Bab 4.-integral-lipat-dua1 2

��

�

�

63�

�

��

4.1 PENDAHULUAN

Pada bagian ini akan dibahas perluasan integral tertentu ke bentuk integral

lipat dua dari fungsi dua peubah. Akan dibahas bentuk-bentuk integral lipat

dalam koordinat kartesius, koordinat, kutub, maupun dalam koordinat yang

lebih umum. Penerapan integral lipat diantaranya untuk menghitung

volume, pusat massa dan momen inersia.

Setelah mempelajari bab ini, saudara akan dapat:

- Menghitung integral lipat dua dalam koordinat kartesius,

- Menghitung integral lipat dua dalam koordinat kutub,

- Menghitung integral lipat dua dalam koordinat yang lebih umum

melalui penggantian peubah.

4.2. INTEGRAL LIPAT ATAS DAERAH SEGIEMPAT

Pada pembahasan turunan parsial, ketika menurunkan fungsi f(x,y) terhadap

x maka y dianggap konstanta, dan sebaliknya. Hal demikian juga berlaku

untk integral. Misal diketahui fungsi dua variabel ( ) yxyxf 2, += . Fungsi

ini akan kita cari hasil integrasinya terhadap variabel x dan y , yaitu:

�� + dxdyyx )2(

Pada integral diatas, dalam mencari penyelesaiannya, pertama

diintegralkan terlebih dahulu terhadap x kemudian diintegralkan lagi

terhadap y .

Ketika kita mengintegral kan terhadap variabel x , maka kita

menganggap variabel lain sebagai konstanta. Begitu juga sebaliknya, bila

kita integralkan terlebih dahulu terhadap variabel y , maka variabel yang

lain dianggap sebagi konstanta.

Dengan demikian, untuk persoalan diatas, misalkan kita integralkan

terlebih dahulu terhadap x , maka

��

�

�

64�

�

( ){ }dydxyxdxdyyx � �� +=+ 2)2(

{ }dyydxxdx� � �+= 2

= � + dyxyx }22

1{ 2

= dyyxdyx �� + 22

1 2

= 22

2

1xyyx +

= )2

1( yxxy + .

Berikutnya akan dibahas integral lipat atas daerah segiempat.

Misalkan ( ),z f x y= terdefinisi pada R, suatu daerah persegi panjang

tertutup, yaitu : R =[a,b] x [c,d] = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} di bidang

XY.

Tujuan kita adalah menentukan volume benda yang dibatasi oleh

( ),z f x y= di atas daerah R di bidang XY.

Volume ini nantinya akan dinyatakan sebagai integral lipat dua

( ), R

f x y dA�� . Untuk

��

�

�

65�

�

memperolehnya, serupa dengan ketika kita mencari luas daerah yang

dibatasi oleh y = f(x) di atas sumbu X.

� Bentuk partisi [a,b] menjadi m bagian dan [c,d] menjadi n bagian.

� Pilih ( ),ij ij

x y∗ ∗ pada setiap sub interval pada [xi, xi-1] dan [yi, yi-1]

Volume = ( ), .ij ij

f x y A∗ ∗

∆

� Bentuk jumlah Riemann.

��

�

�

66�

�

( )1 1

, m n

ij ij

i j

f x y dA∗ ∗

= =

��

� Jika m,n � ∞ (|P|� 0) diperoleh integral lipat dua f pada R sebagai

limit jumlah Riemann, yaitu

( ) ( ),

1 1

, lim , ,m n

ij ijm n

i jR

f x y dA f x y A∗ ∗

→∞= =

= ∆��

Jika limit ada, maka z = f(x,y) terintegralkan Riemann pada R

Integrasi dari fungsi dengan dua peubah dinyatakan dengan

Grafik fungsi dengan dua peubah berupa luasan permukaan dalam dimensi

tiga dan integrasinya pada suatu daerah R adalah volume antara grafik

dengan daerah tersebut.

Sifat integral:

1.) ( ) ( ) ( ) ( ), , , ,R R R

f x y g x y dA f x y dA g x y dA+ = +� ��

2.) Jika c konstanta, ( ) ( ) , , R R

c f x y dA c f x y dA=��

R��

��

�

�

67�

�

3.) Jika ( ) ( ), ,f x y g x y≥ untuk setiap ( ),x y di dalam ,R maka

( ) ( ), , R R

f x y dA g x y dA≥�� .

Jika ),( yxf = 1, maka nilai dari volume sama dengan luas daerah R.

