ALMOST STOCHASTIC DOMINANCE ORDE KE-2 DAN

PENERAPANNYA PADA TINGKAT KEMISKINAN

DI JAWA TENGAH

oleh

ARYANTO AGUS WIBOWO

M0111015

SKRIPSI

ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan

memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA

2016

i

ABSTRAK

Aryanto Agus Wibowo, 2016. ALMOST STOCHASTIC DOMINANCEORDE KE-2 DAN PENERAPANNYA PADA TINGKAT KEMISKINAN DIJAWA TENGAH. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universi-tas Sebelas Maret.

Kriteria dominasi suatu fungsi distribusi banyak ditemui dalam masalahinvestasi, momentum, produksi pertanian, dan sebagainya. Salah satu kriteriadominasi adalah kriteria stochastic dominance (SD). Tetapi, jika terdapat krite-ria SD dengan daerah yang mendominasi memiliki nilai yang lebih kecil daripadadaerah yang didominasi maka kriteria almost stochastic dominance (ASD) dapatdigunakan.

Dalam penelitian ini dibahas mengenai penurunan ulang kriteria ASD. Se-lanjutnya ASD diterapkan untuk menentukan tahun berapa pengeluaran perkapita penduduk di Jawa Tengah dalam kurun waktu 2009-2013 yang palingmendominasi untuk menentukan tingkat kemiskinan di Jawa Tengah. Hasil pe-nelitian menunjukkan penurunan ulang kriteria ASD untuk orde pertama ada-lah

∫S1[F (t) − G(t)]dt ≤ ε

∫S|F (t) − G(t)|dt untuk variabel acak kontinu dan∑n

i:y1>x1(yi − xi) ≤ ε

∑ni:1 |yi − xi| untuk variabel acak diskrit. Sedangkan pe-

nurunan ulang kriteria ASD untuk orde kedua adalah∫S2(G(t) − F (t))dt ≤

ε∫S(G(t)−F (t))dt+

∫S2(G(t)−F (t))dt dan 1

n

∑ni:y1>x1

(yi − xi) ≤ ε[ 1n

∑ni:1(xi)−∑n

i:1(yi) + 2[ 1n

∑ni:y1>x1

(yi − xi)]] untuk variabel acak diskrit. Selanjutnya untukaplikasi ASD pada pengeluaran per kapita penduduk di Jawa Tengah diperolehpengeluaran per kapita penduduk di Jawa Tengah tahun 2013 mendominasi pe-ngeluaran per kapita penduduk di Jawa Tengah tahun 2009-2012. Dengan katalain, tingkat kemiskinan di Jawa Tengah tahun 2013 lebih rendah dibandingkantahun 2009-2012.

Kata kunci: stochastic dominance, almost stochastic dominance, persentaseperkembangan

iii

ABSTRACT

Aryanto AgusWibowo, 2016. ALMOST SECOND DEGREE STOCHASTICDOMINANCE AND IT’S IMPLEMENTATION OF POVERTY LEVEL INCENTRAL JAVA. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas MaretUniversity.

The criteria for the domination of the distribution function has been usedin the investment issues, momentum, agricultural production, and so on. Onecriteria of domination is stochastic dominance (SD). When this criteria is appliedto the dominating area that has smaller value than the dominated area, thenalmost stochastic dominance (ASD) can be used.

It this research, we derive the almost stochastic dominance criteria, andthen we apply the criteria to determine what year the expenditure per capi-ta in the period 2009-2013 is the most dominating to calculate the level ofpoverty in Central Java. The results show that the first criteria of ASD is∫S1[F (t) − G(t)]dt ≤ ε

∫S|F (t) − G(t)|dt for continuous random variable, and∑n

i:y1>x1(yi−xi) ≤ ε

∑ni:1 |yi−xi| for discrete random variable. The second order

of ASD is∫S2(F (t) − G(t))dt ≤ ε[

∫S(F (t)−G(t))dt + 2

∫S2(F (t) − G(t))dt] and

1n

∑ni:y1>x1

(yi − xi) ≤ ε[ 1n

∑ni:1(xi)−

∑ni:1(yi) + 2[ 1

n

∑ni:y1>x1

(yi − xi)]] for randomvariable discrete. Moreover, in the application of ASD on per capita expenditureof citizen in Central Java, we obtain that the result of per capita in Central Javain 2013 dominates the expending in Central Java in 2009-2012. In other words,the level of poverty in Central Java in 2013 is lower than in 2009-2012.

