06. Integral Lipat Dua

EXPERT COURSE

#bimbelnyamahasiswa

Integral Lipat Dua

2

Z=f(x,y)

z

3. Bentuk jumlahRiemann.

1. Bentuk partisi [a,b] dan [c,d] menjadi n bagian.

2. Pilih (xk , yk )pada setiap sub interval pada [xi, xi-1] dan [yi, yi-1]

Misalkan z = f(x,y) terdefinisi pada R merupakan suatu persegipanjang tertutup, yaitu : R = {(x, y) : a x b, c y d}

x

b

a

R

c d y

xkyk jumlah Riemann.

Jika limit ada, maka z = f(x,y) terintegralkan Riemann pada R,ditulis

n n

f(xk ,yk)Ak

i 1 i1

4. Jika n (|P| 0) diperoleh limit

n n

k k kn

i 1 i1

lim f(x ,y )A

n n

Rn

i 1 i1 f(x,y)dA lim f(xk ,yk)Ak

(x , y )k k

Integral Lipat Dua

3

Definisi integral lipat dua :

Misalkan f suatu fungsi dua peubah yangterdefinisi pada suatu persegi panjang tertutup R.

n

k1P 0lim f (xk , yk)AkJika ada, kita katakan f dapat

diintegralkan pada R. Lebih lanjut f (x, y)dA f (x, y)dxdy

f (x, y)dA

R

f (xk ,yk )AklimP 0

disebut integral lipat dua fR R

pada R diberikanyang oleh :

f (x, y)dx dy R

n

k1n

k1

kk k kf (x , y )x ylimP0

atau

Arti Geometri Integral Lipat Dua

4

Jika z = f(x,y) kontinu, f(x,y) 0 pada persegpanjang R,

maka f(x,y)dA menyatakan volume benda padat yangR

terletak di bawah permukaan permukaan z = f(x,y) dan

di atas R.

Menghitung Integral Lipat Dua

5

z z= f(x,y)

Jika f(x,y) 0 pada R, maka volume dapat dihitung dengan

metode irisan sejajar, yaitu:

(i) Sejajar bidang XOZz

x

ca

b

d

y a bx

b

A(y) f(x,y)dxa

A(y)

A(y)

Menghitung Integral Lipat Dua (Lanjutan)

6

d

R c

d b

c a

d b

c a

f(x,y)dA A(y)dy f(x,y)dx dy f(x,y)dx dy

Makad b

f (x,y)dA f(x,y)dx dyR c a

Menghitung Integral Lipat Dua (lanjutan)

7

(ii) Sejajar bidang YOZ

z z= f(x,y)

z

A(x)A(x)

ca

b

x

d

y c dy

d

A(x) f(x,y)dyc

Menghitung Integral Lipat Dua (Lanjutan)

8

b

R a

b d

a c

b d

a c

f(x,y)dA A(x)dx f(x,y)dy dx f(x,y)dy dx

Makab d

f (x,y)dA f(x,y)dx dyR a c

Contoh

9

1. Hitung integral lipat dua berikut ini : x2

R

2y2dA

R = {(x,y) | 0 x 6, 0 y 4}dimana

Jawab:

x2

R

6 4

0 0

2y2 dydx 2y2dA x2

6

0

4 32

3

2y dx x y

0 6

0 3

128dx 4x2

3

128x

4x3

3

6

288 256 5440

R

6

4

y

x

Contoh

10

4 6

2y2 dxdy 2y2dA x2

0 0

0 0

6 23

4 1 2xy dy 3

x

Atau,

x2

R

4

72 12y2 dy0

0

4

72x 4x3 288 256 544

Contoh

11

2. Hitung integral lipat dua berikut ini : sinx ydAR

dimana R = {(x,y) | 0 x /2, 0 y /2}

Jawab:

sinx ydAR

0 0

/ 2 /2

sinx ydy dx

R

/2

/2

y

x

/2

0 0

/2

dx cos(x y)

6

2 cos y cosydx

0

/ 2 / 2

0

2

sin y

0

sin y

2 2

sin sin sin 2

Latihan

12

22

dy dxy

0 1

0 02 1

b. xy2dy dx

1dy dx

x2

y1 2

c. 0 0

1. Hitung1 1

a. xy ex

2. f x,ydx dy untuk fungsiR

a. f(x,y)= (x + 2y)2 dengan R = [-1, 2] x [0, 2]

b. f(x,y)= x2 + y2 dengan R = [0, 1] x [0, 1]

c. f(x,y)= y3 cos2x dengan R = [-/2, ] x [1, 2]

