Integral Lipat Tiga.pdfx

15
MODUL V INTEGRAL LIPAT TIGA Definisi Integral Lipat Tiga Andaikan f adalah fungsi dari x, y, dan z yang terdefinisikan pada balok B, dalam ruang dimensi tiga, dimana sisi-sisinya sejajar dengan bidang- bidang koordinat. Pada balok B buatlah partisi berhingga banyak P dengan membagi menjadi n bagian, yakni B 1 , B 2 , …, B n dimana volumenya ΔV k = Δx k Δy k Δz k , . fungsi f dikatakan terintegralkan pada B didefinisikan oleh, n k k k k k P B V z y x f dV z y x f 1 0 | | ) , , ( lim ) , , ( jika limitnya ada

description

aplikasi integral lipat tiga

Transcript of Integral Lipat Tiga.pdfx

Page 1: Integral Lipat Tiga.pdfx

MODUL VINTEGRAL LIPAT TIGA

Definisi Integral Lipat Tiga

Andaikan f adalah fungsi dari x, y, dan z yang terdefinisikan pada balok B, dalam ruang dimensi tiga, dimana sisi-sisinya sejajar dengan bidang-bidang koordinat.

Pada balok B buatlah partisi berhingga banyak P dengan membagi menjadi n bagian, yakni B1, B2, …, Bn dimana volumenya ΔVk = ΔxkΔykΔzk, . fungsi f dikatakan terintegralkan pada B didefinisikan oleh,

n

kkkkk

PB

VzyxfdVzyxf10||

),,(lim ),,(

jika limitnya ada

Page 2: Integral Lipat Tiga.pdfx

Penghitungan Integral Lipat : B Balok Persegi PanjangBilamana B adalah balok berbentuk empat persegi panjang, yang dibatasi oleh :B={(x,y,z):a≤x≤b,c≤y≤ d,e≤z≤ h}

Maka untuk menghitung integral lipat tiga atas benda B dapat digunakan pendekatan,

b

a

d

c

h

eB

dzdydxzyxfdVzyxf ),,(),,(

d

c

b

a

h

eB

dzdxdyzyxfdVzyxf ),,(),,(

h

e

b

a

d

cB

dydxdzzyxfdVzyxf ),,(),,(

ContohdVzxy

B 32Hitunglah,

Bilamana bilamana B adalah balok berbentuk empat persegi panjang yang dibatasi oleh, B={(x,y,z):1≤x≤2,2≤y≤3,0≤z≤2}.

Bilamana diambil, dV = dz dy dx maka dihasilkan,

2

1

3

2

2

03232 dzdydxzxydVzxy

B

Bilamana diambil, dV = dz dx dy maka dihasilkan,

Bilamana diambil, dV = dx dy dz maka dihasilkan,

3

2

2

1

2

03232 dzdxdyzxydVzxy

B

2

0

3

2

2

13232 dxdydzzxydVzxy

B

Page 3: Integral Lipat Tiga.pdfx

Penghitungan Integral Lipat : Benda Pejal S (1)Andaikan f(x,y,z) terdefinisikan pada S, dan f bernilai nol bilamana diluar S. Andaikan pula S adalah himpunan z sederhana, dan Sxy adalah proyeksi permukaan benda S pada bidang xy,

Bilamana f kontinu dan terintegralkan pada benda pejal S, maka diperoleh :

dzdAzyxfdVzyxf

xyS

z

zS

),,( ),,( 2

1

dimana Sxy adalah percerminan permukaan benda pejal S pada bidang xy.

Penghitungan Integral Lipat : Benda Pejal S (2)Selanjutnya, jika Sxy daerah pada bidang xy yang berbentuk y sederhana, yang dibatasi oleh,Sxy={(x,y): y1≤y≤y2, a≤x≤ b}

y1

Maka integral lipat menjadi,

dzdydxzyxf

dzdAzyxfdVzyxf

b

a

y

y

z

z

S

z

zS xy

),,(

),,( ),,(

2

1

2

1

2

1

Pendekatan lain jika Sxy daerah pada bidang xy yang berbentuk x sederhana, yang dibatasi oleh,Sxy={(x,y): c≤y≤d, x1≤x≤ x2},

dzdxdyzyxf

dzdAzyxfdVzyxf

d

c

x

x

z

z

S

z

zS xy

),,(

),,( ),,(

2

1

2

1

2

1

Page 4: Integral Lipat Tiga.pdfx

ContohHitunglah, dengan S adalah benda pejal dibatasi oleh

silinder paraboloida, x + z2 = 4,bidang, x+y=4, y=x,z=0,dan y = 0.

dVxzS

Jawab Dari sektsa benda pejal S dibatasi, oleh, 0 ≤ z ≤ (4−x)1/2, dV=dzdA, maka

xyS

x

S

dzdAxzdVxz 4

0

dimana Sxy adalah proyeksi permukaan benda pejal S pada bidang xy

Dari gambar dibawah, daerah R berbentuk x sederhana dibatasi oleh, Sxy ={(x,y) : y≤x≤4–y, 0 ≤ y ≤ 2}, dan dA = dx dy.

