PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI BINOMIAL DENGAN MENGGUNAKAN ...

PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI BINOMIAL DENGAN

MENGGUNAKAN PEMROGRAMAN BAHASA R

SKRIPSI

NUR AINI SIBUEA

150803020

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2019




SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar

Sarjana Sains

NUR AINI SIBUEA

150803020

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM


MEDAN

2019


i

PERNYATAAN



SKRIPSI

Saya menyatakan bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa

kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, juni 2019

Nur Aini Sibuea

150803020


ii

PENGESAHAN SKRIPSI

Judul : Pendugaan Parameter Distribusi Binomial dengan

Menggunakan Pemrograman Bahasa R

Kategori : Skripsi

Nama : Nur Aini Sibuea

Nomor Induk Mahasiswa : 150803020

Program Studi : Sarjana Matematika

Fakultas : MIPA-Universitas Sumatera Utara

Disetujui di

Medan, juni 2019

Ketua Program Studi Pembimbing

Dr. Drs. Suyanto, M.Kom Dr. Elly Rosmaini, M.Si

NIP. 195908131986011002 NIP. 196005201985032002


iii



ABSTRAK

Penelitian ini bertujuan untuk membandingkan nilai pendugaan parameter distribusi

binomial dengan metode maximum likelihood dan metode moment. Untuk melihat

perbandingan kedua metode dengan melalui simulasi menggunakan pemrograman

bahasa R. Nilai pendugan parameter distribusi binomial dengan kedua metode

tersebut adalah sama. Akan tetapi, untuk mecari nilai pendugaan parameter distribusi

binomial lebih mudah dengan metode moment daripada metode maximum likehood

dalam pengerjaannya. Berdasarkan hasil simulasi, didapat bahwa nilai bias dari

metode maximum likelihood dan metode moment semakin kecil dengan ukuran

sampel yang semakin besar. Dan Semakin besar ukuran sampel maka semakin kecil

nilai pendugaan parameter.

Kata kunci: Distribusi Binomial, Metode Maximum likelihood, Metode Moment,

Pemrograman Bahasa R, Pendugaan Parameter.


iv

ESTIMATING PARAMETERS OF BINOMIAL DISTRIBUTION

USING R LANGUAGE PROGRAMMING

ABSTRACT

The study aims to compare the estimated value paramters of binomial distribution

with the maximum likelihood method and moment method. To see a comparison of

the two methods through simulation using the R language programming. The value

parameters estimation of binomial distribution with the two methods is the same.

However, to find the value parameters of binomial distribution, the moment method

is easier than with the maximum likelihood method in the process. Based on the

simulation results, it is known that the bias value of the maximum likelihood method

and the moment method is getting smaller with an increasingly large sampel size.

And the large the sample size, the smaller the parameter estimation value.

Keyword: Binomial Distribution, Maximum Likelihood Method, Moment Method,

R Language Programming, Estimation of the Parameters


v

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Allah SWT Yang Maha Pemurah dan Maha

Penyayang, dengan limpah karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan penyususnan

skripsi ini yang berjudul “Pendugaan Parameter Distribusi Binomial dengan

Menggunakan Pemrograman Bahasa R”.

Terima kasih penulis sampaikan kepada Ibu Dr. Elly Rosmaini, M.Si selaku

pembimbing yang telah memberikan waktu, ilmu, motivasi dan arahan selama

penyusunan skripsi ini. Terima kasih kepada Ibu Dra. Laurentina Pangaribuan, MS

dan Ibu Putri Khairiah Nasution, S.Si M.Si selaku dosen pembanding 1 dan

pembanding 2 yang memberikan kritik dan saran yang membangun dalam

menyelesaikan skripsi ini. Terima kasih kepada Bapak Dr. Suyanto, M.Kom dan

Bapak Drs. Rosman Siregar, M.Si selaku ketua dan sekretaris Departemen

Matematika FMIPA USU Medan, Bapak Dr. Kerista Sebayang, MS selaku Dekan

FMIPA USU, seluruh staff dan dosen matematika FMIPA USU serta pegawai

FMIPA USU. Terima kasih kepada kedua orangtua tercinta yaitu Ayahanda Andi

Sibuea dan Ibunda Nilawati Limbong. Terima kasih kepada kakak tersayang yaitu

Iffatul Jannah dan Maysandra Oktavianti. Terima kasih kepada “Sahabat Muslimah”

