Konsep Peubah Acak Dan Sebaran Peuubah Acak

7/25/2019 Konsep Peubah Acak Dan Sebaran Peuubah Acak

1/30

Metode Statistika (STK211)

Peubah Acak dan Sebaran Peluang

Distribution )

Dr. Kusman Sadik dan Yenni Angraini, M.Si

Dept. Statistika IPB, 2012


2/30

Konsep Peubah Acak (Random Variable)

PeubahPeubah acakacak merupakanmerupakan suatusuatu fungsifungsi yangyangmemetakanmemetakan ruangruang kejadiankejadian ( (daerahdaerah fungsifungsi)) kekeruangruang bilanganbilangan riilriil ((wilayahwilayah fungsifungsi).).

dalamdalam statistikastatistika untukuntuk mengkuantifikasikanmengkuantifikasikankejadiankejadian- -kejadiankejadian alamalam..

PendefinisianPendefinisian fungsifungsi peubahpeubah acakacak harusharus mampumampumemetakanmemetakan SETIAP KEJADIAN DALAMSETIAP KEJADIAN DALAMRUANG CONTOHRUANG CONTOH dengandengan TEPATTEPAT keke SATUSATUBILANGANBILANGAN padapada bilanganbilangan riilriil..


3/30

Sebagai ilustrasi dalam percobaan pelemparan sebuahSebagai ilustrasi dalam percobaan pelemparan sebuahdadu bersisi enam yang seimbang.dadu bersisi enam yang seimbang. Ruang contohnyaRuang contohnyadapat disenaraikan sebagai berikut:dapat disenaraikan sebagai berikut:

a = {S1,S2,S3,S4,S5,S6}a = {S1,S2,S3,S4,S5,S6}Salah satu peubah acak yang dapat dibuat adalah:Salah satu peubah acak yang dapat dibuat adalah:

X = munculnya sisi dadu yang bermata genapX = munculnya sisi dadu yang bermata genap

= {0, 1}= {0, 1}

eme aan ungs apa gam ar an se aga er u :eme aan ungs apa gam ar an se aga er u :Daerah fungsiDaerah fungsi Wilayah fungsiWilayah fungsi

S1 .S2 .S3 .S4 .S5 .S6.

X(ei)

. 0

. 1


4/30

Tipe Peubah Acak

DiskretSegugus nilai dari suatu peubah acak yang dapat dicacah (countable)Misalkan X = banyaknya tendangan penalti yang berhasil dilakukan oleh pemain A

KontinuNilai-nilai dari peubah acak tersebut tidak dapat dicacah (uncountable)Nilai dalam peubah acak tersebut berupa selang interval Misalkan X = tinggi badan (cm)Contoh lain : berat (kg, g, dsb), waktu (jam,menit, dsb)


5/30

Peubah Acak Diskret


6/30

Misalkan X adalah suatu peubah acak diskret

Fungsi peluang dari peubah acak diskretmenampilkan nilai dan peluang dari peubahacak tersebut

Jumlah total nilai peluang dari semuakemungkinan nilai peubah acak tersebut sama

Peluang dari sembarang kejadian dapatdibentuk dengan menambahkan peluang darikejadian-kejadian yang membentuk sembarangkejadian tersebut

Sebaran Peluang Peubah Acak X tergantungSebaran Peluang Peubah Acak X tergantungdari sebaran peluang kejadiannya.dari sebaran peluang kejadiannya.


7/30

KembaliKembali keke IlustrasiIlustrasi PelemparanPelemparan sebutir sebutir dadudadu yangyangsetimbangsetimbang

SEBARAN PELUANG (probability distribution)SEBARAN PELUANG (probability distribution) adalahadalahpemetaanpemetaan peubahpeubah acakacak dengandengan nilainilai peluangnyapeluangnya. . UntukUntukkasuskasus pelemparanpelemparan sebutir sebutir dadudadu didi atasatas dapatdapat dijabarkandijabarkansebagaisebagai berikutberikut::

p(x=0) = p(S1)+p(S3)+p(S5)p(x=0) = p(S1)+p(S3)+p(S5)

