Distribusi Probabilitas Diskrit: Binomial & Contoh Peluang cacat dan baik dari hasil produksi...

download Distribusi Probabilitas Diskrit: Binomial & Contoh Peluang cacat dan baik dari hasil produksi suatu

of 24

  • date post

    10-Sep-2019
  • Category

    Documents

  • view

    38
  • download

    4

Embed Size (px)

Transcript of Distribusi Probabilitas Diskrit: Binomial & Contoh Peluang cacat dan baik dari hasil produksi...

  • Distribusi Probabilitas Diskrit: Binomial & Multinomial Debrina Puspita Andriani www.debrina.lecture.ub.ac.id E-mail : debrina.ub@gmail.com / debrina@ub.ac.id

    6

  • Outline

    Distribusi Variabel Acak Diskrit

    Distribusi Binomial

    Distribusi Multinomial

    22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

    2

  • Distribusi Probabilitas

    Adalah sebuah susunan distribusi yang

    mempermudah mengetahui probabilitas

    sebuah peristiwa / merupakan hasil dari

    setiap peluang peristiwa 3

    22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

  • Variabel Acak/Random

    ¡ Adalah variabel yang nilai-nilainya ditentukan oleh kesempatan atau variabel yang dapat

    bernilai numerik yang dapat didefinisikan dalam

    suatu ruang sampel

    ¡ Misal: pelemparan sebuah dadu sebanyak 6 kali, maka muncul angka 1 sebanyak 0,1,2,3,4,5, atau

    6 kali merupakan kesempatan

    4

    22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

  • Macam Variabel Acak/Random

    Variabel Acak Diskrit

    ¡  Variabel random yang tidak mengambil seluruh nilai yang ada dalam sebuah interval atau variabel yang hanya memiliki nilai tertentu.

    ¡  Nilainya merupakan bilangan bulat & asli, tidak berbentuk pecahan

    ¡  Contoh: ¡  Banyaknya pemunculan

    angka/gambar dalam pelemparan sebuah koin

    ¡  Jumlah anak dalam keluarga

    Variabel Random Kontinu

    ¡  Variabel random yang mengambil seluruh nilai yang ada dalam sebuah interval atau variabel yang dapat memiliki nilai2 pada suatu interval tertentu

    ¡  Nilainya dapat berupa bilangan bulat maupun pecahan

    ¡  Contoh: ¡  Pada label kurva baja tertulis

    diameter 2 ± 0,0005 mm. sehingga daerah hasil variabel random X adalah Rx = {X : 1,9995 ≤ x ≤ 2,0005; x adalah bilangan real}

    22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

    5

  • 1.  Distribusi Binomial suatu distribusi probabilitas yang dapat digunakan

    bilamana suatu proses sampling dapat diasumsikan sesuai

    dengan proses Bernoulli.

    22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

    6

  • Proses Bernoulli 22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

    7

    usaha

    Percobaan terdiri dari beberapa usaha

    t i a p - t i a p u l a n g a n percobaan bebas satu sama lainnya.

    Probabilitas kesuksesan

    tidak berubah dari

    percobaan satu ke

    percobaan lainnya. Persyaratan:

    • Percobaan terdiri atas n-usaha yang berulang

    • Tiap-tiap usaha memberikan hasil yang dapat dikelompokkan menjadi 2- kategori, sukses atau gagal

    • Peluang kesuksesan dinyatakan dengan p, tidak berubah dari satu usaha ke usaha berikutnya.

    • Tiap usaha bebas dengan usaha lainnya.

  • perlemparan sekeping uang logam sebanyak 5

    kali Sisi

    gambar Sisi angka

    Dua macam kartu yang diambil berturut-turut

    dengan label ; •  merah : “berhasil” •  hitam : “gagal”

    berhasil gagal

    22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

    8

  • Distribusi Binomial

    22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

    9

    Suatu usaha bernoulli dapat menghasilkan:

    §  kesuksesan dengan probabilitas p §  kegagalan dengan probabilitas q = 1 – p

    maka distribusi probabilitas perubah acak binomial X yaitu

    banyaknya kesuksesan dalam n-usaha bebas adalah

    0 1 2x n x n

    b(x;n,p) p q ;x , , ,....,n x

    −⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎝ ⎠

    Di mana :

  • Contoh

    Peluang cacat dan baik dari hasil produksi suatu perusahaan yang hampir bangkrut adalah 50%. Apabila perusahaan itu memproduksi 3 barang, berapakah probabilitas yang diperoleh, jika:

    a.  Satu barang cacat b.  Dua barang baik c.  Maksimum dua barang cacat

    22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

    10

    maka akan diperoleh ruang sampel sbb:

    S = {bbb, bbc, bcb, cbb, bcc, cbc, ccb, ccc}

    b = barang baik

    c = barang cacat

  • Solusi:

    ¡  Probabilitas nilai x, yaitu: ¡  X = 0, nilai probabilitasnya = p(x = 0) = 1/8 ¡  X = 1, nilai probabilitasnya = p(x = 1) = 3/8 ¡  X = 2, nilai probabilitasnya = p(x = 2) = 3/8 ¡  X = 3, nilai probabilitasnya = p(x = 3) = 1/8

