16.1 Integral Lipat-Dua Atas Persegi Panjang Integral Riemann untuk fungsi satu peubah telah diperkenalkan pada kalkulus 1. Ingat bahwa kita membentuk suatu partisi P dari selang [a,b] menjadi selang yang bagian panjangnya xk, dimana k = 1,2,3,,n, mengambil sebuah titik contoh berikut:k

dari selang bagian ke-k, dan kemudian untuk penulisannya sebagai

Dari penjelasan diatas, kita akan memperoleh cara yang sama untuk mendefinisikan integral untuk fungsi dua peubah. Tetapkan R merupakan suatu persegi panjang dengan sisi-sisi sejajar sumbu-sumbu koordinat, yakni ambil:

Bentuk suatu partisi dari P dari R dengan memakai sarana berupa garis-garis sejajar sumbu x dan y (seperti gambar1). Ini membagi R menjadi beberapa persegi panjang kecil, semuanya n-buah, yang kita tunjukkan dengan Rk, dengan k =1,2,3, ,n. Tetapkan xk dan yk adalah panjang sisi Rk dan Ak = xkyk adalah luasnya. Pada Rk, ambil sebuah titik yaitu ( ) dan bentuk penjumlahan Riemann, yaitu:

Gambar 1, gambar 2, gambar 3

yang berpadanan ( jika f(x,y) 0) dengan jumlah volume dari n-kotak ( gambar 2 dan gambar 3). Dengan membuat partisi semakin lama semakin halus dengan cara

sedemikian sehingga semua Rk menjadi lebih kecil, akan menuju ke konsep yang kita inginkan. Kita siap untuk sebuah definisi formal. Dengan menggunakan cara penulisan yang diperkenalkan diatas, dengan ketentuan tambahan bahwa norma dari partisi P yang dinyatakan oleh adalah panjang diagonal terpanjang dari setiap

persegi panjang bagian dalam partisi. Definisi (Integral Lipat Dua). Andaikan f suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang tertutup R. Jika : .

ada, kita katakan f dapat diintegralkan pada R. Lebih lanjut yang disebut integral lipat dua f pada R, diberikan oleh : ,

Ingat bahwa jika f (x,y) 0, maka kurva y =

menyatakan luas daerah dibawah

antara a dan b. Dalam cara yang serupa, jika f (x,y) 0 maka menyatakan volume benda pejal dibawah permukaan z = f (x,y) dan

diatas persegi panjang R (gambar 4). Nyatakan integral ini sebagai definisi volume benda pejal.Gambar 4

PERTANYAAN KEUJUDAN:

Apakah semua fungsi dua peubah dapat diintegralkan pada suatu persegi panjang R yang diberikan??? Jawabannya adalah Tidak semua fungsi dua peubah dapat diintegralkan pada suatu persegi panjang R yang diberikan. Alasannya sama seperti kasus pada integral satu peubah, dimana f terbatas pada [a,b]. Fungsi-fungsi yang dapat terintegralkan pada setiap selang tertutup [a,b] yaitu:1. Fungsi polinomial

2. Fungsi sinus dan kosinus3. Fungsi rasional, asalkan selang [a,b] tidak mengandung titik-

titik yang mengakibatkan penyebut 0. Berikut ini merupakan contoh suatu fungsi yang tidak dapat diintegralkan:

Penyelesaian: tidak akan dapat diintegralkan pada sebarang persegi panjang yang memotong parabola y = x2 Teorema A (Teorema keterintegralan). Jika f terbatas pada suatu persegi panjang tertutup R dan jika f kontinu disana, kecuali pada sejumlah terhingga kurva mulus, maka f dapat terintegralkan pada R. dalam hal khusus, jika f kontinu pada selang R, maka f dapat diintegralkan disana.

Sebagai akibatnya, hampir semua fungsi biasa (asalkan mereka terbatas) dapat diintegralkan pada setiap persegi panjang. Misalnya,

Buktinya:

adalah dapat diintegralkan pada setiap persegi panjang. Fungsi tangga dari gambar 5 dapat diintegralkan pada R karena ketakkontinuannya terjadi sepanjang dua ruas garis.Gambar 5 Gambar 6

SIFAT SIFAT INTEGRAL LIPAT DUA Integral lipat dua hampir mewarisi semua sifat-sifat tunggal. 1. Integral lipat dua adalah linear, yaitu: (a) Bukti :

(b) Bukti :

2. Integral lipat dua adalah aditif pada persegi panjang (gambar 6) yang saling melengkapi hanya pada suatu ruas garis.

Bukti:3. Sifat pembanding berlaku. Jika f(x,y) g(x,y) untuk semua (x,y) di R maka:

Bukti : Diketahui f(x,y) g(x,y) untuk semua (x,y) di R dan untuk tiap-tiap k anggaplahk

sebagai titik contoh pada selang bagian ke-k di R. Kita dapat

menyimpulkan secara berurutan bahwa:

Semua sifat-sifat ini berlaku pada himpunan-himpunan yang lebih umum daripada persegi panjang. Tetapi ia merupakan bahan yang akan kita tinjau di integral lipat dua atas daerah bukan persegi panjang. PERHITUNGAN INTEGRAL LIPAT DUA Topik ini akan mendapat perhatian utama dalam materi mengenai integral lipat dua berikutnya, dimana kita akan mengembangkan suatu cara yang ampuh untuk perhitungan integral lipat dua. Tetapi kita telah sanggup menghitung beberapa integral dan kita dapat mengaproksimasi yang lainnya. Pertama-tama perhatikan bahwa jika f(x,y) = 1 pada R, maka integral lipat dua merupakan luas R, sehingga:

Contoh 1. Andaikan f berupa fungsi dengan nilai f(x,y) yaitu sebagai berikut:

Hitunglah Penyelesaian:

dengan R = {(x,y) : 1 x 4, 0 y 2}.

Dari suatu fungsi diatas dapat dinyatakan dalam bentuk persegi panjang R1, R2, dan R3 sebagai berikut: R1 = {(x,y) : 1 x 3, 0 y 1} R2 = {(x,y) : 1 x 3, 1 y 2} R3 = {(x,y) : 3 x 4, 0 y 2} Kemudian dengan menggunakan sifat penjumlahan dari integral lipat dua, kita peroleh :

= 2 A(R1) + 1 A(R2) + 3 A(R3) =2x2+1x2+3x2 =4+2+6 = 12 Contoh 2 : R = {(x,y) : 0 x 4, 0 y 2}