Transformasi Peubah Acak Teknik CDF

22
Slide 1 of 22 7:20 Transformasi random variabel dengan Metode CDF

description

Statistics Mathematic

Transcript of Transformasi Peubah Acak Teknik CDF

Slide 1 of 22

7:20

Transformasi random variabel

dengan Metode CDF

Slide 2 of 22

7:20

Introduction

Prinsip prosedur statistika:

Populasi (N)Sampel(n)

Random sampel

Estimasi perameter

Contoh: Ingin mengestimasi mean populasi

Secara intuitive kita mengambil sampel observasi sebanyak n lalu menghitung

sebagai estimasi bagi

1 2 1...

n

in i

xx x xx

n n

Slide 3 of 22

7:20

Introduction

Seberapa tepat mengestimasi ?x

Bergantung pada para r.v. dan efek mereka terhadap distribusi dari estimator:

1 2, ,..., nX X X

1

n

ii

XX

n

Estimate/estimasi/realisasi sampel

Estimator/Statistik

/R.V.

Error of Estimation = x Ukuran ketepatan estimasi

Karena adalah salah satu kemungkinan sampel dari All PossibleSamples, maka kita tertarik terhadap

x(| | ) ....?P x k

Slide 4 of 22

7:20

Introduction

Karena adalah merupakan salah satu nilai dari , maka akan dapat dihitung jika pdf dari diketahui / bisa diturunkan

x (| | )P x k XX

Karena maka pdf dari bergantung pada

joint pdf dari

1 2 ... nX X XXn

1 2, ,..., nX X X

X

(| | )P x k

( )f X

Slide 5 of 22

7:20

Introduction

Dalam aplikasi, adalah random sample artinya: saling independent masing2 berdistribusi identik

1 2, ,..., nX X X1 2, ,..., nX X X1 2, ,..., nX X X

i.i.d= independent identical distribution

Sehingga berlaku:

1 2 1 2( , ,..., ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) nn nf x x x f x f x f x f x

Dalam teori sampling:Random sample adalah sampel yg diambil sedemikian rupa sehingga setiap elemen dari populasi memiliki peluang yang sama untuk terpilih sebagai sampel

Asumsi independent akan terpenuhi jika (infinite) atau (finite) tetapi cukup besar

N N N

n

Asumsi identik merupakan konsekuensi logis mengingat semua kemungkinan nilai dari masing-masing adalah sama, yaitu nilai-nilai observasi yang berasal dari populasi yang sama

1 2, ,..., nX X X

Slide 6 of 22

7:20

Introduction

Dengan adanya asumsi i.i.d dari maka pdf daridapat dicari dengan metode transformasi r.v. variabel yang disebut sebagai metode MGF

X1 2, ,..., nX X X

Transformasi R.V.

Metode CDF

Metode PDF

Metode MGF

Efektif untuk continuous r.v. univariate

Metode secara umum (metode Jacobian)

Efektif hanya untuk kasus random sampel

Berdasarkan uniqueness theorems:Dua buah R.V. berdistribusi sama MGF-nya sama

Slide 7 of 22

7:20

Contoh Kasus

MisalkanX = kapasitas produksi suatu mesin giling padi menjadi beras per hari (dalam satuan ton)Dalam hal ini X merupakan r.v., karena produksi per hari akan bergantung kepada operator, kondisi mesin, kondisi gabah yg digiling dllMisal pdf dari X adalah: ( ) 2 , 0 1f x x x Jika untuk setiap ton beras mendapat bayaran 300 ribu dengan overhead cost sebesar 100 ribu, maka keuntungan per ton penggilingan padi adalah:

Y=3X-1 (dalam satuan ratus ribu)Untuk keperluan inferensi tentang keuntungan, perlu diketahui pdf dari Y

Y merupakan sebuah r.v. continuous yang merupakan fungsi dari satu buah r.v. lain yaitu X atau secara umum ( ) 3 1Y g X X

Slide 8 of 22

7:20

Metode CDF

Metode CDF:

mengsumsikan bahwa jika suatu R.V X memiliki CDF

( ) ,maka fungsi dari X, misalnya ( ) jugamemiliki bentuk CDF yang sama.

