3. Sebaran Peluang Diskrit

EL2002-Probabilitas dan StatistikDosen: Andriyan B. Suksmono

Isi

1. Sebaran seragam (uniform)2. Sebaran binomial dan multinomial3. Sebaran hipergeometrik4. Sebaran Poisson5. Sebaran binomial negatif dan geometrik

3.1 Sebaran seragam

Sebaran seragam (uniform)• Merupakan sebaran peluang diskrit yang paling sederhana dimana

suatu peubah acak memiliki nilai peluang yang semuanya sama

• Sebaran Seragam: Jika suatu peubah acak X dengan nilai x1, x2, …, xk, memiliki peluang yang sama, maka sebaran diskrit seragamnyadiberikan oleh

f(x;k) = (1/k) ; x= x1, x2, …, xk\

• Notasi f(x;k) dipakai sbg pengganti f(x) untuk menegaskanketergantungan f pada k;

• Contoh 3.1: Dalam pelantunan dadu, setiap anggota dari ruangcuplikan S={1, 2, 3, 4, 5, 6} muncul dengan peluang (1/6). Dengandemikian, sebaran peluangnya adalah seragam dengan f(x;6) = 1/6 ; x=1, 2, 3, 4, 5, 6.

1/6f(x;6)

1 2 3 4 5 6x

Mean dan Variansi• Teorema 3.1: Mean dan variansi dari sebaran peluang seragam

f(x;k) adalah∑

=

=k

iix

k 1

1μ ( )∑=

−=k

iix

k 1

22 1 μσ

BUKTI

( ) ( ) ∑∑∑===

====k

ii

k

i

ik

iii x

kkxkxfxXE

111

1;μ

( )[ ] ( ) ( ) ( )

( )∑

∑∑

=

==

−=

−=−=−=

k

ii

k

i

ii

k

ii

xk

kxkxfxXE

1

2

1

2

1

222

1

;

μ

μμμσ

Contoh 3.3• Berdasarkan contoh 3.1 ttg pelemparan dadu,

maka kita peroleh mean dan variansi sbb

μ = (1/6)(1+2+3+4+5+6) = 3.5

σ2 = {(1-3.5)2 + (2-3.5)2 + (3-3.5)2 + (4-3.5)2

+(5-3.5)2 + (6-3.5)2 }/6 = 35/12

3.2 Sebaran Binomial danMultinomial

Sebaran binomial• Eksperimen berulang yang menghasilkan dua macam keluaran dng

label berhasil atau gagal disebut sebagai eksperimen binomial. • Eksperimen binomial harus memenuhi sifat-sifat berikut ini:

1. Eksperimen terdiri dari n buah percobaan berulang2. Setiap percobaan memberikan hasil yang dapat disebut atau dilabeli

sebagai berhasil atau gagal.3. Peluang berhasil yang disebut p bersifat tetap sepanjang percobaan.4. Percobaan yang satu bersifat bebas secara statistik dari percobaan yang

lain.• Contoh eksperimen binomial:

– pengamatan keluaran H dari pelantunan koin– Pengambilan acak kartu menghasilkan kartu warna hitam dari

satu set kartu, setelah diambil kartu dikembalikan dan dikocok• Pada kasus terakhir, jika kartu tak dikembalikan, p akan berubah dari

½ menjadi 26/51 atau 25/51, dengan demikian syarat 3 tdk dipenuhi. Akibatnya, eksperimen ini tdk bisa disebut sbg eksperimen binomial

Ilustrasi• Tinjau percobaan binomial dari pengambilan tiga buah produk dari

proses manufaktur secara acak, kemudian diamati dan diklasifikasikansebagai cacat atau tidak cacat. Jika produk cacat, pengamatan disebutberhasil. Jumlah keberhasilan ini disebut sbg peubah acak X yang bernilai bulat antara 0 sampai 3. Berikut ini 8 kemungkinan hasilnya:

Hasil pengamatan x

NNN 0

NDN 1

NND 1

DNN 1

NDD 2

DND 2

DDN 2

DDD 3

• Produk dipilih secara acak dari prosesmanufaktur yang menghasilkan 25% produkcacat, makaP(NDN)=P(N)P(D)P(N) = (3/4)(1/4)(3/4) = 9/64

• Peluang hasil yang lain dapat dihitung dengancara yang sama. Hasil perhitungan sebaranpeluang dari X sbb:

x 0 1 2 3

f(x) 27/64 27/64 9/64 1/64

Peubah acak binomial

• Sebaran peluang dari peubah acak binomial X disebut sebaranbinomial dan dituliskan sbg b(x; n, p) karena nilainya bergantung padajumlah percobaan dan peluang sukses untuk percobaan yang diberikan.

