repository.usd.ac.idrepository.usd.ac.id/27010/2/043114002_Full.pdf · 2018-05-28 · integral...

Click here to load reader

  • date post

    03-Jul-2019
  • Category

    Documents

  • view

    388
  • download

    16

Embed Size (px)

Transcript of repository.usd.ac.idrepository.usd.ac.id/27010/2/043114002_Full.pdf · 2018-05-28 · integral...

  • 1

    BAB I

    PENDAHULUAN

    A. Latar Belakang Masalah

    Dalam mempelajari kalkulus peubah banyak, seringkali kita jumpai

    berbagai masalah dalam pengintegralan. Masalah sederhana yang sering muncul

    dalam pengintegralan adalah tentang bagaimana menghitung suatu integral yang

    daerah pengintegralannya sulit untuk diintegralkan. Misalnya, pada perhitungan

    integral lipat dua dari fungsi dua variabel atau pada integral lipat tiga dari fungsi

    tiga variabel seringkali kita jumpai beberapa kesulitan perhitungan dalam

    mengintegralkan fungsi tersebut. Untuk mengatasi masalah ini, diperlukan suatu

    transformasi yaitu transformasi koordinat yang mentransformasikan integral dari

    suatu koordinat ke koordinat yang lain melalui perubahan variabel. Transformasi

    koordinat yang terjadi dalam pengintegralan misalnya transformasi koordinat dari

    koordinat Cartesius ke dalam koordinat kutub, koordinat tabung, atau ke dalam

    koordinat bola. Jadi, melalui transformasi koordinat dan adanya perubahan

    variabel dalam integral lipat maka konsep Jacobian atau determinan Jacobi dapat

    digunakan. Determinan Jacobi digunakan sebagai upaya untuk mempermudah

    perhitungan integral lipat.

    Transformasi koordinat ialah pemetaan sebuah sistem koordinat pada

    sebuah sistem koordinat yang lain. Tujuan adanya transformasi koordinat adalah

    untuk menemukan suatu daerah baru yang lebih sederhana dan untuk

    mempermudah perhitungan pada integral lipat yang rumit menjadi lebih

  • 2

    sederhana. Misalnya, untuk setiap pasangan terurut ),( yx dalam daerah asal yang

    berhubungan dengan pasangan terurut ),( vu dalam daerah lawan, dapat

    dinyatakan dalam bentuk:

    ),(),( vuyxT = . (1)

    Persamaan (1) digambarkan sebagai berikut:

    Jika setiap pasangan ),( vu ditentukan oleh ),( yx maka u dan v merupakan fungsi

    dari x dan y. Fungsi x dan y ini akan digunakan dalam proses penggantian variabel

    menurut C.G. Jacobi. Fungsi tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut:

    ( ) ( )yxgvyxfu ,,, == ...............................................(2)

    di mana fungsi ),( yxf dan ),( yxg adalah kontinu dan mempunyai turunan

    parsial pertama yang kontinu. Persamaan (2) menggambarkan suatu transformasi

    koordinat T dari bidang-xy ke bidang-uv.

    Seorang matematikawan Perancis bernama Cauchy merupakan orang

    pertama yang menggunakan determinan khusus yang melibatkan turunan parsial,

    tetapi pada tahun 1804-1851, seorang ilmuwan matematika berasal dari Jerman

    yang bernama Carl Gustav Jacob Jacobi mengembangkan teori determinan dan

    transformasi untuk menyelesaikan permasalahan berbagai integral dalam

    y

    x

    (x,y)

    u

    (u,v)

    vT

  • 3

    perhitungan integral lipat. Determinan yang telah dikembangkannya tersebut

    dikenal sebagai determinan Jacobi.

    Misalnya, dalam mengintegralkan fungsi

    dxdyeR

    yx + )(22

    di mana R adalah daerah integral pada koordinat Cartesius yang dibatasi oleh

    lingkaran 222 ryx =+ atau }.),({ 222 ryxyxR =+= Penyelesaian integral

    lipat dua pada fungsi )(22 yxe + tidaklah mudah untuk diintegralkan seperti biasa.

    Untuk itu, diperlukan transformasi koordinat ke koordinat yang lain misalnya

    ditransformasikan ke dalam koordinat kutub. Jika daerah integral R pada

    koordinat Cartesius ditransformasikan ke daerah integral S pada koordinat kutub

    maka perubahan variabel dari koordinat Cartesius ke koordinat kutub dituliskan

    cosrx = dan sinry = .

    Jadi, dengan adanya transformasi koordinat melalui perubahan variabel tersebut

    akan mengubah integral dalam x dan y ke integral dalam r dan sehingga

    perhitungan pada integral menjadi lebih mudah untuk di integralkan dan

    dituliskan

    dAedxdyeS

    r

    R

    yx + =222 )(

    di mana pada koordinat kutub

    ddrr

    yxdA),(),(

    = dan bentuk),(),(

    ryx

    merupakan determinan Jacobi dari transformasi tersebut.

  • 4

    B. Rumusan Masalah

    Masalah yang akan dibahas pada skripsi ini adalah:

    1. Apakah yang dimaksud dengan determinan Jacobi?

    2. Bagaimana menggunakan determinan Jacobi dalam menyelesaikan

    masalah dalam perhitungan integral lipat?

    C. Batasan Masalah

    Pembahasan masalah determinan Jacobi dalam skripsi ini hanya dibatasi pada

    penerapan determinan Jacobi pada fungsi dengan dua atau tiga variabel.

    D. Tujuan Penulisan

    Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah untuk:

    1. Membahas transformasi dua variabel atau tiga variabel dari daerah asal

    tertentu ke dalam sistem koordinat baru dengan daerah asal baru.

    2. Menentukan turunan-turunan parsial dari sistem persamaan implisit

    dengan dua variabel dan tiga variabel.

    3. Menggunakan determinan Jacobi dalam menghitung integral lipat dua

    atau integral lipat tiga.

  • 5

    E. Metode Penulisan

    Penulisan skripsi ini menggunakan metode studi pustaka yaitu dengan

    menggunakan buku-buku dan makalah yang telah dipublikasikan sehingga

    tidak ditemukan hal baru.

    F. Manfaat Penulisan

    Manfaat dari penulisan skripsi ini adalah:

    1. Untuk memperdalam pengetahuan dalam mempelajari kalkulus peubah

    banyak.

    2. Memberikan wawasan mengenai peranan determinan Jacobi di dalam

    mempelajari kalkulus peubah banyak.

    G. Sistematika Penulisan

    BAB I PENDAHULUAN

    A. Latar Belakang

    B. Perumusan Masalah

    C. Pembatasan Masalah

    D. Tujuan Penulisan

    E. Metode Penulisan

    F. Manfaat Penulisan

    G. Sistematika Penulisan

  • 6

    BAB II TRANSFORMASI

    A. Sistem Koordinat

    B. Transformasi Koordinat

    C. Fungsi Implisit: 0),,(,0),( == zyxfyxf

    BAB III INTEGRAL LIPAT

    A. Integral Lipat Dua

    B. Integral Lipat Tiga

    C. Determinan Jacobi pada Integral Lipat

    BAB IV PENUTUP

  • 7

    BAB II

    TRANSFORMASI

    A. Sistem Koordinat

    Ada beberapa macam sistem koordinat yang akan dibahas pada bab

    II ini, di antaranya sistem koordinat Cartesius, sistem koordinat kutub,

    sistem koordinat tabung, dan sistem koordinat bola.

    1. Sistem Koordinat Cartesius Dua Dimensi

    Dua orang Prancis bernama Pierre de Fermat dan Rene Descartes

    telah memperkenalkan sistem koordinat yang sekarang kita kenal dengan

    sebutan sistem koordinat Cartesius atau sistem koordinat siku-siku

    (rectanguler). Sistem koordinat Cartesius dua dimensi merupakan sistem

    koordinat yang terdiri dari dua sumbu yang saling tegak lurus satu dengan

    yang lain di mana keduanya terletak pada satu bidang yaitu bidang-xy.

    Perpotongan kedua sumbu tersebut dinamakan titik asal dan diberi tanda

    O. Dasar pemikiran Pierre dan Descartes adalah untuk menunjukkan

    kedudukan titik P pada bidang dengan pasangan bilangan yang ditulis

    dengan lambang ),( yx di mana x adalah jarak pada sumbu X (diukur dari

    O) yang disebut absis dan y adalah jarak pada sumbu Y (diukur dari O)

    yang disebut ordinat (Gambar 2.1).

  • 8

    2. Sistem Koordinat Kutub

    Selain dengan sistem koordinat Cartesius yang merupakan jarak

    berarah dari dua sumbu yang tegak lurus, kedudukan suatu titik pada

    bidang dapat juga dinyatakan dalam suatu sistem koordinat yang

    diperkenalkan oleh Newton yaitu sistem koordinat polar atau sistem

    koordinat kutub. Sistem koordinat kutub dimulai dengan menetapkan

    suatu titik tetap misalkan titik O yang disebut titik kutub atau titik asal dan

    sinar tetap Ox yang disebut sumbu kutub atau sinar awal. Sumbu kutub

    dimulai dari titik kutub dan diperluas sampai tak hingga ke satu arah, yang

    biasanya dibuat mendatar dan mengarah ke kanan seperti pada (Gambar

    2.2). Sumbu kutub ini berhimpit dengan sumbu X positif di dalam sistem

    koordinat Cartesius.

    Andaikan P titik sebarang pada bidang, maka titik P pada bidang

    dapat ditentukan jika jarak dari O ke P diketahui, misalnya r adalah jarak

    dari O ke P dan jika sudut antara sumbu kutub dan garis OP adalah

    maka koordinat titik P adalah ),( r dan ditulis ),( rP (Gambar 2.3).

