PERSATUAN AKTUARIS INDONESIA · · 2017-07-20Variabel acak X mempunyai fungsi probabilitas...

PERSATUAN AKTUARIS

INDONESIA

UJIAN PROFESI AKTUARIS

2014

MATA UJIAN : A20 – Probabilitas dan Statistika

TANGGAL : 24 Juni 2014

JAM : 09.00 – 12.00 WIB

LAMA UJIAN : 180 Menit

SIFAT UJIAN : Tutup Buku

A20 – Probabilitas dan Statistika

Periode Juni 2014 Halaman 2 dari 24

PERSATUAN AKTUARIS INDONESIA

Komisi Penguji

TATA TERTIB UJIAN

1. Setiap Kandidat harus berada di ruang ujian selambat-lambatnya 15 (lima belas) menit sebelum

ujian dimulai.

2. Kandidat yang datang 1 (satu) jam setelah berlangsungnya ujian dilarang memasuki ruang ujian

dan mengikuti ujian.

3. Kandidat dilarang meninggalkan ruang ujian selama 1 (satu) jam pertama berlangsungnya ujian.

4. Setiap kandidat harus menempati bangku yang telah ditentukan oleh Komisi Penguji.

5. Buku-buku, diktat, dan segala jenis catatan harus diletakkan di tempat yang sudah ditentukan oleh

Pengawas, kecuali alat tulis yang diperlukan untuk mengerjakan ujian dan kalkulator. Dilarang

menggunakan kalkulator yang mempunyai alfabet penuh dan/atau dapat menyimpan formula

rumus.

6. Setiap kandidat hanya berhak memperoleh satu set bahan ujian. Kerusakan lembar jawaban oleh

kandidat, tidak akan diganti. Dalam memberikan jawaban, lembar jawaban harus dijaga agar tidak

kotor karena coretan. Lembar jawaban pilihan ganda tidak boleh diberi komentar selain pilihan

jawaban yang benar.

7. Kandidat dilarang berbicara dengan/atau melihat pekerjaan kandidat lain atau berkomunikasi

langsung ataupun tidak langsung dengan kandidat lainnya selama ujian berlangsung.

8. Kandidat dilarang menanyakan makna pertanyaan kepada Pengawas ujian.

9. Kandidat yang terpaksa harus meninggalkan ruang ujian untuk keperluan mendesak (misalnya ke

toilet) harus meminta izin kepada Pengawas ujian dan setiap kali izin keluar diberikan hanya untuk

1 (satu) orang. Setiap peserta yang keluar tanpa izin dari pengawas maka lembar jawaban akan

diambil oleh pengawas dan dianggap telah selesai mengerjakan ujian.

10. Alat komunikasi (telepon seluler, pager, dan lain-lain) harus dimatikan selama ujian berlangsung.

11. Pengawas akan mencatat semua jenis pelanggaran atas tata tertib ujian yang akan menjadi

pertimbangan diskualifikasi.

12. Kandidat yang telah selesai mengerjakan soal ujian, harus menyerahkan lembar jawaban langsung

kepada Pengawas ujian dan tidak meninggalkan lembar jawaban tersebut di meja ujian.

13. Kandidat yang telah menyerahkan lembar jawaban harus meninggalkan ruang ujian.

14. Kandidat dapat mengajukan keberatan terhadap soal ujian yang dinilai tidak benar dengan

penjelasan yang memadai kepada komisi penguji selambat-lambatnya 10 (sepuluh) hari setelah

akhir periode ujian.




Komisi Penguji

PETUNJUK MENGERJAKAN SOAL

Ujian Pilihan Ganda

1. Setiap soal akan mempunyai 4 (empat) atau 5 (lima) pilihan jawaban di mana hanya 1

(satu) jawaban yang benar.

2. Setiap soal mempunyai bobot nilai yang sama dengan tidak ada pengurangan nilai

untuk jawaban yang salah.

3. Berilah tanda silang pada jawaban yang Saudara anggap benar di lembar jawaban. Jika

Saudara telah menentukan jawaban dan kemudian ingin merubahnya dengan yang

lain, maka coretlah jawaban yang salah dan silang jawaban yang benar.

4. Jangan lupa menuliskan nomor ujian Saudara pada tempat yang sediakan dan tanda

tangani lembar jawaban tersebut tanpa menuliskan nama Saudara.