terutama Sri Ayuwinarti, Agus Sundari, Elvy Maritho Situmorang, Afni Fahtima,

dan Mirdayani Zega. Terima kasih kepada keluarga Ukmi Al Falak dan Ukmi Ad

Dakwah, teman-teman di Adzkia, teman-teman matematika 2015 FMIPA USU serta

teman-teman kuliah lainnya yang telah membantu penulis menyelesaikan skripsi ini.

Semoga Allah SWT Yang Maha Esa akan membalasnya.

Medan, Juni 2019

Nur Aini Sibuea


vi

DAFTAR ISI

Halaman

PERSETUJUAN i

PERNYATAAN ii

ABSTRAK iii

ABSTRACT iv

PENGHARGAAN v

DAFTAR ISI vi

DAFTAR TABEL viii

DAFTAR LAMPIRAN ix

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 2

1.3 Batasan Masalah 2

1.4 Tujuan Penelitian 2

1.5 Manfaat Penelitian 3

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Peubah Acak 4

2.1.1 Ruang Sampel Diskrit 4

2.1.2 Ruang Sampel Kontinu 4

2.2 Distribusi Peubah Acak 4

2.2.1 Distribusi Peubah Acak Diskrit 4

2.2.2 Distribusi Peubah Acak Kontinu 5

2.3 Nilai Harapan (Ekspektasi) 5

2.3.1 Sifat-Sifat Nilai Harapan (Ekspektasi) 5

2.4 Varians 6

2.4.1 Varians Diskrit 7

2.4.2 Varians Kontinu 7

2.4.3 Sifat-Sifat Varians 7

2.5 Momen 8

2.5.1 Momen Diskrit 8

2.5.2 Momen Kontinu 8

2.6 Distribusi Binomial 8

2.7 Pendugaan Parameter (Estimasi) 9

2.7.1 Estimasi Titik 10

2.7.2 Estimasi Interval 11

2.7.3 Sifat-Sifat Pendugaan 12

2.8 Simulasi dengan Pemrograman Bahasa R 13

BAB 3 METODE PENELITIAN


vii

Halaman

3.1 Metode Penelitian 15

3.2 Kerangka Penelitian 16

BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Distribusi Binomial 17

4.1.1 Karakteristik Distribusi Binomial 17

4.2 Pendugaan Parameter pada Distribusi Binomial 22

4.2.1 Pendugaan Parameter dengan Metode

Maximum Likelihood pada Distribusi Binomial 22

4.2.2 Pendugaan Parameter dengan Metode Moment

pada Distribusi Binomial 26

4.3 Membandingkan Metode Maximum Likelihood dan

Metode Moment Menggunakan Simulasi dengan

Pemrograman Bahasa R

27

4.3.1 Algoritma Simulasi 27

4.4 Analisis Hasil Kesimpulan 30

BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan 32

5.2 Saran 32

DAFTAR PUSTAKA 34

LAMPIRAN 35


viii

DAFTAR TABEL

Nomor

Tabel JUDUL Halaman

4.1 Nilai Bias Pendugaan Parameter Distribusi Binomial 27


ix

DAFTAR GAMBAR

Nomor

Gambar JUDUL Halaman

4.1 Histogram dengan n = 10 29

4.2 Kurva dengan n = 10 30


x

DAFTAR LAMPIRAN

Nomor

Lampiran JUDUL Halaman

1 Simulasi dengan Pemrograman Bahasa R 31


BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Pendugaan atau penarikan kesimpulan mengenai nilai sebenarnya dari parameter

yang didasarkan pada sampel mengandung unsur ketidakpastian, artinya suatu

dugaan atau kesimpulan bisa benar atau salah. Hal ini terjadi karena data yang

digunakan adalah data pendugaan atau taksiran dari sampel yang mengandung

kesalahan dalam penaksiran sampel.