= 1/6 +1/6 +1/6= 3/6= 1/6 +1/6 +1/6= 3/6

p(x=1) = p(S2)+p(S4)+p(S6)p(x=1) = p(S2)+p(S4)+p(S6)

= 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6= 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6

Sisi yang munculSisi yang muncul

Kejadian SS 11 SS 22 SS 33 SS 44 SS 55 SS 66PeluangPeluangkejadiankejadian

1/61/6 1/61/6 1/61/6 1/61/6 1/61/6 1/61/6

XX 00 11 00 11 00 11

x 00 11P(X=x)P(X=x) 1/21/2 1/21/2

XX 00 11

Tabel Sebaran Peluang bagi X:


8/30

Latihan (1)Latihan (1)

TigaTiga buahbuah matamata uanguang dilempar dilempar bersamabersama- -samasama. . JikaJika masingmasing- -masingmasing memilikimemiliki sisisisiyangyang seimbangseimbang, , senaraikanlahsenaraikanlah ruangruangcontohnyacontohnya. . JikaJika kitakita inginingin melihatmelihatbanyaknyabanyaknya sisisisi mukamuka yangyang munculmuncul padapada

e gae ga ma ama a uanguang, , ma ama a e n s ane n s anpeubahpeubah acakacak tersebuttersebut. . LengkapiLengkapi dengandengansebaransebaran peluangpeluang daridari peubahpeubah acakacaktersebuttersebut dandan tentukantentukan E(X)E(X) dandan V(X).V(X).


9/30

Nilai Harapan Peubah Acak Nilai Harapan Peubah Acak DiskretDiskret Nilai harapan dari peubah acak adalahNilai harapan dari peubah acak adalah

pemusatan dari nilai peubah acak jikapemusatan dari nilai peubah acak jikapercobaannya dilakukan secara berulangpercobaannya dilakukan secara berulang- -ulangulangsampai tak berhingga kali.sampai tak berhingga kali.

Secara matematis nilai hara an da atSecara matematis nilai hara an da atdirumuskan sebagai berikut:dirumuskan sebagai berikut:

n

ii x x p x X

1

diskret p.aX jika),()(


10/30

Sifat-sifat nilai harapan:

Jika c konstanta maka E(c ) = cJika c konstanta maka E(c ) = c

Jika p.a. X dikalikan dengan konstanta cJika p.a. X dikalikan dengan konstanta cmaka E(cX) = c E(X)maka E(cX) = c E(X)

maka E(Xmaka E(X Y) = E(X)Y) = E(X) E(Y)E(Y)


11/30

Ragam Peubah Acak Ragam Peubah Acak

Ragam dari peubah acak X didefinisikan sebagai berikut:Ragam dari peubah acak X didefinisikan sebagai berikut:

V(X) = E(XV(X) = E(X--E(X))E(X)) 22

= E(X= E(X 22)) [E(X)][E(X)] 22 tunjukkan !tunjukkan !

SifatSifat--sifat dari ragamsifat dari ragam

JikaJika c c konstantakonstanta makamaka V c = 0 V c = 0 Jika p.a. X dikalikan dengan konstanta c maka V(cX) =Jika p.a. X dikalikan dengan konstanta c maka V(cX) =c c 2 2 V(X)V(X)

JikaJika X dan Y X dan Y peubah peubah acak acak makamaka, ,V(X V(X Y) = V(X) + V(Y)Y) = V(X) + V(Y) Cov Cov(X,Y)(X,Y)Dimana:Dimana: Cov Cov(X,Y) = E(X (X,Y) = E(X--E(X))E(Y E(X))E(Y--E(Y)),E(Y)), JikaJika X dan Y X dan Y saling saling bebasbebas makamaka Cov Cov(X,Y) = 0 (X,Y) = 0


12/30

ContohContoh:: JikaJika diketahuidiketahui distribusidistribusi peluangpeluang daridari peubahpeubah

acakacak XX sepertiseperti tabeltabel didi bawahbawah iniini::NilaiNilai peubahpeubah Acak Acak XX

