Slide 1

13Peubah Acak Diskrit dan Sebaran Peluangnya1Peubah Acak DiskritJika ruang sampel suatu percobaan bersifat diskritPeubah acak yang memetakan hasil percobaan tsb akan bersifat diskrit pula.

2 John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.Contoh: Voice LinesSuatu sistem komunikasi telepon pada perusahaan terdiri dari 48 jalur eksternal.Pada suatu waktu, sistem tsb diamati, dan terdapat beberapa jalur yang sedang digunakan.X: jumlah jalur yang sedang terpakai. X bilangan bulat dari 0, 1, 2, , 48. Jika pada suatu waktu sistem diamati dan terdapat 10 jalur yang terpakai, maka x = 10.3 John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.3Contoh: Keping KonduktorPada suatu sistem produksi keping konduktor, 2 keping diambil secara acak.Setiap keping diklasifikasikan sebagai cacat atau tidak cacat. Diasumsikan peluang terpilihnya satu keping yang tidak cacat adalah 0.8, dan masing-masing pengambilan saling bebasX: jumlah keping cacat pada dua pengambilan

4

John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.Contoh: Keping KonduktorRuang sampel dari percobaan dan peluangnya tersaji pada Tabel 3-1.Peluang bahwa keping 1 tidak cacat dan keping 2 cacat: P(TC,C) = 0.8 * 0.2 = 0.16.5

John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.Sebaran PeluangSebaran peluang dari peubah acak X adalah suatu gambaran nilai peluang untuk masing-masing nilai yang mungkin bagi X.Untuk suatu peubah acak diskrit, sebaran peluang dapat berupa:Daftar/tabel seluruh nilai yang mungkin bagi X dengan peluangnya masing-masing.Rumus/fungsi yang digunakan untuk menghitung peluang dengan menggunakan nilai peubah acak X sebagai input.6 John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.6Contoh: Digital ChannelTerdapat peluang terjadi kesalahan penerimaan transmisi (satuan bit: kode 0 atau 1) dari suatu channel pengiriman.X: jumlah bit yang diterima secara salah pada 4 transmisi berikutnya.Sebaran peluang yang bersesuaian dapat disajikan dalam bentuk grafik atau tabel.7

Figure 3-1 Probability distribution for bits in error.

John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.7Fungsi Massa PeluangPenyajian sebaran peluang dalam bentuk fungsi dengan X sebagai input atau daerah asal untuk X peubah acak diskrit8

John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.Sifat Fungsi Massa PeluangSec 3-2 Probability Distributions & Probability Mass Functions9

John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.9Contoh: Kontaminasi KepingX adalah peubah acak yang menyatakan jumlah keping konduktor yang harus diperiksa sampai diperolehnya keping dengan partikel kontaminan.Asumsi: peluang bahwa keping mengandung partikel kontaminan adalah 0.01, and that the wafers are independent. p menyatakan keping mengandung partikel & a menyatakan keping tidak mengandung partikel atau absent. Ruang sampel: S = {p, ap, aap, aaap, }Kemungkinan nilai X : x = 1, 2, 3, 4, 10

John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.10Fungsi Sebaran KumulatifDari contoh transmisiDapat dinyatakan peluang terjadinya 3 bit atau kurang jumlah kesalahan penerimaan: P(X 3).Kejadian (X 3) adalah gabungan dari kejadian yang mutually exclusive/saling lepas (X=0), (X=1), (X=2), (X=3).Dari tabel:

Sec 3-3 Cumulative Distribution Functions11P(X 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 0.9999P(X = 3) = P(X 3) - P(X 2) = 0.0036

John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.11Sifat Fungsi Sebaran KumulatifFungsi sebaran kumulatif dibentuk dari fungsi massa peluang12

John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.12Contoh: Fungsi Sebaran PeluangFungsi massa peluang dapat ditentukan dari fungsi sebaran kumulatif13