Pendugaan dapat terjadi dalam kehidupan sosial, ekonomi, manajemen,

keuangan, dan politik karena digunakan sebgai dasar sebuah perencanaan. Teori

pendugaan adalah suatu proses dengan menggunakan statistik sample untuk menduga

parameter populasi, sedangkan pengujian hipotesis adalah proses untuk memutuskan

apakah hasil dugaan tersebut diterima atau ditolak (Purwanto S.K, 2016:48).

Teori estimasi terbagi dua yaitu estimasi titik dan estimasi interval. Estimasi

titik merupakan pendugaan dari sebuah parameter populasi yang dinyatakan oleh

bilanagn tunggal. Sedangkan estimasi interval merupakan pendugaan dari parameter

populasi yang dinyatakan dengan dua buah bilangan diantara posisi parameternya

diperkirrakan berbeda (Murray dan Larry, 1999).

Rodrigues et al. (2018) meneliti pendugaan parameter terhadap penggabungan

dua distribusi yaitu poisson dan eksponential dengan beberapa metode estimasi titik.

Kemudian menguji parameter dengan sifat-sifat estimasi yaitu tidak bias dan

membandingkan hasil dari beberapa metode dengan menggunakan simulasi.

Ridiani (2014) dalam jurnalnya menduga parameter pada distribusi beta

dengan menggunakan metode momen dan likelihood dengan bantuan metode iterasi

Newton-Raphson dan membandingan hasil dari kedua metode tersebut.

Menurut Muhammad Wiharto (2013) bahasa R adalah suatu software yang

bergunakan untuk manipulasi data, simulasi, kalkulasi, dan peragaan grafik. Bahasa

R memiliki kemmpuan menganalisis data dengan efektif dan dilengkapi dengan

operator pengolahan array dan matriks (Sussolaikah, 2016).

Berdasarkan uraian jurnal dan latar belakang tersebut, penulis membuat

penelitian pendugaan parameter dengan distribusi yang berbeda yaitu distribusi


2

binomial dengan menggunakan dua metode yaitu metode maximum likelihood dan

metode moment. Hasil estimasi parameter diuji dengan sifat-sifat estimasi agar

mendapatkan estimasi yang baik. Kemudian membandingkan hasil kedua metode

menggunakan simulasi dengan pemrograman bahasa R. Oleh karena itu, penulis

ingin menulis tentang “Pendugaan Parameter Distribusi Binomial dengan

Menggunakan Pemrograman Bahasa R”.

1.2 Perumusan Masalah

Berdasarkan uraian latar belakang penelitian ini, permasalahan yang akan dibahas

dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Bagaimana mencari nilai parameter dari distribusi binomial dengan metode

maximum likelihood dan metode moment?.

2. Bagaimana perbandingan nilai parameter dari distribusi binomial antara metode

maximum likelihood dan metode moment menggunakan simulasi dengan

pemrograman bahasa R?.

1.3 Batasan Masalah

Adapun batasan masalah pada penelitian ini adalah:

1. Distribusi yang digunakan pada penelitian ini adalah distribusi binomial dengan

dua parameter.

2. Pendugaan yang dipakai pada penelitian ini adalah pendugaan titik.

3. Metode yang digunakan untuk menduga parameter adalah metode maximum

likelihood dan metode moment.

4. Simulasi dengan pemrograman bahasa R.

1.4 Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini sebagai berikut:

1. Menentukan pendugaan parameter dari distribusi binomial dengan metode

maximum likelihood dan metode moment.