{ }

xddyyxfdxdyyxf

dydxyxfdxdyyxf

dycbxayxR

x,yf

b

a

d

c

b

a

d

c

d

c

b

a

d

c

b

a

� � � �

� � � �

��

��

�=

��

��

�=

≤≤≤≤=

),(),(

),(),(

maka

,:),(

segiempatdaerah suatu padakontinu )( Jika

� �−

+2

1

1

1

2 )23(

integral Selesaikan : 4.1Contoh

dydxxyx

Penyelesaian .

Menggunakan denfinisi diperoleh:

[ ]

{ }

[ ]

14

)1(2)2(226

])1()1(3[])1()1(3[

3)23(

332

13

2

1

2

2

1

2222

2

1

1

122

2

1

1

1

2

=

−===

−+−−+=

+=+

�

�

�� =

−=

−

xdxx

dxxxxx

dxxyyxdydxxyxy

y

��

�

�

68�

�

Gaudio Fubini ( 1879 – 1943) menunjukkan bahwa integral ganda dari

suatu fungsi kontinu dapat ditentukan dengan integral berulang.

Selanjutnya teknik ini dikenal dengan Teorema Fubini.

Teorema Fubini pada daerah segiempat

Jika f kontinu pada daerah segi empat { } ,:),( dycbxayxR ≤≤≤≤=

maka

Contoh 4.2:

Selesaikan �� −

R

dAyx )( , dengan R=[0,1] x [0,2]

Penyelesiaan:

��

��

�−=−=−

2

0

1

0

2

2

0

1

02

1)()( dyxyxdxdyyxdAyx

R

= � ��

��

�−−

2

0

2 0).11.2

1( dyy

= �

��

�−

2

0 2

1dyy

��

d

c

a b

x

y

� �� ==b

a

d

c

d

c

b

a

dydxyxfdxdyyxfdAyxf ),(),(),(R

��

�

�

69�

�

= 12

1

2

12

0

2−=��

��

�− yy .

Atau

��

��

�−=−=−

1

0

2

0

21

0

2

0 2

1)()( dxyxydydxyxdAyx

R

= � ��

��

�−

1

0

22.2

12. dxx

= ( )� −1

0

22 dxx

= [ ] 121

02

−=− xx .

Terlihat dengan urutan intergral berbeda diperoleh hasil yang sama.

Pada kasus ( ) ( ) ( ), ,f x y g x h y= maka ( ) ( ) ( ) ( ) b d

a cR

g x h y dA g x dx h y dy=�� , dengan [ ] [ ], , .R a b c d= ×

Contoh 4.3 : Jika 0, 0, ,2 2

Rπ π� � � �

= ×� � � �� tentukan sin cos

R

x y dA�� .

Penyelesaian:

Teorema Fubini untuk daerah sembarang

Ada dua tipe , seperti pada dua gambar berikut:

��

�

�

70�

�

� �� =b

a

y

yR

dydxyxfdAyxf2

1

),(),( � �� =d

c

x

xR

dxdyyxfdAyxf2

1

),(),(

Contoh 4.4: Cari � �1

0 2

30 x

x

ydydx

Penyelesaian:

[ ]

[ ]2

3535

)1515(

1530

1

053

1

0

42

1

0

21

0

2

2

=

−=−=

−=

=

�

�� =

=

xx

dxxx

dxyydydxxy

xy

x

x

Contoh 4.5 : Hitung �� +

R

y)dA(x 3 dimana

}1211){( 22xyx, x|-x,yR +≤≤≤≤=

Type II

)(22 yhx =)(11 yhx =

d

c

x

yType I

)(11 xgy =

)(22 xgy =

a b x

y

��

�

�

71�

�

Penyelesaian.

.--

)x-xxx-x (

dxx-xxx-xx

)dx)x-()x(()x-xx(

y)dydx(xy)dA(x

-

-

R-

x

x

22

11

2

3

1

1

2

1

2

3

4

1

2

1

42

33

2

32

212

321

33

5342

1

1

44233

1

1

222222

1

1

1

2

2

2

=+=++=

++++=

+++=

+=+

�

�

�� +

Contoh 4.6 : Tentukan ��R

dAyxf ),( jika:

{ }

(-2,1) and (3,1) (0,0),sudut titik -ikdengan tit segitiga ;),( (iii)

sindan 0 ,,0oleh dibatasi yangdaerah ;),( (ii)

20,2:),(;4),( (i)

2

2

Rxyyxf

xyyxxRyyxf

yyxyyxRyxyxf

=

=====

≤≤≤≤=−=

π

Penyelesaian.