• Untuk sebaran peluang binomial X pada contoh sebelumnya, nilai ataubanyaknya produk cacat adalah:

P(X=2) = f(2) = b(2;3,1/4)• Formula umum untuk b(x; n, p)

– Tinjau peluang x buah sukses dan n-x gagal untuk urutan tertentu. Karenapercobaan saling bebas, nilai peluang akan sama dengan perkalian peluangmasing-masing. Setiap sukses muncul dng peluang p, sedangkan gagaldng peluang q=1 – p. Dengan demikian peluang satu eksperimen adalahpxqn-x.

– Jumlah total titik cuplikan dari x sukses dan n-x gagal adalah partisikeluaran eksperimen kedalam dua kelompok, x dikelompok pertama dann-x dikelompok kedua, yakni C(n,x). Dng demikian hslnya adalah C(n,x) dikalikan dengan pxqn-x. Kita formulasikan sbb:

• Definisi 3.1: Jumlah keberhasilan X dalam percobaan binomial disebut sebagai peubah acak binomial.

Rumus sebaran binomial• SEBARAN BINOMIAL. Jika suatu percobaan binomial menghasilkan

keluaran berhasil/sukses dengan peluang p dan gagal dengan peluangq=1-p, maka sebaran peluang dari peubah acak binomial X, yaknibanyaknya keberhasilan dalam n buah percobaan yang saling bebasadalah ( ) nxqp

xn

pnxb xnx ...,,2,1,0;,; =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −

• Untuk kasus dimana n=3 dan p=1/4, sebaran peluang X yng menyatakanbanyaknya produk cacat, dpt ditulis sbg (bandingkan dng tabel hasilsebelumnya)

b(x;3, 1/4) = C(3,x)(1/4)x(3/4)3-x ; x = 0, 1, 2, 3• Contoh 3.4: Peluang bahwa komponen tertentu lolos uji kejut adalah ¾.

Tentukan peluang bahwa tepat dua dari empat komponen lolos uji kejut.• Jawab: Dengan mengasumsikan uji ini saling bebas dan p=3/4 dari setiap

pengujian, makab(2;4,3/4) = C(4,2)(3/4)2(1/4)2 = [4!/(2!2!)](32/44) = 27/128

Nilai peluang• Seringkali kita perlu menghitung P(X<r) atau P(a≤X≤b). Ini bisa

ditentukan dengan penjumlahan binomial B(r;n,p)=∑rx=0 b(x;n,p) yang

nilainya sudah ditabulasikan (lihat Table II dalam Buku acuan). Berikut ini contoh pemakaian tabel tsb.

• Contoh 3.5: peluang seorang pasien dapat sembuh dari suatu jenispenyakit langka adalah 0.4. Jika ada 15 orang yang terinfeksi, berapapeluang bahwa: (1) sedikitnya 10 orang sembuh, (2) 3~8 orangsembuh, dan (3) tepat 5 orang sembuh.

• Jawab: P(X≥10) =1-P(X<10) = 1- ∑9

x=0b(x;15,0.4) = 1-0.9662=0.0338

P(3≤X≤8) = ∑8x=0b(x;15,0.4)- ∑2

x=0b(x;15,0.4) = 0.9050-0.0271= 0.8799

P(X=5) = b(5;15,0.4) = ∑5x=0b(x;15,0.4)- ∑4

x=0b(x;15,0.4)=0.4032 – 0.2173 = 0.1859

Mean dan variansi sebaran binomial• Torema 3.2: Nilai mean dan variansi dari sebaran binomial

b(x;n,p) adalahμ = np dan σ2 = npq

• Bukti: andaikan Ij menyatakan keluaran bernilai 0 atau 1 dng peluangmasing-masing q dan p. Ij disebut sebagai peubah Bernoulli atau lbhtepat lagi peubah indikator karena Ij=0 adalah indikator kegagalan, sedangkan Ij=1 menyatakan keberhasilan. Dengan demikian, jumlahkeberhasilan adalah