2. Menganalisis perbandingan metode maximum likelihood dan metode moment

menggunakan pemrograman bahasa R.


3

1.5 Manfaat Penelitian

Penelitian ini dapat dimanfaatkan sebagai:

1. Bahan pembelajaran dan pengembangan pengetahuan bagi penulis dan

mahasiswa yang ingin mengetahui lebih lanjut tentang pendugaan parameter

dengan beberapa metode terhadap suatu distribusi.

2. Penulis dan pembaca lebih mengetahui dan memahami kegunaan pemrograman

bahasa R.


BAB 2

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Peubah Acak

Model peluang dari suatu percobaan dapat dispesifikasikan melalui ruang sampel

(sample space) dari semua hasil kejadian sederhana atau kejadian dasar. Akan tetapi,

kejadian dasar ini sering kali tidak berbentuk nilai yang terukur secara numerik

(Waluyo, 2001:36).

Definisi 2.1

Suatu fungsi yang nilainya berupa bilangan nyata yang ditentukan oleh setiap unsur

dalam ruang sampel.

2.1.1 Ruang Sampel Diskrit

Definisi 2.2

Bila suatu ruang sampel mengandung jumlah titik sampel yang terhingga atau suatu

barisan unsur yang tidak pernah berakhir tetapi yang sama banyaknya dengan

bilangan cacah.

2.1.2 Ruang Sampel Kontinu

Definisi 2.3

Bila suatu ruang contoh mengandung tak hingga banyaknya titik sampel yang sama

dengan banyaknya titik pada sebuah ruas garis (Walpole, 1997:114-116).

2.2 Distribusi Peubah Acak

2.2.1 Distribusi Peubah Acak Diskrit

Definisi 2.4

Distribusi peubah acak diskrit adalah suatu daftar atau distribusi dari semua nilai

variabel random diskrit dengan probabilitas terjadinya masing-masing nilai tersebut.

Misalkan X adalah variabel random diskrit dari ruang sampel S. Suatu fungsi f

dikatakan merupakan fungsi probabilitas atau distribusi dari variabel random diskrit

jika memenuhi syarat:


5

1.

2.

3.

(Hasan, 2003:47).

2.2.2 Distribusi Peubah Acak Kontinu

Definisi 2.5

Distribusi peubah acak kontinu adalah suatu daftar atau distribusi dari semua nilai

variabel random kontinu dengan probabilitas terjadinya masing-masing nilai tersebut.

Misalkan X adalah variabel random kontinu dari ruang sampel S. Suatu fungsi f

dikatakan fungsi probabilitas atau distribusi probabilitas variabel random kontinu X,

jika memenuhi syarat:

1. untuk semua

2.

3.

(Hasan, 2003:49).

2.3 Nilai Harapan (Ekspektasi)

Definisi 2.6

Nilai harapan (ekspektasi) adalah nilai rata-rata hitung tertimbang jangka panjang

dari distribusi teoritis yang disimbolkan atau . Misalkan X adalah suatu

variabel random dengan distribusi probailitas atau maka nilai

harapannya atau rata-rata hitung dirumuskan sebagai berikut:

1. Untuk distribusi probabilitas diskrit

2. Untuk distribusi probabilitas kontinu

(Hasan, 2003:50).

2.3.1 Sifat-Sifat Nilai Harapan (Ekspektasi)

I. Jika c adalah konstanta, maka .


6

Bukti:

II. Jika c adalah konstanta dan u(X) adalah fungsi dari X, maka:

Bukti:

III. Jika c1 dan c2 adalah dua buah konstanta dan u1(X) dan u2(X) adalah dua buah

fungsi dari X, maka:

Bukti:

2.4 Varians

Misalkan X adalah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu. Varians dari X

didefinisikan sebagai:

atau


7

2.4.1 Varians Diskrit

Jika X adalah peubah acak diskrit dan p(x) adalah nilai fungsi peluang dari X di x,

maka varians dari X didefinisikan sebagai:

2.4.2 Varians Kontinu

Jika X adalah peubah acak kontinu dan f(x) adalah nilai fungsi densitas dari X di x,

maka varians dari X didefinisikan sebagai berikut:

2.4.3 Sifat-Sifat Varians

I. Jika c adalah sebuah konstanta, maka .

Bukti:

II. Jika X adalah peubah acak dan c adalah sebuah konstanta, maka:

Bukti:

III. Jika a dan b adalah dua konstanta dan X adalah peubah acak, maka:

Bukti:


8

2.5 Momen

Jika X adalah peubah acak baik diskrit maupun kontinu, maka momen ke-k

(dinotasikan dengan ) didefinisikan sebagai:

2.5.1 Momen Diskrit

Jika X adalah peubah acak diskrit dan p(x) adalah nilai fungsi peluang dari X di x,

maka momen ke-k didefinisikan sebagai:

2.5.2 Momen Kontinu

Jika X adalah peubah acak kontinu dan f(x) adalah nilai fungsi densitas dari X di x,

maka momen ke-k didefinisikan sebagai:

(Herrhyanto dan Tuti, 2009:181-195).

2.6 Distribusi Binomial

Distribusi binomial menggambarkan data yang dihasilkan oleh suatu percobaan yang

dinamakan percobaan Bernoulli. Jacob Bernoulli hidup pada tahun 1654-1705,

selama 20 tahun mempelajari probabilitas dan hasil penemuannya diterbitkan dalam

buku berjudul Ars Conjectandi.

Percobaan binomial adalah percobaan yang memiliki ciri-ciri berikut:

1. Percobaannya terdiri atas n ulangan.


9

2. Dalam setiap ulangan, hasilnya dapat digolongkan sebagai berhasil atau gagal.

3. Peluang berhasil, yang dilambangkan dengan p, untuk setiap ulangan adalah

sama, tidak berubah-ubah.

4. Ulangan-ulangan itu bersifat bebas atau satu sama lain (Walpole, 1997:154).

Definisi 2.7

Variabel acak X dalam distribusi binomial dengan parameter n dan p jika X adalah

distribusi diskrit maka p.f nya adalah:

dan .

Rata-rata (Mean)

Variansi

Moment Generating Function

(Degroot dan Mark, 2012:277).

2.7 Pendugaan Parameter (Estimasi)

Satu aspek penting dalam statistika inferens adalah pendugaan parameter populasi

atau parameter dari statistik sampel atau statistik yang bersangkutan (Spiegel,

1994:209). Teori pendugaan adalah suatu proses dengan menggunakan statistik

sample untuk menduga parameter populasi, sedangkan pengujian hipotesis adalah

proses untuk memutuskan apakah hasil dugaan tersebut diterima atau ditolak

(Purwanto S.K, 2016:48).


10

2.7.1 Estimasi Titik

Pendugaan titik (estimasi titik) adalah suatu nilai (suatu titik) yang digunakan untuk

menduga suatu parameter populasi (Purwanto S.K, 2016:52).

Definisi 2.8

Suatu estimator titik adalah sebarang fungsi dari sampel. Ini berarti

sebarang statistik adalah estimator titik.

Suatu estimator adalah fungsi sampel sedangkan estimate adalah nilai

terealisasi dari estimator yaitu bilangan yang didapat bila sampel bener-bener

diambil. Bila sampel diambil, estimator adalah fungsi variabel random

sedangkan estimate adalah fungsi dari nilai-nilai terealisasi (Subanar,

2013:29).

Macam-macam metode estimasi titik yaitu:

1. Metode Moment

Metode moment yang diciptakan oleh Karl Pearson tahun 1800 adalah metode tertua

dalam menentukan estimator titik. Misalkan adalah sampel dari

populasi dengan densitas . Estimator motode moment dengan

menyamakan k moment sampel pertama pada k moment sampel populasi dan

menyelesaikan sistem persamaan simultan yang dihasilkan.

