dxdz

⋅∂∂

+∂∂

=

⋅∂∂

+∂∂

=

0

karena 0/ ≠∂∂ yz , penyelesaian untuk dxdy / adalah

yFxF

yzxz

dxdy

∂∂∂∂

−=∂∂∂∂

−=//

// ■

Contoh 2.10:

Diberikan 422 =+ yx , tentukan dxdy / .

Penyelesaian:

Karena persamaan di atas dapat dituliskan dalam bentuk fungsi implisit

04),( 22 =−+= yxyxF

30

Berdasarkan teorema 2.3 penyelesaian untuk dxdy / adalah:

yx

yx

yFxF

dxdy

−=−=∂∂∂∂

−=22

// .

Contoh 2.11:

Diketahui 133 =+ yx , tentukan dxdy / .

Penyelesaian:

Misalkan 01),( 33 =−+= yxyxF , maka 23xxF=

∂∂ dan 23y

yF=

∂∂ .

Jadi, berdasarkan teorema 2.3, penyelesaian untuk dxdy / adalah:

2

2

2

2

33

//

yx

yx

yFxF

dxdy

−=−=∂∂∂∂

−=

karena 0133 =−+ yx dapat dituliskan 3 31 xy −= , maka penyelesaian

untuk dxdy / menjadi

3 23

2

)1(//

xx

yFxF

dxdy

−−=

∂∂∂∂

−= .

Persamaan dalam bentuk

0),,( =zyxF

merupakan fungsi dari tiga buah variabel x, y dan z yang mempunyai

turunan parsial yang kontinu. Misalnya z, sebagai suatu fungsi dari dua

variabel yang lain yaitu

),( yxfz =

maka xz ∂∂ / dan yz ∂∂ / dapat ditentukan.

31

Teorema 2.4:

Jika ,0),,( =zyxF ke tiga turunan parsial dari F ada dan 0/ ≠∂∂ zF ,

maka xz ∂∂ / dan yz ∂∂ / ada dan

zFyF

yz

zFxF

xz

∂∂∂∂

−=∂∂

∂∂∂∂

−=∂∂

//,

//

Bukti:

Andaikan 0),,( =zyxF dan z sebagai suatu fungsi dari dua variabel

lainnya dan ditulis ),( yxfz = maka xz ∂∂ / dan yz ∂∂ / dapat ditentukan.

Turunan dari kedua sisi 0),,( =zyxF terhadap x, jika diketahui bahwa

),( yxfz = dan x dan y adalah variabel bebas maka dapat ditulis

0=∂∂⋅

∂∂

+∂∂⋅

∂∂

+∂∂⋅

∂∂

xz

zF

xy

yF

xx

xF

Tentu saja 1/ =∂∂ xx dan karena x dan y merupakan variabel bebas

sehingga ,0/ =∂∂ xy dan persamaan di atas dapat ditulis dengan:

0=∂∂⋅

∂∂

+∂∂

xz

zF

xF .

Jadi, penyelesaian untuk xz ∂∂ / adalah:

zFxF

xz

∂∂∂∂

−=∂∂

// .

Turunan dari kedua sisi 0),,( =zyxF terhadap y, dengan mengingat

bahwa ),( yxfz = dan x dan y adalah variabel bebas maka:

0=∂∂⋅

∂∂

+∂∂⋅

∂∂

+∂∂⋅

∂∂

yz

zF

yy

yF

yx

xF

32

Karena x dan y merupakan variabel bebas dan 0/ =∂∂ yx dan ,1/ =∂∂ yy

persamaan di atas dapat disederhanakan menjadi:

0=∂∂⋅

∂∂

+∂∂

yz

zF

yF .

Jadi, penyelesaian untuk yz ∂∂ / adalah:

zFyF

yz

∂∂∂∂

−=∂∂

// ■

Contoh 2.12:

Diberikan persamaan ,0222 =++ xzzyyx tentukan xz ∂∂ / dan yz ∂∂ / .

Penyelesaian:

Jika ,0),,( 222 =++= xzzyyxzyxF maka menurut teorema 2.4 adalah:

zxyyzx

zFyF

yz

zxyzxy

zFxF

xz

22

//

22

//

2

2

2

2

++

−=∂∂∂∂

−=∂∂

++

−=∂∂∂∂

−=∂∂

Teorema 2.5:

Jika

0),,(0),,(

==

zyxGzyxF

dan jika semua turunan parsial dari dua fungsi ada dan

,0),(),(≠

∂∂

zyGF

Maka dxdy / dan dxdz / keduanya ada dan

33

),(),(),(),(

,

),(),(),(),(

zyGFxyGF

dxdz

zyGFzxGF

dxdy

∂∂∂∂

−=

∂∂∂∂

−=

dimana

zG

yG

zF

yF

zyGF

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∂∂

),(),(

Bukti:

Misalkan dua persamaan dalam ,, yx dan z

0),,(0),,(

==

zyxGzyxF

Turunan parsial dari kedua persamaan di atas terhadap x berdasarkan

teorema 2.1 yang merupakan perluasan untuk tiga variabel dapat ditulis

0

,0

=⋅∂∂

+⋅∂∂

+∂∂

=⋅∂∂

+⋅∂∂

+∂∂

dxdz

zG

dxdy

yG

xG

dxdz

zF

dxdy

yF

xF

atau

.

,

xG

dxdz

zG

dxdy

yG

xF

dxdz

zF

dxdy

yF

∂∂

−=⋅∂∂

+⋅∂∂

∂∂

−=⋅∂∂

+⋅∂∂

Jadi, akan diperoleh dua persamaan yang simultan dalam dxdy / dan

dxdz / . Penyelesaian untuk menentukan dxdy / dan dxdz / dengan

menggunakan determinan (aturan Cramer), sehingga

34

zG

yG

zF

yF

zG

xG

zF

xF

zG

yG

zF

yF

zG

xG

zF

xF

dxdy

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

−=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

dan

zG

yG

zF

yF

xG

yG

xF

yF

zG

yG

zF

yF

xG

yG

xF

yF

dxdz

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

−=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

−∂∂

=

Untuk

zG

yG

zF

yF

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

determinan ini disebut Jacobian dan ditulis .),(),(

zyGF

∂∂

Jadi, penyelesaian dxdy / dan dxdz / dapat ditulis dengan bentuk

),(),(),(),(

,

),(),(),(),(

zyGFxyGF

dxdz

zyGFzxGF

dxdy

∂∂∂∂

−=

∂∂∂∂

−=

di mana 0),(),(≠

∂∂

zyGF ■

35

Dengan cara yang sama pada teorema 2.5, maka kita dapat menurunkan

empat turunan kemungkinan yang lainnya yaitu dzdy

dzdx

dydz

dydx ,,,

sebagai berikut:

),(),(),(),(

zxGFzyGF

zG

xG

zF

xF

zG

yG

zF

yF

zG

xG

zF

xF

zG

yG

zF

yF

dydx

∂∂∂∂

−=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

−=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

= , dimana .0),(),(≠

∂∂

zxGF

),(),(),(),(

zxGFyxGF

zG

xG

zF

xF

yG

xG

yF

xF

zG

xG

zF

xF

yG

xG

yF

xF

dydz

∂∂∂∂

−=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

−=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

−∂∂

= , dimana .0),(),(≠

∂∂

zxGF

),(),(),(),(

yxGFyzGF

yG

xG

yF

xF

yG

zG

yF

zF

yG

xG

yF

xF

yG

zG

yF

zF

dzdx

∂∂∂∂

−=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

−=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

= , dimana .0),(),(≠

∂∂

yxGF

36

),(),(),(),(

yxGFzxGF

yG

xG

yF

xF

zG

xG

zF

xF

yG

xG

yF

xF

zG

xG

zF

xF

dzdy

∂∂∂∂

−=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

−=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

−∂∂

= , dimana .0),(),(≠

∂∂

yxGF

Dengan adanya dua persamaan implisit dalam tiga variabel ,, yx dan z

maka kita dapat menentukan mana yang akan menjadi variabel bebas dan

variabel tak bebas dari persamaan tersebut. Misalnya, kita memilih x

sebagai variabel tak bebas maka y dan z sebagai variabel bebas, jika y

sebagai variabel tak bebas maka x dan z sebagai variabel bebas, dan jika z

sebagai variabel tak bebas maka x dan y sebagai variabel bebas sehingga

terdapat enam kemungkinan turunan fungsi implisit yang terjadi.

Contoh 2.13:

Diberikan 4222 =++ zyx dan 1=xyz , tentukan dxdy / .

Penyelesaian:

Misalkan F dan G fungsi implisit dari dua persamaan di atas dan ditulis

0104222

=−==−++=

xyzGzyxF

Untuk menentukan turunan dxdy / dari dua persamaan di atas, maka dapat

ditentukan turunan dari kedua fungsi F dan G terhadap x sebagai berikut

37

0

,0

=⋅∂∂

+⋅∂∂

+∂∂

=⋅∂∂

+⋅∂∂

+∂∂

dxdz

zG

dxdy

yG

xG

dxdz

zF

dxdy

yF

xF

atau

.

,

xG

dxdz

zG

dxdy

yG

xF

dxdz

zF

dxdy

yF

∂∂

−=⋅∂∂

+⋅∂∂

∂∂

−=⋅∂∂

+⋅∂∂

Berdasarkan teorema 2.5 penyelesaian untuk menentukan dxdy / dengan

menggunakan aturan Cramer sebagai berikut

xyxzzy

xyyzzx

zG

yG

zF

yF

zG

xG

zF

xF

zyGFzxGF

dxdy

22

22

),(),(),(),(

−=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

−=

∂∂∂∂

−=

)()(

2222

22

22

22

22

zyxzxyxzxyyzyx

−−

−=

−−

−=

dimana .0)( 22 ≠−zyx

Dengan langkah yang sama seperti di atas maka penyelesaian untuk

menentukan dxdz / adalah:

38

xyxzzy

yzxzxy

zG

yG

zF

yF

xG

yG

xF

yF

zyGFxyGF

dxdz

22

22

),(),(),(),(

−=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

−=

∂∂∂∂

−=

)()(

2222

22

22

22

22

zyxxyzxzxy

zxzy

−−

−=

−−

−=

dimana .0)( 22 ≠−zyx

Selain itu, kita dapat menentukan empat kemungkinan turunan lainnya

yaitu dzdy

dzdx

dydz

dydx ,,, .

Penyelesaian untuk menentukan dydx / adalah

xyyzzx

xyxzzy

zG

xG

zF

xF

zG

yG

zF

yF

zxGFzyGF

dydx

22

22

),(),(),(),(

−=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

−=

∂∂∂∂

−=

)()(

2222

22

22

22

22

zxyxyxyzyxxzxy

−−

−=

−−

−=

dimana .0)( 22 ≠−zxy

39

Penyelesaian untuk menentukan dydz / adalah

)()(

2222

22

22

),(),(),(),(

22

22

22

22

zxyyxzyzyx

zyzx

xyyzzx

xzyzyx

zG

xG

zF

xF

yG

xG

yF

xF

zxGFyxGF

dydz

−−

−=

−−

−=

−=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

−=

∂∂∂∂

−=

dimana .0)( 22 ≠−zxy

Penyelesaian untuk menentukan dzdx / adalah

xzyzyx

xzxyyz

yG

xG

yF

xF

yG

zG

yF

zF

yxGFyzGF

dzdx

22

22

),(),(),(),(

−=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

−=

∂∂∂∂

−=

)()(

2222

22

22

22

22

yxzyzx

zyzxxyxz

−−

−=

−−

−=

dimana .0)( 22 ≠−yxz

40

Penyelesaian untuk menentukan dzdy / adalah

)()(

2222

22

22

),(),(),(),(

22

22

22

22

yxzzxy

zyzxyzyx

xzyzyx

xyyzzx

yG

xG

yF

xF

zG

xG

zF

xF

yxGFzxGF

dzdy

−−

−=

−−

−=

−=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

−=

∂∂∂∂

−=

dimana .0)( 22 ≠−yxz

41

BAB III

INTEGRAL LIPAT

Pada bab ini, kita menganggap bahwa integral dari fungsi dua variabel

, merupakan daerah pada bidang dan integral dari fungsi tiga variabel

, , merupakan daerah pada ruang. Integral dari fungsi dua variabel atau

integral dari fungsi tiga variabel disebut integral lipat dan didefinisikan sebagai

limit dari jumlah Riemann. Selain itu, akan dibicarakan juga mengenai

transformasi koordinat pada variabel integrasi dengan memperkenalkan

determinan Jacobi. Determinan Jacobi digunakan sebagai upaya untuk

mempermudah perhitungan pada integral lipat.

