Variabel Acak Fungsi Distribusi Peluang Acak Diskrit ProbStat Kelas B v2.3
-
Upload
kaito-yoong -
Category
Documents
-
view
299 -
download
3
description
Transcript of Variabel Acak Fungsi Distribusi Peluang Acak Diskrit ProbStat Kelas B v2.3
Outline
• Variabel acak• Fungsi distribusi peluang acak• Distribusi:
– Distribusi probabilitas – Distribusi probabilitas kumulatif diskrit
2
Variabel Acak
• Variabel yang nilainya tergantung pada hasil percobaan acak (random)
• Variabel acak disimbolkan dengan huruf besar (W, X, Y)• Nilai variabel acak dinyatakan dengan menggunakan huruf
kecil (w, x, y)
• Contoh:Jika X adalah jumlah munculnya sisi H pada pelemparan mata uang sebanyak tiga kali, maka X adalah variabel acak
3
Variabel Acak
• Misal:Pelemparan sebuah dadu, kemudian mencatat jumlah Y yang terjadi
Jika melempar dadu sebanyak 10 kali, kita akan mempunyai 10 hasil observasi dari variabel acak Y
4
Observasi (pengukuran) nilai Y
Syarat Variabel Acak
• Fungsi yang dapat dinyatakan sebagai variabel acak adalah fungsi yang bukan bernilai ganda (Multivalued)
• Fungsi variabel acak hanya memiliki satu harga dari suatu elemen sample eksperimen
5
Contoh
Dalam pemeriksaan lampu, ada dua kejadian yg mungkin: Baik (B) dan Mati (M). Pemeriksaan dilakukan dengan mengambil secara acak 3 buah lampu hasil produksi. Maka ruang sampelnya adalah:S = {BBB,BBM, BMB,BMM, MBB,MBM, MMB,MMM}Definisikan X adalah banyaknya lampu yg rusak dalam pengambilan tsb, maka X bisa mengambil nilai : 0,1,2,3.
X adalah contoh Variabel random:S = {BBB, BBM, BMB, BMM, MBB, MBM, MMB, MMM}X = { 0 , 1 , 1 , 2 , 1 , 2 , 2 , 3 }
6
Contoh
• Terlihat X = 2 untuk kejadian E= {MMB,MBM,BMM}
• Jadi tiap nilai X berkenaan dengan sebuah himpunan bagian dari S.
Contoh
2 bola diambil berturut-turut tanpa dikembalikan dari kotak yg berisi 4 bola merah (R) dan 3 bola biru (B). Buatlah semua kemungkinan nilai variabel random Y yang menggambarkan jumlah bola merah yang terambil.
Jawab:
8
Ruang Sampel y
RR 2
RB 1
BR 1
BB 0
Variabel Acak Diskrit
Definisi:• Variabel acak diskrit adalah variabel yang
hanya mempunyai nilai pada waktu-waktu tertentu
• Sebuah variabel acak diskrit bila himpunan keluarannya dapat dihitung
9
Variabel Acak Diskrit
Ruang Sampel• Ruang sampel yang berisi anggota yang seperti elemen
bilangan bulat, maka disebut ruang sampel diskrit
• Variabel acak diskrit jika nilai hasilnya berupa bilangan bulat
Contoh: - Pengambilan 2 bola; 3 bola merah 4 bola biru - Pemeriksaan lampu mobil
(contoh sebelumnya)
10
Variabel Acak Diskrit
Contoh:Kejadian melempar 3 mata uang secara bersamaan.Misal didefinisikan variabel acaknya X : banyak G dalam pelemparan tsb. Maka ruang sampelnya:
S = {GGG, GGA, GAG, GAA, AGG, AGA, AAG, AAA}
x = 0 {AAA} P(X=0) = 0x = 1 {GAA,AGA,AAG} P(X=1) = 3/8x = 2 {GGA,GAG,AGG} P(X=2) = 3/8x = 3 {GGG} P(X=3) = 1/8
11
Distribusi Peluang Diskrit
12
Distribusi Probabilitas
0
0.375 0.375
0.125
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0 1 2 3
X (banyak G)
Pro
bab
ilit
as
Distribusi Peluang Diskrit dan Kumulatif
• Himpunan pasangan tersusun (x,f(x)) adalah sebuah fungsi peluang, fungsi massa peluang atau sebaran peluang dari peubah acak diskrit X bila untuk setiap keluaran x yang mungkin:
• f(x) 0 ; harus positif
• ; total probabilitas seluruh kejadian =1
• P(X=x)=f(x)
13
x
1f(x)
Distribusi Peluang Kumulatif
• Sebaran kumulatif atau fungsi sebaran F(x) suatu peubah acak X dengan sebaran peluang f(x) dinyatakan oleh:
14
xuntuk f(t)x)P(XF(x) xt
Contoh
• Mobil yang dijual sebuah dealer 50% dilengkapi dengan air-bag. Tentukanlah distribusi probabilitas dari 4 buah mobil yang akan terjual berikutnya!