Ujian Soal Esay

1. Setiap soal dapat mempunyai lebih dari 1 (satu) pertanyaan, Setiap soal mempunyai

bobot yang sama kecuali terdapat keterangan pada soal.

2. Tuliskan jawaban Saudara pada Buku Jawaban Soal dengan jelas, rapi dan terstruktur

sehingga akan mempermudah pemeriksaan hasil ujian.

3. Saudara bisa mulai dengan soal yang anda anggap mudah dan tuliskan nomor jawaban

soal dengan soal dengan jelas.

4. Jangan lupa menuliskan nomor ujian Saudara pada tempat yang disediakan dan tanda

tangani Buku Ujian tanpa menuliskan nama Saudara.

KETENTUAN DAN PROSEDUR KEBERATAN SOAL UJIAN PAI

1. Peserta dapat memberikan sanggahan soal, jawaban atau keluhan kepada Komisi Ujian

dan Kurikulum selambat-lambatnya 10 hari setelah akhir periode ujian.

2. Semua pengajuan keberatan soal dialamatkan ke [email protected].

3. Pengajuan keberatan soal setelah tanggal tersebut (Poin No 1) tidak akan diterima dan

ditanggapi.



1. Jika A dan B merupakan himpunan kejadian, dan diketahui Pr(A B) = 1, maka Pr(A'

B') sama dengan ...

A. 0

B. 1 – Pr(A') – Pr(B')

C. Pr(A') + Pr(B')

D. Pr(A') + Pr(B') – 1

E. 1

2. Jika A dan B merupakan himpunan kejadian yang saling bebas, dan diketahui A B,

maka pasangan nilai probabilitas dari A dan B yang tidak mungkin adalah ...

A. Pr(A) = 1/3 dan Pr(B) = 1

B. Pr(A) = 1/2 dan Pr(B) = 1

C. Pr(A) = 0 dan Pr(B) = 1/2

D. Pr(A) = 1/2 dan Pr(B) = 1/2

E. Pr(A) = 1 dan Pr(B) = 1



3. Bang Jali mengambil Ujian A20-Probabilitas dan Statistika PAI, yang terdiri dari 30 soal

pilihan ganda dengan 5 pilihan jawaban, dimana tepat 1 pilihan jawaban yang benar.

Jika diasumsikan Bang Jali memiliki probabilitas sebesar 75% dalam mengetahui

jawaban yang benar untuk setiap soalnya, dan memiliki probabilitas sebesar 20%

dalam menebak jawaban yang benar. Dan diasumsikan Bang Jali pasti menjawab

seluruh soal dengan tepat 1 jawaban, dan apabila dia tidak mengetahui jawaban yang

benar, dia pasti akan menjawab soal dengan menebak. Maka besarnya probabilitas

bahwa Bang Jali akan memilih jawaban yang benar untuk setiap soal sama dengan...

A. 20%

B. 40%

C. 55%

D. 75%

E. 80%

4. Variabel acak X mempunyai fungsi probabilitas densitas :

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑒−𝑥 + 𝑏𝑒−2𝑥 untuk 0 < 𝑥 < ∞

Jika nilai mean dari X sama dengan 1, maka nilai dari Pr(X < 1) sama dengan ...

A. 0,52

B. 0,63

C. 0,74

D. 0,85

E. 0,96



5. Diketahui variabel acak X berdistribusi Normal dengan mean 1 dan variansi 4.

Maka nilai dari Pr(X 2 – 8 2X) sama dengan ...

A. 0,13

B. 0,43

C. 0,75

D. 0,86

E. 0,93

6. Variabel acak X mempunyai fungsi probabilitas densitas sebagai berikut :

𝑓(𝑥) = { 2𝑥 , untuk 0 < 𝑥 < 1 0 , lainnya

Jika mean dari X adalah ., maka nilai dari E( X – ) / Var(X) sama dengan ...

A. 20/9

B. 26/9

C. 32/9

D. 19/81

E. 22/81



7. Tiga sahabat Akri, Boneng dan Cuplis berlomba lari 1 kilometer. Waktu penyelesaian

lomba lari dari masing-masing peserta tersebut merupakan variabel acak yang saling

bebas. Jika Xi adalah waktu penyelesaiannya (dalam menit) untuk peserta i sebagai

berikut :

X1 : berdistribusi uniform pada interval [2,9 ; 3,1]



Maka nilai ekspektasi dari waktu penyelesaian terlama sama dengan ...

