Modul 3.

Peubah Acak Diskrit dan Sebaran Peluang1. Konsep Dasar

Peubah Acak: suatu fungsi yang mengaitkan suatu bilangan real pada setiap unsur dalam ruang contoh Jika suatu ruang contoh mengandung titik yang

berhingga banyaknya atau sederetan anggota yang banyaknya sebanyak bilangan bulat maka ruang contoh itu dinamakan ruang contoh diskrit.

Bila ruang contoh mengandung titik contoh yang tak berhingga banyaknya dan banyaknya sebanyak titik pada sepotong garis, maka ruang contoh itu disebut ruang contoh kontinu.

Sebaran Peluang DiskritHasil eksperimen pelemparan sekeping mata uang seimbang sebanyak 3 kali diperoleh ruang contoh.

S = {BBB,BBM,BMB,MBB,BMM,MBM,MMB,MMM}X = {0, 1, 2, 3}X = banyaknya sisi muka = M muncul

1

Sebaran peluangnya menjadi:

X = x 0 1 2 3f(x)=P(X=x) 1/8 3/8 3/8 1/8

1/8, untuk x = 0,3f(x) = 3/8, untuk x =1,2

0 , untuk x lainnya

Grafik balok (garis) nya:

2

Himpunan pasangan terurut ( x , f(x)) merupakan suatu fungsi peluang, fungsi massa peluang atau sebaran peluang peubah acak X bila, untuk setiap kemungkinan hasil X :

Sebaran kumulatif atau fungsi sebaran F(x) suatu peubah acak X dengan sebaran peluang f(x) dinyatakan oleh:

Dari pelemparan mata uang seimbang 3 kali:

0, x < 01/8, 0 x < 1

F(x) = 4/8, 1 x < 27/8, 2 x < 31, x 3

3

Sebaran kumulatif peubah acak diskrit

2. Nilai Harapan dan Ragam Peubah Acak

Nilai harapan peubah acak X dengan fungsi peluang f(x)= E(x)=

4

Pada sebaran peluang:

X 0 1 2 3f(x) 1/8 3/8 3/8 1/8

Momen peubah acak X = k

Ragam dan Simpangan Baku Peubah Acak X

V(x) = 2 = ragam peubah acak X = simpangan baku peubah acak X

5

3. Fungsi Peluang Sebaran Hipergeometrik

maks (0,n – (N-D) x min (n,D)

Contoh soal:Suatu kotak berisi 40 suku cadang dikatakan memenuhi syarat penerimaan bila berisi tidak lebih dari 3 yg cacat. Cara pengambilan contoh (sampel) acak ialah dengan memilih 5 suku cadang secara acak dari dalamnya dan menolak kotak tersebut bila diantaranya ada yang cacat. Berapakah peluang mendapatkan tepat satu yang cacat dalam contoh acak berukuran 5. Bila kotak tersebut berisi 3 yang cacat.

Petunjuk: N = 40, n = 5, D = 3, dan x = 1

Nilai tengah = dan ragam = 2 dari peubah acak X yang menyebar secara Hipergeometrik:

6

Pada soal di atas:

4. Fungsi Peluang Sebaran Binom

Contoh soal:

Suatu suku cadang dapat menahan uji goncangan tertentu dengan peluang ¾. Hitunglah peluang bahwa tepat 2 dari 4 suku cadang yang diuji tidak akan rusak:Petunjuk : p = ¾ , n = 4, x = 2

Contoh soal: (dapat menggunakan tabel Binom)

Peluang untuk sembuh seorang penderita penyakit darah yang jarang adalah 0,4. Bila diketahui 15 orang yang telah mengidap penyakit tersebut, berapakah peluangnya:(a) paling sedikit 10 akan sembuh

7

(b) antara sama dengan 3 sampai sama dengan 8 akan sembuh

(c) tepat lima yang sembuhPetunjuk:

Nilai tengah peubah acak X yg menyebar secara Binom = = np dan ragamnya 2 = np(1-p)

5. Fungsi Peluang Sebaran Poisson

Contoh soal:

Rata-rata banyaknya partikel radioaktif yg meliputi suatu penghitung selama 1 milidetik dalam suatu percobaan di laboratorium adalah 4. Berapakah peluang 6 partikel melewati penghitung dalam 1 milidetik tertentu?Petunjuk : x = 6, = 4

8

Contoh soal: (dapat menggunakan tabel Poisson)

Rata-rata banyaknya tangker minyak yang tiba tiap hari di suatu pelabuhan adalah 10. Pelabuhan tersebut hanya mampu menerima paling banyak 15 tangker sehari. Berapakah peluang pada suatu hari tertentu tangker terpaksa ditolak karena pelabuhan tak mampu melayaninya?Petunjuk :

= 10, P(x >15) = 1 – P(x 15)

Nilai tengah peubah acak X yang menyebar secara Poisson = dan ragamnya 2 = .