320

1232

12)4(

3)4(2

21

3

23

)4()4(221

312

21

)4(21

21

2

0

4343

2

0

32

322

0

432

2

0

4 22

0

4

0

4 2

2

0

4 4

0

4

0

yyyy

dyyyyydyxx

dxdyxxdxdyxz

dzdxdyxz

dzdAxzdVxz

y

y

y

y

xy

y

y

y

x

S

x

S xy

Page 5: Integral Lipat Tiga.pdfx

ContohHitunglah, dengan S adalah benda pejal dibatasi oleh

Bidang, y+z=4, silinder paraboloida, y=x2, y=2-x2,bidang,z=0,x= 0.

dVxzS

Jawab Dari sektsa benda pejal S dibatasi, oleh, 0 ≤ z ≤ 4-y, dV=dzdA,maka

dAdzxzdVxz

xyS

y

S

4

0

dimana Sxy adalah proyeksi permukaan benda pejal S pada bidang xy

Dari gambar , daerah R berbentuk y sederhana yang dibatasi oleh, Sxy={(x,y) : x2≤y≤2 – x2,0 ≤ x ≤ 1}, dan dA = dx dy. Dengan demikian diperoleh,

48110)2433(

481

8)2(

8)4(

61 ])2()4([

61

)4(31

21)4(

21

21

4444

1

0

42421

03232

1

0

231

0

2 2

1

0

2 y-4

0

21

0

2 4

0

4

0

2

2

2

2

2

2

2

2

xxdxxxxx

dxyxdydxyx

dydxxzdzdydxxz

dAdzxzdVxz

x

x

x

x

x

x

x

x

y

S

y

S xy

Page 6: Integral Lipat Tiga.pdfx

PENERAPAN INTEGRAL LIPAT TIGA

1). Volume Benda Pejal S

d

c

x

x

z

z

b

a

y

y

z

z

S2

1

2

1

2

1

2

1

dzdxdy

dzdydxdVV

Misalkan, (x,y,z) menyatakan kerapatan benda pejal S, maka

(a). Massa benda :

2). Massa dan Pusat Massa

dV )z,y,x(m S

b). Pusat Massa

mMz,

mMy,

mM

x xzxzyz

dimana Myz , Mxz , Mxy : adalah moment terhadap ketiga bidang yang didefinisikan oleh :

dV )z,y,x(zM

dV z)y,(x,yM

dV )z,y,x(xM

Sxy

Sxz

Syz

Contoh : volumeHitunglah volume benda pejal dibawah permukaan paraboloida, z=4–y2, dan dibatasi paraboloida x = y2, bidang x + y = 2, z = 0, dan x = 0.

Dengan integral lipat tiga,

S

dVV

Dari sketsa pada, permukaan benda pejal S berbentuk z sederhana, yakni : 0 ≤ z ≤ 4 – y2, dan, dV = dz dA. Sehingga,

xyS

y

S

dzdAdVV24

0

dimana Sxy adalah proyeksi permukaan benda pejal S pada bidang xy

y=x

Page 7: Integral Lipat Tiga.pdfx

Dari gambar proyeksi permukaan S pada bidang xy, Sxy berbentuk y sederhana, dimana :Sxy = {(x,y) : x≤y≤2– x,0≤x≤1}, dan dA= dy dx. Jadi volume benda pejal V diberikan oleh,

1255

1216

121

6138

)2(121

6138 )2(

31

3138

31-4y )4(

1

0

421

03

1

0

231

0

2 2

1

0

2 40

1

0

2 4

0

4

0

22

2

xxxdxxx

dxydydxy

dydxzdzdydx

dzdAdVV

x

x

x

x

x

xyx

x

y

S

y

S xy

Contoh : MassaSuatu benda pejal S di oktan pertama dibawah permukaan silinder lingkaran tegak, x2 + z2 = 16, dan dibatasi bidang, x+y=4, y = x, z = 0, dan y = 0. Hitunglah massa S, bilamana kerapatannya (x,y,z) = kz.