Keywords: stochastic dominance, almost stochastic dominance, growth percen-tage

iv

MOTO

Sesungguhnya sesudah kesulitan ada kemudahan (QS. Al Insyirah : 5-6).

Hidup kita dibentuk oleh pikiran kita sendiri, jadi berpikirlah positif mulai saat

ini.

Be, do, and have.

v

PERSEMBAHAN

Karya sederhana ini kupersembahkan kepada :

kedua orang tuaku tersayang yang telah mendidik saya, memberikan

semangat dan bimbingan untuk menjadi lebih baik serta adik saya

yang selalu memberikan semangat.

vi

KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Allah SWT atas limpahan berkah dan karunia-Nya

sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan skripsi ini. Penulis menyada-

ri bahwa dalam penulisan skripsi ini tidak lepas dari bantuan, dorongan, serta

bimbingan berbagai pihak. Oleh karena itu penulis mengucapkan terima kasih

kepada:

1. bapak Drs. Isnandar Slamet, M.Sc, Ph.D sebagai Pembimbing I dan

Dra. Mania Roswitha, M.Si. sebagai Pembimbing II yang telah membim-

bing dan mengarahkan dalam penyusunan skripsi ini,

2. Shidiq Tegar Irsanianto, Toni Irawan, Edy Agus Sugiantoro, Ihsan Fatho-

ni Amri, Master Class, dan teman-teman mahasiswa Jurusan Matematika

angkatan 2011 atas semangat dan dukungan yang telah diberikan,

3. semua pihak yang telah membantu dalam penyelesaian skripsi ini.

Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi pihak yang memerlukan.

Surakarta, Januari 2016

Penulis

vii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

HALAMAN PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii

ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

MOTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi

KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

DAFTAR TABEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

I PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Manfaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

II LANDASAN TEORI 4

2.1 Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Landasan Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2.1 Utilitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2.2 Risk Aversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.3 Variabel Acak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.4 Uji Keacakan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.5 Stochastic Dominance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

viii

2.2.6 Almost Stochastic Dominance . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3 Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

IIIMETODE PENELITIAN 12

IVHASIL DAN PEMBAHASAN 13

4.1 Almost Stochastic Dominance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.2 Aplikasi Almost Stochastic Dominance . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.2.1 Uji Keacakan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.2.2 Stochastic Dominance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.2.3 Almost Stochastic Dominance . . . . . . . . . . . . . . . . 21

V PENUTUP 30

5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

DAFTAR PUSTAKA 32

ix

DAFTAR TABEL

4.1 Rata-rata pengeluaran per kapita penduduk Jawa Tengah tahun

2009-2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.2 Nilai perkembangan pengeluaran penduduk di Jawa Tengah tahun

2013 terhadap tahun 2009-2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.3 Stochastic Dominance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Kemiskinan merupakan salah satu masalah besar yang dihadapi oleh negara-

negara berkembang termasuk Indonesia. Perubahan pada tingkat kemiskinan

menjadi salah satu hal yang diperhatikan setiap tahun. Kesuksesan program pe-

merintah terhadap pengentasan kemiskinan dapat dilihat dari tingkat kemiskinan

penduduknya. Jika tingkat kemiskinan menurun dibandingkan tahun sebelum-

nya maka hal tersebut menjadi gambaran suksesnya program pemerintah dalam

mengentaskan kemiskinan. Akan tetapi, jika tingkat kemiskinan meningkat di-

bandingkan tahun sebelumnya, maka hal tersebut menjadi gambaran gagalnya

program pemerintah dalam mengentaskan kemiskinan. Penurunan tingkat kemis-

kinan dapat terlihat dengan membandingkan tingkat kemiskinan antar periode

waktu. Menurut Badan Pusat Statistik (BPS) [11], penduduk miskin merupakan

penduduk yang memiliki rata-rata pengeluaran per kapita di bawah garis ke-

miskinan sehingga garis kemiskinan digunakan untuk menentukan miskin atau

tidaknya seseorang.