    P(x, y)

    X O

    Y

    y

    xGambar 2.1

  • 9

    Hubungan antara koordinat kutub dengan koordinat Cartesius tampak

    pada (Gambar 2.4)

    Apabila titik kutub dan titik asal dihimpitkan, demikian pula sumbu kutub

    dan sumbu X positif juga dihimpitkan, maka terdapat hubungan antara

    koordinat kutub dengan koordinat Cartesius titik P:

    sin,cos ryrx == dan xy

    =tan jika 0x (2.1)

    Tampak bahwa

    222 ryx =+ (2.2)

    ),(),( yxPrP =

    Y

    X

    y

    r

    x Gambar 2.4

    O

    P ),( r

    Sumbu kutub

    Gambar 2.2

    O

    r

    xx OSumbu kutub

    Gambar 2.3

  • 10

    3. Sistem Koordinat Cartesius Tiga Dimensi

    Sistem koordinat Cartesius tiga dimensi pada prinsipnya sama

    dengan sistem koordinat Cartesius dua dimensi, yaitu dengan

    menambahkan satu sumbu koordinat yaitu sumbu Z yang ketiganya saling

    tegak lurus sehingga dalam koordinat tegak, sebuah titik P mempunyai

    koordinat ),,( zyxP di mana x adalah jarak pada sumbu X yang disebut

    absis, y adalah jarak pada sumbu Y yang disebut ordinat, dan z adalah

    jarak pada sumbu Z yang disebut applikat. Titik O merupakan titik pusat

    dari ketiga sumbu koordinat X, Y, dan Z (Gambar 2.5).

    4. Sistem Koordinat Tabung (Silinder)

    Suatu sistem koordinat lain dalam ruang dimensi tiga adalah

    koordinat tabung (silinder). Pada koordinat tabung digunakan koordinat

    kutub r dan sebagai pengganti x dan y dalam sistem koordinat

    Cartesius dan koordinat z yang sama dengan koordinat dalam sistem

    koordinat Cartesius. Jika ),,( zyx merupakan koordinat Cartesius suatu

    titik P dalam ruang berdimensi tiga maka koordinat tabung dari suatu titik

    ),,( zyxP

    Y

    Z

    xy

    O

    X

    y

    Gambar 2.5

  • 11

    P mempunyai koordinat ),,( zrP dengan ),( r adalah koordinat kutub

    dari proyeksi P pada bidang-XY dan z koordinat Cartesius proyeksi P

    pada sumbu Z (Gambar 2.6).

    Hubungan antara koordinat Cartesius dan koordinat tabung ditentukan

    oleh

    sin,cos ryrx == dan zz = (2.3)

    dan tampak bahwa

    xyyxr =+= tan,222 jika 0x (2.4)

    5. Sistem Koordinat Bola

    Sistem koordinat yang ketiga dalam ruang dimensi tiga dinamakan

    koordinat bola. Sebuah titik P memiliki koordinat bola ),,( di mana

    (rho) = OP adalah jarak dari titik asal O ke P, dan adalah sudut

    kutub Q yaitu proyeksi P pada bidang-xy dan menyatakan besarnya

    Y

    X

    Z

    ),,( zrP

    r

    z

    Gambar 2.6

    )0,,( r

  • 12

    sudut antara sumbu z positif dengan garis OP (Gambar 2.7). Pada

    koordinat bola dinyatakan bahwa

    0,20,0 (2.5)

    Hubungan koordinat bola dan koordinat Cartesius digambarkan sebagai

    berikut

    Jika dilihat pada gambar 2.7 maka

    sin,sin,cos === OQOQyOQx (2.6)

    Karena sin=OQ maka

    cos,sinsin,cossin === zyx (2.7)

    dan tampak bahwa

    2222 zyx ++= (2.8)

    y

    x

    z

    Gambar 2.7 Q

    O

    ),,( P

  • 13

    B. Transformasi Koordinat

    Definisi 2.1 (Transformasi koordinat):

    Transformasi koordinat adalah pemetaan sebuah sistem koordinat pada

    sebuah sistem koordinat yang lain.

    Sistem persamaan

    ==

    ),(),(

    yxgvyxfu

    secara umum mendefinisikan transformasi atau pemetaan dari bidang-xy

    ke bidang-uv. Suatu fungsi T yang domain (daerah asal) dan range (daerah

    hasil) adalah himpunan bagian dari RR maka untuk setiap pasangan

    terurut ),( yx dalam domain yang bersesuaian dengan suatu pasangan

    terurut tunggal ),( vu dalam range adalah

    ),(),( vuyxT = .

    Fungsi T tersebut dapat diperlihatkan secara geometri seperti pada ilustrasi

    di bawah ini, di mana titik ),( vu dalam bidang-uv bersesuaian dengan titik

    ),( yx dalam bidang-xy, sehingga ),( vu disebut sebagai image (peta) dari

    ),( yx di bawah T.

  • 14

    Karena setiap pasangan ),( vu ditentukan oleh (x, y), jadi u dan v adalah

    fungsi dari x dan y sehingga

    ),(),(

    yxgvyxfu

    ==

    di mana fungsi f dan g mempunyai daerah asal yang sama seperti T.

    Pilihan sistem koordinat yang digunakan bergantung pada persoalan yang

    dihadapi. Oleh karena itu, perlu diketahui transformasi koordinatnya

    misalnya, sistem koordinat Cartesius dengan sistem koordinat kutub,

    sistem koordinat tabung atau sistem koordinat bola.

    Misalnya, diberikan transformasi koordinat persamaan

    ),(),,( yxgvyxfu == dan daerah pada bidang-uv disekat dengan garis

    vertikal ...,,, 321 cucucu === dan garis horizontal ...,,, 321 dvdvdv ===

    maka kurva yang bersesuaian untuk fungsi f dan g dapat dituliskan

    ji dyxgvcyxfu ==== ),(,),(

    di mana i = 1, 2, 3, dan j = 1, 2, 3, menentukan suatu hubungan

    kurvilinier yang membagi daerah dalam bidang-xy. Gambar di bawah ini

    y

    x

    v

    u

    (x, y) . . (u, v)

    T

    ),(),( vuyxT =

  • 15

    akan mengilustrasikan empat kurva dari tiap jenis persamaan di atas yang

    menghubungkan suatu transformasi T tertentu di mana jenis kurva pada

    bidang-xy diperoleh tergantung pada persamaan fungsi f dan g yang

    diberikan.

    Contoh 2.1:

    Misalkan T merupakan transformasi koordinat dari bidang-xy ke bidang-uv

    yang ditentukan dengan persamaan

    yxvyxu 2,2 =+=

    a. Tentukan peta dari (0,1), (1,2), dan (2,-3).

    b. Dalam bidang-uv, digambarkan garis vertikal u = 2, u = 4, u = 6, u = 8,

    dan garis horizontal v = -1, v = 1, v = 3, v = 5. Gambarkan hubungan yang

    bersesuaian dengan kurva-u dan kurva-v dalam bidang-xy.

  • 16

    Penyelesaian:

    a. Untuk menentukan peta dari (0,1), (1,2), dan (2,-3) dapat

    menggunakan persamaan:

    )2,2(),(),( yxyxvuyxT +==

    sehingga peta dari (0,1), (1,2), dan (2,-3) adalah:

    T(0,1) = (2,-2), T(1,2) = (5,-3), dan T(2,-3) = (-4,8)

    b. Persamaan garis untuk u = 2, u = 4, u = 6, u = 8, dan persamaan garis

    untuk v = -1, v = 1, v = 3, v = 5 dalam bidang-uv terlihat pada gambar di

    bawah ini, dan untuk menentukan persamaan garis pada bidang-xy

    berdasarkan fungsi u dalam bidang-uv adalah:

    82,62,42,22 =+=+=+=+ yxyxyxyx

    dan untuk menentukan persamaan garis dalam bidang-xy berdasarkan

    fungsi v dalam bidang-uv adalah:

    52,32,12,12 ==== yxyxyxyx

    Jadi, hubungan yang bersesuaian dengan kurva-u dan kurva-v dalam

    bidang-xy digambarkan sebagai berikut:

  • 17

    Dari gambar di atas dapat diperlihatkan bahwa daerah pada bidang-xy

    yang berupa jajargenjang dapat ditransformasikan ke dalam bidang-uv

    yang berupa daerah persegi yang lebih sederhana.

    Contoh 2.2:

    Sebuah daerah R dalam bidang-xy dibatasi oleh 2,6 ==+ yxyx dan

    0=y . Tentukan daerah 'R dalam bidang-uv di mana R dipetakan dengan

    transformasi ., vuyvux =+=

    Penyelesaian:

    Daerah R yang dibatasi oleh garis-garis

    2,6 ==+ yxyx , dan 0=y

    jika digambarkan pada bidang-xy akan membentuk suatu segitiga

    sebarang.

    Untuk persamaan garis

    6=+ yx

    jika ditransformasikan ke dalam bidang-uv maka akan diperoleh

    persamaan garis

    3626)()(

    ===++

    uuvuvu

    Dengan cara yang sama, untuk persamaan garis

    2= yx

  • 18

    jika ditransformasikan dalam bidang-uv maka akan diperoleh persamaan

    garis

    1222)()(

    ===+

    vvvuvu

    Sedangkan untuk 0=y jika ditransformasikan dalam bidang-uv maka

    akan diperoleh persamaan garis

    0= vu atau vu = .

    Jadi, dengan adanya transformasi vuyvux =+= , maka daerah R

    yang berupa segitiga sebarang dalam bidang-xy akan menjadi segitiga

    siku-siku pada daerah 'R dalam bidang-uv yang dibatasi oleh ,1,3 == vu

    dan vu = seperti pada gambar berikut:

    Contoh 2.3:

    Sebuah daerah R dalam bidang-xy yang dibatasi oleh 222 ayx =+ ,

    0,222 ==+ xbyx dan 0=y di mana ba

  • 19

    Tentukanlah daerah 'R di mana R dipetakan dengan transformasi

    ,sin,cos ryrx == di mana 20,0 >r .

    Penyelesaian:

    Daerah R yang dibatasi oleh

    0=x , 0=y , 222 ayx =+ dan 222 byx =+

    pada bidang-xy berupa seperempat lingkaran di mana ba

  • 20

    Untuk persamaan garis 0=x di mana bya dengan adanya

    transformasi ,sin,cos ryrx == di mana 20,0 >r akan

    didapatkan persamaan garis dalam bidang- r sebagai berikut

    2

    0cos0cos

    =

    ==r

    Persamaan garis 2 = dalam bidang- r terletak pada interval garis

    bra .