Andaikan m menyatakan massa benda pejal S, dan karena kerapatannya δ(x,y,z) = kz,sehingga massa benda pejal S diberikan oleh,

SS

zdVkdVzyxm ),,(

y

Karena permukaan z berbentuk z sederhana, yakni 0 < z < (16–x2)1/2 maka

dzdAzkzdVkm

xyS

x

S

216

0

Page 8: Integral Lipat Tiga.pdfx

Dari gambar proyeksi permukaan S pada bidang xy, Sxy berbentuk x sederhana, dimana :Sxy = {(x,y) : y≤x≤4–y,0≤y≤2}, dan dA= dx dy. Jadi massa benda pejal S diberikan oleh,

kyyyyk

dyyyyk

dyxxkdxdyxk

dxdyzkdzdxdyzk

dzdAzkzdVkm

y

y

y

y

y

y

xy

y

x

S

x

S xy

368

121)4(

1211664

2

31)4(

313264

2

3116

2 )16(

2

21

2

0

442

2

033

42

032

0

4 2

2

0

4 16

0

22

0

4 16

0

16

0

22

2

Soal-soal Latihan1. Suatu benda pejal yang dibatasi kurva-kurva, x + zb = a, x + y =

a,x=(a – 1)y, z = 0, dan y = 0. Hitunglah massanya, jika kerapatannya (x,y,z) =bzb-1

2. Hitung massa benda pejal S dibatasi oleh bidang-bidang, y + z = 4, x = y, y = z, x = 0, dan z = 0. Bilamana kerapatannya adalah xz.

3. Hitung volume benda pejal S dibatasi silinder parabolik, 2z = y2, dan bidang-bidang, y + z = 4, x + y = 4, x = 0, dan z = 0.

4. Hitung volume benda pejal S dibatasi oleh silinder parabolik, y = x2, dan bidang-bidang, x = z, x + z = 4, y = 0 dan z = 0.

5. Suatu benda pejal dibatasi oleh permukaan-permukaan, y+z=a+b, z=a, y = x2, y = 1, dan x = 0. Buatlah sketsa benda tersebut, dan hitunglah massanya bilamana kerapatannya adalah xza.

6. Hitung massa benda pejal S dibatasi oleh silinder parabolik, y= x2, x=z2 dan bidang-bidang, x = 1, y =0 dan z = 0, bilamana kerapatannya adalah kxyz

Page 9: Integral Lipat Tiga.pdfx

Transformasi Integral Lipat Tiga Pada kasus-kasus khusus sering dijumpai masalah integral

lipat tiga dimana benda mempunyai bentuk lengkungan teratur Bentuk benda yang mempunyai lengkungan teratur adalah

silinder, bola, kerucut, elipsoida

Silinder Bola Kerucut

Misalkan (u,v,w) adalah titik pada bidang lengkungan u, v, w dan titik (x,y,z) titik pada koordinat kartesius di ruang dimensi tiga. Hubungan antara (x,y,z) dan (u,v,w) diberikan oleh transformasi :

x = x(u,v,w) ; y = y(u,v,w) ; z = z(u.v.w)Akibatnya :(1). Fungsi f(x,y,z) akan ditransformasikan menjadai F(u,v,w) (2). Jika S terdefinisikan pada (x,y,z), maka S’ terdefinisikan pada (u,v,w)(2). Jika f terintegralkan pada S, maka F(u,v,w) terintegralkan di S’Jadi :

dwdvdu )w,v,u(J)w,v,u(Fdzdydx )z,y,x(f'SS

Dimana Jacobian, J(u,v,w) didefinisikan oleh :

wz

vz

uz

wy

vy

uy

wx

vx

ux

)w,v,u()z,y,x()w,v,u(J

Page 10: Integral Lipat Tiga.pdfx

Transformasi Koordinat SilinderHubungan antara titik (x,y,z) dalam sistem koordinat kartesius dengan titik (r,θ,z) pada sistem koordinat silinder diberikan transformasi,x = r cos θ, y = r sin θ, z = z,

x2 + y2 = r2 Sebagai hasilnya integral lipat tiga pada sistem koordinat silinder diberikan oleh,