Sifat Integral Lipat Dua

13

R1 R2R

Misalkan f(x,y) dan g(x,y) terdefinisi di persegipanjang R

1. k f x,ydA k f x,ydAR R

2. f x,y gx,ydA f x,ydA gx,ydAR R R

3. Jika R = R1 + R2 , maka

f x,ydA f x,ydA f x,ydA

4. Jika f(x,y) g(x,y), maka

f x,ydA gx,ydAR R

Integral Lipat Dua atas Daerah Sembarang

14

p(x) y q(x) }

Ada dua tipe

Tipe I

D = {(x,y) | a x b ,

Tipe II

D = {(x,y) | r(y) x s(y) , c y d }

Tipe I

15

D

q(x)

p(x)

y

x

a bx

Integral lipat dua pada daerah D dapat dihitung sebagai berikut :

b q( x)

f (x, y)dA f (x, y) dy dx

D a p( x)

D={(x,y)| axb, p(x)yq(x)}

y

Tipe II

16

Integral lipat dua pada daerah D dapat dihitung sebagai berikut :

d s( y)x D

d

f (x, y)dA f (x, y) dx dyD c r (y)

y

D={(x,y)|r(y)xs(y), cyd}

cr (y) s (y)

x

Aturan Integrasi

17

Urutan pengintegralantergantung dari bentuk

Dalam perhitungannya,

dalam integral lipat dua D (daerah integrasi).

kadangkala kita perlu merubahurutan pengintegralan. Hal ini dapat disebabkan dengan perubahan urutan pengintegralan akan memudahkan dalam proses integrasinya.

Oleh karena itu, langkah pertama kita harus dapat menggambarkan daerah integrasi, selanjutnya kita dapat merubah urutan integrasi dengan mengacu pada sketsa daerah integrasi yang sama.

Contoh

18

1. Hitung 2y ex dA ,R dibatasi x= y2, y =1, sumbu yR

R R

1 y2

2y ex dA 2y ex dxdy

y

x = y2

1

2R = {(x,y)| 0 x y , 0 y 1}

x

0

dy

0 01

2yey2

0

x

1

0

2

e 1dy 2y y

0 ey2

y21 e 1 1 e 2

x1

Contoh

19

Atau

R

R

1 1

x 2y ex dA 2y ex dydx

0

11

e y dxx

x 2

dibalik urutan pengintegralannya, yaitu:

R = {(x,y)| 0 x 1, x y 1}

y

x = y2

1

01

ex xex dy0

0 ex xex ex 1

y x1

2e e (1 1) e 2

Contoh

20

4 22

2. dy dx ey

x/2 y 2}

0 x 2

Jawab:Daerah integrasinya R = {(x,y)| 0 x 4,

yDiubah urutan pengintegralannya, yaitu:

0 y 2}

x R

x4

2

y

R = {(x,y)| 0 x 2y, Sehingga4 2

0 x 2

2

ey dy dx

2 2y

2

ey dx dy

22

0 02

e x0

dy2yy2

02

0

ey e4 1

2

2y ey dy

yx=2xy/2

Latihan

dx dy

3 3y

1. x ey

1 y

3

2

0

sin x

ycos x dy dx

0

2.

1 1

0 x

dy dxey5.2

0

6. dx dy

4 1

ey

x3

1 2

2

0 0

dy dxx 1

y3.

2 2

4. sin(x y) dx dy0 0

7. x y dy dx0 0

2 4x2

21

2

0

cosx

ysinx dy dx

0

8.

Integral lipat dalam koordinat kutub/polar

22

y dAHitung ex22

, D={(x,y)|x2+y24}D

Dalam sistem koordinat kartesius, integral ini sulit untuk

diselesaikan.

Sistem Koordinat Kutub

rP(r,)

x

y

=0(sumbu kutub)

Hubungan Kartesius – Kutubx2+y2=r2x = r cos

y = r sin

= tan-1(y/x)r x 2 y2

Transformasi kartesius ke kutub

23

Misalkan z = f(x,y) terdefinisi pada persegipanjang kutub D

D={(r, )| a r b, a }

Sumbu Kutub

r=a=a

f(x,y)dA ?D

=

r=b

Ak D

Ak

rk-1

rk

Pandang satu partisi persegi panjang kutub Ak

Luas juring lingkaran dengan sudut pusat adalah ½r2

2 2Ak = ½ rk - ½ rk-1

= ½ (rk2 - rk-1

2) = ½ (rk + rk-1) (rk - rk-1)= r r

Jika |P| 0, maka dA = r dr d (|P| panjang diagonal Ak)

Transformasi kartesius ke kutub

24

Sehingga

f(x,y)dA f (r cos, r sin)r dr dDk Dp

D

y dA

Contoh:

1. Hitung ex22

, D={(x,y)|x2+y24}

2. HitungD

y dA , D adalah daerah di kuadran I di dalam

lingkaran x2+y2=4 dan di luar x2+y2=1

Contoh

25

y dAex

22

1. dengan D = {(x,y)| x2+y2 4}

y

D

Jawab.