X=I1 + I2 + … +In.Mean dr sebarang nilai Ij adalah E(Ij) =0⋅q + 1⋅p = p. BerdasarkanCorollary dari Teorema 2.4, mean menjadi

μ = E(X) = E(I1) + E(I2) + … + E(In)= p + p + … + p = np

Sedangkan variansi dari sebarang Ij adalahσ2

Ij = E[(Ij - p)2] = E(I2j) –p2 =[ 02q+12p ]– p2 = p(1-p) = pq

Berdasar Teorema 2.11, Corollary 1, maka:σ2

Ij = σ2I1 + σ2

I2 + … + σ2In = pq + pq + … + pq = npq

Contoh 3.6• Soal: Dengan teorema Chebyshev, tentukan dan tafsirkan

interval μ ± 2σ untuk contoh 3.5• Jawab: Karena contoh 3.5 adalah eksperimen binomial

dengan n=15 dan p=0.4, dari Teorema 3.2 kita dapatkan

μ = (15)(0.4) = 6 dan σ2=(15)(0.4)(0.6) = 3.6atau σ=√3.6 = 1.897.

Dengan demikian, interval yang dimaksud adalah6±2(1.897) atau dari 2.206 sampai dengan 9.794.

Teorema Chebyshev menyatakan bahwa laju penyembuhan15 pasien akibat penyakit tsb punya peluang sedikitnya ¾untuk jatuh diantara 2.206 dan 9.794.

Sebaran multinomial• Jika hasil eksperimen bukan hanya dua macam tetapi lebih,

eksperimen binomial berubah menjadi eksperimen multinomial.• Contoh:

– Klasifikasi produk manufaktur menjadi 3 golongan: “berat”, “ringan”, atau “masih dapat diterima” (acceptable)

– Pencatatan kecelakaan lalulintas diperempatan jalan menurut hari-hari dalam seminggu

– Penarikan kartu secara acak, kemudian digolongkan sebagai salahsatu dari{ ♣,♦,♥,♠}.

• Secara umum, jika percobaan menghasilkan k macam keluaran E1, E2, …, Ek dengan peluang p1, p2, …, pk, maka sebaran multinomialmenyatakan peluang peristiwa E1 terjadi x1 kali, E2 muncul x2 kali, …, dan Ek muncul xk kali dalam percobaan saling bebas dimana

x1 + x2 + … + xk = n.Kita tuliskan sebaran peluang multinomial sebagai

f(x1, x2, …, xk; p1, p2, …, pk, n)Jelas bahwa

p1 + p2 + … + pk = 1.

Perhitungan sebaran multinomial• Kita ambil analogi dengan kasus binomial. Setiap percobaan

saling bebas, karena itu untuk urutan tertentu, ada x1 keluaran dariE1, x2 keluaran dari E2, …, xk keluaran dari Ek, dengan peluangp1

x1, p2x2, .., pk

xk.• Total jumlah urutan dng keluaran yang sama untuk n percobaan

akan sama dengan jumlah partisi n benda kedalam k kelompok, x1kelompok pertama, x2 kelompok kedua, …, xk kelompok ke-k, yang dapat dilakukan sebanyak

cara. Setiap partisi muncul secara mutually exclusive denganpeluang yang sama, sehingga diperoleh sebaran multinomial.

!...!!!

...,,, 2121 kk xxxn

xxxn

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Rumus sebaran multinomial• SEBARAN MULTINOMIAL. Jika suatu percobaan dapat

memberikan k-jenis hasil E1, E2, …, Ek dengan peluang p1, p2, …, pk, maka sebaran peluang dari peubah acak X1, X2, …, Xk, yang menyatakan kemunculan dari E1, E2, …, Ek didalam n-kali percobaan yang saling-bebas adalah

dimana

( ) kxk

xx

kkk ppp

xxxn

npppxxxf ......,,,

,...,,,;...,,, 2121

212121 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

111

== ∑∑==

k

ii

k

ii pdannx

• Istilah sebaran multinomial muncul karena suku-suku ekspansimultinomial (p1 + p2 + … + pk)2 berkaitan dengan semua nilaiyang mungkin dari f(x1, x2, …, xk; p1, p2, …, pk, n)

Contoh 3.7• Soal: Jika sepasang dadu dilantunkan 6 kali, berapa peluang mendapatkan

jumlah total 7 atau 11 sebanyak 2-kali, keduanya tepat sama sebanyak 1-kali, dan kombinasi lain sebanyak 3-kali?