A. 2,50

B. 2,80

C. 3,10

D. 3,40

E. 3,70

8. Misalkan X dan Y merupakan variabel acak diskrit dengan fungsi joint probabilitas :

𝑓(𝑥, 𝑦) = {2𝑥+1−𝑦

9 , untuk 𝑥 = 1 ; 2 dan 𝑦 = 1 ; 2

0 , lainnya

Maka nilai dari E( X Y -1 ) sama dengan ...

A. 8/9

B. 5/4

C. 4/3

D. 25/18

E. 5/3



9. Tiga sahabat Ali, Madun dan Topan masing-masing memiliki tiket terusan

pertandingan sepak bola kesebelasan Persija Jakarta. Masing-masing dari mereka

dapat datang atau tidak datang ke stadiun untuk nonton langsung pertandingan

Persija. Probabilitas kedatangan mereka dalam suatu pertandingan dapat

digambarkan sebagai berikut :

Pr[paling sedikit satu dari mereka datang nonton pertandingan] = 95%

Pr[paling sedikit dua dari mereka datang nonton pertandingan] = 80%, dan

Pr[ketiganya datang nonton pertandingan] = 50%

Kejadian kedatangan mereka juga mempunyai pola yang simetris sebagai berikut :

Pr(A) = Pr(M) = Pr(T) dan Pr(A M) = Pr(A T) = Pr(M T)

Maka dalam suatu pertandingan, nilai probabilitas dari Ali dan Madun datang nonton

pertandingan sama dengan ...

A. 0,15

B. 0,30

C. 0,45

D. 0,60

E. 0,75



10. Misalkan variabel acak X memiliki fungsi pembangkit moment :

MX(t) = ∑𝑒(𝑡𝑗 − 1)

𝑗!

∞𝑗=0

Maka Pr(X = 2) sama dengan ...

A. 0

B. 1/(2e)

C. e/2

D. ½

E. ∑𝑒(2𝑗 − 1)

𝑗!

∞𝑗=0

11. Misalkan X dan Y adalah variabel acak kontinu dengan fungsi joint probabilitas densitas

:

𝑓(𝑥, 𝑦) = {𝑥 + 𝑦 , untuk 0 < 𝑥 < 1 dan 0 < 𝑦 ≤ 10 , lainnya

Maka fungsi marginal probabilitas densitas untuk X yang tidak nol sama dengan ...

A. y + ½

B. 2x

C. x

D. (x + x2)/2

E. x + ½



12. Diketahui variabel acak X berdistribusi Poisson dengan mean .

Jika Pr( X = 1 X 1) = 80%, maka nilai dari sama dengan ...

A. 4

B. – ln (2)

C. 0,80

D. 0,25

E. – ln (0,8)

13. Misal X1 , X2 , X3 adalah variabel acak yang berdistribusi Uniform pada interval (0,1)

dengan Cov( Xi , Xj ) = 1/24 untuk i , j = 1,2,3 dan i j.

Maka nilai dari Var( X1 + 2X2 X3 ) sama dengan ...

A. 1/6

B. 1/4

C. 5/12

D. 1/2

E. 11/12



14. Misal X adalah variabel acak kontinu dengan fungsi probabilitas densitas sebagai

berikut :

𝑓(𝑥) = { 𝑥/2 , untuk 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 0 , lainnya

Maka nilai dari E( X – E(X) ) sama dengan ...

A. 0

B. 2/9

C. 32/81

D. 64/81

E. 4/3

15. Misal X adalah variabel acak yang berdistribusi eksponensial dengan mean 1/b, dan

diketahui MX( – b2 ) = 0,2.

Maka nilai b sama dengan ...

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

E. 5



16. Misal X dan Y adalah variabel acak diskrit pada bilangan bulat {0,1,2}, dengan fungsi

pembangkit moment MX(t) dan MY(t). Jika diketahui sebagai berikut :

MX(t) + MY(t) = (3 + 3et + 2e2t)/4

MX(t) – MY(t) = (1 – et)/4

Maka nilai dari Pr(X = 1) sama dengan ...