A. Integral Lipat Dua

Integral untuk fungsi satu variabel dapat diperluas menjadi fungsi

dengan beberapa variabel. Misalnya, integral untuk fungsi dengan dua

variabel disebut integral lipat dua sedangkan integral untuk fungsi dengan

tiga variabel disebut integral lipat tiga. Untuk integral lipat dua dari fungsi

dengan dua variabel, batasannya adalah bahwa fungsi dua variabel tersebut

terdefinisi pada suatu daerah tertutup di . Daerah tertutup paling sederhana

di adalah persegi panjang tertutup. Misalkan R adalah sebuah persegi

panjang tertutup dengan sisi-sisi sejajar dengan sumbu-sumbu koordinat yaitu

},|),{( dycbxayxR ≤≤≤≤=

42

Untuk menetapkan integral lipat dua diperlukan langkah-langkah sebagai

berikut. Bentuklah sebuah partisi P dari R yang membentuk garis-garis

yang sejajar dengan sumbu-x dan sumbu-y seperti pada gambar 3.1.

Pembuatan partisi ini membagi R menjadi persegi panjang-persegi panjang

yang lebih kecil sebanyak n dan dinotasikan dengan kR di mana

.,...,2,1 nk = Misalkan bagian persegi panjang kR mempunyai panjang

kxΔ dan lebar kyΔ maka luas daerah persegi panjang kR adalah

kkk yxA ΔΔ=Δ .

Panjang diagonal terpanjang dari kR yang dilambangkan dengan P

disebut norma partisi P, dengan kata lain { }kAmaksP Δ= . Untuk setiap

kR di mana nk ,...,2,1= pada daerah ,R jika diambil sebarang titik

),( kk yx di kR maka kita dapat mendefinisikan integral lipat dua dengan

menggunakan penjumlahan Riemann.

Gambar 3.1

43

Definisi 3.1: (Jumlah Riemann)

Misalkan f fungsi dua variabel yang didefinisikan pada daerah R dan

misalkan },,2,1:{ nkRP k L== adalah partisi dalam R. Bentuk

penjumlahan Riemann f untuk P adalah

∑=

Δn

kkkk Ayxf

1),(

di mana ),( kk yx pada kR dan kAΔ adalah luas dari .kR

Definisi 3.2: (Integral Lipat Dua)

Misalkan f adalah fungsi dengan dua variabel yang didefinisikan pada

sebuah persegi panjang tertutup R. Jika

∑=

→Δ

n

kkkkP

Ayxf10

),(lim

ada, maka f dapat diintegralkan di R. Integral lipat dua dari f atas R

dinyatakan dengan ∫∫R

dAyxf ),( sehingga

∑∫∫=

→Δ=

n

kkkkP

R

AyxfdAyxf10

),(lim),(

Integral lipat dua pada koordinat Cartesius atas daerah R dapat dihitung

dengan menggunakan integral berulang. Misalkan R merupakan daerah

persegi panjang dengan batas },|),{( dycbxayxR ≤≤≤≤= maka

integral lipat dua dari fungsi , pada daerah R adalah

∫ ∫∫∫ ∫ ∫ ==b

a

d

cR

d

c

b

a

dxdyyxfdydxyxfdAyxf ),(),(),(

44

Dalam koordinat Cartesius, atau .

Contoh 3.1:

Hitung integral lipat dua berikut ini

dAyxR

)2( 22 +∫∫

dimana }40,60|),{( ≤≤≤≤= yxyxR

Penyelesaian:

Dengan menggunakan integral berulang, perhitungan integral tersebut

adalah:

{ }

544256288

)4(4)4(72

472

)1272(

123

216

23

)2()2(

3

4

0

3

4

0

2

4

0

2

4

0

6

0

23

4

0

6

0

2222

|

|

=+=

+=

+=

+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=+

∫ ∫∫∫

yy

dyy

dyy

dyxyx

dydxyxdAyxR

Contoh 3.2

Hitung integral lipat dua ∫∫ −R

dAyx )32( 2 , dimana R daerah di bidang xoy

pada koordinat Cartesius yang memuat titik-titik ),( yx dengan 21 ≤≤− x

dan 31 ≤≤ y .

45

Penyelesaian:

Integral lipat dua pada koodinat Cartesius dengan menggunakan integral

berulang dapat dihitung sebagai berikut

( )

243612

296

28118

296

96

3326

316

33

2

)32(

)32()32(

3

1

2

3

1

3

1

2

1

3

1

3

3

1

2

1

2

3

1

2

1

22

−=−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

−=−

∫ ∫

∫ ∫∫∫

yy

dyy

dyyy

dyxyx

dydxyx

dydxyxdAyxR

B. Integral Lipat Tiga

Perluasan integral lipat dua menjadi integral lipat tiga serupa

seperti perluasan integral lipat satu menjadi integral lipat dua. Sebuah

fungsi f tiga variabel x, y, dan z yang didefinisikan atas daerah B yang

berbentuk kotak dengan sisi-sisi sejajar bidang koordinat (gambar 3.3).

Untuk menetapkan integral lipat tiga diperlukan langkah-langkah sebagai

berikut. Bentuklah sebuah partisi P dari B dengan melewatkan bidang-

bidang melalui B sejajar dengan bidang koordinat, sehingga memotong B

46

menjadi kotak-kotak yang lebih kecil misalnya nBBB ,,, 21 K . Pilih

( )kkk zyx ,, suatu titik sembarang pada kotak kB yang ditunjukkan pada

gambar di bawah ini

Jika ( )kkk zyx ,, adalah suatu titik di dalam kB , maka penjumlahan

∑=

Δn

kkkkk Vzyxf

1

),,(

disebut suatu penjumlahan Riemann f untuk P di mana kkkk zyxV ΔΔΔ=Δ

adalah volume kB . Jika limit tersebut ada maka limit tersebut disebut

integral lipat tiga f atas B dan dinyatakan dengan

∫∫∫ ∑=

→Δ=

B

n

kkkkkP

VzyxfdVzyxf10

),,(lim),,(

Integral lipat tiga pada koodinat Cartesius atas daerah B yang dibatasi oleh

},,|),,{( lzkdycbxazyxB ≤≤≤≤≤≤= dapat juga ditunjukkan

dengan integral berulang sebagai berikut

Gambar 3.3

47

∫∫∫ ∫ ∫ ∫=B

l

k

d

c

b

a

dzdydxzyxfdVzyxf ),,(),,(

berarti bahwa , , diintegralkan pertama kali terhadap x dengan

menganggap y dan z konstan, kemudian hasilnya diintegralkan terhadap y

dengan menganggap z konstan dan akhirnya hasil yang terakhir

diintegralkan terhadap z.