• Jawab: Kejadian yang muncul kita sebutE1 : jumlah total mata kedua 7 atau 11 E2 : muncul pasangan dadu dng mata samaE3 : bukan pasangan bermata sama

maupun jumlah total-nya 7 atau 11 Masing-masing dengan peluangp1 = (6+2)/36= 2/9, p2 = 6/36=1/6, danp3 = 22/36=11/18. Nilai peluang tetapuntuk 6 kali pelantunan. Dengan menggunakan sebaran multinomial x1 = 2, x2=1, dan x3 = 3, nilai peluangnya adalah

Mata Dadu

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

1127.01811

61

92

!3!1!2!6

1811

61

92

3,1,26

6,1811,

61,

92;3,1,2

32

32

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛f

Latihan• Bab 2: 58, 61, 64• Bab 3: 7

3.3 Sebaran Hipergeometrik

Pendahuluan• Contoh sebelumnya menunjukkan bahwa sebaran binomial tidak

berlaku untuk, misalnya, pengambilan 3 kartu merah dalam 5 kali pengambilan acak tanpa mengembalikan dan mengocok lagi.

• Tinjau pengambilan 5 kartu secara acak lalu hitung peluangmunculnya 3 kartu merah dari 26 yang ada dan 2 kartu hitam dari 26 sisanya. Ada C(26,3) cara untuk mengambil kartu merah dan C(26,2) cara untuk kartu hitam. Jadi, total akan ada C(26,3)⋅C(26,2) untukeksperimen ini. Tetapi, ada C(52,5) cara untuk mengambil 5 dari 52 kartu tanpa penggantian sehingga peluang terambil 3 kartu merah dan2 hitam adalah.

C(26,3)⋅C(26,2)/C(52,5) = 0.3251• Contoh diatas menggambarkan eksperimen hipergeometrik. Kita ingin

menghitung peluang x buah dari pengambilan k benda yang dinamakan sukses dan n - x gagal dari N-k benda yang dilabeli sebagaigagal jika n buah cuplikan acak diambil dari N benda.

• Ada dua sifat dasar eksperiman hipergeometrik1. Pencuplikan dilakukan scr acak sebanyak n diambil dari N buah benda2. k dari N item digolongkan sukses, sdngkan N-k sisanya disebut gagal,

Peubah acak hipergeometrik• Definisi 3.2. Banyaknya X sukses dalam suatu

eksperimen hipergeometrik disebut sebagaipeubah acak hipergeometrik.

• Sebaran peluang dari peubah acak hipergeometrik Xdisebut sebagai sebaran hipergeometrik dandituliskan sebagai h(x; N, n, k) karena nilainyabergantung pada:– jumlah keberhasilan k– diambil dari kumpulan yang berisi N benda– kita memilih n buah dari kumpulan N benda tsb

Ilustrasi• Tinjau contoh 3.8 berikut. Suatu komite yang terdiri dari 5 orang dipilih

secara acak dari 3 orang Kimiawan dan 5 Fisikawan. Tentukan sebaranpeluang dari jumlah Kimiawan dalam komite tsb.

• Jawab: Andaikan peubah acak X menyatakan jumlah Kimiawan dalamkomite, kedua syarat eksperimen hipergeometrik menjadi terpenuhi. Dngdemikian:

P(X=0) = h(0; N=8, n=5, k=3) = C(3,0)⋅C(5,5)/C(8,5) = 1/56P(X=1) = h(1;8,5,3) = C(3,1)⋅C(5,4)/C(8,5) = 15/56P(X=2) = h(2;8,5,3) = C(3,2)⋅C(5,3)/C(8,5) = 30/56P(X=3) = h(3;8,5,3) = C(3,3)⋅C(5,2)/C(8,5) = 10/56