    Untuk persamaan garis 0=y di mana bxa dengan adanya

    transformasi ,sin,cos ryrx == di mana 20,0 >r akan

    didapatkan persamaan garis dalam bidang- r sebagai berikut

    00sin0sin

    ===

    r

    Persamaan garis 0= dalam bidang- r terletak pada interval garis

    bra . Jadi, daerah R dalam bidang-xy yang berupa seperempat

    lingkaran dengan adanya transformasi ,sin,cos ryrx == dan

    20,0 >r akan berubah menjadi daerah yang lebih sederhana

    yaitu persegi panjang pada daerah 'R dalam bidang- r yang dibatasi oleh

    ar = , br = , 2 = dan 0= pada interval garis bra seperti pada

    gambar di bawah ini:

  • 21

    C. Fungsi Implisit

    Definisi 2.2 (Fungsi Implisit):

    Fungsi implisit adalah suatu fungsi di mana variabel bebas dan variabel

    tak bebasnya diletakkan pada ruas yang sama, biasanya dinyatakan dalam

    bentuk 0),( =yxF .

    Suatu bentuk persamaan

    0),( =yxF

    menentukan y sebagai suatu fungsi dari x, yang ekuivalen dengan

    )(xfy = di mana x disebut variabel bebas sedangkan y disebut variabel

    tak bebas. Dengan memandang y sebagai fungsi dari x, turunan dari kedua

    sisi terhadap x dapat ditentukan. Persamaan dalam bentuk

    ),,( yxfz =

  • 22

    menunjukkan bahwa x dan y adalah variabel bebas dan variabel tak bebas z

    adalah suatu fungsi dari kedua variabel bebas x dan y. Bentuk persamaan

    ),( yxfz = jika dituliskan dalam bentuk implisit menjadi 0),,( =zyxF .

    Definisi 2.3 (Turunan Parsial Dua Variabel):

    Jika ),,( yxfz = maka turunan parsial dari z terhadap x pada ),( yx

    didefinisikan dan ditulis

    hyxfyhxf

    xz

    h

    ),(),(lim0

    +=

    ,

    di mana y tetap dan limitnya ada.

    Turunan parsial dari z terhadap y pada ),( yx didefinisikan dan ditulis

    hyxfhyxf

    yz

    h

    ),(),(lim0

    +=

    ,

    di mana x tetap dan limitnya ada.

    Definisi 2.4 (Turunan Parsial Tiga Variabel):

    Jika ),,( zyxfw = adalah suatu fungsi dari tiga variabel x, y, dan z maka

    turunan parsial dari w terhadap x pada ),,( zyx didefinisikan dan ditulis

    hzyxfzyhxf

    xw

    h

    ),,(),,(lim0

    +=

    ,

    di mana y, z tetap dan limitnya ada.

    Turunan parsial dari w terhadap y pada ),,( zyx didefinisikan dan ditulis

    hzyxfzhyxf

    yw

    h

    ),,(),,(lim0

    +=

    ,

    di mana x, z tetap dan limitnya ada.

  • 23

    Turunan parsial dari w terhadap z pada ),,( zyx didefinisikan dan ditulis

    hzyxfhzyxf

    yw

    h

    ),,(),,(lim0

    +=

    ,

    di mana x, y tetap dan limitnya ada.

    Contoh 2.4:

    Diberikan ,sincos),( yxeyxf xy= tentukan xz / dan yz / .

    Penyelesaian:

    Misalkan ,sincos),( yxeyxfz xy== maka berdasarkan definisi 2.2

    untuk menentukan xz / dengan menganggap y tetap dan yz / dengan

    menganggap x tetap akan didapatkan:

    )sincos(sin

    sin)sin(sincos

    xxyye

    yxeyxyexz

    xy

    xyxy

    =

    +=

    )cossin(cos

    coscossincos

    yyxxe

    yxeyxxeyz

    xy

    xyxy

    +=

    +=

    Contoh 2.5:

    Diberikan )ln(3),( 222 yxxyxyxf ++= , tentukan xz / dan yz / .

  • 24

    Penyelesaian:

    Misalkan )ln(3),( 222 yxxyxyxfz ++== maka berdasarkan definisi

    2.2 untuk menentukan xz / dengan menganggap y tetap dan yz /

    dengan menganggap x tetap akan diperoleh:

    22

    22

    23

    232

    yxyy

    yz

    yxxyx

    xz

    ++=

    ++=

    Contoh 2.6:

    Diberikan 23sin),( yxyxxeyxf y +

    = , tentukan xz / dan yz / .

    Penyelesaian:

    Misalkan 23sin),( yxyxxeyxfz y +

    == maka berdasarkan definisi

    2.2 untuk menentukan xz / dengan menganggap y tetap dan yz /

    dengan menganggap x tetap akan diperoleh

    yxyx

    yxxe

    yz

    yxyx

    ye

    xz

    y

    y

    32

    22

    2cos

    3cos1

    +

    +=

    +

    =

  • 25

    Contoh 2.7:

    Diberikan ,222 xzzyyxw += tentukan ./,/,/ zwywxw

    Penyelesaian:

    Berdasarkan definisi 2.3, penyelesaian untuk menentukan xw / dengan

    menganggap y dan z tetap, dengan menganggap x dan z tetap dan

    untuk menentukan zw / dengan menganggap x dan y tetap akan

    diperoleh

    ,2 2zxyxw

    = ,22 yzx

    yw

    += dan .23 zxy

    zw

    =

    Teorema 2.1 (Aturan Rantai)

    Jika ),,( yxfz = ),(tFx = dan ),(tGy = dan jika xz / dan yz /

    limitnya ada dan dtdx / dan dtdy / kontinu, maka

    dxdy

    yz

    dtdx

    xz

    dtdz

    +

    =

    Bukti:

    Misalkan bahwa ),,( yxfz = ),(tFx = dan ).(tGy = Ini berarti bahwa z

    adalah suatu fungsi dari t dan dapat dituliskan )),(),(( tGtFfz = sehingga

    dapat ditentukan turunan untuk z terhadap t. Berdasarkan definisi 2.2

    diperoleh:

    yw /

  • 26

    htGtFfhtGtFf

    hhtGtFfhtGhtFf

    htGtFfhtGhtFf

    dtdz

    h

    h

    ))(),(())(),(())(),(())(),((lim

    ))(),(())(),((lim

    0

    0

    ++

    +++=

    ++=

    htGhtG

    tGhtGtGtFfhtGtFf

    htFhtF

    tFhtFhtGtFfhtGhtFf

    h

    )()()()(

    ))(),(())(),((

    )()()()(

    ))(),(())(),((lim0

    +++

    +

    ++

    +++=

    dengan mengganti )()( tFhtFi += dan )()( tGhtGj += akan

    didapatkan

    dtdy

    yz

    dtdx

    xz

    htGhtG

    jyxfjyxf

    htFhtF

    ijyxfjyixf

    htGhtG

    jtGtFfjtGtFf

    htFhtF

    ijtGtFfjtGitFf

    dtdz

    jih

    jih

    +

    =

    +++

    ++++=

    +++

    ++++=

    )()(),(),(

    )()(),(),(lim

    )()())(),(())(),((

    )()())(),(())(,)((lim

    000

    000

    Contoh 2.8:

    Jika txyxz sin,22 =+= dan tey = , tentukan ./ dtdz

  • 27

    Penyelesaian:

    Berdasarkan teorema 2.1 untuk menentukan ./ dtdz adalah

    )cos(22cos2

    t

    t

    yetxeytx

    dtdy

    yz

    dtdx

    xz

    dtdz

    +=

    +=

    +

    =

    Dengan mengganti tx sin= dan tey = , didapatkan persamaan hasil

    tersebut dalam t menjadi

    )cos(sin2 2tettdtdz

    +=

    Teorema 2.2:

    Jika ),( yxfz = dan )(xgy = dan jika xz / dan yz / ada dan dxdy /

    kontinu, maka

    dxdy

    yz

    xz

    dxdz

    +

    =

    Bukti:

    Misalkan ),( yxfz = dan ),(xgy = hal ini berarti bahwa z adalah fungsi

    dari x dan dapat ditulis ))(,( xgxfz = . Berdasarkan definisi 2.2, turunan

    dari z terhadap x adalah:

    hxgxfhxgxf

    hhxgxfhxghxf

    hxgxfhxghxf

    dxdz

    h

    h

    ))(,()(,())(,()(,(lim

    ))(,()(,(lim

    0

    0

    ++

    +++=

    ++=

  • 28

    hxghxg

    xghxgxgxfhxgxf

    hxfhxf

    xfhxfhxgxfhxghxf

    h

    )()()()(

    ))(,()(,(

    )()()()(

    ))(,()(,(lim0

    +

    ++

    +

    +

    ++++

    =

    Dengan mengganti )()( xghxgj += maka,

    dxdy

    yz

    xz

    dxdz

    hxghxg

    jyxfjyxf

    hjyxfjyhxf

    hxghxg

    jxgxfjxgxf

    xfhxfxfhxf

    hjxgxfjxghxf

    jh

    jh

    +

    =

    +

    ++

    +++=

    +

    ++

    ++

    +++

    =

    )()(),(),(1),(),(lim

    )()())(,())(,(

    )()()()())(,())(,(lim

    00

    00

    Jadi, terbukti bahwa dxdy

    yz

    xz

    dxdz

    +

    =

    Contoh 2.9:

    Jika 22 yxyxz ++= dan ,sin xy = tentukan ./ dxdz

    Penyelesaian:

    Berdasarkan teorema 2.2, maka penyelesaian dxdz / untuk

    22 yxyxz ++= dan xy sin= adalah

  • 29

    xxxxxxyxyx

    dxdy

    yz

    xz

    dxdz

    cos)sin2()sin2(cos)2()2(

    +++=+++=

    +

    =

    Teorema 2.3:

    Jika persamaan 0),( =yxF , xF / dan yF / keduanya ada dan

    0/ yF maka dxdy / ada dan

    yFxF

    dxdy

    =//

    Bukti:

    Berdasarkan teorema 2.2 dengan memisalkan 0),( == yxFz , maka,

    0/ =dxdz sehingga

    dxdy

    yz

    xz

    dxdy

    yz

    xz

    dxdz

    +

    =

    +

    =

    0

    karena 0/ yz , penyelesaian untuk dxdy / adalah

    yFxF

    yzxz

    dxdy

    =

    =//

    //

    Contoh 2.10:

    Diberikan 422 =+ yx , tentukan dxdy / .