6. Sebaran (Fungsi) Peluang Gabungan (Bivariat)

Fungsi f(x,y) merupakan sebaran peluang gabungan atau fungsi massa peluang gabungan dari peubah acak diskrit X dan Y bila f(x,y) 0 untuk semua (x, y)

P(X = x, Y = y) = f(x, y)

9

Untuk setiap daerah A pada bidang datar xy,

10

Contoh soal:

Dua isi pallpoint dipilih secara acak dari sebuah kotak yang berisi 3 isi warna biru, 2 merah, dan 3 hijau. Bila X menyatakan banyaknya yang berwarna biru dan Y warna merah yang terpilih. Hitunglah: a. Peluang gabungan (f(x,y)b. P[(x,y) A], bila A adalah daerah {(x,y)| x+y ≤ 1}

Jawab :a). f(x,y) yang mungkin adalah f(0,0), f(0,1), f(1,0),

f(1,1), f(0,2) dan f(2,0)

b). P[(x,y) A] = P(x + y ≤ 1) = f(0,0) + f(0,1) + f(1,0)

=

Sebaran marginal dari X saja adalah g(x) =

untuk peubah acak diskrit

11

Ambil X dan Y sebagai dua peubah acak diskrit maupun kontinu. Sebaran peluang bersyarat peubah acak X, bila Y = y diketahui dinyatakan dengan

Tugas/latihan

1. Sebuah peubah acak diskrit X mempunyai 5 kemungkinan nilai = 2, 3, 5, 8 dan 10. Sebaran peluangnya sebagai berikut:

X 2 3 5 8 10P(x) 0,15 0,10 0,25 0,25

12

a. Tentukanlah P(5)b. Berapakah peluang bahwa x sama dengan atau

sepuluh?c. Hitunglah peluang P(x ≤ 8)(soal no.4.7, Buku 2)

2. Peubah acak X mengikuti sebaran peubah acak diskrit sebagai berikut:

X 10 11 12 13 140,2 0,3 0,2 0,1 0,2

Nilai X mempunyai nilai yang tidak menenggang sesamanya (mutually exclusive event) maka tentukan:a. P(X ≤ 12) b. P(X > 12)c. P(X ≤ 14) d. P(X = 14)e. P(X ≤ 11 atau X > 12)

(Soal no.4.9, Buku 2)

3. Tentukan nilai C sedemikian sehingga fungsi berikut merupakan fungsi peluang diskrit peubah acak X:a. f(x) = c (x2 + 4) untuk x = 0,1, 2, 3b. f(x) = , untuk x = 0,1, 2

13

4. Sebuah perusahaan investasi menawarkan kepada para pelanggan obligasi pemda yang jatuh tempo pada jumlah tahun yang berbeda dengan sebaran kumulatif T, jumlah tahun jatuh tempo untuk sebuah obligasi yang dipilih secara acak adalah:

0 , t < 11/4 , 1 ≤ t < 31/2 , 3 ≤ t < 53/4 , 5 ≤ t < 71 , t ≥ 7

Carilah:a. P(T = 5) b. P(T > 3) c. P(1,4 < T < 6)

5. Sebaran peluang peubah acak X, jumlah ketidak sempurnaan per 10 meter kain tenun sintesis dalam gulungan kontinu dengan lebar seragam diberikan oleh

X 0 1 2 3 4P(x) 0,41 0,37 0,16 0,05 0,01

Buatlah fungsi sebaran kumulatif p.a.X

6. Suatu pengiriman 7 set TV berisi 2 set cacat. Sebuah hotel melakukan pembelian secara acak 3pct TV dari semua set TV yang ada. Bila X adalah jumlah set TV yang cacat yang dibeli oleh hotel tersebuta. Carilah sebaran peluang peubah acak X

14

F (t) =

b. Nyatakan hasilnya secara grafis sebagai sebuah histogram peluang

c. Tentukan fungsi sebaran peluang kumulatif = F(x)

d. Berdasarkan hasil (c) hitunglah P(X = 1) dan P(0 < X ≤ 2)

e. Buatlah grafik dari sebaran kumulatifnya.