    22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

    11

    ¡  Kasus di atas dapat diselesaikan dengan distribusi binomial Dengan: p = ½, q = ½

    x = banyaknya barang yang baik n = 3

    Misal x adalah banyaknya barang baik dari 3 barang yang diproduksi, maka nilai x adalah:

    sampel bbb bbc bcb cbb bcc cbc ccb ccc

    x 3 2 2 2 1 1 1 0

    Dengan x = 0, 1, 2, 3

  • Solusi: a.  Jika peristiwa A à satu barang cacat, maka A mempunyai

    ruang sampel : S = { bbc, bcb, cbb} à p(A) = 3/8

    22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

    12

    b.  Jika peristiwa B à adalah memproduksi dua barang baik, maka B mempunyai ruang sampel : S = { bbc, bcb, cbb} à p(B) = 3/8

    Dengan distribusi binomial x = 2 à 1 barang cacat, yang tidak cacat (x) = 2

    Dengan distribusi binomial x = 2 à 2 barang baik

  • Solusi:

    22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

    13

    c.  Jika peristiwa C adalah memproduksi maksimum dua barang cacat, maka C mempunyai ruang sampel : S = { bbb, bcb, bcb,cbb, ccb, cbc, bcc} à p(C) = 7/8

    Dengan distribusi binomial x = 1, 2 dan 3 à Maksimum 2 barang cacat, x ≠ 0

    1 –

  • Tabel Binomial - Cara membaca Untuk n=15, p=0.4 ;

    22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

    14 n r p 0.01 . . . . . . . 0.4 . . . . . . . . .

    15 1

    2 0.0271

    : : :

    8 0.9050

    9 0.9662

    : :

    15

    9

    0 15 0 4 0 9662

    x b(x; ; . ) .

    =

    → =∑

    b(x;15;0.4)=0.0271 x=0

    2 ∑

    8

    0 15 0 4 0 9050

    x b(x; ; . ) .

    =

    =∑

  • 15

    Probabilitas seseorang sembuh dari penyakit jantung setelah operasi adalah 0.4. Bila diketahui 15 orang menderita penyakit ini, berapa peluang: a.  sekurang-kurangnya 10 orang dpt sembuh b.  ada 3 sampai 8 orang yg sembuh c.  tepat 5 orang yg sembuh

    Penyelesaian: Misal : X = menyatakan banyaknya orang yg sembuh Diketahui : p = 0.4 n = 15

    a)

    Jadi probabilitas sekurang-kurangnya 10 orang sembuh = 0.0338

    [ ] 9

    0

    10 1 10 1 0 1 9

    1 15 0 4

    1 0 9662 0 0338

    x

    P(X ) P(X ) P(X ) P(X ) P(X )

    b(x; ; . ) lihat tabel

    . .

    =

    ≥ = − < = − = + = + =

    = − ←

    = −

    =

    Contoh

    22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

  • 16 b)

    Jadi probabilitas terdapat 3 sampai 8 orang yg sembuh = 0.8779

    8 2

    0 0

    3 8 8 2

    15 0 4 15 0 4

    0 9050 0 0271 0 8779

    x x

    P( X ) P(X ) P(X )

    b(x; , . ) b(x; , . ) lihat tabel

    . .

    .

    = =

    ≤ ≤ = ≤ − ≤

    = − ←

    = −

    =

    ∑ ∑

    c)

    Jadi probabititas tepat 5 orang yang sembuh = 0.1859  

    5 4

    0 0

    5 5 15 0 4 5 4

    15 0 4 15 0 4 x x

    P(X ) b( ; ; . ) P(X ) P(X )

    b(x; , . ) b(x; , . ) lihat tabel

    0.4032 - 0.2173 0.1859

    = =

    = = = ≤ − ≤

    = − ←

    =

    =

    ∑ ∑

    22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

  • Distribusi Binomial Kumulatif

    22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

    17

    Adalah probabilitas dari peristiwa binomial lebih dari satu sukses.

    )(...)2()1()0(

    )(

    PBK

    0

    0

    nXPXPXPXP

    xXP

    qpC

    n

    x

    n

    x

    xnx xn

    =++=+=+==

    ==

    ⋅⋅=

  • Tabel Distribusi Probabilitas Binomial Kumulatif

    ∑ =

    = r

    x pnxbpnrB

    0 ),;(),;(

    B(r=1;n=2,p=0.30) = 0.9100 22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

    18

  • Contoh Soal u/ Tabel Binomial

    22/10/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

    19

    Warna mesin cuci yang diproduksi oleh PT. Makmur Jaya

    adalah putih dan merah. Suatu rumah tangga memesan

    2 mesin cuci tersebut dan pengirimannya dilakukan 2 kali.

    Berapa probabilitas ?

    1.  Ke-2 mesin cuci berwarna merah

    2.  Ke-2 mesin cuci berwarna putih

    3.  Berwarna merah minimal 1

    Kerjakan dengan Tabel Distribusi Binomial dan

    Tabel Distribusi Binomial Kumulatif.

  • ¡  Tabel Distribusi Binomial

    p = ½, q = ½, dan n=2

    X = banyaknya mesin cuci yang berwarna merah.

    Dari tabel distribusi binomial :

    Nilai x 0 1 2

    Probabilitas