    Penyelesaian:

    Karena persamaan di atas dapat dituliskan dalam bentuk fungsi implisit

    04),( 22 =+= yxyxF

  • 30

    Berdasarkan teorema 2.3 penyelesaian untuk dxdy / adalah:

    yx

    yx

    yFxF

    dxdy

    ==

    =22

    // .

    Contoh 2.11:

    Diketahui 133 =+ yx , tentukan dxdy / .

    Penyelesaian:

    Misalkan 01),( 33 =+= yxyxF , maka 23xxF=

    dan 23y

    yF=

    .

    Jadi, berdasarkan teorema 2.3, penyelesaian untuk dxdy / adalah:

    2

    2

    2

    2

    33

    //

    yx

    yx

    yFxF

    dxdy

    ==

    =

    karena 0133 =+ yx dapat dituliskan 3 31 xy = , maka penyelesaian

    untuk dxdy / menjadi

    3 23

    2

    )1(//

    xx

    yFxF

    dxdy

    =

    = .

    Persamaan dalam bentuk

    0),,( =zyxF

    merupakan fungsi dari tiga buah variabel x, y dan z yang mempunyai

    turunan parsial yang kontinu. Misalnya z, sebagai suatu fungsi dari dua

    variabel yang lain yaitu

    ),( yxfz =

    maka xz / dan yz / dapat ditentukan.

  • 31

    Teorema 2.4:

    Jika ,0),,( =zyxF ke tiga turunan parsial dari F ada dan 0/ zF ,

    maka xz / dan yz / ada dan

    zFyF

    yz

    zFxF

    xz

    =

    =

    //,

    //

    Bukti:

    Andaikan 0),,( =zyxF dan z sebagai suatu fungsi dari dua variabel

    lainnya dan ditulis ),( yxfz = maka xz / dan yz / dapat ditentukan.

    Turunan dari kedua sisi 0),,( =zyxF terhadap x, jika diketahui bahwa

    ),( yxfz = dan x dan y adalah variabel bebas maka dapat ditulis

    0=

    +

    +

    xz

    zF

    xy

    yF

    xx

    xF

    Tentu saja 1/ = xx dan karena x dan y merupakan variabel bebas

    sehingga ,0/ = xy dan persamaan di atas dapat ditulis dengan:

    0=

    +

    xz

    zF

    xF .

    Jadi, penyelesaian untuk xz / adalah:

    zFxF

    xz

    =

    // .

    Turunan dari kedua sisi 0),,( =zyxF terhadap y, dengan mengingat

    bahwa ),( yxfz = dan x dan y adalah variabel bebas maka:

    0=

    +

    +

    yz

    zF

    yy

    yF

    yx

    xF

  • 32

    Karena x dan y merupakan variabel bebas dan 0/ = yx dan ,1/ = yy

    persamaan di atas dapat disederhanakan menjadi:

    0=

    +

    yz

    zF

    yF .

    Jadi, penyelesaian untuk yz / adalah:

    zFyF

    yz

    =

    //

    Contoh 2.12:

    Diberikan persamaan ,0222 =++ xzzyyx tentukan xz / dan yz / .

    Penyelesaian:

    Jika ,0),,( 222 =++= xzzyyxzyxF maka menurut teorema 2.4 adalah:

    zxyyzx

    zFyF

    yz

    zxyzxy

    zFxF

    xz

    22

    //

    22

    //

    2

    2

    2

    2

    ++

    =

    =

    ++

    =

    =

    Teorema 2.5:

    Jika

    0),,(0),,(

    ==

    zyxGzyxF

    dan jika semua turunan parsial dari dua fungsi ada dan

    ,0),(),(

    zyGF

    Maka dxdy / dan dxdz / keduanya ada dan

  • 33

    ),(),(),(),(

    ,

    ),(),(),(),(

    zyGFxyGF

    dxdz

    zyGFzxGF

    dxdy

    =

    =

    dimana

    zG

    yG

    zF

    yF

    zyGF

    =

    ),(),(

    Bukti:

    Misalkan dua persamaan dalam ,, yx dan z

    0),,(0),,(

    ==

    zyxGzyxF

    Turunan parsial dari kedua persamaan di atas terhadap x berdasarkan

    teorema 2.1 yang merupakan perluasan untuk tiga variabel dapat ditulis

    0

    ,0

    =

    +

    +

    =

    +

    +

    dxdz

    zG

    dxdy

    yG

    xG

    dxdz

    zF

    dxdy

    yF

    xF

    atau

    .

    ,

    xG

    dxdz

    zG

    dxdy

    yG

    xF

    dxdz

    zF

    dxdy

    yF

    =

    +

    =

    +

    Jadi, akan diperoleh dua persamaan yang simultan dalam dxdy / dan

    dxdz / . Penyelesaian untuk menentukan dxdy / dan dxdz / dengan

    menggunakan determinan (aturan Cramer), sehingga

  • 34

    zG

    yG

    zF

    yF

    zG

    xG

    zF

    xF

    zG

    yG

    zF

    yF

    zG

    xG

    zF

    xF

    dxdy

    =

    =

    dan

    zG

    yG

    zF

    yF

    xG

    yG

    xF

    yF

    zG

    yG

    zF

    yF

    xG

    yG

    xF

    yF

    dxdz

    =

    =

    Untuk

    zG

    yG

    zF

    yF

    determinan ini disebut Jacobian dan ditulis .),(),(

    zyGF

    Jadi, penyelesaian dxdy / dan dxdz / dapat ditulis dengan bentuk

    ),(),(),(),(

    ,

    ),(),(),(),(

    zyGFxyGF

    dxdz

    zyGFzxGF

    dxdy

    =

    =

    di mana 0),(),(

    zyGF

  • 35

    Dengan cara yang sama pada teorema 2.5, maka kita dapat menurunkan

    empat turunan kemungkinan yang lainnya yaitu dzdy

    dzdx

    dydz

    dydx ,,,

    sebagai berikut:

    ),(),(),(),(

    zxGFzyGF

    zG

    xG

    zF

    xF

    zG

    yG

    zF

    yF

    zG

    xG

    zF

    xF

    zG

    yG

    zF

    yF

    dydx

    =

    =

    = , dimana .0),(),(

    zxGF

    ),(),(),(),(

    zxGFyxGF

    zG

    xG

    zF

    xF

    yG

    xG

    yF

    xF

    zG

    xG

    zF

    xF

    yG

    xG

    yF

    xF

    dydz

    =

    =

    = , dimana .0),(),(

    zxGF

    ),(),(),(),(

    yxGFyzGF

    yG

    xG

    yF

    xF

    yG

    zG

    yF

    zF

    yG

    xG

    yF

    xF

    yG

    zG

    yF

    zF

    dzdx

    =

    =

    = , dimana .0),(),(

    yxGF

  • 36

    ),(),(),(),(

    yxGFzxGF

    yG

    xG

    yF

    xF

    zG

    xG

    zF

    xF

    yG

    xG

    yF

    xF

    zG

    xG

    zF

    xF

    dzdy

    =

    =

    = , dimana .0),(),(

    yxGF

    Dengan adanya dua persamaan implisit dalam tiga variabel ,, yx dan z

    maka kita dapat menentukan mana yang akan menjadi variabel bebas dan

    variabel tak bebas dari persamaan tersebut. Misalnya, kita memilih x

    sebagai variabel tak bebas maka y dan z sebagai variabel bebas, jika y

    sebagai variabel tak bebas maka x dan z sebagai variabel bebas, dan jika z

    sebagai variabel tak bebas maka x dan y sebagai variabel bebas sehingga

    terdapat enam kemungkinan turunan fungsi implisit yang terjadi.

    Contoh 2.13:

    Diberikan 4222 =++ zyx dan 1=xyz , tentukan dxdy / .

    Penyelesaian:

    Misalkan F dan G fungsi implisit dari dua persamaan di atas dan ditulis

    0104222

    ===++=

    xyzGzyxF

    Untuk menentukan turunan dxdy / dari dua persamaan di atas, maka dapat

    ditentukan turunan dari kedua fungsi F dan G terhadap x sebagai berikut

  • 37

    0

    ,0

    =

    +

    +

    =

    +

    +

    dxdz

    zG

    dxdy

    yG

    xG

    dxdz

    zF

    dxdy

    yF

    xF

    atau

    .

    ,

    xG

    dxdz

    zG

    dxdy

    yG

    xF

    dxdz

    zF

    dxdy

    yF

    =

    +

    =

    +

    Berdasarkan teorema 2.5 penyelesaian untuk menentukan dxdy / dengan

    menggunakan aturan Cramer sebagai berikut

    xyxzzy

    xyyzzx

    zG

    yG

    zF

    yF

    zG

    xG

    zF

    xF

    zyGFzxGF

    dxdy

    22

    22

    ),(),(),(),(

    =

    =

    =

    )()(

    2222

    22

    22

    22

    22

    zyxzxyxzxyyzyx

    =

    =

    dimana .0)( 22 zyx

    Dengan langkah yang sama seperti di atas maka penyelesaian untuk

    menentukan dxdz / adalah:

  • 38

    xyxzzy

    yzxzxy

    zG

    yG

    zF

    yF

    xG

    yG

    xF

    yF

    zyGFxyGF

    dxdz

    22

    22

    ),(),(),(),(

    =

    =

    =

    )()(

    2222

    22

    22

    22

    22

    zyxxyzxzxy

    zxzy

    =

    =

    dimana .0)( 22 zyx

    Selain itu, kita dapat menentukan empat kemungkinan turunan lainnya

    yaitu dzdy

    dzdx

    dydz

    dydx ,,, .