XX 00 11 22 33 44 55

P(X=xP(X=x II)) 1/61/6 1/61/6 1/61/6 1/61/6 1/61/6 1/61/6

XXiip(xp(x ii)) 00 1/61/6 2/62/6 3/63/6 4/64/6 5/65/6

DenganDengan demikiandemikian nilainilai harapanharapan p.ap.a XX adalahadalah: :

E(X) = 0 + 1/6 + 2/6 + 3/6 + 4/6 + 5/6 = 15/6E(X) = 0 + 1/6 + 2/6 + 3/6 + 4/6 + 5/6 = 15/6

E(3X) = 3 E(X) = 45/6E(3X) = 3 E(X) = 45/6

RagamRagam p.ap.a XX adalahadalah: :V(X)V(X) == E(XE(X 22)) [E(X)][E(X)]22

= (= (0+1/6+4/6+9/6+16/6+25/6)0+1/6+4/6+9/6+16/6+25/6) - - (15/6)(15/6) 22

= 55/6= 55/6 -- 225/36 = 105/36225/36 = 105/36


13/30

BerdasarkanBerdasarkan E(X)E(X) dandan V(X)V(X) tersebuttersebuttentukantentukan: :

a.a. E(2X)E(2X)

b.b. E 4E 4 -- 3X3Xc.c. V(2X)V(2X)d.d. V(4V(4 3X)3X)


14/30

Beberapa sebaran peluangdiskret yang banyak digunakan:

Bernoulli

Binomial

Poisson


15/30

Sebaran Peluang Bernoulli

Kejadian yang diamati merupakankejadian biner yaitu sukses atau gagal Peubah acaknya (X) bernilai 1 jika

kejadian sukses dan 0 jika kejadian gagal Misal, p=peluang sukses, dan q=peluang

gaga , ma a ungs pe uang ernoudapat dituliskan sebagai:

P(x,p) = p xq (1-x) ; x=0,1dimana q = 1-p

E(X) = p; Var(X) = pq = p(1-p)


16/30

Seseorang pemain akan melakukanlemparan bebas. Misalkan peluang bolatersebut masuk ring sebesar 80%,maka peluang bola tidak masuk ringadalah 20%

Akan melakukan tendangan pinalti.Jika peluang bola masuk sebesar 95% maka peluang bola tidakmasuk sebear 5%.


17/30

Sebaran Peluang Binomial

Terdiri dari n kejadian Bernoulli yangsaling bebas

Peubah acak Binomial merupakan jumlah dari kejadian sukses,

X=0 1 2 . n Fungsi peluang dari kejadian Binomialdapat dituliskan sebagai:

P(x,n,p)=C(n,x)p xq (n-x) ; x=0,1,2,,n

dimana C(n,x) = n!/(x!(n-x)!)q = 1-p

E(X) =np var(X)=np(1-p)


18/30

Jika peubah acak X didefinisikansebagai banyaknya lemparan bebasyang sukses dari 3 lemparan

p= peluang sukses untuk sekalimelakukan lemparan bebas

S S G

G S S

S S S x=3

x=2 2323

333 )1(3

3)3(

p p X P

G S GS G G

G G S

S G S

x=1

2

G G G x=0 030 )1(0

3)0(

p p X P

131 )1(1

3)1(

p p X P

Rata-rata sukses melakukan lemparan E(X) = np = 3p


19/30

Latihan

Peluang turun hujan per hari diketahuip=0,6. Jika pengamatan dilakukandalam satu minggu (7 hari), hitunglah:

a. Berapa peluang tidak turun hujandalam satu minggu?

b. Berapa peluang paling sedikit turunhujan satu hari dalam satu minggu?


