INTEGRAL LIPAT DUA

Lia Yuliana, S.Si., MT.

2011/2012

Integral Lipat Dua pada Persegi Panjang

Telaah Ulang Integral Tentu

Misalkan f terdefinisi pada selang [a,b]. Bagi [a,b] menjadi

n selang bagian [xi-1, xi] dengan lebar x = (b – a)/n dan

pilih titik sampel *1[ , ].i i ix x x Bentuk jumlah Riemann

*

1

( )n

ii

f x x

maka integral tentu f dari a ke b diberikan oleh

*

1

( ) lim ( ) .nb

ia ni

f x dx f x x

( ) 0,f x Jika jumlah Riemann dapat ditafsirkan sebagai

jumlah luas persegi panjang dalam Gambar 1, dan ( )b

af x dx

menyatakan luas daerah di bawah kurva y = f(x) dari a ke b.

0 a 1x 2x 1ix ix 1nx bx

y

*1x *

2x *ix *

nx

*( )if x

( )y f x

Gambar 1

Volume dan Integral Lipat Dua

Misalkan f fungsi dua peubah pada segiempat tertutup

2[ , ] [ , ] ( , ) ; ,R a b c d x y a x b c y d

Misal ( , ) 0,f x y grafik f adalah permukaan z = f(x,y).

Misalkan S adalah benda padat yang terletak di atas R dan

di bawah grafik f, yaitu

3( , , ) ; 0 ( , ), ( , )S x y z z f x y x y R

Bagaimana mencari volume S ?

R

R

b

a c

d

xy

o

z

z = f(x,y)

R

Gambar 2

Langkah pertama adalah membagi segiempat R menjadi

beberapa segiempat bagian.Bagi interval [a,b] menjadi m

interval [xi-1, xi] dengan lebar x = (b – a)/m, dan bagi [c,d]

menjadi n interval [yj-1, yj] dengan lebar y = (d – c)/n.

Buat garis-garis sejajar sumbu koordinat melalui titik ujung

interval bagian ini, sehingga terbentuk segiempat bagian

1 1[ , ] [ , ]ij i i j jR x x y y

masing-masing dengan luas A = x y.

a x1 x2 xi-1 xi b

x

0

c

y1

yj-1

yjy

d

y

x

Rij

* *( , )ij ijx y

( , )i jx y

Gambar 3

Jika dipilih titik sampel * *( , )ij ijx y dalam setiap Rij, maka

bagian S yang terletak di atas Rij dihampiri oleh kotak segi-

empat dengan alas Rij dan tinggi * *( , )ij ijf x y . Volume kotak

ini adalah * *( , ) .ij ijf x y A

Jika prosedur ini dilakukan atas semua segiempat dan

menambahkan volume kotak yang berkaitan, diperoleh

hampiran terhadap volume total S ;

* *

1 1

( , )m n

ij iji j

V f x y A

1

b

a c

d

x y

o

z

Gambar 4

Hampiran dalam (1) akan menjadi lebih baik jika m dan n

besar, sehinga diharapkan

* *

,1 1

lim ( , )m n

ij ijm n

i j

V f x y A

2

Persamaan 2 didefinisikan sebagai volume benda padat

S yang terletak di bawah grafik f dan di atas segiempat R.

Definisi 3

Integral lipat-dua dari f pada segiempat R adalah

* *

,1 1

( , ) lim ( , )m n

ij ijm n

i jR

f x y dA f x y A

jika limit ini ada.

Jika f kontinu, maka integral-lipat dua ada.

Jika

terletak di atas segiempat R dan di bawah permukaan

( , )R

V f x y dA

( , ) 0,f x y maka volume V dari benda padat yang

z = f(x,y) adalah

CONTOH 1

Taksirlah volume benda padat yang terletak di atas bujur

dan di bawah paraboloida elipssangkar [0, 2] [0,2]R 2 216 2 .z x y Bagilah R menjadi empat bujur sangkar

yang sama dan pilih titik sampel berupa pojok kanan atas

dari setiap bujur sangkar Rij.