• Dalam bentuk tabel

• Dan dalam bentuk formulah(x;8,5,3) = C(3,x)⋅C(5, 5-x)/C(8,5), x=0, 1, 2, 3

x 0 1 2 3

h(x; 8, 5, 3) 1/56 15/56 30/56 10/56

Sebaran hipergeometrik• SEBARAN HIPERGEOMETRIK. Sebaran peluang dari peubah

acak hipergeometrik X, yakni jumlah sukses dari cuplikan acaksejumlah n yang terambil dari N benda, dimana k buahdiantaranya disebut sukses dan N-k disebut gagal, adalah

• Contoh: Sejumlah 40 buah komponen elektronik dapat diterima jikacacat-nya tidak lebih dari tiga buah. Pencuplikan dilakukan dengancara memilih 5 komponen scr acak dan menolaknya jika ada yang cacat. Jika ada 3 dari 40 komponen ini cacat, tentukan peluang tepatsatu satu dari cuplikan ini cacat.

• Jawab: Ini adalah sebaran hipergeometrik dengan n=5, N=40, k=3 danx=1. Dengan demikian, peluang tepat satu buah cacat adalah

h(1; 40, 5, 3) = C(3,1)⋅C(37,4)/ C(40,5) = 0.3011

( ) nx

nN

xnkN

xk

knNxh ...,,2,1,0,,,; =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

Mean dan Variansi• Teorema 3.3 Mean dan variansi dari sebaran

hipergeometrik h(x; N, n, k) adalah, masing-masing,μ = nk/N, danσ2 = [(N-n)/(N-1)]⋅n⋅(k/N)⋅[1- (k/N)]

• Bukti: lihat textbook• Pendekatan.

Jika n jauh lebih kecil daripada N, perubahan peluangantar pengamatan menjadi kecil. Akibatnya, eksperimenlebih mirip ke percobaan binomial dan sebarannya akanmenjadi sebaran binomial dengan p=k/N. Mean danvariansi dapat didekati dengan rumus berikut:

μ = np = nk/N, danσ2 = npq = n⋅(k/N)⋅[1- (k/N)]

Contoh-2• Contoh 3.10: Dengan teorema Chebysev, hitung dan

tafsirkan interval μ±2σ dalam contoh 3.9• Jawab: Karena contoh 3.9 merupakan percobaan

hipergeometrik dengan N=40, n=5, dan k=3, maka denganTeorema 3.3 akan diperoleh

μ = (5)(3)/40 = 3/8 = 0.375dan

σ2 = [(40-5)/(39)](5)(3/40)[1-(3/40)] = 0.3113Akar kuadrat variansi memberikan simpangan bakusebesar σ=0.558. Dengan demikian, interval yang dicariadalah 0.375±(2)(0.558) atau -0.741 sampai 1.491.Berdasarkan teorema Chebysev, jumlah komponen cacatketika 5 komponen dipilih secara acak dari 40 buah, 3 diantaranya cacat, punya peluang sedikitnya ¾ untukberada dalam selang -0.741 sampai 1.491

Generalisasi• Tinjau N kumpulan benda yang dipartisi kedalam k sel A1, A2,

… , Ak dengan a1 benda berada di sel pertama, a2 dalam selkedua, …, ak dalam sel ke-k. Kita akan menghitung peluangcuplikan acak sejumlah n menghasilkan x1 benda dari A1, x2benda dari A2, …, xk benda dari Ak.

• Tuliskan peluang ini sebagai

f(x1, x2, …, xk; a1, a2, …, ak, N ,n)

• Besar ruang cuplikan adalah C(N, n). Ada C(a1,x1) cara untukmemilih x1 benda dari A1, dan masing-masing ada C(a2,x2) carauntuk memilih x2 benda dari A2. Jadi, kita dapat memilih x1benda dari A1 dan x2 benda dari A2 sebanyak C(a1,x1)⋅C(a2,x2) cara. Demikian seterusnya, kita dapat memilih n-buah bendayang terdiri dari x1 buah anggota A1, x2 benda dari A2, …, xkbenda dari Ak sebanyak C(a1,x1)⋅C(a2,x2)⋅ … ⋅C(ak,xk).

• Kita rumuskan hasil ini sbb.

