16 Integral Kalkulus

7/29/2019 16 Integral Kalkulus

1/24

Siti Fatimah/Jurdikmat/UPI 1Go to Sitis file
http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_8/Photo-Video.ppthttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_8/Photo-Video.ppt


2/24

Siti Fatimah/Jurdikmat/UPI 2

Motivasi

Jumlah Riemann-Integral Tentu

Teorema Dasar Kalkulus Sifat-sifat Integral TentuAnti Derivatif-Integral Tak tentu

Teknik Pengintegralan


3/24


Luas Bidang Lengkung

1P 2P 3P

Empat sisi Delapan sisi


4/24


Luas Bidang Lengkung

1P 2P 3P

Untuk

,...,, 321 PPP

n

Empat sisi Delapan sisi Enambelas sisi

)(limn)A(Lingkara nn

PA

)(n)A(Lingkara nPA atau

Deskripsi


5/24


George Friedrich Bernhard Riemann

(1826-1866)

Deskripsi


6/24


Sebuah partikel bergerak sepanjang kurva-y sedemikian sehingga

kecepatannya pada saat t 0 diberikan oleh meter perdetik.Seberapa jauh partikel tersebut bergerak antara dan ?0t 3t

Fakta:Benda bergerak dengan Kecepatan

tetap k selama selang waktu t.

Jarak tempuh=k. t.

k

t

13

41)( ttv

Masalah 1: (Purcell)

Pembahasan


7/24


Sn

S1S2

14

1 3ty

Bagi selang [0,3]

pada sumbu t menjadi

n selang bagiandengan lebart=3/n.

Pandang

poligon luar

Sn.

Luas Sn=A(Sn)

Luas poligon Si, misalkan y=f(t)

ni

nnn

ittf i

3

4

8131

3

4

1)(

3

4

3

Diperoleh

0=t0


8/24


312

116

81

3)12(

16

81

3

2

)1(

4

81

3

4

81

34

81

)(

)(...)()()(

2

4

22

2

4

1 1

3

4

1

34

1

2

nn

n

nnn

n

n

nn

n

ni

n

ni

n

ttf

ttfttfttfSA

n

i

n

i

n

i

n

i

i

nin

Selanjutnya diperoleh06,8

16

1293

16

81)(lim n

nSA

Benda bergerak sejauh 8,06 meter antara 0t dan 3t

Deskripsi


9/24


Fungsi terintegralkan pada [a,b], jhjfn

i

iiP

xxf1

0||)(lim ada. Selanjutnya

b

a

dxxf )(

disebut integral tentu (integral Riemann)fungsif dari a ke b.

Diberikan fungsi

(tidak perlu kontinu asalkan terbatas pada [a,b])

)(xfy pada selang [a,b]

4x

0x0

xa

1x

2x

3x

bxn

1x 2x

ix Titik sampel pada selang [xi-1,xi]

n

i

iip xxfR1

)(

Jumlah Riemann (Rp)

x

y

b

a

n

i

iiP

xxfdxxf1

0||)(lim)(

a b

Deskripsi


10/24

Siti Fatimah/Jurdikmat/UPI 10Deskripsi


11/24


Pandang Kembali Masalah 1

' '( )y F t( )y F t

141)()(' 3ttvty ( )y F t

14

1 3t

14

1 3t

14

1 3t

tt4

16

1

316

1 4tt

716

1 4tt

ctt4

16

11

4

1 3t

Substitusikan dan

ke . Selanjutnya;

0t 3t

)(tfy

(3) (0)1 14 43 3 0 0

16 16

81 1293

16 16

F F

c c

3

0

( ) (3) (0)v t dt F F

Dalam hal ini,


12/24


f xa

bdx F b F a .

F' x f x , F' x f x ,Jika pada [a,b] maka

Jika )()(' tvty makaT

yTydttv0

)0()()(

atau

T

dttvyTy0

)()0()(

Catatan:Jika

pada [a,b], maka f kontinu pada[a,b]

Fungsi f kontinu pada [a,b]. Luas daerah L yang dibatasi oleh

kurva , sumbux, garis x=a dan x=b ditentukan oleh

L=

F disebut anti derivatif dari fungsi fdengan .

)(xfy

f xa

bdx F b F a .

F' x f x ,

Deskripsi


13/24


Masalah 2

Penjelasan

11 1 2 1

2

2

1 1 1

1

1

1

2 1

1 1 1

2.1 1

xdx x dx

x

x

Pembahasan

Grafik fungsi 1/x2 seperti pada gambar tidak terbatas,karenanya tidak dapat dihitung menggunakan TeoremaDasar Kalkulus.

Jawaban di atas tidak benar karena hasilnyabernilai negatif, padahal fungsi yangdiintegralkan adalah fungsi positif.