Untuk didefinisikan

Moment populasi merupakan fungsi dapat ditulis .

Estimator metode moment

dari didapat dengan

menyelesaikan sistem dalam bentuk


11

2. Metode Maxsimum Likelihood

Metode maxsimum likelihood adalah metode yang paling populer dalam

menghasilkan estimator. Misalkan adalah sampel random dari populasi

dengan densitas di mana merupakan parameter tak diketahui.

Fungsi kemungkinan (likelihood) didefinisikan sebagai berikut:

Fungsi likelihood adalah fungsi dari parameter tidak diketahui . Dalam

aplikasi menunjukkan fungsi densitas probabilitas dari sampel random. Jika S

ruang parameter yang merupakan interval terbuka dan merupakan fungsi yang

dapat diturunkan serta diasumsikan maksimum S maka persamaan yaitu:

Untuk menentukan nilai estimator dengan kemungkinan maksimum dapat

menggunkan logaritma natural terhadap fungsi likelihood. Karena fungsi logaritma

adalah fungsi naik. Sehingga logaritma likelihood sebagai berikut:

2.7.2 Estimasi Interval

Pendugaan interval adalah suatu interval yang menyatakan selang di mana suatu

parameter populasi mungkin terjadi (Purwanto S.K, 2016:56).

Definisi 2.8

Estimator interval parameter adalah pasangan fungsi dan

dari sampel yang memenuhi untuk semua . Bila


12

terobservasi, dibuat inferensi . Interval random

disebut estimator interval.

Sebagai contoh, bila , maka mempunyai selang satu sisi

. Dengan cara yang sama dapat mengambil dan mempunyai

interval satu sisi (Subanar,2013:101).

2.7.3 Sifat-Sifat Pendugaan

Penduga yang baik adalah pendugaan yang mendekati nilai parameter sebenarnya.

Ciri-ciri pendugaan yang baik antara lain:

1. Tidak Bias

Pendugaan titik dikatakan tidak bias jika di dalam sampel random yang berasal dari

populasi, rata-rata atau nilai harapan dari statistik sampel sama dengan parameter

populasi atau (Purwanto S.K, 2016:52).

Definisi 2.9

Statistik dikatakan penduga tak bias bagi parameter bila

(Walpole, 1997:239). Nilai bias dari estimator adalah selisih dari nilai ekspektasi

dan nilai parameter yang sebenarnya yaitu:

(Freund, 1992:357).

2. Efisien

Penduga yang efisien adalah penduga yang tidak bias dan mempunyai varians yang

paling kecil dari penduga lainnya. Jika ada dua penduga yang tidak bias,

misalkan, dan di mana varian atau standar deviasi dari lebih

kecil dari maka dapat disimpulkan bahwa penduga lebih baik dari penduga .

Penduga dengan standar deviasi yang paling kecil adalah penduga yang efisien



13

Definisi 2.10

Di antara semua kemungkinan penduga tak bias bagi parameter , yang ragamnya

terkecil adalah penduga paling efisien bagi (Walpole, 1997: 240).

Jika adalah tidak bias pada estimator dan

kemudian adalah varians terkecil tidak bias dari estimator (Freund, 1992:360).

3. Konsisten

Penduga yang konsisten adalah nilai dugaan yang semakin mendekati nilai yang

sebenarnya dengan semakin bertambahnya jumlah sampel . Ukuran sampel yang

semakin besar cenderung memberikan penduga yang konsisten dibandingkan dengan

ukuran sampel yang kecil. merupakan penduga yang konsisten terhadap karena

apabila n mendekati N, maka mendekati dan apabila n = N, maka


2.8 Simulasi dengan Pemrograman Bahasa R

Menurut Muhammad Wiharto (2013) bahasa R adalah suatu software yang

bergunakan untuk manipulasi data, simulasi, kalkulasi, dan peragaan grafik. Bahasa

R memiliki kemmpuan menganalisis data dengan efektif dan dilengkapi dengan

operator pengolahan array dan matriks.