Contoh 3.3:

Hitunglah ∫∫∫Q

dVzxy 233 dimana

}20,41,31|),,{( ≤≤≤≤≤≤−= zyxzyxQ

Penyelesaian:

Integral lipat tiga pada koodinat Cartesius atas daerah Q yang dibatasi oleh

}20,41,31|),,{( ≤≤≤≤≤≤−= zyxzyxQ dapat dihitung dengan

menggunakan integral berulang sebagai berikut:

]

]

( )

]4144

4

1

33

4

1

31

32

4

1

3

1

3

4

1

3

1

20

33

4

1

3

1

2

0

2323

9

436

4

8

33

yy

dyyy

dyyx

dydxxy

dydxzxy

dydxdzzxydVzxyQ

−=

−=

=

=

=

=

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫∫∫∫

48

]

204082048

8 41

4

=−=

= y

Contoh 3.4:

Hitunglah integral lipat tiga ∫∫∫B

dVxyz 2 , dengan B adalah kotak segiempat

yang diberikan oleh }30,21,10|),,{( ≤≤≤≤−≤≤= zyxzyxB

Penyelesaian:

Integral lipat tiga pada koodinat Cartesius atas daerah B yang dibatasi oleh

}30,21,10|),,{( ≤≤≤≤−≤≤= zyxzyxB dapat dihitung dengan

menggunakan integral berulang sebagai berikut:

dzz

dzzz

dzzy

dzdyyz

dzdyyzx

dzdydxxyzdVxyzB

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫∫∫∫

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

=

3

0

2

3

0

22

2

1

3

0

22

3

0

2

1

2

1

0

3

0

2

1

22

3

0

2

1

1

0

22

43

444

4

2

2

49

427

4

3

0

3

=

⎥⎦

⎤=

z

C. Determinan Jacobi pada Integral Lipat

Dalam menghitung integral lipat pada suatu daerah R seringkali

dipergunakan sistem koordinat yang lain selain sistem koordinat Cartesius.

Kadang-kadang perhitungan integral lipat dua dalam koordinat Cartesius

membutuhkan perhitungan yang rumit. Oleh karena itu, untuk lebih

menyederhanakan perhitungan pada integral lipat dua kita dapat

mentransformasikan koordinat Cartesius ke dalam koordinat kutub.

Transformasi koordinat dilakukan dengan menggunakan teorema Green.

Transformasi dengan menggunakan teorema Green ini penting karena

dapat digunakan untuk membantu menyelesaikan perhitungan integral

dengan lebih mudah.

Teorema 3.1: (Teorema Green)

Misalkan R adalah suatu domain dalam bidang-xy dan misalkan C kurva

tertutup sederhana di R yang berlawanan dengan arah jarum jam. Jika M

dan N adalah fungsi-fungsi kontinu dan mempunyai turunan parsial

pertama yang kontinu di R, maka

50

Bukti:

Misalkan , dan , , teorema ini akan dibuktikan

untuk daerah R dalam batas

, : ,

dan

, : ,

seperti terlihat pada gambar berikut ini

Pokok masalah yang harus dibuktikan adalah memperlihatkan bahwa

(3.1)

atau

(3.2)

Untuk membuktikan persamaan (3.1), pandang R sebagai daerah dengan

batas-batas , : , dan misalkan

dan adalah kurva-kurva batas atas dan batas bawah seperti pada

gambar dibawah ini

51

sehingga

∫∫

∫∫

∫∫

∫ ∫

−=

+=

+=

=

b

a

b

a

a

b

b

a

CC

C C

dxyxfdxyxf

dxyxfdxyxf

dxyxfdxyxf

dxyxfdxM

),(),(

),(),(

),(),(

),(

21

Dengan memisalkan sehingga parameter dan dinyatakan oleh

: ,

: ,

maka,

∫∫

∫∫

∫∫∫

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

−=

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

aC

dttgtfdttgtf

dtdtdxtgtfdt

dtdxtgtf

dxyxfdxyxfdxM

))(,())(,(

))(,())(,(

),(),(

21

21

52

[ ]

[ ]

dtdyyf

dtytf

dttgtftgtf

b

a

tg

tg

b

a

tgytgy

b

a

∫ ∫

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

∂∂

−=

−=

−−=

==

)(

)(

)()(

12

2

1

2

1),(

))(,())(,(

karena , maka

∫∫

∫∫

∫ ∫

∫ ∫

∂∂

−=

∂∂

−=

∂∂

−=

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

∂∂

−=

R

R

b

a

xg

xg

b

a

xg

xg

dAy

M

dAyf

dxdyyf

dxdyyf

)(

)(

)(

)(

2

1

2

1

Dengan cara yang sama, untuk membuktikan persamaan (3.2) pandang R

sebagai daerah dengan batas-batas

, : ,

dan misalkan dan adalah kurva-kurva batas atas dan batas bawah

seperti pada gambar di bawah ini

53

sehingga,

∫∫

∫ ∫+=

=

21

),(),(

),(

CC

C C

dyyxgdyyxg

dyyxgdyN

∫∫

∫∫

+−=

+=

d

c

d

c

d

c

c

d

dyyxgdyyxg

dyyxgdyyxg

),(),(

),(),(

Dengan memisalkan sehingga parameter dan dinyatakan oleh

: ,

: ,

maka,

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )[ ]

[ ]

dtdxxg

dttxg

dttthgtthg

dttthgdttthg

dtdtdytthgdt

dtdytthg

dtdtdytthgdt

dtdytthgdyN

d

c

th

th

d

c

thxthx

d

c

d

c

d

c

d

c

d

c

d

c

d

cC

∫ ∫

∫∫

∫∫

∫∫∫

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

∂∂

=

=

−=

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

==

)(

)(

)()(

12

12

12

21

2

1

2

1),(

),(),(

),(),(

),(),(

),(),(

karena , maka

54

dydxxg

dydxxg

d

c

th

th

d

c

th

th

∫ ∫

∫ ∫

∂∂

=

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

∂∂

=

)(

)(

)(

)(

2

1

2

1

∫∫

∫∫

∂∂

=

∂∂

=

R

R

dAxN

dAxg

Jadi terbukti bahwa

Perhitungan integral lipat dua atau integral lipat tiga melalui suatu

transformasi koordinat dilakukan dengan menggunakan penggantian

variabel (substitusi). Penggantian variabel dalam integral lipat dua

∫∫R

dAyxf ),( misalkan dengan menggunakan persamaan

),(),,( vugyvufx == (3.3)

dimana f dan g mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu.