15
Distribusi Peluang Jawab:
– Probabilitas menjual sebuah mobil dgn air-bag adalah ½ maka untuk 4 penjualan berikutnya ada 24 =16 susunan yang mungkin. Banyaknya cara menjual 3 mobil dengan air-bag dari 4 penjualan tsb adalah banyak kombinasi dari 4 obyek diambil tiap 3 kali (sebab tiap mobil tidak dibedakan, hanya ber air-bag atau tidak saja). Atau dipandang sebagai banyak cara mempartisi 4 obyek ke dalam 2 sel, sel pertama berisi 3 mobil dgn air-bag dan 1 sel berisi mobil tanpa air-bag, yaitu C4
3 = 4!/(3!1!) = 4 cara.
– Jadi secara umum banyaknya cara untuk menjual x mobil dgn air-bag dari penjualan 4 mobil adalah : C4
x.– Maka probabilitas menjual x mobil dgn air-bag dalam 4 penjualan
adalah :
16
4
)(
x
xf
Distribusi Peluang Kumulatif
Soal.Carilah fungsi distribusi kumulatif dari contoh sebelumnya.
Jawab:Peluang distribusi:
f(0) = C40/16 = 1/16
f(1) = C41/16 = 4/16
f(2) = C42/16 = 6/16
f(3) = C43/16 = 4/16
f(4) = C44/16 = 1/16
17
Distribusi Peluang Kumulatif
Distribusi probabilitas kumulatif F(x) dari sebuah variabel random X dengan fungsi probabilitas f(x) adalah jumlahan dari f(x) dari nilai x= -∞ hingga x:F(x) = P(X<x) = ∑t<x f(t) untuk -∞ < x < ∞
Sehingga fungsi distribusi kumulatifnya: F(0) = f(0) = 1/16, 0 ≤ x < 1 F(1) = f(0)+f(1) = 5/16, 1 ≤ x < 2 F(2) = f(0)+f(1)+f(2) = 11/16, 2 ≤ x < 3 F(3) = f(0)+f(1)+f(2)+f(3) = 15/16, 3 ≤ x < 4 F(4) = f(0)+f(1)+f(2)+f(3) = 1, x ≤ 4
18
Distribusi Probabilitas Kumulatif Diskrit
19
f(x)
1/16
1/4
3/8
1/4
1/16
0
1/20
1/10
3/20
1/5
1/4
3/10
7/20
2/5
0 1 2 3 4
• Grafik Fungsi Distribusi Probabilitas (f(x))
Distribusi Probabilitas Kumulatif Diskrit
• Grafik Distribusi Probabilitas Kumulatif (F(x))
20
F(x)
1/16
5/16
11/16
15/161
0
1/5
2/5
3/5
4/5
1
1 1/5
0 1 2 3 4
Sifat-Sifat Fungsi Distribusi Peluang Acak Acak Diskrit
1. 0 F (x) 12. F (x), fungsi yang tidak turun, sebagai kumulatif setiap
x naik3. F (y) = 0, untuk setiap titik y yang lebih kecil dari nilai x
terkecil (di ruang contoh)4. F (z) = 1, untuk setiap titik z yang lebih besar dari nilai
x terbesar di ruang contoh5. F (x), merupakan fungsi tangga dengan tinggi f(x) =
P(X = x)
Latihan Soal
Pada Percobaan dengan satu mata uang yang dilemparkan sebanyak 3 kali diperoleh perubah acak M (kejadian muncul muka) dengan distribusi peluang sebagai berikut:
Percobaan ke- frekuensi0 11 32 33 1
jumlah 8
Carilah:1. Gambarkan fungsi
peluang diskritnya2. Gambarkan distribusi
peluang kumulatifnya
Fungsi Distribusi Peluang Gabungan
• Misal x dan y merupakan variabel acak yang berbeda, maka distribusi peluang gabungannya dinyatakan dengan f(x,y) yang harus memenuhi syarat:
x
1 y)f(x, 2)
ydan x semua untuk 0 y)f(x, 1)
y
Dan
y x,dilingkupi yangdaerah adalah A
y)f(x, Ay)(x,Px y
Contoh
?1 y xy),(x,Adengan Ay)(x,PHitunglah b)
gabungan? peluangdistribusiuntuk syarat memenuhi y)f(x,Apakah a)
Jawab
terpenuhi2Syarat
110
1
10
1000
5
1
5
1
10
1
10
3
1f(1,2)f(1,1)f(1,0)f(0,2)
f(0,1)f(0,0)f(-1,2)f(-1,1)f(-1,0)
1 y)f(x, (2)
(memenuhi) y.danx , 0 y)f(x, (1)Syarat a)
x y
F(x,y) fungsi distribusi peluang
5
4
10
800
5
1
5
1
10
1
10
3
f(1,0)f(0,1)f(0,0)f(-1,2)f(-1,1)f(-1,0)
0 y 1, x ; 1 y 0, x
0 y 0, x ; 2y 1,- x
1 y -1, x; 0 y , -1x
1 y x b)
27
Latihan Soal
• Dua buah isi ulang untuk sebuah ballpoint diambil secara acak dari dalam kotak yg berisi 4 refill biru, 2 refill merah dan 3 refill hijau. Jika X adalah jumlah refill biru yg terpilih dan Y adalah jumlah refill merah yg terpilih, carilah:
a. Apakah f(x,y) memenuhi fungsi distribusi peluang gabungan ?b. Hitung P[(X,Y)ε A] dimana A adalah daerah {(x,y)| x+y≤1} ?