A. 1/8

B. 1/4

C. 3/8

D. 1/2

E. 5/8

17. Diketahui kejadian A, B dan C memenuhi hubungan sebagai berikut :

A B' = , B C ' = , Pr(A' B) = x , Pr(B' C ) = y , Pr(C) = z

Maka Pr(A) sama dengan ...

A. x + y + z

B. x + y – z

C. y + z – x

D. x – y + z

E. z – x – y



18. Diketahui suatu koin yang tidak seimbang, probabilitas munculnya sisi gambar sama

dengan 2 kali probabilitas munculnya sisi angka. Jika koin tersebut dilemparkan

beberapa kali, maka besarnya probabilitas bahwa munculnya sisi angka yang ke-3

kalinya terjadi pada lemparan ke-5 sama dengan ...

A. 8/81

B. 40/243

C. 16/81

D. 80/243

E. 3/5

19. Dei mengirim surat kepada kekasihnya Yengki, namun tidak menerima balasan

suratnya. Jika diasumsikan 1 surat dari n buah surat Dei yang dikirimkan ke Yengki

hilang di kantor pos, dan diasumsikan bahwa Yengki pasti akan menjawab surat dari

Dei apabila dia menerimanya. Maka probabilitas bahwa Yengki menerima surat dari

Dei, dan diberikan informasi bahwa Dei tidak menerima balasan suratnya, sama

dengan ...

A. 𝑛

𝑛−1

B. 𝑛−1

𝑛2 +1

𝑛

C. 𝑛−1

2𝑛−1

D. 𝑛

2𝑛−1

E. 𝑛−1

𝑛2



20. Kejadian C adalah sub kejadian dari A B. Berikut pernyataan tentang ketiga kejadian

tersebut :

I. A C = B C

II. Pr(C) = Pr(A C) + Pr(B C) – Pr(A B C)

III. A' C B

Maka pernyataan yang benar adalah ...

A. I dan II

B. I dan III

C. II dan III

D. II saja

E. III saja

21. Jika X berdistribusi uniform kontinu pada interval [0,10], maka nilai probabilitas

Pr (𝑋 +10

𝑋> 7) sama dengan ...

A. 3/10

B. 31/70

C. 1/2

D. 39/70

E. 7/10



22. Diketahui hasil suatu survei tentang trilogi film Lord of the Rings (LOTR) sebagai berikut

:

nonton film

pertama LOTR

nonton film

kedua LOTR

nonton film

ketiga LOTR

persentase

publik

Tidak

Ya

Tidak diketahui

Tidak diketahui

Ya

Ya

Ya

Tidak

Tidak diketahui

Ya

Tidak diketahui

Tidak

Ya

Ya

Tidak

Tidak diketahui

Tidak diketahui

Ya

Tidak

Tidak

Ya

50%

35%

33%

31%

8%

4%

20%

Berdasarkan informasi di atas, besarnya persentase publik yang telah menonton tepat

satu dari tiga film LOTR sama dengan ...

A. 15%

B. 17%

C. 19%

D. 21%

E. 23%



23. PT. ABCDE ingin mengetahui distribusi dari hari cuti karyawan dalam 5 hari kerja.

Sampel acak dari hari cuti diambil dari 100 karyawan yang menghasilkan data sebagai

berikut :

Hari kerja Frekuensi cuti

Senin

Selasa

Rabu

Kamis

Jumat

32

18

18

20

32

Total 120

Maka range yang mengandung nilai p yang dihasilkan dari pengujian hipotesis bahwa

hari cuti berdistribusi secara acak dalam lima hari kerja sebagaimana tabel di atas

adalah ...

A. Lebih kecil dari 0,005

B. Paling sedikit 0,005, tetapi tidak lebih dari 0,010

C. Paling sedikit 0,010, tetapi tidak lebih dari 0,025

D. Paling sedikit 0,025, tetapi tidak lebih dari 0,050

E. Paling sedikit 0,050



24. Si Doel kuliah di Universitas PQRS, dalam ujian akhir untuk mata kuliah Kalkulus dan

Aljabar Linier, Doel mendapatkan nilai sebagai berikut :

Mata Kuliah Nilai Doel Mean Standar Deviasi

Kalkulus 80 72 S

Aljabar Linier 90 80 15

Jika kedua nilai mata kuliah tersebut memiliki nilai z-score yang sama, maka nilai s

sama dengan ...