Persamaan (3.3) merupakan suatu transformasi koordinat T dari bidang-uv

ke bidang-xy. Jika kita menggunakan persamaan (3.3) untuk mengganti x

dan y pada integral lipat dua maka pengintegralan menjadi fungsi dari u

dan v. Tujuan dari transformasi koordinat ini adalah untuk menemukan

daerah S pada bidang-uv yang dipetakan dari R di bawah T seperti

diilustrasikan pada gambar berikut sedemikian sehingga

55

, , , , .

Untuk merubah variabel pada integral lipat dua memerlukan perkiraan

pembatasan yang cocok pada daerah dan fungsi yang terjadi. Fungsi u dan

v diperkenalkan pada definisi berikut ini yang akan digunakan dalam

proses pergantian variabel.

Definisi 3.3: (determinan Jacobi atau Jacobian)

Jika ),(),,( vugyvufx == maka determinan Jacobi dari x dan y

terhadap u dan v, dinotasikan dengan ),(/),( vuyx ∂∂ adalah

uy

vx

vy

ux

vy

uy

vx

ux

vuyxvuJ

∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∂∂

=),(),(),(

Melalui transformasi koordinat dengan menggunakan penggantian

variabel dan determinan Jacobi pada definisi 3.3 maka didapatkan teorema

berikut ini.

R (x,y) .

S . (u,v)

C K

y v

x u

T

56

Teorema 3.2:

Jika ),(),,( vugyvufx == adalah transformasi koordinat, maka

∫∫∫∫ ∂∂

=SR

dudvvuyxvugvufFdxdyyxF),(),()),(),,((),(

Bukti:

Kita mulai dengan memisalkan , sedemikian sehingga / .

Melalui teorema 3.1 dengan memisalkan didapatkan

)4.3(),(

)],([),(

∫∫

∫∫∫∫

=

=

∂∂

=

∂∂

=

C

C

R

RR

dyyxG

dyN

dxdyxN

dxdyyxGx

dxdyyxF

Misalkan kurva K pada bidang-uv diberikan parameter dengan

, , dimana .

,

melalui transformasi koordinat dengan persamaan

, dan , ,

persamaan parameter untuk kurva C pada bidang-xy menjadi

, ,

, , (3.5)

57

dimana . Oleh karena itu, penyelesaian integral garis

∫C

dyyxG ),( pada persamaan (3.4) dengan penggantian khusus untuk x dan

y. Untuk menyederhanakan notasi dengan memisalkan

, , , .

Dengan menerapkan aturan rantai untuk y pada persamaan (3.5)

didapatkan

.

Akibatnya,

∫∫

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ Ψ

∂∂

+∂∂

=

=

b

a

CC

dttvyt

uytG

dtdtdytGdyyxG

)(')(')(

)(),(

ϕ

karena dan , kita dapat memandang integral

garis pada kurva C sebagai integral garis yang mengelilingi kurva K pada

bidang-uv. Jadi,

[ ]

[ ]

)6.3(

),(),,(

)(')('))(),(()),(),((

)(')(')(),(

∫∫

∂∂

+∂∂

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

+∂∂

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ Ψ

∂∂

+∂∂

ΨΨ=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ Ψ

∂∂

+∂∂

=

K

K

b

a

b

aC

dvvyGdu

uyG

dvvydu

uyvugvufG

dttvyt

uyttgttfG

dttvyt

uytGdyyxG

ϕϕϕ

ϕ

58

di mana G sebagai suatu singkatan dari [ ]),(),,( vugvufG . Integral garis

pada sisi sebelah kanan dari persamaan (3.6) dapat ditulis dalam bentuk

dimana uyGM∂∂

= dan .vyGN∂∂

=

Dengan menggunakan teorema 3.1, didapatkan

dvduuy

vy

vy

uy

yG

uy

vx

vy

ux

xG

dvduuy

vy

yG

vx

xG

vy

uy

yG

ux

xG

dvduuy

vG

vy

uG

dvduuy

vG

uvyG

vy

uG

vuyG

dvduv

MuNdvNduM

S

S

S

S

K S

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫ ∫∫

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

∂∂

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

−∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+∂∂

∂−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+∂∂

∂=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

=+

22

dvduuy

vx

vy

ux

xG

dvduyG

uy

vx

vy

ux

xG

S

S

∫∫

∫∫

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

∂∂

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

∂∂

= )0(

karena / , dan dengan menggunakan definisi 3.3 diperoleh

( )

( ) dvduvuyxvugvufF

dvduvuyxyxFdvNduM

S

SK

∫∫

∫∫∫

∂∂

=

∂∂

=+

),(),(),(),,(

),(),(,

Dengan mengkombinasikan persamaan (3.4) dan (3.6) terbukti bahwa

∫∫∫∫ ∂∂

=SR

dudvvuyxvugvufFdxdyyxF),(),()),(),,((),( ▪

59

Contoh 3.5:

Gunakan toerema 3.2 untuk mendapatkan penyelesaian bentuk untuk

koordinat kutub

∫∫∫∫ =SR

ddrrrrfdAyxf θθθ )sin,cos(),(

Penyelesaian:

Pada koordinat kutub, kita mempunyai r dan sebagai pengganti u dan v.

Suatu cara untuk mengubah integral pada koordinat Cartesius

∫∫R

dAyxf ),( ke integral pada koordinat kutub melalui dua langkah.

Pertama, mengganti variabel x dan y menjadi fungsi dari r dan .

Misalkan , merupakan titik pada koordinat Cartesius maka dalam

koordinat kutub didapatkan hubungan

cos dan sin (3.7)

Kemudian langkah kedua, pada persamaan (3.7) dengan menggunakan

definisi 3.3 didapatkan

rrrrr

yry

xrx

ryxrJ =+=

−=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∂∂

= )sin(coscossinsincos

),(),(),( 22 θθ

θθθθ

θ

θθ

θ

Dalam koordinat Cartesius atau sedangkan dalam

koordinat kutub menjadi | , | atau | , | .