2

1

2

1

2

1 ),,(

),,( ),sin,cos(

),,( ),,(

r

r

z

z

S

SS

dzdrdrrzF

dzdrdrzJzrrf

dzdydxzyxfdVzyxf

xy

tan

Hitunglah volume dan massa sebuah benda pejal dibawah permukaan kerucut, z2 = x2+y2, di dalam silinder lingkaran tegak, x2 +y2 = 2y, dan diatas bidang xy. Bilamana diketahui kerapatannya adalah δ(x,y,z) = (x2 + y2)1/2 JawabAndaikan V dan m masing-masing menyatakan volume dan masa benda pejal, maka

Contoh

dzdydxyxm

dzdydxV

S

S

22

Dalam koordinat silinder,(1). Kerucut, z2 = x2 + y2 ditransformasikan menjadi, z = r(2). Silinder, x2 + y2 = 2y ditransformasikan menjadi, r = 2 sin θ, dengan 0 ≤ θ ≤ π

Page 11: Integral Lipat Tiga.pdfx

Dengan demikian batasan integral berulangnya dalam sistem koordinat silinder adalah S* = {(r,θ,z) : 0 ≤ z ≤ r, 0 ≤ r ≤ 2 sin θ, dan 0 ≤ θ ≤ π}. Jadi,

932cos

32sin

31

38

sin38

3

0

2

03

0

sin2

0

3

0

2sin

02

0

2sin

0 0

0

2sin

0

r

0

ddr

drdr

drdrz

rdzdrd

dzdydxV

r

S

23

83cossin

83sin

414

sin441

0

3

04

0

sin2

0

4

0

2sin

03

0

2sin

0

0

2

0

2sin

0

r

02

22

ddr

drdr

drdzr

dzdrdr

dzdydxyxm

r

S

Hitunglah masa benda pejal yang terletak dibawah bola, x2+y2+z2 = 8, dan diatas kerucut lingkaran tegak, z2=x2 + y2, bilamana kerapatannya sebanding dengan jarak terhadap bidang xy, δ(x,y,z) = kz.

JawabMasa benda pejal m diberikan oleh.

Contoh

x2 + y2 + z2 = 8,

x2 + y2= z2

S

dzdydxkzm

Dari sketsa, batasan integrasi untuk z adalah,

x2+y2+ (x2+y2) = 8 x2+y2 = 4

Sedangkan daerah R adalah perpotongan bola dan kerucut yakni :

)(8 2222 yxzyx

Page 12: Integral Lipat Tiga.pdfx

Dalam koordinat silinder :⑴ Bola, x2+y2+ z2 = 8 ditransformasikan

menjadi, r2+ z2 = 8⑵ Kerucut, x2 + y2 = z2,

ditransformasikan menjadi, z=r⑶ Lingkaran, x2 + y2 = 4,

ditransformasikan menjadi r=2 dan 02

Dengan demikian batasan integrasinya adalah :

⑴ r z 8 – r2 ⑵ 0 r 2⑶ 0 2Jadi,

2

0

2

0

8

2dzdrdzrk

dzdydxkzm

r

r

S

R

x2 + y2 = 4,

kkdk

drrk

drdrrk

drdrzkmr

r

8482

214

2

)28(2

21

20

2

0

2

0

2

042

2

0

2

03

2

0

2

0

82

2

Transformasi Koordinat BolaHubungan antara setiap titik (x,y,z) dalam sistem koordinat kartesius dengan titik (r, , ) pada sistem koordinat bola diberikan oleh transformasi, x = r cos sin , y = r sin sin , z = r cos , x2 + y2 + z2 = r2

dan, hasilnya adalah

f(x,y,z) = f(rcossin ,rsinsin,rcos) = F(r,, )dan

x

y

r

2

1

2

1

2

1ddrd sinr ),,r(F

ddrd ),,r(J),,r(Fdzdydx )z,y,x(f

r

r2

'SS

0 2

0

0 2

0 P(x,y,z)P(r,,)

Page 13: Integral Lipat Tiga.pdfx

Hitunglah masa benda pejal yang terletak dibawah bola, x2+y2+z2 = 4, dan diatas kerucut lingkaran tegak, z2=x2 + y2, bilamana kerapatannya sebanding dengan kadrat jarak terhadap titik pusat, δ(x,y,z) = k(x2+y2+z2 ).

JawabMasa benda pejal m diberikan oleh.

