BAB 7

INTEGRAL LIPAT TIGA

KALKULUS II

EXPERT COURSE

#bimbelnyamahasiswa

Integral Lipat Tiga pada Balok

1. Partisi balok B menjadi n bagian; B1, B2, …, Bk, …, Bn

Definisikan ||D|| = diagonal D ruang terpanjang dari Bk

2. Ambil (xk , yk , zk ) Є Bk

3. Bentuk jumlah Riemann

∑ 𝑓𝑛(x , y , z )ΔV

k k k ) Vk

k=1

4. Jika ||Δ|| -> 0 diperoleh limit jumlah Riemann

limΔ →0

𝑘=1

𝑓(𝑋𝑘, 𝑌𝑘, 𝑍𝑘)Δ𝑉𝑘

Jika limit ada,maka fungsi w = f x, y, z terintegralkan Riemann pada balok B, ditulis

𝐵𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉 = lim

|Δ |→0σ𝑘=1𝑛 𝑓(𝑋𝑘, 𝑌𝑘, 𝑍𝑘) Δ𝑉𝑘

2

x

z

y

B

( 𝑋𝑘, 𝑌𝑘, 𝑍𝑘 ) Bk

Δ𝑌𝑘

Xk

Δ𝑍𝑘

Δ vk = Δ xk Δ yk Δ zk dV = dx dy dz

Sehingga integral lipat dalam koordinat kartesius:

𝐵𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉 = 𝐵

𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧

Contoh:

Hitung 𝐵𝑥2 𝑦 𝑧 𝑑𝑉 dengan B adalah balok dengan ukuran

B = x, y, z 1 ∈ 𝑥 ∈ 2, 0 ∈ 𝑦 ∈ 1, 1 ∈ 𝑧 ∈ 2}

Jawab:

𝐵𝑥2 𝑦 𝑧 𝑑𝑉 𝐵 =

𝑥2 𝑦 𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧

1 0 1

2 1 2𝑥2 𝑦 𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = 1 0

2 1 7

3𝑦 𝑧 dy dz

12 7

6𝑧 dz =

7

4

3

Integral Lipat Tiga pada Balok (2)

2

12

1

4

Integral Lipat Tiga pada Daerah Sembarang

Hitung x2 y z dV, Jika S benda padat sembarang. Pandang S benda padat yang

terlingkupi oleh balok B, dan definisikan nilai f nol untuk luar S (gambar 1).

x

z

y

B

S

Gambar 1

5

Integral Lipat Tiga pada Daerah Sembarang (2)

Jika S dipandang sebagai himpunan z sederhana (gambar 2) (S dibatasi

oleh z = y1(x,y) dan z = y2(x,y), dan proyeksi S pada bidang XOY dipandang

sebagai daerah jenis I, maka:

Jika f(x,y,z) = 1, maka 𝑠𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉 = 𝑎 𝑥1 𝑋 𝑦1 (𝑥,𝑦)

𝑏 𝑥2 𝑋 𝑦2 (𝑥,𝑦)𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧

Catatan:

Jika f(x,y,z) = 1, maka 𝑠𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉 menyatakan volume benda pejal S.

6

x

z

y

Gambar 2

Z = y1 (x,y)S

a

Sxyb Y = 𝜑2(𝑥)

Z = y2 (x,y)

7

Contoh

Hitung sf x, y, z dV dengan W=f(x,y,z) = 2xyz dan S benda padat yang dibatasi oleh

tabung parabola z=2- ½x2 dan bidang-bidang z = 0, y=x, y=0.

Jawab:

Dari gambar terlihat bahwa S={(x,y,z)|0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤x, 0 ≤ z ≤ 2 -1

2𝑥2}

Sehingga, 𝑠2𝑥𝑦𝑧 𝑑𝑉 = 0 0 0

2 𝑥 2−1

2𝑥22𝑥𝑦𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥

0 = 0

2 𝑥𝑥 𝑦 𝑧2 dy dx

0 = 0

2 𝑥𝑥 𝑦 (2 −

1

2𝑥2)2 dy dx

0 =2𝑥 (4 − 2𝑥2 +

1

4𝑥4)

1

2𝑦2 dx

0 =2(2𝑥3 − 𝑥5 +

1

8𝑥7) 𝑑𝑥

2-1

2𝑥2

0

x

0

= 1

2𝑥4 −

1

6𝑥6 +

1

64𝑥8

= 4

3

2

0

1. Hitung 𝑠𝑧 𝑑𝑉, S benda padat di oktan pertama yang dibatasi oleh bidang-

bidang z = 0, x=y, y=0 dan tabung 𝑥2 + 𝑧2 = 1.