Jadi, dengan menggunakan teorema 3.2, perubahan variabel dari koordinat

Cartesius ke koordinat kutub dituliskan sebagai berikut

60

∫∫

∫∫∫∫=

∂∂

=

S

SR

ddrrrrf

ddrr

yxrrfdAyxf

θθθ

θθ

θθ

)sin,cos(

),(),()sin,cos(),(

dimana S merupakan daerah integrasi pada koordinat kutub.

Contoh 3.6:

Hitunglah

dimana R adalah daerah berbentuk setengah lingkaran yang dibatasi oleh

garis x dan kurva √1 seperti pada gambar berikut ini

x

y

)0,1()0,1(−

21 xy −=11=r

0=θπθ =

bidang-

Penyelesaian:

Pada koordinat Cartesius bidang-xy, perhitungan integral tersebut susah

untuk diintegralkan sehingga dibutuhkan transformasi koordinat ke

koordinat kutub dengan menggunakan persamaan

61

cos , sin dan

sehingga dengan adanya penggantian variabel tersebut didapatkan

determinan Jacobi sebagai berikut

rrrrr

yry

xrx

ryxrJ =+=

−=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∂∂

= )sin(coscossinsincos

),(),(),( 22 θθ

θθθθ

θ

θθ

θ

Daerah setengah lingkaran pada koordinat Cartesius untuk titik (-1,0) dan

(1,0) sesuai dengan 0 dan pada koordinat kutub bidang- .

Selain itu, karena , maka √1 pada koordinat

Cartesius sesuai dengan 1 pada koordinat kutub bidang- . Batas-

batas koordinat kutub bidang- digambarkan sebagai berikut dengan

0 dan 0 1

bidang-

sehingga, perhitungan integral lipat di atas dengan batas 0 dan

0 1 pada bidang menjadi

62

∫ ∫

∫ ∫∫∫

−=

⎥⎦⎤=

=

=+

π

π

π

π

θ

θ

θ

θθ

0

0

1

0

0

1

0

0

1

0

)1(21

21

),(

2

2

222

de

de

ddrre

ddrrJedAe

r

r

r

R

yx

)1(2

)1(21

0

−=

⎥⎦⎤−=

e

e

π

θπ

Jadi, melalui transformasi perubahan variabel dari koordinat Cartesius ke

koordinat kutub dan dengan adanya determinan Jacobi maka perhitungan

integral lipat dua yang rumit akan lebih mudah untuk diintegralkan.

Contoh 3.7:

Hitung dydxyxD∫ ∫ + 22 , dimana D adalah daerah dalam bidang-xy yang

dibatasi oleh x2 + y2 = 4 dan x2 + y2 = 9.

Penyelesaian:

Batas daerah D pada koordinat Cartesius bidang-xy yang dibatasi oleh

4 dan 9 bila dinyatakan dalam gambar akan

berbentuk suatu lingkaran. Untuk mempermudah perhitungan kita

menyatakan dalam koordinat kutub , . Transformasi dari

koordinat Cartesius ke koordinat kutub memberikan persamaan

63

θθ sin,cos ryrx ==

sehingga x2 + y2 = r2. Dengan menggunakan transformasi ini, daerah D

pada bidang-xy akan ditransformasikan menjadi daerah S pada bidang- .

Lingkaran dengan batas x2 + y2 = 4 memiliki jari-jari 2 dan lingkaran

dengan batas x2 + y2 = 9 memiliki jari-jari 3. Determinan Jacobi dari

transformasi berdasarkan definisi 3.3 dapat dituliskan

rrrrr

yry

xrx

rJ =+=−

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

= )sin(coscossinsincos

),( 22 θθθθθθ

θ

θθ

Melalui penggantian variabel dari koordinat Cartesius pada bidang-xy ke

koordinat kutub pada bidang- maka akan membentuk persegi panjang

yang dibatasi oleh 2, 3, dan 0, 2 . Jadi,

perhitungan integral lipat dua dengan menggunakan teorema 3.2

didapatkan

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫∫∫

=

−=

⎥⎦⎤=

=

⋅=

=+

π

π

π

π

θ

θ

θ

θ

θ

θθ

2

0

32

0

3

3

2

2

0

3

2

0

3

2

2

22

319

)23(31

31

),(

d

d

dr

ddrr

ddrrr

ddrrJrdydxyx

S

SD

64

D

0 2 3 x 2π

π

0 1 2 3 r

S

θ y

Bidang-xy Bidang-rθ

( )

338

023

193

19 2

0

π

π

θπ

=

−=

⎥⎦⎤=

Jadi, melalui transformasi koordinat dengan perubahan variabel dari

koordinat Cartesius ke koordinat kutub dan dengan adanya determinan

Jacobi maka perhitungan integral lipat dua yang rumit akan lebih mudah

untuk diintegralkan. Transformasi koordinat dari koordinat Cartesius ke

koordinat kutub dapat digambarkan sebagai berikut:

Dalam perhitungan integral lipat tiga dari fungsi tiga variabel

seringkali dijumpai juga kesulitan dalam pengintegralan. Untuk itu,

diperlukan transformasi dari koordinat Cartesius ke dalam koordinat

tabung atau ke koordinat bola. Untuk mentransformasikan integral dari

koordinat Cartesius ke dalam koordinat tabung atau ke koordinat bola

65

diperlukan juga metode determinan Jacobi. Misalkan transformasi integral

lipat tiga dengan persamaan

, , , , , , , ,

maka determinan Jacobi dapat didefinisikan sebagai berikut:

Definisi 3.5:

Jika , , , , , , dan , , , maka

determinan Jacobi , , dan z terhadap , , dan w, dinyatakan dengan

),,(),,(),,(

wvuzyx

wz

vz

uz

wy

vy

uy

wx

vx

ux

wvuJ∂∂

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

Transformasi koordinat pada integral lipat dua dalam teorema 3.2 dapat

diperluas untuk integral lipat tiga dan dinyatakan pada teorema berikut ini:

Teorema 3.3:

Misalkan bahwa daerah S pada bidang-uvw ditransformasikan ke daerah R

pada bidang-xyz dengan transformasi T satu satu dan ditentukan dengan

, , , , , , , , , dimana , dan

mempu-nyai turunan parsial pertama yang kontinu pada S. Jika f kontinu

pada R dan determinan Jacobi ),,(),,(

wvuzyx

∂∂ tidak nol pada S, maka

66

∫∫∫∫∫∫ ∂∂

=SR

dudvdwwvuzyxwvuhwvugwvufFdVzyxF),,(),,()},,(),,,(),,,({),,(

Pada teorema 3.3 tidak dibuktikan karena pembuktian teorema 3.3 sejalan

dengan teorema 3.2.