    Penyelesaian untuk menentukan dydx / adalah

    xyyzzx

    xyxzzy

    zG

    xG

    zF

    xF

    zG

    yG

    zF

    yF

    zxGFzyGF

    dydx

    22

    22

    ),(),(),(),(

    =

    =

    =

    )()(

    2222

    22

    22

    22

    22

    zxyxyxyzyxxzxy

    =

    =

    dimana .0)( 22 zxy

  • 39

    Penyelesaian untuk menentukan dydz / adalah

    )()(

    2222

    22

    22

    ),(),(),(),(

    22

    22

    22

    22

    zxyyxzyzyx

    zyzx

    xyyzzx

    xzyzyx

    zG

    xG

    zF

    xF

    yG

    xG

    yF

    xF

    zxGFyxGF

    dydz

    =

    =

    =

    =

    =

    dimana .0)( 22 zxy

    Penyelesaian untuk menentukan dzdx / adalah

    xzyzyx

    xzxyyz

    yG

    xG

    yF

    xF

    yG

    zG

    yF

    zF

    yxGFyzGF

    dzdx

    22

    22

    ),(),(),(),(

    =

    =

    =

    )()(

    2222

    22

    22

    22

    22

    yxzyzx

    zyzxxyxz

    =

    =

    dimana .0)( 22 yxz

  • 40

    Penyelesaian untuk menentukan dzdy / adalah

    )()(

    2222

    22

    22

    ),(),(),(),(

    22

    22

    22

    22

    yxzzxy

    zyzxyzyx

    xzyzyx

    xyyzzx

    yG

    xG

    yF

    xF

    zG

    xG

    zF

    xF

    yxGFzxGF

    dzdy

    =

    =

    =

    =

    =

    dimana .0)( 22 yxz

  • 41

    BAB III

    INTEGRAL LIPAT

    Pada bab ini, kita menganggap bahwa integral dari fungsi dua variabel

    , merupakan daerah pada bidang dan integral dari fungsi tiga variabel

    , , merupakan daerah pada ruang. Integral dari fungsi dua variabel atau

    integral dari fungsi tiga variabel disebut integral lipat dan didefinisikan sebagai

    limit dari jumlah Riemann. Selain itu, akan dibicarakan juga mengenai

    transformasi koordinat pada variabel integrasi dengan memperkenalkan

    determinan Jacobi. Determinan Jacobi digunakan sebagai upaya untuk

    mempermudah perhitungan pada integral lipat.

    A. Integral Lipat Dua

    Integral untuk fungsi satu variabel dapat diperluas menjadi fungsi

    dengan beberapa variabel. Misalnya, integral untuk fungsi dengan dua

    variabel disebut integral lipat dua sedangkan integral untuk fungsi dengan

    tiga variabel disebut integral lipat tiga. Untuk integral lipat dua dari fungsi

    dengan dua variabel, batasannya adalah bahwa fungsi dua variabel tersebut

    terdefinisi pada suatu daerah tertutup di . Daerah tertutup paling sederhana

    di adalah persegi panjang tertutup. Misalkan R adalah sebuah persegi

    panjang tertutup dengan sisi-sisi sejajar dengan sumbu-sumbu koordinat yaitu

    },|),{( dycbxayxR =

  • 42

    Untuk menetapkan integral lipat dua diperlukan langkah-langkah sebagai

    berikut. Bentuklah sebuah partisi P dari R yang membentuk garis-garis

    yang sejajar dengan sumbu-x dan sumbu-y seperti pada gambar 3.1.

    Pembuatan partisi ini membagi R menjadi persegi panjang-persegi panjang

    yang lebih kecil sebanyak n dan dinotasikan dengan kR di mana

    .,...,2,1 nk = Misalkan bagian persegi panjang kR mempunyai panjang

    kx dan lebar ky maka luas daerah persegi panjang kR adalah

    kkk yxA = .

    Panjang diagonal terpanjang dari kR yang dilambangkan dengan P

    disebut norma partisi P, dengan kata lain { }kAmaksP = . Untuk setiap

    kR di mana nk ,...,2,1= pada daerah ,R jika diambil sebarang titik

    ),( kk yx di kR maka kita dapat mendefinisikan integral lipat dua dengan

    menggunakan penjumlahan Riemann.

    Gambar 3.1

  • 43

    Definisi 3.1: (Jumlah Riemann)

    Misalkan f fungsi dua variabel yang didefinisikan pada daerah R dan

    misalkan },,2,1:{ nkRP k L== adalah partisi dalam R. Bentuk

    penjumlahan Riemann f untuk P adalah

    =

    n

    kkkk Ayxf

    1),(

    di mana ),( kk yx pada kR dan kA adalah luas dari .kR

    Definisi 3.2: (Integral Lipat Dua)

    Misalkan f adalah fungsi dengan dua variabel yang didefinisikan pada

    sebuah persegi panjang tertutup R. Jika

    =

    n

    kkkkP

    Ayxf10

    ),(lim

    ada, maka f dapat diintegralkan di R. Integral lipat dua dari f atas R

    dinyatakan dengan R

    dAyxf ),( sehingga

    =

    =

    n

    kkkkP

    R

    AyxfdAyxf10

    ),(lim),(

    Integral lipat dua pada koordinat Cartesius atas daerah R dapat dihitung

    dengan menggunakan integral berulang. Misalkan R merupakan daerah

    persegi panjang dengan batas },|),{( dycbxayxR = maka

    integral lipat dua dari fungsi , pada daerah R adalah

    ==b

    a

    d

    cR

    d

    c

    b

    a

    dxdyyxfdydxyxfdAyxf ),(),(),(

  • 44

    Dalam koordinat Cartesius, atau .

    Contoh 3.1:

    Hitung integral lipat dua berikut ini

    dAyxR

    )2( 22 +

    dimana }40,60|),{( = yxyxR

    Penyelesaian:

    Dengan menggunakan integral berulang, perhitungan integral tersebut

    adalah:

    { }

    544256288

    )4(4)4(72

    472

    )1272(

    123

    216

    23

    )2()2(

    3

    4

    0

    3

    4

    0

    2

    4

    0

    2

    4

    0

    6

    0

    23

    4

    0

    6

    0

    2222

    |

    |

    =+=

    +=

    +=

    +=

    +=

    +=

    +=+

    yy

    dyy

    dyy

    dyxyx

    dydxyxdAyxR

    Contoh 3.2

    Hitung integral lipat dua R

    dAyx )32( 2 , dimana R daerah di bidang xoy

    pada koordinat Cartesius yang memuat titik-titik ),( yx dengan 21 x

    dan 31 y .

  • 45

    Penyelesaian:

    Integral lipat dua pada koodinat Cartesius dengan menggunakan integral

    berulang dapat dihitung sebagai berikut

    ( )

    243612

    296

    28118

    296

    96

    3326

    316

    33

    2

    )32(

    )32()32(

    3

    1

    2

    3

    1

    3

    1

    2

    1

    3

    1

    3

    3

    1

    2

    1

    2

    3

    1

    2

    1

    22

    ==

    =

    =

    =

    +

    =

    =

    =

    =

    yy

    dyy

    dyyy

    dyxyx

    dydxyx

    dydxyxdAyxR

    B. Integral Lipat Tiga

    Perluasan integral lipat dua menjadi integral lipat tiga serupa

    seperti perluasan integral lipat satu menjadi integral lipat dua. Sebuah

    fungsi f tiga variabel x, y, dan z yang didefinisikan atas daerah B yang

    berbentuk kotak dengan sisi-sisi sejajar bidang koordinat (gambar 3.3).

    Untuk menetapkan integral lipat tiga diperlukan langkah-langkah sebagai

    berikut. Bentuklah sebuah partisi P dari B dengan melewatkan bidang-

    bidang melalui B sejajar dengan bidang koordinat, sehingga memotong B

  • 46

    menjadi kotak-kotak yang lebih kecil misalnya nBBB ,,, 21 K . Pilih

    ( )kkk zyx ,, suatu titik sembarang pada kotak kB yang ditunjukkan pada

    gambar di bawah ini

    Jika ( )kkk zyx ,, adalah suatu titik di dalam kB , maka penjumlahan

    =

    n

    kkkkk Vzyxf

    1

    ),,(

    disebut suatu penjumlahan Riemann f untuk P di mana kkkk zyxV =

    adalah volume kB . Jika limit tersebut ada maka limit tersebut disebut

    integral lipat tiga f atas B dan dinyatakan dengan

    =

    =

    B

    n

    kkkkkP

    VzyxfdVzyxf10

    ),,(lim),,(

    Integral lipat tiga pada koodinat Cartesius atas daerah B yang dibatasi oleh

    },,|),,{( lzkdycbxazyxB = dapat juga ditunjukkan

    dengan integral berulang sebagai berikut

    Gambar 3.3

  • 47

    =B

    l

    k

    d

    c

    b

    a

    dzdydxzyxfdVzyxf ),,(),,(

    berarti bahwa , , diintegralkan pertama kali terhadap x dengan

    menganggap y dan z konstan, kemudian hasilnya diintegralkan terhadap y

    dengan menganggap z konstan dan akhirnya hasil yang terakhir

    diintegralkan terhadap z.