D adalah daerah di dalam lingkaran dengan pusat (0,0) jari-jari 2.D = {(r,)| 0 r 2, 0 2} Sehingga

y dAex

D

2 22 2

0 0

2

er r dr d

e4 1

2

0

2

0

1

d 2e r2

0

1 2

2 2

1 de4

2

2 x

rD

Contoh

26

2. y dAD

dengan D adalah persegipanjang kutub di kuadran I di dalam lingkaran x2+y2=4 di luar x2+y2=1

D = {(r,)| 1 r 2, 0 /2}

Sehingga /2 2

y

r dAD 0 1

r sin rdr d

7

3

7

3

/ 2

0 cos

0

2

1

31

/ 2

3r

sin d

0

1 / 2

8 1 sin d3

2 x

D

r

1

Latihan

27

1. Hitung dy dx4 x2 y 2

2. Hitung 1

1 1x2

0 0

1y2

sin(x2 y2) dx dy0 0

3. Tentukan volume benda pejal di oktan I di bawah paraboloid z = x2+y2 dan di dalam tabung x2 + y2 = 9 dengan menggunakan koordinat kutub.

D daerah sembarang/umum

28

1() r 2(), a }1. D={(r, )|

2. D={(r, )| a r b, 1(r) 2(r)}

Sumbu Kutub

r=2()

r=1()

=

=a

D

Sumbu Kutub

=2(r)

r=b

r=a=1(r)

D

Tuliskan daerah integrasi dalam koordinat polar

29

2

1 Terlihat bahwa D adalah lingkaran dengan pusat di (1,0) dan berjari-jari 1D

1

Jadi, (x – 1)2 + y2 = 1

x2 – 2x + 1 + y2 = 1

x2 + y2 = 2x

r2 = 2r cos

r2 – 2r cos =0

r (r – 2 cos )=0

r = 0 atau r = 2 cos

Untuk batas (dari gambar) =– /2 = /2

Sehingga,

D={(r, )| 0 r 2 cos ,– /2 /2}

Tuliskan daerah integrasi dalam koordinat polar

x

2

+

y2

–

2

x

=

0

(

x

–

1

)2

+

30

=/4

1 2 x

y

D

x = 1 x = 2

y = 0 y = 2x x2

y2 = 2x – x2

x = 1 r cos = 1 r = sec

hingga r = 2 cos

Untuk batas (dari gambar) =0 = /4

Sehingga koordinat polarnya adalah

D={(r, )| sec r 2 cos ,0 /4}

Tuliskan daerah integrasi dalam koordinat polar

31

1

1

2 Terlihat bahwa D adalah lingkaran dengan pusat di (0,1) dan berjari-jari 1

Jadi, x2 + (y – 1)2 = 1

x2 + y2 – 2y + 1 = 1

x2 + y2 = 2y

r2 = 2r sin

r2 – 2r sin =0

r (r – 2 sin )=0

r = 0 atau r = 2 sin

Untuk batas (dari gambar) =0 =

Sehingga,

D={(r, )| 0 r 2 sin ,0 }

Tuliskan daerah integrasi dalam koordinat polar

32

1

1

x = 0 x = 1

y = 0 y = x

Untuk batas r

x = 1 r cos = 1 r = sec

D

Untuk batas (dari gambar) =0 = /4

Sehingga koordinat polarnya adalah

D={(r, )| 0 r sec ,0 /4}

Contoh

33

1. Hitung1 0

2 2xx2

dydxx 2 y2

1

Jawab: Dari soal terlihat batas untuk x dan y:

x = 1 x = 2

y = 0 y = 2x x2

y2 = 2x – x2

=/4

1 2 x

x2 + y2 – 2x = 0

(x – 1)2 + y2 = 1

ini merupakan lingkaran dengan pusat (1,0), jari-jari 1y

D

Koordinat polarnya adalah

D={(r, )| sec r 2 cos ,0 /4}

Contoh lanjutan

Jadi. 1

2 2xx2

1 0

dy dx y2x2

0

/ 4 2 cos

sec

1 .r dr d

r

/ 42cossec

d r / 4

2cos secd

0 2sin ln sec tan / 4

00

4 4 2sin ln sec tan 2sin0 ln sec0 tan0

2

4

2 ln 2.1 2 1 ln1 2 ln 2 1

34

Latihan

35

S

1. Hitung r dr d , S daerah dalam lingkaran r = 4 cos

dan di luar r = 2

2. Hitung

1 1

x2 dx dy0 x

(dengan koordinat kutub)

3. Hitung D

4 x2 y 2 dA , D daerah kuadran I dari lingkaran x2+y2=1 antara y=0 dan y=x