(i). Daerah R adalah sebagai berikut

x

y

2=y

0=y

yx 2=

2yx =

��

��

�

�

72�

�

Maka diperoleh

[ ]

5

36

5

2

42

)26(

]})(2[]2)2(2{[

2)4()4(

2

0

543

2

0

432

2

0

32222

2

0

222

0

2

2

2

=��

��

�−+=

−+=

−−−=

−=−=−

�

�

�� =

=

=

=

=

=

yyy

dyyyy

dyyyyy

dyxyxdxdyyxdAyxyx

yx

y

y

yx

yxR

(ii) Daerah R adalah sebagai berikut:

Diperoleh

.42

2sin

4

1

)2cos1(4

1

2

sin

2

0

0

0

2

0

sin

0

2

0

sin

0

ππ

π

π

ππ

=��

��

�−=

−=

=

��

��

�==

�

�

�� =

=

=

=

xx

dxx

dxx

dxy

dydxydAy

xx

x

xy

yR

x

y

xy sin=

0=y0=x

��

π=x

��

�

�

73�

�

(iii). Daerah R adalah

Maka

.2

1

22

5)49(

2

2

1

0

51

0

41

0

222

1

0

3

2

221

0

3

2

22

=��

�

��

�==−=

��

�

��

�==

��

��

=

−=

=

=

=

−=

ydy

ydyyy

y

dyyx

dxdyxydAxy

yx

yx

y

y

yx

yxR

Catatan`:

Aturan integrasi:

• Urutan pengintegralan dalam integral lipat dua tergantung dari

bentuk D (daerah integrasi).

• Dalam perhitungannya, kadangkala kita perlu merubah urutan

pengintegralan. Hal ini dapat disebabkan dengan perubahan urutan

pengintegralan akan memudahkan dalam proses integrasinya.

• Oleh karena itu, langkah pertama kita harus dapat menggambarkan

daerah integrasi, selanjutnya kita dapat merubah urutan integrasi

dengan mengacu pada sketsa daerah integrasi yang sama.

x

y

1

0=y

yx 2−=

1=y

yx 3=

2− 3

��

��

�

�

Contoh

dan sumbu

Penyelesaian:

2(�� yeR

Atau dibalik urutan integralnya:

2(�� yeR

��

Contoh 4.7 : Hitung , R daerah yang dibatasi oleh

dan sumbu y.

Penyelesaian:

)

1

0

1

0

1

0

=

=

=

=

�

�

�

e

dAyex


)1

0

=

=

=

= �dAyex

��

: Hitung , R daerah yang dibatasi oleh

( )

(2

2

2

1

0

2

1

0

1

00

1

0 0

2

2

2

2

−

−�

�

� �

ye

ey

dyey

dxey

y

y

yx

yx


( )2

1

0

1

0

12

1

0

1

+−

−�

�

� �

xee

dxxee

ye

dyey

xx

xx

x

x

x

x

(��R

y2: Hitung , R daerah yang dibatasi oleh

11

)1

−−=

−

e

dy

dy

dydx


(1

0−=+ ee

dx

dx

dxdy

x

)xdAey: Hitung , R daerah yang dibatasi oleh

.21 −= e

1() −+− ee

: Hitung , R daerah yang dibatasi oleh

)101 =+−

: Hitung , R daerah yang dibatasi oleh x = y

.2−e

74�

x = y2, y =1,

�

��

�

�

75�

�

LATIHAN 4.2 :

Untuk soal no. 1 – 5 , hitung ��R

dAyxf ),( , jika:

1. }21,21:),{(;812),( 32≤≤−≤≤=−= yxyxRxxyyxf

2. Rxyyxf ;2),( += daerah segiempat yang dibatasi oleh (-1,-1), (2,-1),

(2,4) dan (-1,4).

3. }1,21:),{(;),( 2xyxxyxRyxyxf ≤≤−≤≤==

4. }20,2:),{();4(),( 2≤≤≤≤=−= yyxyyxRyxyxf

5. 2),( xyyxf = ; R daerah segitiga yang dibatasi oleh (0,0), (3,1) and (-

2,1).

Untuk soal no. 6 – 9, sketsakan daerah integrasi R, kemudian tulis kembali

integral dengan menukar urutan integrasi

6. � �−1

0

24

2

),(x

dydxyxf 7. � �1

0

),(

y

y

dxdyyxf

8. � �1

0 1

),(

xe

dydxyxf 9. � �−

−−

1

0

1

1

2

2

),(

y

y

dxdyyxf .