Figure 3-3 Graph of the CDF John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.13Ukuran-ukuran Penting Pada Suatu Sebaran PeluangMean adalah ukuran pemusatan dari suatu sebaran peluang.Varians adalah ukuran ketersebaran dari suatu sebaran peluang.Akarnya adalah simpangan baku14 John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.14Sebaran Seragam DiskritSebaran diskrit yang paling mudah.Peubah acak X diasumsikan terbatas untuk nilai-nilai tertentu, dengan peluang sama bagi masing-masing nilai.Untuk setiap kemungkinan nilai X: x1, x2, , xn, fungsi peluangnya:

f(xi) = 1/n (3-5)15 John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.15Contoh: Sebaran Seragam DiskritDigit-digit pertama dari suatu nomor serial, dapat saja berupa angka angka 0 s/d 9 masing-masing dengan kemungkinan yang sama.X : angka pada digit pertama nomor serialX mempunyai sebaran seragam diskrit.16

Figure 3-7 Fungsi massa peluang f(x) = 1/10 untuk x = 0, 1, 2, , 9 John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.16Sebaran Seragam Diskrit secara UmumX adalah peubah acak diskrit dengan kemungkinan nilai a sampai dengan b untuk a < b. Terdapat b (a-1) nilai pada selang tersebut. Sehingga:f(x) = 1/(b-a+1)Ukuran pemusatan dan penyebaran: = E(x) = 1/(b-a)2 = V(x) = [(b-a+1)21]/12 17 John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.17Contoh: Jumlah jalur teleponX: jumlah jalur telepon yang sedang digunakan dari 48 jalur yang ada.X diasumsikan menyebar secara seragam (diskrit) pada selang 0, 1, , 48. Tentukan ukuran pemusatan dan penyebaran bagi X.18

John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.18Contoh Peubah Acak BinomialMelempar koin 10 kali. X= # gambar dari 10 kali lemparan.Suatu mesin menghasilkan produk dengan jumlah cacat 1% dari keseluruhan produksi. X= # jumlah cacat pada 25 unit yang diproduksi secara berurutan.Soal ujian pilihan berganda dengan 10 pertanyaan dan 4 pilihan jawaban setiap pertanyaan. X = # jawaban yang benar dari 10 pertanyaan. Dari 20 bayi yang baru lahir. X = # bayi perempuan dari 20 bayi yang baru lahir tsb.

19 John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.Sifat-sifat sebaran BinomialJumlah percobaan yang tetap (n).Setiap percobaan hanya terdiri dari sukses dan gagal. X adalah jumlah sukses dari n percobaan tsb.Peluang sukses dari setiap percobaan adalah tetap, misalkan sebesar p.Hasil dari percobaan yang dilakukan berturut-turut saling bebas.

20 John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.Contoh: Digital ChannelPeluang bahwa transmisi bit melalui channel digital diterima secara salah adalah 0.1. Diasumsikan bahwa Assume that the transmission trials are independent. Let X = the number of bits in error in the next 4 bits transmitted. Find P(X=2).Answer:Sec 3=6 Binomial Distribution21Let E denote a bit in errorLet O denote an OK bit.Sample space & x listed in table.6 outcomes where x = 2.Prob of each is 0.12*0.92 = 0.0081Prob(X=2) = 6*0.0081 = 0.0486

John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.21Contoh: Digital ChannelPeluang bahwa transmisi bit melalui channel digital diterima secara salah adalah 0.1. Diasumsikan bahwa setiap transmisi terjadi dengan saling bebas. X = jumlah bit yang salah diterima pada 4 bit yang ditransmisikan. Tentukan P(X=2).Sec 2-22 John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.Dinotasikan bit yang salah dengan E dan bit yang benar dengan ORuang sampel dan nilai x (jumlah kesalahan pada 4 transmisi) ditampilkan pada tabel.Terdapat 6 hasil dengan x = 2.Masing-masing dengan peluang:0.12*0.92 = 0.0081Prob(X=2) = 6*0.0081 = 0.048623

John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.Definisi Sebaran BinomialSebaran dari peubah acak X di mana:X adalah jumlah sukses dari n percobaan peluang sukses p, 0 < p < 1 and n = 0, 1, ....Fungsi massa peluangnya:

24

John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.24Contoh: Polusi OrganikSetiap sampel air yang diambil dari suatu sungai mempunyai 10% kemungkinan mengandung polutan.Diasumsikan bahwa sampel-sampel diambil secara bebas.Tentukan peluang bahwa pada 18 pengambilan sampel berikutnya akan diperoleh tepat 2 sampel yang mengandung polutan.25 John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.X jumlah sampel yang mengandung polutan dari 18 sampel yang diambil. Masing-masing sampel hanya mungkin mengandung atau tidak mengandung polutan.Maka X adalah peubah acak binomial dengan p = 0.1 dan n = 18

26

John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.Tentukan peluang bahwa paling sedikit terdapat 4 sampel yang mengandung polutan.