A. 10

B. 12

C. 16

D. 18

E. 20

25. Misalkan Y adalah variabel acak kontinu dengan fungsi distribusi kumulatif sebagai

berikut :

𝐹(𝑦) = {0 , untuk 𝑦 ≤ 𝑎

1 − 𝑒− 12

(𝑦−𝑎)2

, lainnya

dimana 𝑎 adalah konstanta. Maka besar dari persentil ke-75 sama dengan ...

A. F(0,75)

B. 𝑎 − √2𝑙𝑛2

C. 𝑎 + √2𝑙𝑛2

D. 𝑎 − 2√𝑙𝑛2

E. 𝑎 + 2√𝑙𝑛2



26. Dalam Piala Dunia Sepakbola tahun 2014 yang sedang berlangsung, berdasarkan suatu

lembaga survey pemeringkat online, Brazil, Inggris dan Jerman merupakan tiga tim

teratas yang akan memenangkan Piala Dunia. Dari hasil survey ditemukan beberapa

informasi sebagai berikut :

2/3 dari fans yang memilih Jerman sebagai peringkat pertama, memilih Brazil

sebagai peringkat kedua,

1/7 dari fans yang tidak memilih Jerman sebagai peringkat pertama, memilih Brazil

sebagai peringkat kedua,

30% dari total fans yang disurvey, memilih Brazil sebagai peringkat kedua.

Dari fans yang memilih Brazil sebagai peringkat kedua, maka proporsi fans yang

memilih Jerman di peringkat ketiga sama dengan ...

A. 1/4

B. 1/3

C. 1/2

D. 2/3

E. 3/4



27. Seorang ahli statistik membuat pemodelan dari jumlah gol per 90 menit pertandingan

sepakbola antara klub MU melawan MC. Dari model yang diperoleh, jumlah gol per 90

menit pertandingan yang dibuat oleh MU memiliki distribusi Geometri, X = 0, 1, 2, ...

dengan mean 3,5. Sedangkan jumlah gol per 90 menit pertandingan yang dibuat oleh

MC juga berdistribusi Geometri, Y = 0, 1, 2, ... dengan mean 3,0. Jika diasumsikan X dan

Y saling bebas, maka probabilitas MC menang dengan selisih 2 gol atau lebih, dalam 90

menit pertandingan melawan MU sama dengan ...

A. 10%

B. 20%

C. 30%

D. 40%

E. 50%

28. Sebuah dadu dengan enam sisi yang tidak seimbang memiliki probabilitas munculnya

setiap sisi sebagai berikut :

Pr(𝑋 = 𝑛) = {

1

9 , untuk 𝑛 ganjil

2

9 , untuk 𝑛 genap

Dadu dilemparkan berulang kali sampai keluar sisi dadu 1, 2 atau 3. Misalkan Y adalah

variabel acak munculnya sisi dadu 1, 2 atau 3 untuk pertama kali. Maka nilai variansi

dari Y sama dengan ...

A. 1/4

B. 1/3

C. 1/2

D. 2/3

E. 3/4



29. Suatu lembaga survey ingin mengestimasi persentase masyarat yang akan memilih

calon Presiden XYZ dalam pemilu mendatang. Maka jumlah orang yang akan dijadikan

sampel untuk mendapatkan margin of error sebesar 0,025 pada tingkat kepercayaan

95% sama dengan ...

A. 1175

B. 1289

C. 1324

D. 1438

E. 1537

30. Misalkan X1, X2 , ..., X6 dan Y1, Y2 , ..., Y9 merupakan variabel acak Normal yang i.i.d.

(independent identically distributed) dengan mean nol dan variance 2 > 0. Maka

persentil ke-95 dari ∑ 𝑋𝑖

26𝑖=1

∑ 𝑌29𝑖=1

sama dengan ...

(dimana F0,05(6,9) = 3,37 ; F0,05(9,6) = 4,10)

A. 2,25

B. 2,31

C. 3,37

D. 5,06

E. 5,90




LAMPIRAN TABEL

MATA UJIAN




*****

PERSATUAN AKTUARIS INDONESIA · · 2017-07-20Variabel acak X mempunyai fungsi probabilitas...

Documents

Transcript of PERSATUAN AKTUARIS INDONESIA · · 2017-07-20Variabel acak X mempunyai fungsi probabilitas...