Contoh 3.8:

Gunakan teorema 3.3 untuk mengubah penyelesaian integral lipat tiga

pada koordinat tabung:

∫∫∫∫∫∫ =GB

dzddrrzrrfdVzyxf θθθ ),sin,cos(),,(

Penyelesaian:

Pada koordinat tabung, kita mempunyai , , dan z untuk menggantikan

, , dan w. Misalnya daerah B pada bidang-xyz adalah peta dari daerah G

pada bidang- di bawah transformasi T yang dinyatakan sebagai

perubahan variabel ke koordinat tabung dengan persamaan yaitu

zzryrx === ,sin,cos θθ

Determinan Jacobi dari transformasi tersebut adalah

rr

rr

rr

zrzyxzrJ

=+=

+=

−=

∂∂

=

)sin(cossincos

1000cossin0sincos

),,(),,(),,(

22

22

θθ

θθ

θθθθ

θθ

67

Jadi, penyelesaian integral lipat tiga dari koordinat Cartesius ke dalam

koordinat tabung berdasarkan teorema 3.3 dinyatakan sebagai berikut

zdddrrzrrf

dzddrzrzyxzrrfdVzyxf

z

z

rr

rr

B G

∫ ∫ ∫

∫∫∫ ∫∫∫

=

∂∂

=

2

1

2

1

2

1

)(

)(

),(

),(

),sin,cos(

),,(),,(),sin,cos(),,(

θθ

θθ

θ

θ

θθθ

θθ

θθ

Contoh 3.9:

Hitunglah integral lipat tiga xddydzyxx yx

yx∫ ∫ ∫

− −−

+

+1

0

1

0

22/322

2 22

22

)( dengan

menggunakan koordinat tabung.

Penyelesaian:

Penyelesaian integral tersebut sangat rumit bila diselesaikan dengan

menggunakan koordinat Cartesius sehingga kita dapat mentransformasikan

ke dalam koordinat tabung dengan menggunakan persamaan

zzryrx === ,sin,cos θθ

Determinan Jacobi dari transformasi tersebut adalah

1000cossin0sincos

),,(),,(),,(

θθθθ

θθ

rr

zrzyxzrJ

−=

∂∂

=

rr

rr

=+=

+=

)sin(cossincos

22

22

θθ

θθ

68

Dari persamaan θθ sin,cos ryrx == didapatkan 222 ryx =+ sehingga

pada koordinat Cartesius batas 222 yxz −−= akan menjadi 22 rz −=

pada koordinat tabung. Jadi, untuk setiap nilai r dan tetap, nilai z akan

berubah-ubah dari 2r sampai 22 r− . Batas untuk 21 xy −= pada

koordinat Cartesius dapat dituliskan 122 =+ yx sehingga pada koordinat

tabung dapat dinyatakan 1=r . Jadi, untuk setiap nilai dan z tetap, pada

koordinat tabung nilai r berubah-ubah dari 0 sampai 1. Karena pada

koordinat Cartesius r berubah-ubah dari 0 sampai 1 maka nilai akan

berubah-ubah dari 0 sampai . Jadi, perhitungan integral lipat tiga ke

dalam koordinat tabung dapat dituliskan sebagai berikut:

]

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θθ

π

π

π

π

π

π

π

π

d

drr

ddrrr

ddrrr

ddrrr

ddrr

ddrdzrr

ddrdzzrzyxrxddydzyx

z r

r

r

r

r

r

x yx

yx

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

−=

−=

−=

=

=

∂∂

=+

−− −−

+

2/

0

2/

0

1

0

75

2/

0

1

0

64

42/

0

1

0

2

42/

0

1

0

2

42/

0

1

0

2

2/

0

1

0

23

2/

0

1

0

22/32

1

0

1

0

22/322

71

512

752

)(2

)1(2

)22(

)(

),,(),,()()(

2

2

2

2

2

2

2 22

22

69

352

0235

4354

3522

] 2/

0

2/

0

π

π

θ

θ π

π

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

=

= ∫ d

Jadi, dengan adanya transformasi koordinat dari koordinat Cartesius ke

koordinat tabung akan diperoleh perhitungan integral lipat tiga yang lebih

sederhana.

Contoh 3.10:

Gunakan teorema 3.3 untuk pengubah penyelesaian integral lipat tiga pada

koordinat bola:

∫∫∫ ∫∫∫=B G

dddfdVzyxf θφρφρφρθφρθφρ sin)cos,sinsin,cossin(),,( 2

Penyelesaian:

Pada koordinat bola, kita mempunyai , , dan untuk menggantikan

, , dan w. Misalnya daerah B pada bidang-xyz adalah peta dari daerah G

pada bidang- di bawah transformasi T yang dinyatakan sebagai

perubahan variabel ke koordinat bola dengan persamaan yaitu

φρθφρθφρ

cossinsincossin

===

zyx

Determinan Jacobi dari transformasi tersebut adalah

70

φρ

φφφρ

θθφρθθφφρ

φρθφρθφφρθφφρ

θφρθφρφρ

θφφρθφφρφ

θφρθφθφρθφ

φρθφρθφρθφρθφρ

φ

φρφθφρθφρθφθφρθφρθφ

θφρ

sin)sin(cossin

)sin(cossin)sin(cossincossinsincossinsinsincoscossincos

)sinsincossin(sin)sinsincoscossincos(cos

0cossinsinsinsinsincossin

sincossinsincos

sinsincoscoscos

0sincoscossinsincossinsin

sinsincoscoscossin),,(

2

222

22322222

232232222222

2222

2222

=

+=

+++=

+++=

++

+=

+−

+−

=

−=J

Jadi, penyelesaian integral lipat tiga dari koordinat Cartesius ke dalam

koordinat bola berdasarkan teorema 3.3 dinyatakan sebagai berikut:

θφρφρφρθφρθφρ

θφρθφρ

φρθφρθφρ

θ

θ

θφ

θφ

θφρ

θφρ∫ ∫ ∫

∫∫∫ ∫∫∫

=

∂∂

=

2

1

2

1

2

1

)(

)(

),(

),(

2 sin)cos,sinsin,cossin(

),,(),,()cos,sinsin,cossin(),,(

dddf

dddzyxfdVzyxfB G

Contoh 3.11:

Hitunglah

/

dimana B adalah satuan bola pada .

