PEUBAH ACAK & DISTRIBUSI PROBABILITAS

Nur Hayati, S.ST, MT

Yogyakarta, Februari 2016

Pendahuluan

• Bidang Statistika Penarikan kesimpulanpopulasi dan sifat populasi.

• Percobaan hasil berkemungkinan

• Percobaan statistika Proses yg menghasilkanpengamatan yg berkemungkinan

Pengertian Peubah Acak

o Peubah acak merupakan suatu fungsi yang mengaitkan suatu bilangan real pada setiapunsur dalam ruang sampel.

o Variabel acak merupakan deskripsi numerik darihasil percobaan / eksperimen.

3/4/2016 4

RE : MELEMPARKAN KOIN, TIGA KALI

S = { AAA, AAG, AGA,GAA, GGA,GAG,AGG, GGG }

Peubah X yang mencacah banyaknya “ Gambar (G)” dalam RE sepertikondisi diatas :X (AAA) = 0 X (AGA) = 1 X (GGA) = 2 X (AGG) = 2X (AAG) = 1 X (GAA) = 1 X (GAG) = 2 X (GGG) = 3

Pengertian Peubah Acak

Nilai fungsi disetiap sample point dinyatakan dengan lambang X(e)Himpunan nilai-nilai { X(e) : e S} disebut range/range space, diberilambang RX pada contoh diatas RX = { 0, 1, 2, 3 }

Contoh 1

• Dua bola diambil satu demi satu tanpadikembalikan dari suatu kantung berisi 4 bola merah dan 3 bola hitam.

• Bila Y menyatakan jumlah bola merah yang diambil

• maka berapa nilai y yang mungkin dari peubahacak Y ?

Jawab 1

Ruang sampel y

MM 2

MH 1

HM 1

HH 0

• Jika Peubah acak dinyatakan dengan hurufbesar, maka nilai dari setiap peubah acaktersebut dinyatakan dengan huruf kecil

Peubah Acak

Contoh 2

• Dari suatu kotak yang berisi 4 uang logamratusan (R) dan 2 logam lima puluhan (L).

• 3 uang diambil secara acak dan diperoleh ruangsampel yang mungkin adalah sbb :

S = {RRR, RRL, RLR, RLL, LRR, LRL, LLR}.

• Apabila dari percobaan pengambilan 3 uanglogam tersebut, ditetapkan peubah acak X yang menyatakan jumlah uang logam ratusan yang muncul, maka bagaimana “pemetaan /fungsi” yang diperoleh?

Jawab 2

Ruang sampel XRRR 3RRL 2RLR 2LRR 2RLL 1LRL 1LLR 1

• Jika Peubah acak dinyatakan dengan hurufbesar, maka nilai dari setiap peubah acaktersebut dinyatakan dengan huruf kecil

• Sehingga ruang sampel tersebut diatas dapatdinyatakan dengan cara pencirian sbb :

• S = { X | x adalah jumlah uang logam ratusanyang muncul }

• S = { Y | y adalah jumlah uang logamlimapuluhan yang muncul }

Peubah Acak

Contoh 3

• Apabila dari percobaan diatas, ditetapkanpeubah Y yang menyatakan jumlah uanglogam lima puluhan yang muncul,

• Maka bagaimana “pemetaan /fungsi” yang diperoleh?

Jawab 3

Ruang sampel YRRR 0RRL 1RLR 1LRR 1RLL 2LRL 2LLR 2

JENIS PEUBAH ACAK

• Peubah Acak Kontinyu• Peubah acak yang fungsi distribusinya

kontinyu• Peubah acak diskret• Peubah acak yang fungsi distribusinya

diskret

• Jika suatu ruang sampel mengandung titik yang berhingga banyaknya atau sederetan anggota yang banyaknya sebanyak bilangan bulat maka ruangsample itu disebut ruang sampel diskret.

• Jika suatu ruang sampel mengandung titik yang takberhingga banyaknya dan banyaknya sebanyak titikpada sepotong garis maka ruang sample itudisebut ruang sampel kontinyu.

JENIS RUANG SAMPEL

Distribusi ProbabilitasPeubah Acak Diskret

• Menggambarkan bagaimana suatu probabilitasdidistribusikan terhadap nilai-nilai dari peubahacak tersebut.

• Untuk peubah diskret X, distribusi probabilitasdidefinisikan dengan fungsi probabilitas, yaitu f(x).

• Fungsi probabilitas p(x) menyatakan probabilitasuntuk setiap nilai peubah acak X.

• Syarat fungsi probabilitas :

• (i) f(x) 0

• (ii) f(x) = 1

• (iii) P(X=x) = f(x)

Distribusi ProbabilitasPeubah Acak Diskret

Contoh 4

• Pada proses pengiriman 7 unit pesawat televisiterdapat 2 unit TV yang rusak.

• Sebuah hotel membeli 3 pesawat TV yang dikirim dan memilih secara acak dari pengirimantersebut.

• Bila X menyatakan banyaknya pesawat TV rusakyang dibeli hotel tersebut, nyatakan hasilnyadalam distribusi peluang.

JAWAB 4

• Apabila pesawat televisi yang rusak dinyatakandengan R dan yang tidak rusak dinyatakan denganB, maka ruang sampel yang mungkin adalah

• S = { RRB,RBR.RBB,BRR,BRB,BBR,BBB }

• Apabila X menyatakan jumlah pesawat televisiyang rusak, maka ruang sampel yang mungkin danjumlah pesawat televisi rusak yang dibeli adalahsebagai berikut

• Berdasarkan ruang sampel diatas, maka distribusipeluangnya adalah sebagai berikut :

Ruang sampel X

BBB 0

RBB, BRB, BBR 1

RRB, RBR, BRR 2

X P(X=x)

0 1/7

1 3/7

2 3/7

JAWAB 4

• Fungsi :

• Digunakan untuk menyatakan jumlah dari seluruh nilaifungsi probabilitas yg lebih kecil atau sama dengan suatunilai yg ditentukan.

ProbabilitasPeubah acak diskret

• F(x) = P(X x) = f(n) untuk n x

• dengan, F(x) = P(X x) menyatakan fungsi probabilitaskumulatif pada titik X = x yang merupakan jumlah dariseluruh nilai fungsi probabilitas untuk nilai kurang darisama dengan x.

• dinyatakan dgn f(x) dan sering disebut fungsikerapatan (density function) atau fungsi kerapatanprobabilitas, bukan fungsi probabilitas.

• Nilai f(x) dapat lebih dari 1.

Probabilitas peubahAcak Kontinyu

• Syarat fungsi kerapatan probabilitas:• (i) f(x) 0 • (ii) Integral dari f(x) dx = 1 (integral seluruh fungsi

kerapatan probabilitas f(x) = 1)• catatan: • Integral dari f(x) dx = P{x X (x + dx)}, yaitu probabilitas

bahwa nilai X terletak pd interval x dan (x + dx).

• Fungsi probabilitas kumulatif peubahacak kontinyu

• F(x) = P(X x) = Integral f(x) dx

• Nilai-nilai x harus kontinyu (dalam suatuinterval).

Probabilitas peubahAcak Kontinyu

ADA PERTANYAAN?

TERIMA KASIH