1

1

2dx

x

1Periksa

Deskripsi


14/24


SIFAT LINEAR

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxfii

kdxxfkdxxkfi

)()()()()(

konstanta,)()()(

SIFAT PENAMBAHAN SELANG

c

a

b

a

c

b

dxxfdxxfdxxf )()()(

x

y

2S

c

1S

a b

b

a

a

b

dxxfdxxf )()(

f terintegralkan pada [a,b]


15/24


SIFAT PENDIFERENSIALANINTEGRAL TENTU

Jikaf fungsi kontinu pada selang [a, b],dan maka

Jika

makaJika maka

),(0 xf

b

a

dxxf )(0

a

SIFAT PERBANDINGAN

Diberikan fungsi-fungsif ,g terintegralkan pada [a,b]

),()( xgxf

b

a

b

a

dxxgdxxf )()(

],[ bax

)(xf

x

y

b

)(xg ],[ bax

)()( xfdttfDx

a

x

Deskripsi


16/24

Siti Fatimah/Jurdikmat/UPI 16Deskripsi


17/24


Fungsi F disebut anti derivatif

dari fungsifpada interval I, jikaF(x)=f(x), untuk setiapx di I.

CONTOH 1:

Selanjutnya, jikaf terintegralkan pada

interval I dan Fanti derivatif darifungsif maka intregral tak tentufungsi f adalah

CxFdxxf )()(

Misalkanf(x)=x3. Jika F(x)=1/4x4

maka F(x) = f(x)

Bentuk paling umum dari antiderivatiffpada I adalah F(x) + CdenganCsembarang konstanta.

Deskripsi


18/24


METODE SUBSTITUSI

METODE PENGINTEGRALAN

PARSIAL

Substitusi langsung ke bentuk standar

Substitusi yang merasionalkan

Substitusi trigonometri

Substitusi dengan melengkapkan menjadi

bentuk kuadrat

Deskripsi



19/24


1. METODE SUBSTITUSI

Andaikan g fungsi

yang terdiferensialkan

dan Fanti derivatif dari

f,jika u=g(x), maka

CxgFCuF

duufdxxgxgf

))(()(

)()('))((

b

a

bg

agduufdxxgxgf

)(

)()()('))((

Jikaf dan g terdiferensialkan

pada [a,b] dan u=g(x), , maka

Arahkan penggantian untuk

memperoleh bentuk-bentuk standar

Catatan:

1,,1

1 1nQnCxndxx

nn

1. Pengintegralan Fungsi Aljabar

2. Pengintegralan Fungsi Trigonometri

Cxecdxxecx

Cxdxxx

Cxdxxec

Cxdxx

Cxdxx

Cxdxx

coscoscot

secsectan

cotcos

tansec

cossin

sincos

2

2




20/24


1. METODE SUBSTITUSI

Penggantian yang Merasionalkan

Integran memuat bentuk n bax

Substitusin baxu

Contoh 2:

Tentukan

Pembahasan

Misalkan:

maka

Cxx

Cuuduuu

duuuu

dxxxdxxx

57

512

712611

425

52

5 2

1

7

51

12

5

7

5

12

55

5.1

1)1(

dxxx52

1

51

1xu

15 xu

dan dxduu45




21/24


1. METODE SUBSTITUSISubstitusi Trigonometri

Integran berbentuk

Fungsi

integral

Substitusi

dengan

Hasil

222222atau,, axxaxa

22xa

uax sinua

ua

cos

sin12

22 xa

22xa

uax tan

uax sec

ua

ua

sec

tan12

ua

ua

tan

1sec2

Contoh 2:

Tentukan dxxa22

Pembahasan

Misalkanx=a sin u

)sin1(sin2222222 uauaaxa

uaua coscos22

duuadxuax cossin

)cos(cos22 duuauadxxa

duuaduua2222

coscos

Cuuua

Cuua

duua

)cossin(

2

)2sin2

1(

2)2cos1(

22

22




22/24


Nyatakan kembali ke dalam variabelx

ax

u

x=a sin u

a

xau

a

xarcu

a

xu

22

cos

sinsin

Jadi

Cxaxaxarcadxxa 22

2

22

2sin

2




23/24


1. METODE SUBSTITUSIMelengkapkan menjadi Kuadrat

CBxx2Integran memuat bentuk Lengkapkan

menjadi bentuk kuadrat

CBxx2

Gunakan SubstitusiTriginometri

Contoh 4

Tentukan dxxx 245




24/24


2. METODE PENGINTEGRALAN PARSIAL

dxxgdv )(' )(' xfdu

Pengintegralan Parsial IntergralTaktentu

duvuvdvu

Pengintegralan Parsial Intergral tentub

a

b

a

ba duvuvdvu ][

Misalkan )(dan)( xgvxfu

maka

)()(')(')()()( xgxfxgxfxgxfDx

dxxfxgdxxgxfxgxf )(')()(')()()(

dxxfxgxgxfdxxgxf )(')()()()(')(

Karena dan

Arti geometri Pengintegralan

Parsial

)(vhu

)(au

)(bu

)(av )(bv

b

a

vdu

b

a

udv

maka

b

a

b

a

vduavaubvbuudv )()()()(

Deskripsi


16 Integral Kalkulus

Documents

Transcript of 16 Integral Kalkulus