Perluasan sebaran hipergeometrik• EKSTENSI DARI SEBARAN HIPEGEOMETRIK. Jika

sekumpulan N- buah benda dapat dipartisi menjadi k buah selA1, A2, …, Ak yang masing-masing memiliki a1, a2, …, akanggota, maka sebaran peluang dari peubah acak X1, X2, …, Xkyang menyatakan jumlah anggota terpilih dari A1, A2, …, Akdalam cuplikan acak berukuran n adalah

dengan

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

nN

xa

xa

xa

nNaaaxxxf k

k

kk2

2

1

1

2121 ,,...,,,;...,,,

Nadannxk

ii

k

ii == ∑∑

== 11

Contoh 3.12• Soal: Suatu kelompok yang terdiri dari 10 orang

dipakai untuk survei biologi. Dalam kelompokterdapat 3 orang berdarah O, 4 berdarah A, dan 3 berdarah B. Tentukan peluang dari suatu cuplikanacak sebesar 5 orang mengandung 1 orang berdarah O, 2 orang berdarah A, dan 2 orang berdarah B.

• Jawab: Dengan formula perluasan dimana x1=1, x2=2, x3=2, a1=3, a2=4, a3=3, N=10, dan n=5, maka nilaipeluangnya adalah

P= f(1, 2, 2;3, 4, 3, 10, 5) = C(3,1)C(4,2)C(3,2)/C(10,5) = 3/14

3.4 Sebaran Poisson

Percobaan Poisson• Percobaan yng menghasilkan peubah acak X, yng

menyatakan jumlah keberhasilan dalam selang waktu ataudaerah tertentu, disebut percobaan Poisson. Sifat-sifat:– Jumlah keberhasilan dalam suatu selang waktu aatu daerah

tertentu, bebas terhadap peristiwa dlm selang atau daerah lain.– Peluang satu keberhasilan selama selang waktu pendek atau daerah

kecil sebanding dengan lamanya (durasi) selang atau besarnyadaerah tsb, dan tdk bergantung pada jumlah keberhasilan yang terjadi diluar selang atau daerah ini.

– Peluang lebih dari satu keberhasilan dalam selang atau daerah tsbsangat kecil (dapat diabaikan).

• Contoh percobaan Poisson: – kedatangan panggilan telepon per jam, jumlah libur sekolah karena

terjadi banjir selama musim hujan, jumlah pertandingan sepakbolayang dibatalkan akibat hujan dalam musim pertandingan tertentu.

Peubah acak dan Sebaran Poisson• Def. 3.3: Jumlah X buah keberhasilan dalam percobaan

Poisson disebut sebagai peubah acak Poisson.

• SEBARAN POISSON. Sebaran peluang dari peubah acakPoisson X, yang menyatakan jumlah keberhasilan dalamsuatu selang waktu atau daerah tertentu, adalah

dimana μ adalah rata-rata keberhasilan selama selang waktuatau daerah terntentu dan e = 2.71828… (bilangan alami).

( ) ...,2,1,0,!

; ==−

xx

expxμμ

μ

• Tabel III dalam buku teks menampilkan jumlah sebaranPoisson P(r; μ) = ∑r

x=0 p(x; μ).

Contoh 3.13• Soal: Dalam percobaan teramati rata-rata ada 4

buah partikel radioaktif yang melewati alatpencacah selama selang waktu 1 milidetik. Berapapeluang ada 6 partikel yang masuk alat tsb dalamselama milidetik tertentu?

• Jawab: Dengan menggunakan tabel sebaranPoisson (Tabel III) untuk x=6 dan μ=4, kitaperoleh

p(6;4)= e-446/6!= ∑6

x=0 p(x; 4) - ∑5x=0 p(x; 4)

= 0.88993 -0.7851 = 0.1042

Mean dan variansi• Teorema 3.4 Mean dan variansi dari sebaran

Poisson p(x;μ) memiliki nilai sama, yaitu μ.

• Contoh: dalam soal 3.13 dimana μ=4, makavariansinya σ2=4 atau σ=2. Berdasarkan teoremaChebyshev, maka kita bisa mengatakan bahwapeubah acak Poisson ini memiliki peluangsedikitnya ¾ (yakni 1-1/22) untuk jatuh dalamselang μ ± 2σ = 4 ± 2(2), atau dalam selang 0 sampai dengan 8.