Sec 2-27

John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.Tentukan peluang bahwa akan ada 3 sampai dengan 7 sampel dengan polutan .28

John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.28Mean dan Varians Sebaran BinomialX adalah peubah acak dengan parameter n dan p

= E(X) = np and 2 = V(X) = np(1-p)29 John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.29Contoh:Pada kasus transmisi bit, dengan n=4 dan p=0.1.Tentukan mean (rata-rata) dan varians (ragam) dari jumlah kesalahan transmisi!Karena X adalah jumlah kesalahan dari 4 transmisi bit menyebar binomial maka:30 = E(X) = np = 4*0.1 = 0,4

2 = V(X) = np(1-p) = 4*0.1*0.9 = 3.6

= SD(X) = 1.9 John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.30Sebaran PoissonJika jumlah percobaan (n) pada percobaan binomial semakin banyak (menuju tak hingga) dan rata-rata binomial (np) tetap, maka sebaran binomial menjadi sebaran Poisson.31

John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.31Contoh Sebaran PoissonPeubah acak X yang menyebar Poisson menyatakan jumlah kejadian pada selang tertentu.Jumlah partikel kontaminasi per keping konduktorJumlah cacat di setiap gulungan tekstil.Jumlah telepon masuk per jam.Frekuensi listrik padam per bulan.Jumlah partikel atom yang dipancarkan dari suatu spesimen per detik.Jumlah cacat pada setiap meter kabel. Sec 3-9 Poisson Distribution32 John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.32Definisi Sebaran PoissonPeubah acak X adalah jumlah kejadian pada proses Poisson dengan parameter > 0, dan fungsi massa peluang:33

John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.33Mean (rata-rata) dan Varians (ragam) Sebaran PoissonJika X adalah peubah acak Poisson dengan parameter maka:

= E(X) = and 2=V(X) =

34 John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.34Contoh Jumlah Kerusakan per Meter KabelDiasumsikan bahwa jumlah kerusakan yang terjadi di setiap meter kabel menyebar secara Poisson dengan rata-rata 2.3 cacat per meter.X menyatakan jumlah cacat per meter kabel. Rata-rata berfungsi sebagai , sehingga = 2.3.Peluang bahwa terdapat tepat dua cacat pada suatu meter kabel adalah:

Sec 2-35

John Wiley & Sons, Inc. Applied Statistics and Probability for Engineers, by Montgomery and Runger.Sheet1Table 3-1 Uji Keping KonduktorHasilKeping ke-12ProbabilityxTCTC0.642CTC0.161TCC0.161CC0.0401.00

Sheet2

Sheet3

Sheet1Table 3-1 Uji Keping KonduktorHasilKeping ke-12ProbabilityxTCTC0.642CTC0.161TCC0.161CC0.0401.00

Sheet2

Sheet3

Sheet1Table 3-1 Wafer TestsP(X=0) =0.6561OutcomeP(X=1) =0.2916Wafer #P(X=2) =0.048612ProbabilityxP(X=3) =0.0036PassPass0.642P(X=4) =0.0001FailPass0.1611.0000PassFail0.161FailFail0.0401.00

Sheet2

Sheet3

Sheet1Ex 3-5Ex 3-4Probability DistributionTable 3-1 Wafer TestsP(X=0) =0.6561P(X=1) =0.10.1OutcomeP(X=1) =0.2916P(X=2) =(0.9)*0.10.09Wafer #P(X=2) =0.0486P(X=3) =(0.9)2*0.10.08112ProbabilityxP(X=3) =0.0036P(X=4) =(0.9)3*0.20.0729PassPass0.642P(X=4) =0.00010.3439FailPass0.1611.0000PassFail0.161FailFail0.0401.00

Sheet2

Sheet3

Sheet1Ex 3-5Ex 3-6Ex 3-4Probability DistributionxP(X=x) P(Xx) Table 3-1 Wafer TestsP(X=0) =0.6561P(X=1) =0.10.100.65610.6561OutcomeP(X=1) =0.2916P(X=2) =(0.9)*0.10.0910.29160.9477Wafer #P(X=2) =0.0486P(X=3) =(0.9)2*0.10.08120.04860.996312ProbabilityxP(X=3) =0.0036P(X=4) =(0.9)3*0.20.072930.00360.9999PassPass0.642P(X=4) =0.00010.343940.00011.0000FailPass0.1611.00001.0000PassFail0.161FailFail0.0401.00