PENYELESAIAN

Perhatikan bujur sangkar berikut

R11 R21

R12 R22

0 1 2x

y

1

2

(2,1)(1,1)

(2,2)(1,2)

Gambar 5

Paraboloida adalah grafik dari 2 2( , ) 16 2f x y x y dan

luas setiap bujur sangkar adalah 1. Dengan menghampiri

volume menggunakan jumlah Riemann untuk m = n = 2,

diperoleh2 2

1 1

( , )i ji j

V f x y A

(1,1) (1,2) (2,1) (2,2)f A f A f A f A

13(1) 7(1) 4(1) 34.

CONTOH 2

Jika [ 1,1] [ 2,2]R hitunglah integral

21R

x dA

PENYELESAIAN

Karena integral dapat ditafsirkan sebagai volume21 0x

Jika 21 ,z x maka 2 2 1x z dan 0,z sehingga integral

lipat-dua yang diberikan menyatakan volume benda padat

S yang terletak di bawah silinder lingkaran 2 2 1x z dan

di atas segiempat R. Volume S adalah luas setengah

lingkaran dengan jari-jari 1 kali panjang silinder. Jadi

2 2121 (1) 4 2 .

R

x dA

Aturan Titik-Tengah

1 1

, ,m n

i ji jR

f x y dA f x y A

Aturan Titik-Tengah untuk integral Lipat-Dua

dengan ix titik-tengah 1,i ix x dan jy titik-tengah

1, .j jy y

CONTOH 3

Gunakan Aturan Titik-Tengah dengan m = n = 2 untuk

menaksir nilai integral

2( 3 )R

x y dA

dengan ( , ) ; 0 2, 1 2 .R x y x y

PENYELESAIAN

Dengan Aturan Titik-tengah untuk m = n = 2, dihitung

2( , ) 3f x y x y di pusat-pusat empat segiempat bagian.

0 1 2 x

y

1

2 (2,2)

3/2

11R 21R

12R 22R

Gambar 6

Sehingga 3 511 2 12 2 4, ,x x y dan 7

2 4 .y Luas setiap

segiempat bagian adalah A = ½. Jadi,

2 2

2

1 1

3 ,i ji jR

x y dA f x y A

1 1 1 2 2 1 2 2( , ) ( , ) ( , ) ( , )f x y A f x y A f x y A f x y A

5 7 3 5 3 71 1 1 1 1 12 4 2 2 4 2 2 4 2 2 4 2( , ) ( , ) ( , ) ( , )f f f f

958

Jadi, 2 9583 11,875.

R

x y dA

Contoh

Hitung integral lipat berikut

1.

dimana R={(x,y)0 x 6, 0 y 4}

2.

dimana R={(x,y)0 x /2, 0 y /2}

dAyxR 22 2

dAyxR sin

Sifat Integral Lipat-Dua

R R R

(a) , , , ,f x y g x y dA f x y dA g x y dA

R R

(b) , , , konstantacf x y dA c f x y dA c

R R

(c) , , , , , , ,

f x y g x y x y R f x y dA g x y dA Jika maka

(d) Jika daerah R merupakan gabungan dari beberapa daerah makanRRRRR ...321

RnRRR

dAyxfdAyxfdAyxfdAyxf ),(...),(),(),(21

Integral Lipat Dua atas Daerah Sembarang

Theorema

1. Jika R adalah daerah tipe I (gambar (i)) dimana f(x,y) kontinu, maka

2. Jika R adalah daerah tipe II (gambar (i))dimana f(x,y) kontinu, maka

b

a

xg

xg

dydxyxfdAyxf)(

)(

2

1

),(),(

d

c

yh

yh

dxdyyxfdAyxf)(

)(

2

1

),(),(

c

d

y = g2(x)

y = g1(x)

a b

x

y

Gambar (i)

x = h1(y) x = h2(y)

y

x

Gambar (ii)

Daerah Tipe I dan Tipe II

Aturan Integrasi

• Urutan pengintegralan dalam integral lipat dua tergantung dari bentuk daerah integrasi

• Dalam perhitungannya, kadangkala kita perlu merubah urutan pengintegralan. Hal ini disebabkan dengan perubahan urutan pengintegralan akan memudahkan dalam proses integrasinya.

• Oleh karena itu, langkah pertama kita harus dapat menggambarkan daerah integrasi, selanjutnya kita dapat merubah urutan integrasi dengan mengacu pada sketsa daerah integrasi yang sama.

Contoh

1. Hitung , R dibatasi oleh x=y2 , y=1 dan

sumbu y

2.

R

x dAey2

4

0

2

2

2

dxdyex

y