    Contoh 3.3:

    Hitunglah Q

    dVzxy 233 dimana

    }20,41,31|),,{( = zyxzyxQ

    Penyelesaian:

    Integral lipat tiga pada koodinat Cartesius atas daerah Q yang dibatasi oleh

    }20,41,31|),,{( = zyxzyxQ dapat dihitung dengan

    menggunakan integral berulang sebagai berikut:

    ]

    ]

    ( )

    ]4144

    4

    1

    33

    4

    1

    31

    32

    4

    1

    3

    1

    3

    4

    1

    3

    1

    20

    33

    4

    1

    3

    1

    2

    0

    2323

    9

    436

    4

    8

    33

    yy

    dyyy

    dyyx

    dydxxy

    dydxzxy

    dydxdzzxydVzxyQ

    =

    =

    =

    =

    =

    =

  • 48

    ]

    204082048

    8 414

    ==

    = y

    Contoh 3.4:

    Hitunglah integral lipat tiga B

    dVxyz 2 , dengan B adalah kotak segiempat

    yang diberikan oleh }30,21,10|),,{( = zyxzyxB

    Penyelesaian:

    Integral lipat tiga pada koodinat Cartesius atas daerah B yang dibatasi oleh

    }30,21,10|),,{( = zyxzyxB dapat dihitung dengan

    menggunakan integral berulang sebagai berikut:

    dzz

    dzzz

    dzzy

    dzdyyz

    dzdyyzx

    dzdydxxyzdVxyzB

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    3

    0

    2

    3

    0

    22

    2

    1

    3

    0

    22

    3

    0

    2

    1

    2

    1

    0

    3

    0

    2

    1

    22

    3

    0

    2

    1

    1

    0

    22

    43

    444

    4

    2

    2

  • 49

    427

    4

    3

    0

    3

    =

    =

    z

    C. Determinan Jacobi pada Integral Lipat

    Dalam menghitung integral lipat pada suatu daerah R seringkali

    dipergunakan sistem koordinat yang lain selain sistem koordinat Cartesius.

    Kadang-kadang perhitungan integral lipat dua dalam koordinat Cartesius

    membutuhkan perhitungan yang rumit. Oleh karena itu, untuk lebih

    menyederhanakan perhitungan pada integral lipat dua kita dapat

    mentransformasikan koordinat Cartesius ke dalam koordinat kutub.

    Transformasi koordinat dilakukan dengan menggunakan teorema Green.

    Transformasi dengan menggunakan teorema Green ini penting karena

    dapat digunakan untuk membantu menyelesaikan perhitungan integral

    dengan lebih mudah.

    Teorema 3.1: (Teorema Green)

    Misalkan R adalah suatu domain dalam bidang-xy dan misalkan C kurva

    tertutup sederhana di R yang berlawanan dengan arah jarum jam. Jika M

    dan N adalah fungsi-fungsi kontinu dan mempunyai turunan parsial

    pertama yang kontinu di R, maka

  • 50

    Bukti:

    Misalkan , dan , , teorema ini akan dibuktikan

    untuk daerah R dalam batas

    , : ,

    dan

    , : ,

    seperti terlihat pada gambar berikut ini

    Pokok masalah yang harus dibuktikan adalah memperlihatkan bahwa

    (3.1)

    atau

    (3.2)

    Untuk membuktikan persamaan (3.1), pandang R sebagai daerah dengan

    batas-batas , : , dan misalkan

    dan adalah kurva-kurva batas atas dan batas bawah seperti pada

    gambar dibawah ini

  • 51

    sehingga

    =

    +=

    +=

    =

    b

    a

    b

    a

    a

    b

    b

    a

    CC

    C C

    dxyxfdxyxf

    dxyxfdxyxf

    dxyxfdxyxf

    dxyxfdxM

    ),(),(

    ),(),(

    ),(),(

    ),(

    21

    Dengan memisalkan sehingga parameter dan dinyatakan oleh

    : ,

    : ,

    maka,

    =

    =

    =

    b

    a

    b

    a

    b

    a

    b

    a

    b

    a

    b

    aC

    dttgtfdttgtf

    dtdtdxtgtfdt

    dtdxtgtf

    dxyxfdxyxfdxM

    ))(,())(,(

    ))(,())(,(

    ),(),(

    21

    21

  • 52

    [ ]

    [ ]

    dtdyyf

    dtytf

    dttgtftgtf

    b

    a

    tg

    tg

    b

    a

    tgytgy

    b

    a

    =

    =

    =

    ==

    )(

    )(

    )()(

    12

    2

    1

    2

    1),(

    ))(,())(,(

    karena , maka

    =

    =

    =

    =

    R

    R

    b

    a

    xg

    xg

    b

    a

    xg

    xg

    dAy

    M

    dAyf

    dxdyyf

    dxdyyf

    )(

    )(

    )(

    )(

    2

    1

    2

    1

    Dengan cara yang sama, untuk membuktikan persamaan (3.2) pandang R

    sebagai daerah dengan batas-batas

    , : ,

    dan misalkan dan adalah kurva-kurva batas atas dan batas bawah

    seperti pada gambar di bawah ini

  • 53

    sehingga,

    +=

    =

    21

    ),(),(

    ),(

    CC

    C C

    dyyxgdyyxg

    dyyxgdyN

    +=

    +=

    d

    c

    d

    c

    d

    c

    c

    d

    dyyxgdyyxg

    dyyxgdyyxg

    ),(),(

    ),(),(

    Dengan memisalkan sehingga parameter dan dinyatakan oleh

    : ,

    : ,

    maka,

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( )[ ]

    [ ]

    dtdxxg

    dttxg

    dttthgtthg

    dttthgdttthg

    dtdtdytthgdt

    dtdytthg

    dtdtdytthgdt

    dtdytthgdyN

    d

    c

    th

    th

    d

    c

    thxthx

    d

    c

    d

    c

    d

    c

    d

    c

    d

    c

    d

    c

    d

    cC

    =

    =

    =

    =

    =

    +

    =

    ==

    )(

    )(

    )()(

    12

    12

    12

    21

    2

    1

    2

    1),(

    ),(),(

    ),(),(

    ),(),(

    ),(),(

    karena , maka

  • 54

    dydxxg

    dydxxg

    d

    c

    th

    th

    d

    c

    th

    th

    =

    =

    )(

    )(

    )(

    )(

    2

    1

    2

    1

    =

    =

    R

    R

    dAxN

    dAxg

    Jadi terbukti bahwa

    Perhitungan integral lipat dua atau integral lipat tiga melalui suatu

    transformasi koordinat dilakukan dengan menggunakan penggantian

    variabel (substitusi). Penggantian variabel dalam integral lipat dua

    R

    dAyxf ),( misalkan dengan menggunakan persamaan

    ),(),,( vugyvufx == (3.3)

    dimana f dan g mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu.

    Persamaan (3.3) merupakan suatu transformasi koordinat T dari bidang-uv

    ke bidang-xy. Jika kita menggunakan persamaan (3.3) untuk mengganti x

    dan y pada integral lipat dua maka pengintegralan menjadi fungsi dari u

    dan v. Tujuan dari transformasi koordinat ini adalah untuk menemukan

    daerah S pada bidang-uv yang dipetakan dari R di bawah T seperti

    diilustrasikan pada gambar berikut sedemikian sehingga

  • 55

    , , , , .

    Untuk merubah variabel pada integral lipat dua memerlukan perkiraan

    pembatasan yang cocok pada daerah dan fungsi yang terjadi. Fungsi u dan

    v diperkenalkan pada definisi berikut ini yang akan digunakan dalam

    proses pergantian variabel.

    Definisi 3.3: (determinan Jacobi atau Jacobian)

    Jika ),(),,( vugyvufx == maka determinan Jacobi dari x dan y

    terhadap u dan v, dinotasikan dengan ),(/),( vuyx adalah

    uy

    vx

    vy

    ux

    vy

    uy

    vx

    ux

    vuyxvuJ

    =

    =

    =),(),(),(

    Melalui transformasi koordinat dengan menggunakan penggantian

    variabel dan determinan Jacobi pada definisi 3.3 maka didapatkan teorema

    berikut ini.

    R (x,y) .

    S . (u,v)

    C K

    y v

    x u

    T

  • 56

    Teorema 3.2:

    Jika ),(),,( vugyvufx == adalah transformasi koordinat, maka

    =SR

    dudvvuyxvugvufFdxdyyxF),(),()),(),,((),(

    Bukti:

    Kita mulai dengan memisalkan , sedemikian sehingga / .

    Melalui teorema 3.1 dengan memisalkan didapatkan

    )4.3(),(

    )],([),(

    =

    =

    =

    =

    C

    C

    R

    RR

    dyyxG

    dyN

    dxdyxN

    dxdyyxGx

    dxdyyxF

    Misalkan kurva K pada bidang-uv diberikan parameter dengan

    , , dimana .

    ,

    melalui transformasi koordinat dengan persamaan

    , dan , ,

    persamaan parameter untuk kurva C pada bidang-xy menjadi

    , ,

    , , (3.5)

  • 57

    dimana . Oleh karena itu, penyelesaian integral garis

    C

    dyyxG ),( pada persamaan (3.4) dengan penggantian khusus untuk x dan

    y. Untuk menyederhanakan notasi dengan memisalkan

    , , , .

    Dengan menerapkan aturan rantai untuk y pada persamaan (3.5)

    didapatkan

    .

    Akibatnya,

    +

    =

    =

    b

    a

    CC

    dttvyt

    uytG

    dtdtdytGdyyxG

    )(')(')(

    )(),(

    karena dan , kita dapat memandang integral

    garis pada kurva C sebagai integral garis yang mengelilingi kurva K pada

    bidang-uv. Jadi,

    [ ]

    [ ]

    )6.3(

    ),(),,(

    )(')('))(),(()),(),((

    )(')(')(),(

    +

    =

    +

    =

    +

    =

    +

    =

    K

    K

    b

    a

    b

    aC

    dvvyGdu

    uyG

    dvvydu

    uyvugvufG

    dttvyt

    uyttgttfG

    dttvyt

    uytGdyyxG

  • 58

    di mana G sebagai suatu singkatan dari [ ]),(),,( vugvufG . Integral garis

    pada sisi sebelah kanan dari persamaan (3.6) dapat ditulis dalam bentuk

    dimana uyGM

    = dan .vyGN

    =

    Dengan menggunakan teorema 3.1, didapatkan

    dvduuy

    vy

    vy

    uy

    yG

    uy

    vx

    vy

    ux

    xG

    dvduuy

    vy

    yG

    vx

    xG

    vy

    uy

    yG

    ux

    xG

    dvduuy

    vG

    vy

    uG

    dvduuy

    vG

    uvyG

    vy

    uG

    vuyG

    dvduv

    MuNdvNduM

    S

    S

    S

    S

    K S

    +

    =

    +

    +

    =

    =

    +

    +

    =

    =+

    22

    dvduuy

    vx

    vy

    ux

    xG

    dvduyG

    uy

    vx

    vy

    ux

    xG

    S

    S

    =

    +

    = )0(

    karena / , dan dengan menggunakan definisi 3.3 diperoleh

    ( )

    ( ) dvduvuyxvugvufF

    dvduvuyxyxFdvNduM

    S

    SK

    =

    =+

    ),(),(),(),,(

    ),(),(,

    Dengan mengkombinasikan persamaan (3.4) dan (3.6) terbukti bahwa

    =SR

    dudvvuyxvugvufFdxdyyxF),(),()),(),,((),(

  • 59

    Contoh 3.5:

    Gunakan toerema 3.2 untuk mendapatkan penyelesaian bentuk untuk

    koordinat kutub

    =SR

    ddrrrrfdAyxf )sin,cos(),(

    Penyelesaian:

    Pada koordinat kutub, kita mempunyai r dan sebagai pengganti u dan v.