Sheet2

Sheet3

Sheet1Ex 3-5Ex 3-6Ex 3-4Probability DistributionxP(X=x) P(Xx) Ex 3-7Table 3-1 Wafer TestsP(X=0) =0.6561P(X=1) =0.10.100.65610.6561F(x) =0.0x < -2OutcomeP(X=1) =0.2916P(X=2) =(0.9)*0.10.0910.29160.94770.2-2 x < 0Wafer #P(X=2) =0.0486P(X=3) =(0.9)2*0.10.08120.04860.99630.7 0 x < 212ProbabilityxP(X=3) =0.0036P(X=4) =(0.9)3*0.20.072930.00360.99991.0 2 xPassPass0.642P(X=4) =0.00010.343940.00011.0000FailPass0.1611.00001.0000f(2) =0.2PassFail0.161f(0) =0.5FailFail0.040f(2) =0.31.00

Sheet2

Sheet3

Sheet1Table 3-1 Wafer TestsPMFOutcomeF(x) =0.0x < -2f(2) =0.2Wafer #0.2-2 x < 0f(0) =0.512Probabilityx0.7 0 x < 2f(2) =0.3PassPass0.6421.0 2 xFailPass0.161PassFail0.161FailFail0.0401.00

Sheet10.08680389062304240124003.6751.5752.2912878475200Ex 3-914.1421356237Ex 3-11Table 3-1 Wafer TestsEx 3-7PMFDefinitional formulaOutcomeF(x) =0.0x < -2f(2) =0.2xf(x)x*f(x)(x-0.4)2(x-0.4)2*f(x)x2*f(x)xf(x)x*f(x)x2*f(x)Wafer #0.2-2 x < 0f(0) =0.500.65610.00000.1600.10500.0000100.080.80812Probabilityx0.7 0 x < 2f(2) =0.310.29160.29160.3600.10500.2916110.151.6518.15PassPass0.6421.0 2 x20.04860.09722.5600.12440.1944120.303.6043.2FailPass0.16130.00360.01086.7600.02430.0324130.202.6033.8PassFail0.16140.00010.000412.9600.00130.0016140.202.8039.2FailFail0.0401.00000.40000.36000.5200150.071.0515.751.00= Mean= Variance (2)= E(x2)1.0012.50158.10= 2 = E(x2) - 2 =0.3600= E(X)= E(X2)Computational formula1.8500Ex 3-161.3601470509OutcomexOutcomexOOOO0EOOO1OOOE1EOOE2OOEO1EOEO2OOEE2EOEE3OEOO1EEOO2OEOE2EEOE3OEEO2EEEO3OEEE3EEEE4

Sheet10.08680389062304240124003.6751.5752.2912878475200Ex 3-914.1421356237Ex 3-11Table 3-1 Wafer TestsEx 3-7PMFDefinitional formulaOutcomeF(x) =0.0x < -2f(2) =0.2xf(x)x*f(x)(x-0.4)2(x-0.4)2*f(x)x2*f(x)xf(x)x*f(x)x2*f(x)Wafer #0.2-2 x < 0f(0) =0.500.65610.00000.1600.10500.0000100.080.80812Probabilityx0.7 0 x < 2f(2) =0.310.29160.29160.3600.10500.2916110.151.6518.15PassPass0.6421.0 2 x20.04860.09722.5600.12440.1944120.303.6043.2FailPass0.16130.00360.01086.7600.02430.0324130.202.6033.8PassFail0.16140.00010.000412.9600.00130.0016140.202.8039.2FailFail0.0401.00000.40000.36000.5200150.071.0515.751.00= Mean= Variance (2)= E(x2)1.0012.50158.10= 2 = E(x2) - 2 =0.3600= E(X)= E(X2)Computational formula1.8500Ex 3-161.3601470509HasilxHasilxOOOO0EOOO1OOOE1EOOE2OOEO1EOEO2OOEE2EOEE3OEOO1EEOO2OEOE2EEOE3OEEO2EEEO3OEEE3EEEE4