Probabilitas diskrit

11/10/2011

1

50

Ciri-ciri Percobaan Bernouli:

• Setiap percobaan menghasilkan dua kejadian:(a) kelahiran anak: laki-laki-perempuan; (b) transaksi saham: jual- beli, (c) perkembangan suku bunga: naik–turun dan lain-lain.

• Probabilitas suatu kejadian untuk suskes atau gagal adalah tetap untuk setiap kejadian. P(p), peluang sukses, P(q) peluang gagal, dan P(p) + P(q)= 1.

• Suatu percobaan dengan percobaan bersifat bebas.

• Data yang dihasilkan adalah data perhitungan.

a. Distribusi BINOMIAL

51

Distribusi bernoulli yang diulang n kali merupakan distribusiBINOMIAL

Rumus Distribusi Binomial :

b (x / n , p) = P (X = x)= n C x px . qn-x ;

x = 0,1,…n, q = 1 – p

Dimana : - b ( x / n , p ) ≥ 0

- Σ b ( x/n , p ) = ( q + p )n = 1

Rata – rata ( Mean ) = µx = n . p

Varians ( x ) = σx2 = n . p . q

Distribusi yang dipakai sebagai pendekatan bagi distribusibinomial adalah Distribusi Poisson dan Distribusi Normal.

52

Suatu eksperimen Binomial akan memenuhi 4 syaratsebagai berikut :

}Jumlah percobaan harus tetap, n kali

}Setiap percobaan harus menghasilkan dua alternatifyaitu sukses atau tidak sukses merupakan percobaanBinomial.

}Semua percobaan mempunyai nilai probabilitas yangsama untuk sukses.

}Percobaan – percobaan tersebut harus bebas satu samalain.

53

Latihan Soal

1. Bila sekeping uang logam yang seimbang dilempar sebanyak 6 kali, berapa:a. probabilitas memperoleh 5 sisi gambar

b. probabilitas memperoleh paling sedikit 5 sisi gambar

Jawab : a. n = 6 ; p = ½ ; q = 1 – p = 1 – ½ = ½

b ( x / n , p ) = b ( 5/6 , ½ ) = ( ½ )5 . ( ½ )6-5

= 6! (½)5 . (½)1 = 3/32

5!.1!

b. n = 6 ; x = 6 ; p = 1/2

b ( x/n , p ) = b ( 6/6 , ½ ) = ( ½ )6 . ( ½ )6-6

= 6 ! ( ½ )6 . ( ½ )0 = 1/64

6!0!

Probabilitas memperoleh ≥ 5 sisi gambar adalah :

b ( 5/6 , ½ ) + b ( 6/6 , ½ ) = 3/32 + 1/64 = 6/64 + 1/64 = 7/64

54

2. Jika x berdistribusi Binomial dengan n = 4 dan p = 1/6 , berapa :

a. Rata – rata dari x

b. Varians (x)

Jawab : a. n = 4 ; p = 1/6 ; q = 1 – p = 1 – 1/6 = 5/6

E ( x ) = n.p = 4.1/6 = 2/3

b. Var ( x ) = σx2 = n.p.q = 4.1/6.5/6 = 20/36

= 5/9

3. Ada 4000 paku pada sayap . Probabilitas kerusakan sebuah paku khusus pada permukaan sayap pesawat terbang adalah 0,001. Berapa E ( x ) nya ?

Jawab : E (x) = n . p = 4000 . (0,001) = 4

55

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Softwarehttp://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

11/10/2011

2

B. Distribusi Poisson

Ciri-ciri Distribusi PoissonDigunakan untuk menghitung probabilitas terjadinyakejadian menurut satuan waktu atau ruang.DistribusiPoisson digunakan sebagai pendekatan dari distribusibinomial.

Rumus Distribusi Poissonf ( x ) = µx . e-µ = p ( x/n , p )

x!Dimana : x = 0 , 1, 2 … n dan e = 2,71828…

Rata – rata = µx = n . pVarians (x) = σx

2 = n . pDalam distribusi Poisson Rata – rata dengan Variansnya

adalah sama

56

Latihan soal !