    Suatu cara untuk mengubah integral pada koordinat Cartesius

    R

    dAyxf ),( ke integral pada koordinat kutub melalui dua langkah.

    Pertama, mengganti variabel x dan y menjadi fungsi dari r dan .

    Misalkan , merupakan titik pada koordinat Cartesius maka dalam

    koordinat kutub didapatkan hubungan

    cos dan sin (3.7)

    Kemudian langkah kedua, pada persamaan (3.7) dengan menggunakan

    definisi 3.3 didapatkan

    rrrrr

    yry

    xrx

    ryxrJ =+=

    =

    =

    = )sin(coscossinsincos

    ),(),(),( 22

    Dalam koordinat Cartesius atau sedangkan dalam

    koordinat kutub menjadi | , | atau | , | .

    Jadi, dengan menggunakan teorema 3.2, perubahan variabel dari koordinat

    Cartesius ke koordinat kutub dituliskan sebagai berikut

  • 60

    =

    =

    S

    SR

    ddrrrrf

    ddrr

    yxrrfdAyxf

    )sin,cos(

    ),(),()sin,cos(),(

    dimana S merupakan daerah integrasi pada koordinat kutub.

    Contoh 3.6:

    Hitunglah

    dimana R adalah daerah berbentuk setengah lingkaran yang dibatasi oleh

    garis x dan kurva 1 seperti pada gambar berikut ini

    x

    y

    )0,1()0,1(

    21 xy =11=r

    0= =

    bidang-

    Penyelesaian:

    Pada koordinat Cartesius bidang-xy, perhitungan integral tersebut susah

    untuk diintegralkan sehingga dibutuhkan transformasi koordinat ke

    koordinat kutub dengan menggunakan persamaan

  • 61

    cos , sin dan

    sehingga dengan adanya penggantian variabel tersebut didapatkan

    determinan Jacobi sebagai berikut

    rrrrr

    yry

    xrx

    ryxrJ =+=

    =

    =

    = )sin(coscossinsincos

    ),(),(),( 22

    Daerah setengah lingkaran pada koordinat Cartesius untuk titik (-1,0) dan

    (1,0) sesuai dengan 0 dan pada koordinat kutub bidang- .

    Selain itu, karena , maka 1 pada koordinat

    Cartesius sesuai dengan 1 pada koordinat kutub bidang- . Batas-

    batas koordinat kutub bidang- digambarkan sebagai berikut dengan

    0 dan 0 1

    bidang-

    sehingga, perhitungan integral lipat di atas dengan batas 0 dan

    0 1 pada bidang menjadi

  • 62

    =

    =

    =

    =+

    0

    0

    1

    0

    0

    1

    0

    0

    1

    0

    )1(21

    21

    ),(

    2

    2

    222

    de

    de

    ddrre

    ddrrJedAe

    r

    r

    r

    R

    yx

    )1(2

    )1(21

    0

    =

    =

    e

    e

    Jadi, melalui transformasi perubahan variabel dari koordinat Cartesius ke

    koordinat kutub dan dengan adanya determinan Jacobi maka perhitungan

    integral lipat dua yang rumit akan lebih mudah untuk diintegralkan.

    Contoh 3.7:

    Hitung dydxyxD + 22 , dimana D adalah daerah dalam bidang-xy yang

    dibatasi oleh x2 + y2 = 4 dan x2 + y2 = 9.

    Penyelesaian:

    Batas daerah D pada koordinat Cartesius bidang-xy yang dibatasi oleh

    4 dan 9 bila dinyatakan dalam gambar akan

    berbentuk suatu lingkaran. Untuk mempermudah perhitungan kita

    menyatakan dalam koordinat kutub , . Transformasi dari

    koordinat Cartesius ke koordinat kutub memberikan persamaan

  • 63

    sin,cos ryrx ==

    sehingga x2 + y2 = r2. Dengan menggunakan transformasi ini, daerah D

    pada bidang-xy akan ditransformasikan menjadi daerah S pada bidang- .

    Lingkaran dengan batas x2 + y2 = 4 memiliki jari-jari 2 dan lingkaran

    dengan batas x2 + y2 = 9 memiliki jari-jari 3. Determinan Jacobi dari

    transformasi berdasarkan definisi 3.3 dapat dituliskan

    rrrrr

    yry

    xrx

    rJ =+=

    =

    = )sin(coscossinsincos

    ),( 22

    Melalui penggantian variabel dari koordinat Cartesius pada bidang-xy ke

    koordinat kutub pada bidang- maka akan membentuk persegi panjang

    yang dibatasi oleh 2, 3, dan 0, 2 . Jadi,

    perhitungan integral lipat dua dengan menggunakan teorema 3.2

    didapatkan

    =

    =

    =

    =

    =

    =+

    2

    0

    32

    0

    3

    3

    2

    2

    0

    3

    2

    0

    3

    2

    2

    22

    319

    )23(31

    31

    ),(

    d

    d

    dr

    ddrr

    ddrrr

    ddrrJrdydxyx

    S

    SD

  • 64

    D

    0 2 3 x 2

    0 1 2 3 r

    S

    y

    Bidang-xy Bidang-r

    ( )

    338

    023

    193

    19 2

    0

    =

    =

    =

    Jadi, melalui transformasi koordinat dengan perubahan variabel dari

    koordinat Cartesius ke koordinat kutub dan dengan adanya determinan

    Jacobi maka perhitungan integral lipat dua yang rumit akan lebih mudah

    untuk diintegralkan. Transformasi koordinat dari koordinat Cartesius ke

    koordinat kutub dapat digambarkan sebagai berikut:

    Dalam perhitungan integral lipat tiga dari fungsi tiga variabel

    seringkali dijumpai juga kesulitan dalam pengintegralan. Untuk itu,

    diperlukan transformasi dari koordinat Cartesius ke dalam koordinat

    tabung atau ke koordinat bola. Untuk mentransformasikan integral dari

    koordinat Cartesius ke dalam koordinat tabung atau ke koordinat bola

  • 65

    diperlukan juga metode determinan Jacobi. Misalkan transformasi integral

    lipat tiga dengan persamaan

    , , , , , , , ,

    maka determinan Jacobi dapat didefinisikan sebagai berikut:

    Definisi 3.5:

    Jika , , , , , , dan , , , maka

    determinan Jacobi , , dan z terhadap , , dan w, dinyatakan dengan

    ),,(),,(),,(

    wvuzyx

    wz

    vz

    uz

    wy

    vy

    uy

    wx

    vx

    ux

    wvuJ

    =

    =

    Transformasi koordinat pada integral lipat dua dalam teorema 3.2 dapat

    diperluas untuk integral lipat tiga dan dinyatakan pada teorema berikut ini:

    Teorema 3.3:

    Misalkan bahwa daerah S pada bidang-uvw ditransformasikan ke daerah R

    pada bidang-xyz dengan transformasi T satu satu dan ditentukan dengan

    , , , , , , , , , dimana , dan

    mempu-nyai turunan parsial pertama yang kontinu pada S. Jika f kontinu

    pada R dan determinan Jacobi ),,(),,(

    wvuzyx

    tidak nol pada S, maka

  • 66

    =SR

    dudvdwwvuzyxwvuhwvugwvufFdVzyxF),,(),,()},,(),,,(),,,({),,(

    Pada teorema 3.3 tidak dibuktikan karena pembuktian teorema 3.3 sejalan

    dengan teorema 3.2.

    Contoh 3.8:

    Gunakan teorema 3.3 untuk mengubah penyelesaian integral lipat tiga

    pada koordinat tabung:

    =GB

    dzddrrzrrfdVzyxf ),sin,cos(),,(

    Penyelesaian:

    Pada koordinat tabung, kita mempunyai , , dan z untuk menggantikan

    , , dan w. Misalnya daerah B pada bidang-xyz adalah peta dari daerah G

    pada bidang- di bawah transformasi T yang dinyatakan sebagai

    perubahan variabel ke koordinat tabung dengan persamaan yaitu

    zzryrx === ,sin,cos

    Determinan Jacobi dari transformasi tersebut adalah

    rr

    rr

    rr

    zrzyxzrJ

    =+=

    +=

    =

    =

    )sin(cossincos

    1000cossin0sincos

    ),,(),,(),,(

    22

    22

  • 67

    Jadi, penyelesaian integral lipat tiga dari koordinat Cartesius ke dalam

    koordinat tabung berdasarkan teorema 3.3 dinyatakan sebagai berikut

    zdddrrzrrf

    dzddrzrzyxzrrfdVzyxf

    z

    z

    rr

    rr

    B G

    =

    =

    2

    1

    2

    1

    2

    1

    )(

    )(

    ),(

    ),(

    ),sin,cos(

    ),,(),,(),sin,cos(),,(

    Contoh 3.9:

    Hitunglah integral lipat tiga xddydzyxx yx

    yx

    +

    +1

    0

    1

    0

    22/322

    2 22

    22

    )( dengan

    menggunakan koordinat tabung.