20/30

Peubah Acak Kontinu


21/30

Misalkan X adalah suatu peubah acakkontinu

Fungsi peluang dari peubah acak kontinumerupakan fungsi kepekatan peluang

Integral fungsi kepekatan peluang dari

Peluang dari suatu selang nilai dapatdibentuk dengan mengintegralkan fungsikepekatan peluang dalam selang nilaitersebut


22/30

Beberapa sebaran peluangkontinu yang banyak digunakan

Normal

Weibull

amma Beta


23/30

Sebaran Normal

Bentuk sebaran simetrik Mean, median dan modus berada dalam satu titik Fungsi kepekatan peluang dapat dituliskan sebagaiberikut: 2

21

2 1),,(

x

e x f

0.0000

0.0500

0.1000

0.1500

0.2000

0.2500

0.3000

0.3500

0.4000

0.4500

X

Peluang merupakan luasan dibawah kurva kepekatannormal:

P ( - < x < + ) = 0.683

P ( - 2 < x < + 2 ) = 0.954

Peubah acak (X) dengan mean ( ) dan ragam ( 2)menyebar normal sering dituliskan sebagai X ~ N ( , 2)

b

a

a F b F dx x f b xa p )()()()(


24/30

Bentuk sebaran normal denganberbagai nilai ragam

r c e n t

60

50

40

30

Variableragam 1ragam 3ragam - 5ragam -10

Data

P

3624120-12-24-36

20

10

0

Semakin besar ragam dari sebaran normalmaka semakin landai bentuk sebarannya


25/30

Nilai Harapan Peubah Acak Nilai Harapan Peubah Acak KontinuKontinu

Nilai harapan dari peubah acak tersebut dalamNilai harapan dari peubah acak tersebut dalam jangka panjang jangka panjang

Secara matematis nilai harapan dapatSecara matematis nilai harapan dapatdirumuskan sebagai berikut:dirumuskan sebagai berikut:

kontinu p.aX jika,)()( dx x f x X ii


26/30

Setiap peubah acak normal memilikiSetiap peubah acak normal memilikikarakteristik yang berbedakarakteristik yang berbeda- -bedabeda perhitunganperhitungan

peluang akan sulitpeluang akan sulit Lakukan transformasi dari XLakukan transformasi dari X N(N( ,, 22))

menjadi peubah acak normal baku Zmenjadi peubah acak normal baku Z N(0 , 1)N(0 , 1)dengan menggunakan fungsi transformasidengan menggunakan fungsi transformasi

Distribusi peluang dari peubah acak normalpeubah acak normalbaku Zbaku Z N(0 , 1) sudah tersedia dalam bentukN(0 , 1) sudah tersedia dalam bentuktabel peluang normal bakutabel peluang normal baku

X Z


27/30

Cara penggunaan tabel normal baku

Nilai z, disajikan padakolom pertama (nilai zsampai desimalpertama) dan barispertama (nilai zdesimal kedua)

Nilai eluan didalam

Nilai Z 0.00 0.01 0.02 0.03

-2.6 0.005 0.005 0.004 0.004

-2.5 0.006 0.006 0.006 0.006

tabel normal bakuadalah peluangpeubah acak Z kurangdari nilai k (P(Z


28/30

Latihan

Curah hujan dikota Bogor diketahui menyebar normal dengan rata-rata tingkat curah hujan25 mm dan ragam 25 mm 2. Hitunglah,

1. Curah hujan di kota Bogor kurang dari 15mm?

. ura u an o a ogor an ara mmsampai 20 mm?

3. Curah hujan di kota Bogor di atas 40 mm?4. Jika dikatakan Bogor mempunyai peluang

10% curah hujan tertinggi, berapa batascurah hujan tersebut!


29/30

Contoh Soal

Dalam suatu bagian terdapat tiga orangkaryawan laki-laki dan dua orangkaryawan wanita. Manajer ingin memutasidua orang karyawan dari bagian tersebut.Jika didefinisikan peubah acak X sebagai

anya nya aryawan wan a yg mu as :

a. Tentukan sebaran peluang dari peubahacak X tersebut!

b. Tentukan E(X)!c. Tentukan V(X)!


30/30

Latihan Soal

Diketahui bahwa gaji menyebar normaldengan nilai tengah 2,5 juta dan standar deviasi 0,5 juta. Jikaseorang dipilih secaraacak:

juta?

b. Tentukan peluang gaji antara 2,3 jutasampai 3,2 juta?

c. Jika 23% orang mempunyai gajitertinggi, tentukan batas bawah darirange tersebut!

Konsep Peubah Acak Dan Sebaran Peuubah Acak

Documents

Transcript of Konsep Peubah Acak Dan Sebaran Peuubah Acak