7. Tentukan nilai e sehingga fungsi-fungsi berikut mewakili sebaran peluang gabungan dari peubah acak X dan Y.a. f(x,y) = cxy, untuk x = 1, 2, 3; y = 1, 2, 3b f(x,y) = c |x – y|, untuk x = -2, 0, 2; y = -2, 3

8. Bila sebaran peluang gabungan X dan Y diberikan oleh:

Carilah :a. P(X ≤ 2, Y = 1) b. P(X > 2, Y ≤ 1)c. P(X > Y) d. P(X + Y = 4)

9. Misalkan X menunjukan jumlah waktu sebuah mesin kendali numerik tertentu akan mengalami kerusakan = 1, 2, atau 3 kali pada setiap hari. Y menunjukan beberapa kali seorang teknisi di-panggil pada suatu panggilan darurat.Sebaran peluang gabungan mereka adalah:

15

F(x,y) x1 2 3

1 0,05 0,05 0,10Y 2 0,05 0,10 0,35 3 0 0,20 0,10

a. Tentukan sebaran marginal dari Xb. Tentukan sebaran marginal dari Y

10. Sebaran peluang peubah acak diskrit X adalah

Carilah nilai tengah X

11. Carilah jumlah rata-rata ketidaksempurnaan per 10 meter tenunan pada soal no.5.

12. Seorang petugas sebuah pencucian mobil dibayar sesuai dengan jumlah mobil yang lewat. Andaikan peluangnya adalah Bahwa petugas tersebut memperoleh masing-masing $7, $9, $11, $13, $15 dan $17 antara jam 4.00 sore dan 5.00 sore pada setiap hari jum’at, carilah pendapatan yang diharapkan petugas tersebut untuk hari khusus ini.

13. Berdasarkan pengalaman dari 1000 pekerja di suatu perusahaan, 400 adalah laki-laki. Jika suatu saat tertentu ada 5 orang yg mengajukan lamaran ke perusahaan tersebut, hitunglah peluang bahwa jumlah pelamar laki-laki ada:

16

a. 3 orang b. Kurang dari 2 orangc. Paling sedikirt 4 orang

14. Peluang bahwa seorang pasien sembuh dari sebuah operasi jantung yang sulit adalah 0,9. Berapakah peluang bahwa kurang dari 4 pasien dari 7 pasien berikutnya yang mengalami operasi ini adalah selamat.

15. Seorang ahli teknik lalulintas melaporkan bahwa 75% dari kendaraan yang melintas berasal dari suatu kabupaten tertentu. Berapakah peluang bahwa kurang dari 5 kendaraan untuk 9 kendaraan berikutnya yang melintas berasal dari kabupaten yang dimaksud.

16. Dalam sebuah keranjang terdapat 8 butir telur asin dan tidak diketahui bahwa ada tiga diantaranya rusak. Seorang pembeli mengambil 4 telur asin tersebut secara acak. Jika peubah acak X adalah banyaknya telur yang rusak terambil oleh pembeli:

a. Tentukan nilai-nilai peubah acak X yang mungkinb. Tentukan pula sebaran peluangnyac. Hitunglah nilai harapan dan ragam p – a – X

17. Untuk menghindari deteksi oleh bea cukai, seorang penumpang menempatkan 6 tablet narkotik di-dalam sebuah botol yang berisi 9 pil vitamin yang penampakannya sama. Bila petugas bea cukai ter-

17

sebut memilih 3 tablet secara acak untuk dianalisis. Berapakah peluang penumpang tersebut akan di tangkap karena memiliki narkotik secara tidak sah?

18. Dari 10 tumpukan peluru, 4 dipilih secara acak dan ditembakan. Bila tumpukan itu berisi 3 peluru cacat yg tidak dapat meledak, berapakah peluang bahwa:a. Keempat peluru itu akan meledakb. Paling banyak 2 peluru yang akan meledak

19. Peluang seorang akan mati karena SARS adalah 0,002. carilah peluang kurang dari 5 untuk 2000 berikutnya yang terinfeksi SARS akan mati.

20. Andaikan bahwa rata-rata 1 orang dalam 1000 me-lakukan kesalahan historis didalam menyiapkan pengembalian formulir pajak penghasilannya. Bila 10.000 formulir dipilih secara acak dan diperiksa, carilah peluang 6, 7 atau 8 formulir tersebut berisi suatu kesalahan.

18