1. Bila 5 keping uang logam dilempar sebanyak 64 kali , berapaprobabilitas timbulnya 5 sisi angka sebanyak 0,1, 2 , 3 ,4 , 5kali ?Jawab:probabilitas memperoleh 5 sisi angka dari pelemparan 5 kepinguang logam sebanyak satu kali adalah :p = 1.( ½ )5 = 1/32Bila p = 1/32 , n = 64 ; probabilitas memperoleh 5 sisi angkadari pelemparan 5 keping uang logam sebanyak 64 kalimenjadi :f( x ) = 64 1/32 x 31 / 32 64-x

x

57

Rumus ini sulit dikerjakan dengan Distribusi Binomial, makadiambil µ=n.p = 64 . 1/32 = 2 diperoleh :

f ( x ) = µx . e-µ = 2x . e-2 ; x = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5

x ! x ! e-2 = 0 ,1353

x 0 1 2 3 4 5

f ( x ) 0,135 0,271 0,271 0,180 0,090 0,036

58

2. Jika x berdistribusi Poisson dengan n = 7 dan p = 1/4berapa :

a. Rata – rata x

b. Varians (x)

jawab : a. E (x) = n . p = 7.1/4 = 7/4

b. Var (x) = n . p = 7 . 1/4 = 7/4

3. Mata uang dilempar 6 kali . Jika x = banyaknya gambar,berapa E (x) ?

Jawab : n = 6 ; p = ½

E (x) = n.p = 6.1/2 = 3

59

X 8 12 16 20 24

P(X) ¼ 1/12 1/6 1/8 3/8

Latihan soal:

1. Dari tabel diatas tentukan:

a. mean X;

b. standar deviasi X;

c. E(2X – 3 )2

2. Misalkan X adalah suatu variabel acak dengan

E{(X-1)2} =10 dan E{(X-2)2} = 6 , tentukan mean X dan simpangan baku X.

60

3. Bila sekeping uang logam dilemparkan 6 kali, hitunglah probabilitas memperoleh:

a. 5 muka b. paling sedikit 5 muka

4. Bila 20 dadu dilemparkan sekaligus, tentukanlah:

a. rata-rata dari banyaknya muncul muka 3;

b. simpangan baku dari banyaknya muncul muka 3!

5. Bila variabel acak X berdistribusi binomial dengan n = 100, p = 0,005, hitunglah P(X=15)!

6. Bila 5 uang logam dilemparkan sebanyak 128 kali, hitunglah probabilitas munculnya 5 muka sebanyak 0,1,2,3,4 dan 5 dari seluruh pelemparan!

61


11/10/2011

3

62

C. Distribusi Hipergeometrik

Perbedaan distribusi binomial dengan distribusi multinomial

terletak pada cara pengambilan sampelnya. Penggunaan distribusi ini

hampir sama dengan distribusi binomial. Misalnya distribusi binomial

diterapkan pada sampling dari sejumlah barang (sekotak kartu,

sejumlah hasil produksi) sampling harus dikerjakan dengan

pengembalian setiap barang setelah diamati. Sebaliknya distribusi

hipergeometrik tidak memerlukan kebebasan dan didasarkan pada

sampling tanpa pengembalian.

Distribusi hipergeometrik mempunyai sifat:

1. Sampel acak berukuran n yang diambil tanpa pengembalian dari N

benda.

2. Sebanyak k-benda dapat diberi nama sukses dan sisanya N-k

diberi nama gagal.62

63

Distribusi Hipergeometrik

Distribusi probabilitas perubah acak hipergeometrik X yang

menyatakan banyaknya kesuksesan dalam sampel acak dengan

ukuran n yang diambil dari N-obyek yang memuat k sukses dan N-k

gagal dinyatakan sebagai:

0 1 2

k N k

x n x

N

n

h(x;N,n,k) ; x , , ,......,n

− −

= =

Contoh (5.8)

Suatu panitia 5 orang dipilih secara acak dari 3 kimiawan dan 5

fisikawan. Hitung distribusi probabilitas banyknya kimiawan yang

duduk dalam panitia.