Secara umum terdapat tiga indeks yang digunakan untuk mengukur ting-

kat kemiskinan yaitu indeks headcount, indeks kedalaman kemiskinan, dan indeks

keparahan kemiskinan. Ketiga indeks tersebut merupakan keluarga indeks kemis-

kinan F-G-T (Foster-Greer-Thorbecke) yang sering digunakan untuk mengetahui

perubahan tingkat kemiskinan antar waktu maupun wilayah. Menurut Madden

dan Smith [9], kelemahan ketiga indeks tersebut dalam mengetahui perubahan

tingkat kemiskinan adalah sensitif terhadap pemilihan garis kemiskinan maupun

ukuran tingkat kemiskinan artinya apabila digunakan ukuran tingkat kemiskin-

an yang berbeda atau posisi garis kemiskinan diubah akan diperoleh kesimpulan

1

yang berbeda. Sehingga untuk mengatasi masalah tersebut diperlukan metode

pendekatan yang lebih kokoh terhadap garis kemiskinan maupun ukuran tingkat

kemiskinan. Madden dan Smith [9], dalam penelitiannya memaparkan bahwa sto-

chastic dominance adalah metode yang kuat dalam pemilihan garis kemiskinan.

Sebagaimana yang ditulis Ravallion, garis kemiskinan yang digunakan stochastic

dominance adalah daerah interval sehingga menghasilkan kesimpulan yang sama

selama garis kemiskinan yang digunakan masih dalam daerah interval tersebut.

Stochastic dominance (SD) merupakan metode yang digunakan untuk mem-

bandingkan dua fungsi distribusi, yaitu suatu fungsi distribusi tertentu lebih do-

minan dari fungsi distribusi yang lain (Heyer [6]). Berdasarkan kriteria SD secara

umum, G mendominasi F ketika kondisi harga harapan dari utilitas G lebih tinggi

atau sama dengan harga harapan dari utilitas F. Dalam stochastic dominance,

dikenal kriteria stochastic dominance orde pertama (first degree stochastic do-

minance, FSD), stochastic dominance orde kedua (second degree stochastic domi-

nance, SSD), dan seterusnya. Secara umum FSD merupakan uraian dari fungsi

utilitas(Heyer [6]), dimana fungsi utilitas pada FSD merupakan turunan pertama

dari fungsi utilitas stochastic dominance. Dengan demikian distribusi G men-

dominasi distribusi F pada stochastic dominance orde pertama jika dan hanya

jika fungsi distribusi kumulatif G lebih besar atau sama dengan fungsi distribusi

kumulatif F (Heyer [6]). Akan tetapi jika kriteria stochastic dominance orde per-

tama tidak dipenuhi yaitu jika fungsi distribusi kumulatif F lebih kecil atau tidak

sama dengan fungsi distribusi kumulatif G, maka alternatif pengambilan kepu-

tusan almost stochastic dominance (ASD) dapat digunakan (Leshno [7]). Dalam

ASD terdapat almost first stochastic dominance (AFSD) dan almost second sto-

chastic dominance (ASSD). Nilai AFSD diperoleh dari hasil bagi antara daerah

yang melanggar kriteria stochastic dominance dengan nilai mutlak total daerah

diantara distribusi kumulatif dari X dan distribusi kumulatif dari Y (Leshno [7]).

Sedangkan nilai ASSD diperoleh dari hasil bagi antara daerah yang melanggar

kriteria stochastic dominance dibagi dengan rata-rata variabel yang mendominasi

dikurangi rata-rata variabel yang didominasi dikurang dua kali total daerah yang

2

tidak memenuhi kriteria stochastic dominance.

Dalam penelitian ini, dikaji ulang tentang ASD (Levy [8]) kemudian me-

tode almost stochastic dominance diterapkan pada analisis tingkat kemiskinan

pada tahun keberapa rata-rata pengeluaran per kapita per bulan menurut kabu-

paten/kota di Jawa Tengah yang mendominasi diantara tahun 2009 sampai 2013

berdasarkan persentase perkembangan.

1.2 Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah yang diuraikan, dapat dirumuskan

masalah sebagai berikut.

1. bagaimana menurunkan ulang ASD,

2. bagaimana menerapkan ASD pada analisis tingkat kemiskinan di Jawa Te-

ngah.

1.3 Tujuan

Berdasarkan perumusan masalah yang telah diuraikan, tujuan penelitian

ini adalah

1. dapat menurunkan ulang ASD,

2. dapat menerapkan ASD untuk menganalisis tingkat kemiskinan di Jawa

Tengah.

1.4 Manfaat

Penelitian ini diharapkan dapat menunjukkan mengenai evaluasi tingkat

kemiskinan di Jawa Tengah.

3