Untuk soal no. 10 – 12, hitung integral lipat :

1. 1 2

0 1

xxedy dx

y� �

2. 2

2

1

1R

xdA

y

+

+�� dengan [ ] [ ]0,1 0,1 .R = ×

3. ( )1 1

2

0sin ,

xy dy dx� �

��

�

�

76�

�

4.3 PENGGANTIAN VARIABEL DALAM INTEGRAL LIPAT

Dari transformasi T yang diberikan oleh x = g(u, v) dan y = h(u, v)

didefinisikan jacobian :

��

Misalkan T adalah Transformasi C1 satu ke satu yang Jacobiannya tidak nol

dan yang memetakan daerah S di bidang uv pada daerah R di bidang xy.

Andaikan bahwa f kontinu pada R dan bahwa R serta S adalah daerah-

daerah bidang jenis I atau II, maka:

��

Dalam hal ini kita mengubah dari integral dalam x dan y ke integral dalam

u dan v dengan cara mengekspresikan x dan y dalam suku u dan v dan

menuliskan :

��

Sebagai ilustrasi, perhatikan koordinat polar. Di sini transformasi T

dari bidang r� ke bidang xy diberikan oleh:

x = g(r,�� ) = r cos � y = h(r, �) = r sin �

Dan geometri transformasi, T memetakan persegi panjang biasa

dalam bidang r� ke persegi panjang polar di bidang xy. Jacobian T adalah:

�� !�� " #

Jadi diperoleh:

��

�

�

77�

�

��

�� $ $ �� %&

'(

Contoh 4.8 : Gunakan penggantian variabel x = u2-v

2, y = 2uv untuk

menghitung integral ) �� , dengan R adalah daerah yang dibatasi oleh

sumbu x dan parabola-parabola y2 = 4 – 4x dan y

2 = 4 + 4x.

Penyelesaian:

Pertama kita perlu menghitung Jacobain.

�� * �*�*� ��* � � +� � +�� " #

Karena itu :

�� *� �� $ $ �*��+�, � �,��-.

-. ��

�� / 0-. 0 �1� � �1��-. � �/ 0 2345� � 36,17�-. 89.89-� ��

�� $ �*� � +�1��-. �� :�, � �5�;89.

89- � *

Contoh 4.9:

Hitung integral ) <�=>?�@�=A?�� , dengan R adalah daerah trapesium

dengan titik sudut (1,0),(2,0),(0,-2), dan (0,-1).

��

�

�

78�

�

Penyelesaian: � � � � � � � � � � � -, � � �� -, � � ��

Jacobian T adalah

�� B* B*B* ��B* � � B*

� � # x-y=2 x=0 x-y=1 � � � � * � �� B

Jadi daerah S adalah daerah trapesium dengan titik sudut (1,1), (2,2), (-2,2)

dan (-1,1). C � DE�� FB G � G *� �� G G �H Sehingga:

<�=>?��=A?�� <8I J�� J ��

� $ $ <8@I KB*LIAI �� B* $ 2�<8@I7 89I

89AI ��,-

,-

=�-, 0 �< � <A-��,- = 15 �< � <A-�

��

�

�

79�

�

Contoh 4.10: Hitung ) � � �� dengan R adalah daerah trapesium yang

dibatasi oleh titik – titik �#�#�� M�#�� NO, � O,P ��Q!� NO, � � O,P� dengan

transformasi

� � * � R��Q!�� * � R��

Penyelesaian :

Untuk y = x untuk y = -x ��* � R� � * � R� * � R� � ��* � R�� S� � # ��+ � # �� # �� #

Untuk � � �� M untuk � � � � M * � R� � ��* � R�� M * � R� � * � R� � M

+ � M ��S� � �M

�� O5 �� OT

# G G M+ ��# G � G MS

�� U *R E E R�RU � �S � S � �B*

� � �� $ $�* � R�� * � R��F�B*F��O5

.OT

.�

��

�

�

80�

�

�� $ $ +/��O5

.OT

. � $ *+, JO5#EOT. ��

�� $ VM*OT

. �� VM* � W OT# E

�� B*M+ X

LATIHAN 4.3 :

1. Hitung ) YZ[4\?>,=� ��, jika R adalah daerah yang dibatasi oleh � � +� �*� � � +� � M� � � R � *�� B � *�.

2. Hitung

��

jika R adalah daerah yang dibatasi oleh :

� � #� � � #� � � R � �� B � �.

3. Gambarkan daerah integrasi berikut, kemudian selesaikan

menggunakan transformasi koordinat yang sesuai.

� �+

+−+

−1

0

2

2

x

x

dydxyx

xy + � �

+−

+

−2

1

4x

x

dydxyx

xy.

Bab 4.-integral-lipat-dua1 2

Documents

Transcript of Bab 4.-integral-lipat-dua1 2