Menurut Yudhisthira (2005) kelebihan dari pemrograman bahasa R adalah:

1. Bahasa R merupakan software open-source atau bersifat gratis.

2. Bahasa R bersifat multi-platform sehingga bisa berjalan pada berbagai sistem

operasi.

3. Bahasa R memiliki sistem bantuan yang canggih.

4. Kemampuan bahasa R dalam membuat grafik cukup canggih.

5. Sintaxnya mudah dipelajari dengan banyak fungsi-fungsi statistik yang terpasang.

6. Pengguna dapat menciptakan fungsi-fungsi buatan pengguna sendiri sehingga

akan mempeluas pemrograman bahasa R.


14

Sedangkan kelemahan pemrograman bahasa R adalah:

1. Grafik antar muka bahasa R terbatas.

2. Perintah-perintah dalam bahasa R berupa bahasa pemrograman, jadi harus

mempelajari sintaxnya terlebih dahulu (Sussolaikah, 2016).


BAB 3

METODE PENELITIAN

3.1 Metode Penelitian

Adapun metode penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Menyiapkan bahan

Mencari bahan-bahan yang menyangkut tentang pendugaan parameter

dan distribusi binomial dari buku maupun jurnal yang dapat dijadikan

sebagai landasan teori dari penelitian.

2. Melakukan pendugaan parameter pada distribusi binomial.

2.1 Metode Maximum likelihood

a. Menentukan fungsi likelihood pada distribusi binomial.

b. Membentuk fungsi likelihood pada distribusi binomial ke dalam logaritma

natural (ln).

c. Memaksimumkan fungsi likelihood pada distribusi binomial.

d. Menentukan pendugaan parameter dari fungsi padat peluang distribusi

binomial.

2.2 Metode Moment

a. Menentukan nilai moment pertama dan moment kedua dari sampel.

b. Menentukan nilai moment pertama dan moment kedua dari populasi pada

distribusi binomial.

c. Menyamakan nilai moment pertama dari sampel dengan nilai moment

pertama dari populasi dan nilai moment kedua dari sampel dengan nilai

moment kedua dari populasi.

d. Menentukan pendugaan parameter dari fungsi padat peluang distribusi

binomial.

3. Membandingkan metode maximum likelihood dan metode moment

menggunakan simulasi dengan pemrograman bahasa R.

4. Menganalisis dan membuat kesimpulan.


16

3.2 Kerangka Penelitian

Studi Literatur

Menyiapkan bahan materi mengenai

judul

Melakukan pendugaan parameter

pada distribusi binomial

Estimasi titik dengan menggunakan

metode maximum likelihood dan metode

moment

Membandingkan metode maximum likelihood

dan metode moment menggunakan simulasi

dengan pemrograman bahasa R

Menganalisis hasil perbandingan pendugaan

parameter dengan metode maximum likelihood

dan metode moment

Membuat kesimpulan


BAB 4

HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Distribusi Binomial

Distribusi binomial menggambarkan data yang dihasilkan oleh suatu percobaan yang

dinamakan percobaan Bernoulli. Jacob Bernoulli hidup pada tahun 1654-1705,

selama 20 tahun mempelajari probabilitas dan hasil penemuannya diterbitkan dalam

buku berjudul Ars Conjectandi.