Jawab:

63

64

Misalkan: X= menyatakan banyaknya kimiawan dalam panitia.

X={0,1,2,3}

Distribusi probabilitasnya dinyatakan dengan rumus

;

;

Tabel 5.6 Distribusi hipergeometrik

( )( )( )

3 50 5 1

5685

0 0 8 5 3x h( ; , , )= → = =

( )( )( )

3 51 4 15

5685

1 1 8 5 3x h( ; , , )= → = =

( )( )( )

3 52 3 30

5685

2 2 8 5 3x h( ; , , )= → = =

( )( )( )

3 53 2 10

5685

3 3 8 5 3x h( ; , , )= → = =

x 0 1 2 3

h(x;8,5,3) 156

1556

3056

1056

( )( )( )

3 55

85

8 5 3 0 1 2 3x x

h(x; , , ) ; x , , ,−

= =

64

65

Teorema(5.3)Distribusi hipergeometrik h(x;N,n,k) mempunyai rata-rata dan

variansi sbb:dan nk

Nµ =

21

1N n k kN n n

(n)( )( )σ −−

= −

Contoh (5.9)

Tentukan mean dan variansi dari contoh (5.8) kemudikan

gunakan teorema chebyshev untuk menafsirkanselang 2µ σ±

Jawab:

Dari contoh 5.8 diketahui n=15 dan p=0.4

Diperoleh dan

Menggunakan teorema Chebyshev adalah

Jadi, selang yang ditanakan adalah dari -0,741 sampai 1,491

5 3 340 8

0 375( )( )

,µ = = = ( ) ( ) ( )2 40 5 3 339 40 40

5 1 0 3113( ) ,σ −= − =

2µ σ±

2 1 491 2 0 741, dan ,µ σ µ σ+ = − = −

65

6666

Contoh_ hipergeometrik:

Suatu pabrik ban mempunyai data bahwa dari pengiriman sebanyak

5000 ban ke sebuah toko tertentu terdapat 1000 cacat. Jika ada

seseorang membeli 10 ban ini secara acak dari toko tersebut, berapa

probabilitasnya memuat tepat 3 yang cacat.

Jawab:

Karena n=10 cukup kecil dibandingkan N=5000, maka probabilitasnya

dihampiri dengan binomial dengan p= 10/5000= 0,2 adalah probailitas

mendapat satu ban. Jadi probabilitas mendapat tepat 3 ban cacat:

3 2

0 0

3 5000 10 1000 3 10 0 2

10 0 2 10 0 2

0 8791 0 6778

0 2013

x x

h( ; , , ) b( ; , . )

b(x; , . ) b(x; , . )

, ,

,

= =

=

= −

= −

=

∑ ∑

66

Pendekatan Hipergeometrik dapat juga dilakukan untuk menyelesaikan persoalan

binomial :

} Binomial → untuk pengambilan contoh dengan pemulihan (dengan pengembalian)

} Hipergeometrik → untuk pengambilan contoh tanpa pemulihan (tanpa pengembalian)

67


11/10/2011

4

C C

C22

23

45

1 3

5

3

50 60

×=

×= = .

68

Dalam suatu kotak terdapat 5 bola yang terdiri dari 2 bola Merah, 2 bola Birudan 1 buah Putih. Berapa peluang

a. terambil 2 bola Merah, dari 4 kali pengambilan yang dilakukansecara acak dengan pemulihan?

b. terambil 2 bola Merah, dari 4 kali pengambilan yang dilakukansecara acak tanpa pemulihan?

Soal a diselesaikan dengan DistribusiPeluang binomial :p = 2/5 = 0.40 n = 4 x = 2b(2; 4,0.40) = 0.16 (lihat Tabel atau gunakan rumus Binomial)

Soal b diselesaikan dengan DistribusiPeluang HipergeometrikN = 5 n = 4 k = 2 x = 2N-k = 3 n-x=2

h(2; 5, 4,2) =


Probabilitas diskrit

Documents

Transcript of Probabilitas diskrit