Penerapan Integral Lipat-Dua Atina Ahdika, S.Si, M · PDF filePenerapan Integral Lipat-Dua...

Kalkulus Multivariabel IPenerapan Integral Lipat-Dua

Atina Ahdika, S.Si, M.Si

Statistika FMIPAUniversitas Islam Indonesia

2014

Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 1

/ 28

Penerapan Integral Lipat-Dua Penerapan Integral Lipat-Dua

Penerapan Integral Lipat-Dua

Penerapan lain dari integral lipat-dua antara lain adalah menghitung pusatmassa, momen inersia, dan luas permukaan. Tinjaulah sebuah lembarantipis yang sedemikian tipisnya sehingga kita dapat memandangnya sebagaiobjek berdimensi dua, kita menyebut lembaran ini lamina. Di sini, kitaakan mempelajari lamina-lamina dengan berbagai kerapatan.


/ 28


Andaikan sebuah lamina menutupi sebuah daerah S pada bidang xy , danmisalkan kerapatan (massa per satuan luas) di (x , y) disimbolkan denganδ(x , y). Daerah S dipartisi menjadi persegi panjang-persegi panjang kecilR1,R2, . . . ,Rk seperti ditunjukkan pada gambar. Ambil sebuah titik(xk , yk) pada Rk .


/ 28


Maka massa Rk secara hampiran adalah δ(xk , yk)A(Rk), dan massa totallamina tersebut secara hampiran adalah

m ≈n∑

k=1

δ(xk , yk)A(Rk)

Massa sebenarnya, m diperoleh dengan mengambil limit rumus di atassebagai norma partisi mendekati nol, yang tentu saja merupakan sebuahintegral lipat dua

m =

∫∫S

δ(x , y)dA


/ 28


Contoh 1:Sebuah lamina dengan kerapatan δ(x , y) = xy dibatasi oleh sumbu x , garisx = 8, dan kurva y = x2/3. Tentukan massa totalnya.


/ 28


Penyelesaian:

m =

∫∫S

xy dA =

8∫0

x2/3∫0

xy dy dx

=

8∫0

[xy2

2

]x2/30

dx =1

2

8∫0

x7/3dx

=1

2

[3

10x10/3

]80

=768

5= 153.6 �


/ 28

Penerapan Integral Lipat-Dua Pusat Massa

Pusat Massa

Jika m1,m2, . . . ,mn berturut-turut adalah kumpulan titik-titik massa yangmasing-masing terletak di (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn), maka momen totalterhadap sumbu y dan sumbu x dapat dinyatakan dengan

My =n∑

k=1

xkmk Mx =n∑

k=1

ykmk

Lebih lanjut, koordinat (x , y) dari pusat massa (titik keseimbangan) adalah

x =My

m=

n∑k=1

xkmk

n∑k=1

mk

y =Mx

m=

n∑k=1

ykmk

n∑k=1

mk


/ 28


Sekarang perhatikan sebuah lamina dengan kerapatan berupa peubahδ(x , y) yang melingkupi daerah S pada bidang xy . Buat partisi sepertipada gambar dan asumsikan sebagai sebuah hampiran bahwa suatu massadari setiap Rk terpusat di (xk , yk), k = 1, 2, . . . , n. Gunakan limitnyasebagai suatu aturan pembagian partisi yang mendekati nol. Cara inimenghasilkan rumus umum,

x =My

m=

∫∫S

xδ(x , y)dA∫∫S

δ(x , y)dAy =

Mx

m=

∫∫S

yδ(x , y)dA∫∫S

δ(x , y)dA


/ 28


Contoh 2:Tentukan pusat massa dari lamina pada Contoh 1.Penyelesaian:

Pada Contoh 1, kita telah mendapatkan massa m dari lamina yaitu 7685 .

Momen My dan Mx yang mengacu pada sumbu y dan sumbu x adalah

My =

∫∫S

xδ(x , y)dA =

8∫0

x2/3∫0

x2y dy dx

=1

2

8∫0

x10/3dx =12288

13= 945.23 �


/ 28


Mx =

∫∫S

yδ(x , y)dA =

8∫0

x2/3∫0

xy2 dy dx

=1

3

8∫0

x3dx =1024

3= 341.33 �

Maka

x =My

m= 6

2

13= 6.15 � y =

Mx

m= 2

2

9= 2.22 �


/ 28

Penerapan Integral Lipat-Dua Momen Inersia

Momen Inersia

Dari pelajaran fisika kita pelajari bahwa energi kinetik, KE , dari sebuahpartikel dengan massa m, dan kecepatan v , yang bergerak dalam sebuahgaris lurus dirumuskan dengan

KE =1

2mv2 (1)

Jika suatu partikel tidak bergerak dalam sebuah garis lurus tetapi berputardalam sebuah sumbu dengan kecepatan sudut sebesar ω radian per satuanwaktu, maka kecepatan linearnya adalah v = rω, di mana r adalah jari-jaridari lintasan perputarannya. Ketika kita mensubstitusikan ini ke dalam(1), maka kita akan memperoleh

KE =1

2(r2m)ω2


/ 28


Suku r2m disebut momen inersia dari suatu partikel dan dilambangkandengan I . Jadi, untuk sebuah partikel yang berputar

KE =1

2Iω2 (2)

Kita simpulkan dari (1) dan (2) bahwa momen inersia dari benda dalamgerak berputar memainkan peranan yang serupa dengan massa bendadengan gerak linear.