2. Sketsa benda pejal S di oktan pertama yang dibatasi tabung 𝑦2 + 𝑧2 = 1 dan

bidang x =1 dan x = 4, dan tuliskan dan hitung integral lipatnya.

3. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh :

a. y = x2, y + z = 4, x = 0, z = 0

b. 1 = z2+y2, y = x, x = 0

c. x2= y, z2=y, y = 1

d. y = x2 + 2, y = 4, z = 0, 3y -4z = 0

4. Hitung 0 0 0

𝜋

2𝑧 𝑦

sin 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧

8

Latihan

Integral Lipat Tiga (Koordinat Tabung Integral Lipat

Tiga (Koordinat Tabung dan Bola)

Koordinat Tabung

Syarat dan hubungan dengan kartesius

r ≥ 0, 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋

X= r cos 𝜃

Y= r sin 𝜃

Z= z

𝑟2= 𝑥2 + 𝑦29

x

z

y𝜃 𝑟

𝑧

P(𝑟, 𝜃, z)

Koordinat Bola

Syarat dan hubungan dengan kartesius

𝜌 ≥ 0, 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋, 0 ≤ φ ≤ 𝜋

X= r cos 𝜃

r = 𝜌 sin φ

Y= r sin 𝜃

r = 𝜌 sin φ

Z= 𝜌 cos φ

𝜌2= 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

x

z

y𝑟

𝑧

P(𝜌, 𝜃, φ)

𝜃

φ

𝜌

X = 𝜌 cos 𝜃 sin φ

Y = 𝜌 sin𝜃 sin φ

Jika D benda pejal punya sumbu simetri Koordinat Tabung

Jika D benda pejal yang simetri terhadap satu titik Koordinat Bola

Contoh:

1. Sketsa D; D benda pejal di oktan I yang dibatasi oleh tabung 𝑥2 + 𝑦2 =4

dan bidang z = 0, z = 4.

Jawab:

D dalam koordinat:

a. Cartesius: D={(x,y,z)| 0≤ x ≤2, 0≤ y ≤ 4 − 𝑥2, 0≤ z ≤4}

b. Tabung: D={(x,y,z)| 0≤ r ≤2, 0≤ θ ≤ 𝜋

2, 0 ≤ z ≤ 4} x

z

y𝜃 r

2

20

4 𝑥2 + 𝑦2 =4

Contoh:

2. Sketsa D; D bagian bola x2+y2 + z2=4 di oktan I.

Jawab:

D dalam koordinat:

a. Cartesius: D = {(x,y,z)| 0≤x≤2, 0≤y≤ 4 − 𝑥2, 0≤z≤ 4 − 𝑥2 − 𝑦2}

b. Bola: D = {(x,y,z)| 0≤ ρ ≤2, 0≤ φ ≤ 𝜋

2, 0≤ θ ≤

𝜋

2}

11

rθ

ρ

x

z

y

2

2

2

0

4 − 𝑥2 − 𝑦2

Penggantian Peubah dalam Integral Penggantian Peubah

dalam Integral Lipat Tiga

Definisi misalkan x=m(u,v,w); y=n(u,v,w); z=p(u,v,w), maka:

ම𝐷

𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = ම

𝐷

𝑓 𝑚 𝑢, 𝑣, 𝑤 , 𝑛 𝑢, 𝑣, 𝑤 , 𝑝 𝑢, 𝑣, 𝑤 𝐽(𝑢, 𝑣, 𝑤)|𝑑𝑢 𝑑𝑣 𝑑𝑤

dimana,

J(u,v,w) =

𝜕𝑥

𝜕𝑢

𝜕𝑥

𝜕𝑣

𝜕𝑥

𝜕𝑤𝜕𝑦

𝜕𝑢

𝜕𝑦

𝜕𝑣

𝜕𝑦

𝜕𝑤𝜕𝑧

𝜕𝑢

𝜕𝑧

𝜕𝑣

𝜕𝑧

𝜕𝑤

, J = Jacobian

12

Koordinat Kartesius Koordinat Kartesius Tabung

x = r cos θ

y = r sin θ

z = z

Matriks Jacobiannya:

J(u,v,w) =

𝜕𝑥

𝜕𝑟

𝜕𝑥

𝜕θ𝜕𝑥

𝜕𝑧𝜕𝑦

𝜕𝑟

𝜕𝑦

𝜕θ𝜕𝑦

𝜕𝑧𝜕𝑧

𝜕𝑟

𝜕𝑧

𝜕θ𝜕𝑧

𝜕𝑧

=cosθ − 𝑟 sinθ 0𝑠𝑖𝑛θ 𝑟 𝑐𝑜𝑠θ 00 0 1

= r cos2 θ + r 𝑠𝑖𝑛2 θ = r

𝐷𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = 𝐷

𝑓( 𝑟 𝑐𝑜𝑠θ, 𝑟 sinθ, z) r dr dθ dz

13

Koordinat Kartesius Koordinat Kartesius Bola

x = ρ cosθ sinφ

y = ρ sinθ sinφ

z = ρ cosφ

Matriks Jacobiannya:

J(u,v,w) =

𝜕x

𝜕ρ𝜕x

𝜕θ𝜕x

𝜕φ𝜕y

𝜕ρ𝜕y

𝜕θ𝜕y

𝜕φ𝜕z

𝜕ρ𝜕z

𝜕θ𝜕z

𝜕φ

=

sinφ cosθ − ρ sinφ sinθ ρ cosφ cosθ

sinφ sinθ ρ cosφ cosθ ρ cosφ sinθcosφ 0 1

= - 𝜌2sin 𝜃

14

ම

D

f x, y, z dx dy dz = ම

D

f( ρ cosφ cosθ, ρ sinφ sinθ , ρ cosφ) ρ2sinφ dρ dθ dφ

Contoh (Tabung)

1. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh paraboloid z = x2 + y2 dan z

= 4.

Jawab.

Daerah S dalam koordinat kartesius adalah:

S = {(x,y,z)|-2 ≤ x ≤ 2, - 4 − x2 ≤ y ≤ 4 − x2, x2 + y2 ≤ z ≤4}

Dalam koordinat tabung:

S = {(r, θ ,z)|0 ≤ r ≤2, 0 ≤ θ ≤ 2π, r2 ≤ z ≤ 4}

Sehingga volum e benda pejalnya adalah:

s1 dV 0 = 0 r2

2 2π 4r dz dθ dr

15

Contoh Lanjutan

V= 0 0 r22 2π 4

r dz dθ dr

V= 0 0

2 2πr (4 − r2) dθ dr

V = 02r 4 − r2 2π dr

V = 8π

16

x

Z = 4

Sxy

z

y

Insertion Sort2. Hitung volume benda pejal 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4 di oktan I

Jawab.

D dalam koordinat:

a. Kartesius: D={(x,y,z)| 0≤x≤2, 0≤y≤ 4 − 𝑥2, 0≤z≤ 4 − 𝑥2 − 𝑦2}

b. Bola: D = D={(x,y,z)| 0≤ ρ ≤2, 0≤ φ ≤ π/2, 0≤ θ ≤ π/2}

17

Contoh Bola

ρ

x

z

y

2

r

θ

4 − 𝑥2 − 𝑦2

2

2

Contoh Lanjutan

Sehingga, volume benda pejalnya adalah

V = 𝑠1 𝑑𝑉 = 0 0 0

π

2

π

22ρ2 sinφ dρ dφ dθ

V = 0 0

π

2

π

2 𝑠𝑖𝑛𝜑 (8

3) d𝜃 𝑑𝑟

V = 0

π

28

3(−𝑐𝑜𝑠𝜑) ቤ

𝜋

20

d𝜃

v = 4

3𝜋

18

Latihan

1. Hitung 𝐷𝑥2 𝑑𝑉, dengan D benda pejal yang dibatasi oleh z = 9 - 𝑥2 - 𝑦2 dan bidang

xy.

2. Hitung volume benda pejal dioktan I yang dibatasi bola 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 1 dan 𝑥2 + 𝑦2 +

𝑧2 =4.

3. Hitung volume benda pejal yang dibatasi diatas oleh bola 𝑟2 + 𝑧2 = 5 dan dibawah

𝑟2 = 4𝑧.

4. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh paraboloid z = 𝑥2 + 𝑦2 dan bidang z = 4.

5. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh bola 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 9, dibawah oleh

bidang z=0 dan secara menyamping oleh tabung 𝑥2 + 𝑦2 = 4.

6. Hitung volume beda pejal yang didalam bola 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 9, diluar kerucut z =

𝑥2 + 𝑦2 dan diatas bidang xy.19

Latihan

7. Hitung 3 − 9−𝑥2 − 9−𝑥2−𝑦23 9−𝑥2 9−𝑥2−𝑦2

(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)3

2 dy dz dx

8. Hitung 0 0 0

3 9−x2 2x2 + y2 dz dy dx

9. Hitung 0 0 0

2 4−𝑥2 4−𝑥2−𝑦2𝑧 4 − 𝑥2 − 𝑦2 dy dz dx

20