    Penyelesaian:

    Penyelesaian integral tersebut sangat rumit bila diselesaikan dengan

    menggunakan koordinat Cartesius sehingga kita dapat mentransformasikan

    ke dalam koordinat tabung dengan menggunakan persamaan

    zzryrx === ,sin,cos

    Determinan Jacobi dari transformasi tersebut adalah

    1000cossin0sincos

    ),,(),,(),,(

    rr

    zrzyxzrJ

    =

    =

    rr

    rr

    =+=

    +=

    )sin(cossincos

    22

    22

  • 68

    Dari persamaan sin,cos ryrx == didapatkan 222 ryx =+ sehingga

    pada koordinat Cartesius batas 222 yxz = akan menjadi 22 rz =

    pada koordinat tabung. Jadi, untuk setiap nilai r dan tetap, nilai z akan

    berubah-ubah dari 2r sampai 22 r . Batas untuk 21 xy = pada

    koordinat Cartesius dapat dituliskan 122 =+ yx sehingga pada koordinat

    tabung dapat dinyatakan 1=r . Jadi, untuk setiap nilai dan z tetap, pada

    koordinat tabung nilai r berubah-ubah dari 0 sampai 1. Karena pada

    koordinat Cartesius r berubah-ubah dari 0 sampai 1 maka nilai akan

    berubah-ubah dari 0 sampai . Jadi, perhitungan integral lipat tiga ke

    dalam koordinat tabung dapat dituliskan sebagai berikut:

    ]

    d

    drr

    ddrrr

    ddrrr

    ddrrr

    ddrr

    ddrdzrr

    ddrdzzrzyxrxddydzyx

    z rr

    r

    r

    r

    r

    x yx

    yx

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    =+

    +

    2/

    0

    2/

    0

    1

    0

    75

    2/

    0

    1

    0

    64

    42/

    0

    1

    0

    2

    42/

    0

    1

    0

    2

    42/

    0

    1

    0

    2

    2/

    0

    1

    0

    23

    2/

    0

    1

    0

    22/32

    1

    0

    1

    0

    22/322

    71

    512

    752

    )(2

    )1(2

    )22(

    )(

    ),,(),,()()(

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2 22

    22

  • 69

    352

    0235

    4354

    3522

    ] 2/0

    2/

    0

    =

    =

    =

    = d

    Jadi, dengan adanya transformasi koordinat dari koordinat Cartesius ke

    koordinat tabung akan diperoleh perhitungan integral lipat tiga yang lebih

    sederhana.

    Contoh 3.10:

    Gunakan teorema 3.3 untuk pengubah penyelesaian integral lipat tiga pada

    koordinat bola:

    =B G

    dddfdVzyxf sin)cos,sinsin,cossin(),,( 2

    Penyelesaian:

    Pada koordinat bola, kita mempunyai , , dan untuk menggantikan

    , , dan w. Misalnya daerah B pada bidang-xyz adalah peta dari daerah G

    pada bidang- di bawah transformasi T yang dinyatakan sebagai

    perubahan variabel ke koordinat bola dengan persamaan yaitu

    cossinsincossin

    ===

    zyx

    Determinan Jacobi dari transformasi tersebut adalah

  • 70

    sin)sin(cossin

    )sin(cossin)sin(cossincossinsincossinsinsincoscossincos

    )sinsincossin(sin)sinsincoscossincos(cos

    0cossinsinsinsinsincossin

    sincossinsincos

    sinsincoscoscos

    0sincoscossinsincossinsin

    sinsincoscoscossin),,(

    2

    222

    22322222

    232232222222

    2222

    2222

    =

    +=

    +++=

    +++=

    ++

    +=

    +

    +

    =

    =J

    Jadi, penyelesaian integral lipat tiga dari koordinat Cartesius ke dalam

    koordinat bola berdasarkan teorema 3.3 dinyatakan sebagai berikut:

    =

    =

    2

    1

    2

    1

    2

    1

    )(

    )(

    ),(

    ),(

    2 sin)cos,sinsin,cossin(

    ),,(),,()cos,sinsin,cossin(),,(

    dddf

    dddzyxfdVzyxfB G

    Contoh 3.11:

    Hitunglah

    /

    dimana B adalah satuan bola pada .

    Penyelesaian:

    Perhitungan integral lipat tiga di atas sangat rumit bila dikerjakan

    pada koordinat Cartesius sehingga kita membutuhkan transformasi

  • 71

    koordinat yang lain untuk mempermudah perhitungan. Transformasi

    koordinat ke koordinat bola tampaknya bisa digunakan dengan alasan

    dapat diganti dengan satu variabel pada koordinat bola

    dengan . Jika G adalah daerah dengan batas-batas

    0 1, 0 2 , 0

    dan transformasi pada koordinat bola diberikan oleh persamaan

    cossinsincossin

    ===

    zyx

    dengan determinan Jacobi dari transformasi tersebut adalah

    sin0sincos

    cossinsincossinsinsinsincoscoscossin

    ),,( 2=

    =J

    maka dengan menggunakan transformasi koordinat ke koordinat bola dan

    dengan adanya determinan Jacobi, perhitungan integral lipat tiga di atas

    menjadi

    [ ]

    [ ]

    [ ]

    [ ]

    +=

    =

    =

    =

    =

    =++

    1

    0

    2

    1

    00

    2

    1

    0 0

    2

    1

    0 0

    20

    2

    1

    0 0

    2

    0

    2

    )()(

    0coscos2

    cos2

    02sin

    sin

    sin

    ),,(

    3

    3

    3

    3

    3

    2/322/3222

    de

    de

    dde

    dde

    ddde

    dddJedVeB G

    zyx

  • 72

    [ ]

    [ ]( )1

    343

    4

    )3(3

    4

    4

    112

    1

    0

    1

    0

    2

    1

    0

    2

    1

    0

    2

    3

    3

    3

    3

    =

    =

    =

    =

    +=

    e

    e

    de

    de

    de

    Jadi, melalui transformasi koordinat ke koordinat bola maka perhitungan

    integral lipat tiga dapat dengan mudah diselesaikan.

  • 73

    BAB IV

    PENUTUP

    Berdasarkan pembahasan yang telah dibahas pada bab sebelumnya dalam

    skripsi ini, maka dapat diambil beberapa kesimpulan yaitu:

    1. Transformasi koordinat adalah pemetaan sebuah sistem koordinat pada

    sebuah sistem koordinat yang lain. Tujuan adanya transformasi koordinat

    adalah untuk menemukan suatu daerah baru yang lebih sederhana dan

    untuk mempermudah perhitungan pada integral lipat yang rumit menjadi

    lebih sederhana. Sistem koordinat yang digunakan adalah sistem koordinat

    Cartesius, sistem koordinat kutub, sistem koordinat tabung dan sistem

    koordinat bola. Pada sistem persamaan

    ),(),(

    yxgvyxfu

    ==

    secara umum mendefinisikan transformasi atau pemetaan dari bidang-xy

    ke bidang-uv seperti gambar di bawah ini.

    Dengan sistem persamaan tersebut dapat ditentukan perubahan variabel

    dari fungsi x dan y menjadi fungsi u dan v.

    y

    x

    v

    u

    (x, y) . . (u, v)

  • 74

    2. Untuk mentransformasikan fungsi ),( yxF pada koordinat Cartesius ke

    dalam koordinat kutub dengan menggunakan perubahan variabel

    sin,cos ryrx == . Untuk mentransformasikan fungsi ),,( zyxF

    pada koordinat Cartesius ke dalam koordinat tabung dengan menggunakan

    perubahan variabel sin,cos ryrx == dan zz = sedangkan untuk

    mentransformasikan fungsi ),,( zyxF pada koordinat Cartesius ke dalam

    koordinat bola dengan menggunakan perubahan variabel

    .cos,sinsin,cossin === zyx

    3. Transformasi koordinat dari bidang-xy ke bidang-uv dapat dilakukan

    dengan menggunakan teorema Green. Melalui teorema Green, perhitungan

    pada integral lipat dua maupun integral lipat tiga yang rumit akan lebih

    mudah untuk diintegralkan. Dengan teorema Green dapat dibuktikan jika

    ),(),,( vugyvufx == adalah transformasi koordinat, maka

    =SR

    dudvvuyxvugvufFdxdyyxF),(),()),(),,((),(

    Bentuk ),(),(

    vuyx

    merupakan determinan Jacobi dari x dan y terhadap u dan

    v, dinotasikan dengan

    uy

    vx

    vy

    ux

    vy

    uy

    vx

    ux

    vuyxvuJ

    =

    =

    =),(),(),(

  • 75

    Determinan Jacobi pada fungsi tiga variabel dengan perubahan variabel

    , , , , , , dan , , didefinisikan

    ),,(),,(),,(

    wvuzyx

    wz

    vz

    uz

    wy

    vy

    uy

    wx

    vx

    ux

    wvuJ

    =

    =

    sehingga perubahan variabel dari bidang-xyz ke dalam bidang-uvw melalui

    transformasi koordinat dan determinan Jacobi untuk fungsi tiga variabel

    adalah

    =SR

    dudvdwwvuzyxwvuhwvugwvufFdVzyxF .),,(),,()},,(),,,(),,,({),,(

    Dengan adanya perubahan variabel melalui transformasi koordinat maka

    determinan Jacobi dapat ditentukan untuk mempermudah perhitungan

    pada integral lipat yang rumit menjadi lebih sederhana.

  • 76

    DAFTAR PUSTAKA

    Purcell, Edwin J., Rigdom, Steven E. & Varberg, Dale. (2003). Kalkulus edisi ke

    delapan. Jakarta: Erlangga.

    Robert, Murray Spingel. (2006). Kalkulus Lanjut Edisi Kedua Schaums Out

    Lines. Jakarta: Erlangga.

    Smith, Robert T., Minton, Ronald B. (1955). Calculus Second Edition. United

    States of America: McGraw-Hill Companies, Inc.

    Stewart, James. (2003). Kalkulus Edisi Keempat. Jakarta: Erlangga.

    Swokowski, Earl W. (1980). Calculus with Analytic Geometry. United States of

    America: Pearson Education, Inc.