Penyelesaian:

Perhitungan integral lipat tiga di atas sangat rumit bila dikerjakan

pada koordinat Cartesius sehingga kita membutuhkan transformasi

71

koordinat yang lain untuk mempermudah perhitungan. Transformasi

koordinat ke koordinat bola tampaknya bisa digunakan dengan alasan

dapat diganti dengan satu variabel pada koordinat bola

dengan . Jika G adalah daerah dengan batas-batas

0 1, 0 2 , 0

dan transformasi pada koordinat bola diberikan oleh persamaan

φρθφρθφρ

cossinsincossin

===

zyx

dengan determinan Jacobi dari transformasi tersebut adalah

φρφρφ

θφρθφρθφθφρθφρθφ

θφρ sin0sincos

cossinsincossinsinsinsincoscoscossin

),,( 2=−

−=J

maka dengan menggunakan transformasi koordinat ke koordinat bola dan

dengan adanya determinan Jacobi, perhitungan integral lipat tiga di atas

menjadi

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫∫∫ ∫∫∫

+−=

−=

−=

=

=

=++

1

0

2

1

00

2

1

0 0

2

1

0 0

20

2

1

0 0

2

0

2

)()(

0coscos2

cos2

02sin

sin

sin

),,(

3

3

3

3

3

2/322/3222

ρπρπ

ρφρπ

ρφπφρ

ρφθφρ

ρφθφρ

ρφθθφρ

ρ

πρ

πρ

ππρ

π πρ

ρ

de

de

dde

dde

ddde

dddJedVeB G

zyx

72

[ ]

[ ]( )1

343

4

)3(3

4

4

112

1

0

1

0

2

1

0

2

1

0

2

3

3

3

3

−=

=

=

=

+=

e

e

de

de

de

π

π

ρρπ

ρρπ

ρρπ

ρ

ρ

ρ

ρ

Jadi, melalui transformasi koordinat ke koordinat bola maka perhitungan

integral lipat tiga dapat dengan mudah diselesaikan.

73

BAB IV

PENUTUP

Berdasarkan pembahasan yang telah dibahas pada bab sebelumnya dalam

skripsi ini, maka dapat diambil beberapa kesimpulan yaitu:

1. Transformasi koordinat adalah pemetaan sebuah sistem koordinat pada

sebuah sistem koordinat yang lain. Tujuan adanya transformasi koordinat

adalah untuk menemukan suatu daerah baru yang lebih sederhana dan

untuk mempermudah perhitungan pada integral lipat yang rumit menjadi

lebih sederhana. Sistem koordinat yang digunakan adalah sistem koordinat

Cartesius, sistem koordinat kutub, sistem koordinat tabung dan sistem

koordinat bola. Pada sistem persamaan

),(),(

yxgvyxfu

==

secara umum mendefinisikan transformasi atau pemetaan dari bidang-xy

ke bidang-uv seperti gambar di bawah ini.

Dengan sistem persamaan tersebut dapat ditentukan perubahan variabel

dari fungsi x dan y menjadi fungsi u dan v.

y

x

v

u

(x, y) . . (u, v)

74

2. Untuk mentransformasikan fungsi ),( yxF pada koordinat Cartesius ke

dalam koordinat kutub dengan menggunakan perubahan variabel

θθ sin,cos ryrx == . Untuk mentransformasikan fungsi ),,( zyxF

pada koordinat Cartesius ke dalam koordinat tabung dengan menggunakan

perubahan variabel θθ sin,cos ryrx == dan zz = sedangkan untuk

mentransformasikan fungsi ),,( zyxF pada koordinat Cartesius ke dalam

koordinat bola dengan menggunakan perubahan variabel

.cos,sinsin,cossin φρθφρθφρ === zyx

3. Transformasi koordinat dari bidang-xy ke bidang-uv dapat dilakukan

dengan menggunakan teorema Green. Melalui teorema Green, perhitungan

pada integral lipat dua maupun integral lipat tiga yang rumit akan lebih

mudah untuk diintegralkan. Dengan teorema Green dapat dibuktikan jika

),(),,( vugyvufx == adalah transformasi koordinat, maka

∫∫∫∫ ∂∂

=SR

dudvvuyxvugvufFdxdyyxF),(),()),(),,((),(

Bentuk ),(),(

vuyx

∂∂ merupakan determinan Jacobi dari x dan y terhadap u dan

v, dinotasikan dengan

uy

vx

vy

ux

vy

uy

vx

ux

vuyxvuJ

∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∂∂

=),(),(),(

75

Determinan Jacobi pada fungsi tiga variabel dengan perubahan variabel

, , , , , , dan , , didefinisikan

),,(),,(),,(

wvuzyx

wz

vz

uz

wy

vy

uy

wx

vx

ux

wvuJ∂∂

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

sehingga perubahan variabel dari bidang-xyz ke dalam bidang-uvw melalui

transformasi koordinat dan determinan Jacobi untuk fungsi tiga variabel

adalah

∫∫∫∫∫∫ ∂∂

=SR

dudvdwwvuzyxwvuhwvugwvufFdVzyxF .),,(),,()},,(),,,(),,,({),,(

Dengan adanya perubahan variabel melalui transformasi koordinat maka

determinan Jacobi dapat ditentukan untuk mempermudah perhitungan

pada integral lipat yang rumit menjadi lebih sederhana.

76

DAFTAR PUSTAKA

Purcell, Edwin J., Rigdom, Steven E. & Varberg, Dale. (2003). Kalkulus edisi ke

delapan. Jakarta: Erlangga.

Robert, Murray Spingel. (2006). Kalkulus Lanjut Edisi Kedua Schaum’s Out

Lines. Jakarta: Erlangga.

Smith, Robert T., Minton, Ronald B. (1955). Calculus Second Edition. United

States of America: McGraw-Hill Companies, Inc.

Stewart, James. (2003). Kalkulus Edisi Keempat. Jakarta: Erlangga.

Swokowski, Earl W. (1980). Calculus with Analytic Geometry. United States of

America: Pearson Education, Inc.