XF x Y g x

Sehingga kita bisa mengekpresikan CDF Y dalam bentuk yang sama dengan CDF nya X

( ) [ ] [ ( ) ]YF y P Y y P g x y

dan pdf y didapat dari

( ) ( )Y Ydf y F ydy

Slide 9 of 22

7:20

Metode CDF

Untuk kasus mesin giling beras maka:

2( 1) 3 ( 1) 3

1 1( ) ( ) (3 1 )3 3

1 ( ) 2 3

Y X

y y

X

y yF y P Y y P X y P X F

yf x dx x dx

Batas nilai r.v. X dan nilai r.v. Y:

13 1 3

10 1 0 13

-1 2

YY X X

yx

y

2

0 , 1

1( ) , -1 2 3

1 , 2

Y

y

yF y y

y

2 ( 1), -1 2 ( ) 9( )0 , lainnya

YY

y ydF yf ydy

Slide 10 of 22

7:20

Kasus univariate secara umum

Jika diketahui distribusi r.v. X distribusi dari Y=g(x) ~?Misal:X : Waktu nyala lampu (minggu)Y : Waktu nyala lampu (hari) Y=7X

Fungsi lain yg mungkin menarik adalah, misalnya:

ln( )X

Z XQ e

Fungsi dari suatu R.V. adalah juga R.V.Distribusi prob. dari Y, Z, Q diturunkan dari distribusi probabilitasnya XDistribusi prob. dari Y, Z, Q disebut “distribusi turunan” dari R.V. X

Slide 11 of 22

7:20

Metode CDF: another contoh

2Misal ( ) 1 , 0xXF x e x ~ ?XY e

2

( ) [ ] [ ] [ ln( )] (ln( ))

1 ,1

XY

X

F y P Y y P e yP X yF y

y y

3( ) ( ) 2 ,1Y Ydf y F y y ydy

Batas: XY e00 1x y e

x y e 1 y

Slide 12 of 22

7:20

Metode CDF: another contoh lagi

Misal X adalah continuous R.V. dan Y=X2, maka:

2( ) [ ] [ ]

( ) ( )Y

X X

F y P X y P y X y

F y F y

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 [ ( ) ( )] , 02

Y Y

X X

X X

X X

df y F ydyd F y F ydy

d df y y f y ydy dy

f y f y yy

Slide 13 of 22

7:20

Metode CDF: another contoh lagi

Slide 14 of 22

7:20

Metode CDF: another contoh lagi

Slide 15 of 22

7:20

Metode CDF: another contoh lagi

Slide 16 of 22

7:20

Metode CDF: another contoh lagi

Slide 17 of 22

7:20

Metode CDF: another contoh lagi

Slide 18 of 22

7:20

Metode CDF: latihan

Carilah pdf Y dengan CDF method, jika

Slide 19 of 22

7:20

Metode CDF: bivariate case

1 1

2 2

~ ( ) ~ ( )

X f xX f x 1 2( , ) ~ ? pdf of Y g x x Y

1 2

1 2

1

2

Y X XY X X

XY X

Slide 20 of 22

7:20

Metode CDF:multivariate case

Teorema:

1 2

1 2

1 2 1

Misalkan ( , ,..., ) adalah vektor -dimensi dari kontinu R.V. dengan joint pdf ( , ,... ). Jika ( ) adalah fungsi dari maka

( ) [ ( ) ]

... ( , ,... ) ...

k

k

Y

k k

X X X kf x x x

Y g XF y P g y

f x x x dx dx

X

XX

dimana { | ( ) }

r

r

AA g y x x Batas integralnya

adalah fungsi dari y

Slide 21 of 22

7:20

Metode CDF: contoh

1 2Misal , dimana ~ (1) dan 0, maka ( ) ~ ?i YY X X X Exp x f y

2

1 2( )1 2

0 0

( )

1

y xyx x

Y

y y

F y e dx dx

e ye

( ) ( )

, 0

Y Y

y

df y F ydyye y

Slide 22 of 22

7:20

CDF method: for exercise

• Misalkan tentukan pdf dari( ) 6 (1 ) ,0 1f x x x x 3Y X

• Misalkan tentukan dan identifikasi pdf dari(0,1)X U lnY X

• Misalkan tentukan dan identifikasi pdf dari(0,1)X N 2Y Z

1

2Misal , dimana ~ (1) dan 0, maka ( ) ~ ?i Y

XY X Exp x f yX •