/ 28


Untuk sebuah sistem dengan n partikel pada suatu bidang dengan massam1,m2, . . . ,mn dan pada jarak-jarak r1, r2, . . . , rn dari garis L, makamomen inersia sistem terhadap L didefinisikan sebagai

I = m1r21 + m2r

22 + . . .+ mnr

2n =

n∑k=1

mk r2k

Dengan kata lain, kita melakukan penjumlahan momen inersia dari setiappartikel.


/ 28


Misalkan sebuah lamina dengan kerapatan δ(x , y) yang melingkupi daerahS pada bidang xy . Jika kita mempunyai partisi S , membuat hampiranuntuk momen inersia dari setiap bagian Rk , menjumlahkan danmenentukan limitnya, maka akan diperoleh rumus-rumus berikut. Momeninersia (disebut juga momen kedua) dari suatu lamina terhadap sumbu x ,sumbu y , dan sumbu z dinyatakan dengan

Ix =

∫∫S

y2δ(x , y)dA Iy =

∫∫S

x2δ(x , y)dA

Iz =

∫∫S

(x2 + y2)δ(x , y)dA = Ix + Iy


/ 28


Contoh 3:Tentukan momen inersia terhadap sumbu x , y , dan z dari lamina padaContoh 1.Penyelesaian:

Ix =

∫∫S

xy3dA =

8∫0

x2/3∫0

xy3 dy dx =1

4

8∫0

x11/3dx =6144

7≈ 877.71 �

Iy =

∫∫S

x3ydA =

8∫0

x2/3∫0

x3y dy dx =1

2

8∫0

x13/3dx = 6144 �

Iz = Ix + Iy =49152

7≈ 7021.71 �


/ 28

Penerapan Integral Lipat-Dua Luas Permukaan

Luas Permukaan

Pada materi ini, kita akan membahas mengenai luas permukaan yangdidefinisikan dengan z = f (x , y) atas sebuah daerah spesifik.Andaikan G adalah permukaan atas sebuah daerah S yang tertutup danterbatas pada bidang xy . Asumsikan bahwa f mempunyaiturunan-turunan parsial pertama kontinu fx dan fy . Kita akan mulaidengan membuat partisi P pada daerah S dengan garis-garis sejajardengan sumbu x dan sumbu y (Gambar kiri).


/ 28


Misalkan Rm, m = 1, 2, . . . , n, menyatakan persegi panjang-persegipanjang yang dihasilkan dan terletak sepenuhnya di dalam S . Untuk setiapm, misalkan Gm adalah bagian dari permukaan yang diproyeksikan ke Rm,dan misalkan Pm adalah suatu titik dari Gm yang diproyeksikan ke sudutRm dengan koordinat x dan koordinat y yang terkecil. Misalkan Tm

menyatakan suatu jajaran genjang dari bidang singgung di Pm yangdiproyeksikan ke Rm, seperti ditunjukkan pada Gambar kiri, dan perincianselanjutnya ditunjukkan pada Gambar kanan.


/ 28


Selanjutnya, kita mencari luas jajaran genjang Tm yang proyeksinya adalahRm. Misalkan um dan vm menyatakan vektor-vektor yang membentuksisi-sisi Tm. Maka,

um = ∆xmi + fx(xm, ym)∆xmk

vm = ∆ymj + fy (xm, ym)∆ymk


/ 28


Luas jajaran genjang Tm adalah |um × vm| di mana

um × vm =

∣∣∣∣∣∣i j k

∆xm 0 fx(xm, ym)∆xm0 ∆ym fy (xm, ym)∆ym

∣∣∣∣∣∣= (0− fx(xm, ym)∆xm∆ym)i − (fy (xm, ym)∆xm∆ym − 0)j

+ (∆xm∆ym − 0)k

= ∆xm∆ym[−fx(xm, ym)i − fy (xm, ym)j + k]

= A(Rm)[−fx(xm, ym)i − fy (xm, ym)j + k]

Dengan demikian, luas Tm adalah

A(Tm) = |um × vm| = A(Rm)√

[fx(xm, ym)]2 + [fy (xm, ym)]2 + 1


/ 28


Kemudian, jumlahkan luas dari bidang-bidang singgung jajaran genjang Tm

ini, m = 1, 2, . . . , n, dan ambil limitnya agar diperoleh luas permukaan G .