Contoh

S

dzdydxxkm )zy( 222

x2 + y2 + z2 = 4,

x2 + y2= z2

Dalam sistem koordinat bola, batasan benda pejal tersebut adalah,(1) Bola, r=2(2) Kerucut, =/4Dengan demikian,

k

ddrdrrk

dzdydxxkmS

5

2232

)sin)((

)zy(

4/

0

2

0

2

022

222

Hitunglah masa dan moment inersia terhadap titik pusat benda pejal S didalam bola, x2 + y2 + z2 = 2z, dan diatas kerucut, 3z2= x2 + y2, bilamana kerapatan di setiap titiknya sebanding dengan jarak terhadap titik pusat.

Contoh

x2 + y2 + z2 = 2z,

x2 + y2 = 3z2

Dengan integral lipat tiga massa dan moment inersia terhadap terhadap sumbu z, dengan kerapatan

adalah

dzdydxzyxzyxkI

dzdydxzyxkm

S

S

2222220

222

)(

222),,( zyxkzyx

Page 14: Integral Lipat Tiga.pdfx

Dalam koordinat bola batasan benda pejal B diberikan oleh,

⑴ Bola x2 + y2 + z2 = 2z, menjadi r=2cos

⑵ Kerucut, x2 + y2 = 3z2, menjadi, =/3

(3) Kerapatan,

menjadi, F= kr,

sehingga batasan integral berulangnya adalah :

⑶ 0r2cos; ⑷ 02; ⑸ 0/3Dengan demikian,

222),,( zyxkzyx k

ddrdrk

ddrdrrk

dzdydxzyxkmS

2031

sin

)sin(

3/

0

2

0

cos2

03

3/

0

2

0

cos2

02

222

k

ddrdrk

ddrdrrrk

dzdydxzyxzyxkIS

O

42127

sin

)sin)()((

)(

3/

0

2

0

cos2

05

3/

0

2

0

cos2

022

222222

Teknik Menghitung Integral Lipat Tiga Koordinat Silinder atau Koordinat Bola

Rumus integral lipat tiganya (x,y,z) Buat sketsa benda pejal, dan buat sketsa

daerah R yang merupakan pencerminan permukaan S pada bidang xy

Tentukan batasan-batasan benda pejal dalam koordinat silinder atau bola

Hitung rumus integral lipat tiga dalam koordinat silinder (z,r,) atau bola (r,,)

Hitung integral berulangnya

Page 15: Integral Lipat Tiga.pdfx

Soal-soal Latihan1) Hitung massa benda pejal, terletak didalam silinder lingkaran tegak,

x2 + y2 = 4x, dan dibawah kerucut, x2 + y2 = z2, dan diatas, z = 0. Bila kerapatannya sebanding dengan jarak terhadap bidang xy,

2) Hitung massa benda pejal terletak dalam silinder lingkaran tegak, x2 + y2 = 4y, dan dibawah bola, x2 + y2 + z2 = 16 dan diatas bidang, z = 0, kerapatan sebanding dng kuadrat jarak terhadap bidang xy

3) Sebuah silinder lingkaran tegak, tingginya (a+2), alasnya berbentuk lingkaran dengan pusat (0,b,0) jari-jarinya b. Silinder lingkaran tegak sisi-sisinya dipotong oleh bidang y=x dan y=-x. Kerapatan sebanding dengan jarak terhadap bidang alas silinder. Hitunglah massa benda tersebut.

4) Benda pejal terletak didalam bola, x2+ y2 + z2 = 4z, dan diatas kerucut lingkaran, 3(x2 + y2) = z2. Hitunglah volume bendanya.

5) Carilah titik pusat massa benda pejal yang terletak didalam bola x2+y2+z2 = 4z, dan diatas kerucut, x2 + y2 = z2, bilamana kerapatannya berbanding terbalik dengan jarak terhadap titik pusat.

Soal-soal Latihan Lanjutan

6) Hitunglah moment inersia terhadap sumbu z suatu benda pejal yang terletak didalam bola x2 + y2 + z2 = 4z, dan diatas kerucut, x2 + y2 = 3z2, bilamana kerapatannya sebanding dengan kuadrat jarak terhadap titik pusat.

7) Sebuah bola berlubang, jari-jari dalam (a+2) dan jari-jari luar (a+b+1). Kerapatannya sebanding dengan kuadrat jarak terhadap titik pusat. Hitunglah moment tehadap titik pusat.

8) Hitunglah moment inersia terhadap titik pusat z suatu benda pejal yang terletak didalam bola x2 + y2 + z2 = 4z, dan diatas kerucut, 3(x2 + y2) = z2, bilamana kerapatannya sebanding dengan jarak terhadap titik pusat.