Kaitan dengan sebaran binomial• Teorema 3.5 Andaikan X suatu peubah acak binomial

dengan sebaran peluang b(x;n,p). Ketika n→ ∞, p→0, danμ=np konstan, maka

b(x; n, p) → p(x; n)

• Contoh 3.15. Dalam suatu proses manufaktur produk gelas, munculnya cacat atau gelembung menyulitkan penjualan produktsb. Diketahui bahwa untuk setiap 1000 produk ini, akan ada 1 produk yang memiliki 1 atau lebih cacat gelembung. Berapapeluang dari cuplikan acak sebanyak 8000 menghasilkan kurangdari 7 produk yang memiliki cacat gelembung ini?

• Jawab: Sesungguhnya ini adalah eksperimen binomial dengann=8000 dan p=1/1000=0.001. Karena p mendekati nol dan n sangat tinggi, kita bisa memakai pendekatan Poisson dngμ=(8000)(0.001) = 8. Jadi, jika X menyatakan banyaknyagelembung, maka

P(X<7) = ∑6x=0 b(x; 8000, 0.001)≈∑6

x=0 p(x; 8)= 0.3134

3.5 Sebaran Binomial Negatifdan

Sebaran Geometrik

Pecobaan binomial negatif• Percobaan binomial negatif bersifat mirip dengan

percobaan binomial (biasa), kecuali percobaan dilakukanberulang sampai jumlah tertentu sukses tercapai. Jadi, yang dihitung adalah peluang terjadinya sukses ke-k padapercobaan ke-x.

• Contoh: suatu obat efektif terhadap 60% kasus. Akandihitung peluang pasien ke-5 yang sembuh (S) adalahpasien ke-7 yang diberi obat. Kita sebut F jika pengobatantidak berhasil. Jadi, kita akan menghitung peluangkejadian, misalnya, SFSSSFS, yng muncul dng peluang(0.6)(0.4)(0.6) (0.6) (0.6)(0.4)(0.6) = (0.6)5(0.4)2. Kita jugaharus mencacah semua kombinasi S dan F yng demikian, dng batasan urutan terakhir adalah S; yakni C(7-1,5-1) = C(6,4) = 15. Dengan demikian:

P(X=7)=C(6,4) (0.6)5(0.4)2 = 0.1866

Peubah acak dan sebaran binomial negatif• Definisi 3.4 Jumlah percobaan X yang menghasilkan k

sukses dalam eksperimen binomial negatif disebut sebagaipeubah acak binomial negatif.

• SEBARAN BINOMIAL NEGATIF. Jika percobaanberulang yang saling bebas dapat menghasilkan suksesdengan peluang p dan gagal dengan peluang q=1-p, makasebaran peluang dari peubah acak X, yakni banyaknyapercobaan yang menghasilkan sukses ke-k, diberikan oleh

( ) ...,2,1,,11

,;* ++=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

= kkkxxpkx

nkxb kk

Contoh 3.16• Tentukan peluang seseorang yang

melantunkan 3 keping koin mendapatkansemua H atau semua T untuk kedua kalinyadalam 5 kali pelantunan.

• Jawab: ini adalah eksperimen binomial negatif dengan x=5, k=2, dan p=1/4, sehingga:

b*(5;2,1/4)= C(4,1)(1/4)2(3/4)2

= (4!/(1!3!)) (33/45)= 27/256

Sebaran geometrik• Kasus dimana sebaran binomial negatif memiliki k=1

menghasilkan sebaran peluang dari banyaknya percobaanyang menghasilkan satu sukses. Contoh: pelantunan uanghingga muncul H.

• Sebaran yang demikian disebut sebagai sebaran geometrikg(x;p).

• SEBARAN GEOMETRIK. Jika percobaan berulang yang saling bebas menghasilkan sukses dengan peluang p dangagal dengan peluang q=1-p, maka sebaran peluang daripeubah acak X, yakni banyaknya percobaan hingga suksespertama muncul, diberikan oleh

g(x;p) = pqx-1 , x = 1, 2, 3, …

Contoh 3.17• Soal: Dalam suatu proses manufaktur, diketahui

bahwa rata-rata 1 dari 100 item (bagian produk) cacat. Berapakah peluang bahwa 5 item teramati sebelumsuatu cacat ditemukan?

• Jawab: dengan sebaran geometrik dimana x=5 danp=0.01 diperoleh

g(5; 0.01) = (0.01)(0.99)4

= 0.0096

Selesai