A(G ) = lim|P|→0

n∑m=1

A(Tm)

= lim|P|→0

√[fx(xm, ym)]2 + [fy (xm, ym)]2 + 1A(Rm)

=

∫∫S

√[fx(xm, ym)]2 + [fy (xm, ym)]2 + 1dA

Singkatnya,

A(G ) =

∫∫S

√f 2x + f 2y + 1dA


/ 28


Gambar di atas dibuat seolah-olah daerah S pada bidang xy adalah sebuahpersegi panjang, tapi prakteknya tidak selalu demikian. Gambar berikutmemperlihatkan apa yang terjadi ketika S bukan merupakan sebuahpersegi panjang.


/ 28


Contoh 1:Jika S adalah daerah persegi panjang pada bidang xy yang dibatasi olehgaris x = 0, x = 1, y = 0, dan y = 2, tentukan luas dari bagianpermukaan silindris z =

√4− x2 yang diproyeksikan ke S .


/ 28


Penyelesaian:

Misalkan f (x , y) =√

4− x2. Maka fx = − x√4−x2 , fy = 0, dan

A(G ) =

∫∫S

√f 2x + f 2y + 1dA =

∫∫S

√x2

4− x2+ 1dA

=

∫∫S

2√4− x2

dA =

1∫0

2∫0

2√4− x2

dy dx

= 4

1∫0

1√4− x2

dx = 4[sin−1

x

2

]10

=2π

3�


/ 28


Contoh 2:Tentukan luas permukaan z = x2 + y2 di bawah bidang z = 9.


/ 28


Penyelesaian:Bagian G (yang diarsir) dari permukaan tersebut diproyeksikan ke daerahmelingkar S di dalam lingkaran x2 + y2 = 9. Misalkan f (x , y) = x2 + y2.Maka fx = 2x , fy = 2y , dan

A(G ) =

∫∫S

√4x2 + 4y2 + 1dA


/ 28


Bentuk S menyarankan kita untuk menggunakan koordinat kutub.

A(G ) =

2π∫0

3∫0

√4r2 + 1r dr dθ

=

2π∫0

1

8

[2

3(4r2 + 1)3/2

]30

dθ

=

2π∫0

1

12(373/2 − 1)dθ =

π

6(373/2 − 1) ≈ 117.32 �


/ 28

Penerapan Integral Lipat-Dua Latihan

Latihan

1. Tentukan massa m dan pusat massa (x , y) dari lamina yang dibatasikurva-kurva berikut dengan kerapatan yang diberikan.

a. x = 0, x = 4, y = 0, y = 3; δ(x , y) = y + 1b. y = ex , y = 0, x = 0, x = 1; δ(x , y) = 2− x + y

2. Tunjukkan bahwa momen inersia dari sebuah lamina persegi panjanghomogen dengan panjang sisi a dan b terhadap sumbu tegak lurusmelalui pusat massanya adalah

I =k

12(a3b + ab3)

Di sini k adalah konstanta kerapatan.


/ 28

Penerapan Integral Lipat-Dua Latihan

3. Sketsalah daerah-daerah berikut dan hitung luas permukaannya.

a. Bagian dari permukaan z =√

4− y2 yang tepat berada di atasbujursangkar pada bidang xy dengan verteks-verteks(1, 0), (2, 0), (2, 1), dan (1, 1).

b. Bagian dari permukaan z =√

4− y2 pada oktan pertama yang tepatberada di atas lingkaran x2 + y2 = 4 pada bidang xy .

c. Bagian dari bola x2 + y2 + z2 = a2 di dalam silinder lingkaranx2 + y2 = ay (r = asinθ pada koordinat kutub), a > 0.


/ 28

Penerapan Integral Lipat-Dua Pustaka

Pustaka

Purcell, E. J & D. Vanberg, 1999. Terjemahan, Kalkulus danGeometri Analitis, Jilid 1 dan 2. Jakarta : Erlangga.

Spiegel. M. & Wrede R.C. 2002. Theory and Problem of AdvancedCalculus. Schaum Outline Series. New York: Mc Graw-Hill.

Purcell, E. J & D. Vanberg, 2003. Terjemahan, Kalkulus , Jilid 2.Jakarta : Erlangga.

Mendelson, Elliot, 1988. Schaum’s Outlines, 3000 Solved Problems inCalculus. New York: Mc Graw-Hill.


/ 28

Penerapan Integral Lipat-Dua Atina Ahdika, S.Si, M · PDF filePenerapan Integral Lipat-Dua...

Documents

Transcript of Penerapan Integral Lipat-Dua Atina Ahdika, S.Si, M · PDF filePenerapan Integral Lipat-Dua...