Variabel acak X dalam distribusi binomial dengan parameter n dan p jika X

adalah distribusi diskrit maka p.f nya adalah:

4.1.1 Karakteristik Distribusi Binomial

Adapun karakteristik distribusi binomial adalah:

1. Fungsi Padat Peluang

Bukti:

(4.1)

2. Rata-rata (mean)

Bukti:


18

Misal:

dan

Dapat diperoleh:

Karena menurut definisi fungsi padat peluang,

Sehingga,

(4.2)

3. Variansi

Bukti:

(4.3)

(4.4)


19

Misal:

dan

Dapat diperoleh:


Sehingga,

(4.5)

Substitusi nilai persamaan (4.5) ke dalam persamaan (4.4)

(4.6)

Kemudian substitusi nilai persamaan (4.6) ke dalam persamaan (4.3)

(4.7)

4. Moment Generating Function

Bukti:


20

(4.8)

5. Kemencengan/Kemiringan (Skewness)

Bukti:

(4.9)

(4.10)

Misal:

dan

Dapat diperoleh:


Sehingga,

(4.11)


21


(4.12)

(4.13)


(4.14)


22

4.2 Pendugaan Parameter pada Distribusi Binomial

Peneliti meneliti tentang penaksiran parameter pada distribusi binomial dengan

menggunakan metode maximum lilkelihood dan metode moment. Pendugaan

parameter mempunyai sifat-sifat yaitu tidak bias, efisien dan konsisten.

4.2.1 Pendugaan Parameter dengan Metode Maximum Likelihood pada

Distribusi Binomial

Langkah-langkah pendugaan parameter dengan metode maximum likelihood:

1. Menentukan fungsi likelihood pada distribusi binomial.

Untuk menentukan fungsi likelihood maka telah diketahui fungsi probabilitas dari

distribusi binomial yaitu:

Kemudian misalkan adalah sampel random berukuran n dan n

bilangan bulat positif maka diperoleh:

(4.15)

Sehingga fungsi likelihood pada distribusi binomial adalah

(4.16)

2. Membentuk fungsi likelihood pada distribusi binomial ke dalam logaritma natural

(ln).

(4.17)

3. Memaksimumkan fungsi likelihood pada distribusi binomial.

a. Turunkan fungsi likelihood terhadap p, dapat diperoleh:


23

(4.18)

b. Turunkan fungsi likelihood terhadap n, dapat diperoleh:

(4.19)

(4.20)

Diketahui:

Mencari nilai

Misalkan:


24

Mencari nilai

(4.21)

Kemudian substitusi ke dalam persamaan (4.21)

(4.22)

Kemudian substitusi ke dalam (4.20)

Setelah itu, substitusi ke dalam (4.19)

(4.23)


25

4. Menentukan pendugaan parameter dari fungsi padat peluang distribusi binomial.

a. Setelah fungsi likelihood diturunkan terhadap p, kemudian persamaan tersebut

disamakan dengan nol.

(4.24)

b. Setelah fungsi likelihood diturunkan terhadap n, kemudian persamaan tersebut

disamakan dengan nol.

(4.25)

Jadi, pendugaan parameter dengan menggunakan metode maximum likelihood pada

distribusi binomial dapat diperoleh


26

4.2.2 Pendugaan Parameter dengan Metode Moment pada Distribusi

Binomial

Diketahui adalah sampel random berukuran n dan n bilangan bulat

positif pada pendugaan parameter metode moment. Adapun langkah-langkah

pendugaan parameter dengan metode moment:

1. Menentukan nilai moment pertama dan moment kedua dari sampel.

Nilai moment pertama dari sampel:

(4.26)

Nilai moment kedua dari sampel:

(4.27)

2. Menentukan nilai moment pertama dan moment kedua dari populasi pada

distribusi binomial.

Nilai moment pertama dari populasi:

Nilai moment kedua dari populasi:

(4.28)

3. Menyamakan nilai moment pertama dari sampel dengan nilai moment pertama

dari populasi dan nilai moment kedua dari sampel dengan nilai moment kedua

dari populasi.

Nilai moment pertama dari sampel = nilai moment pertama dari populasi:

Nilai moment kedua dari sampel = nilai moment kedua dari populasi:

4. Menentukan pendugaan parameter dari fungsi padat peluang distribusi binomial.


27

Menentukan nilai parameter p:

(4.29)

Menentukan nilai parameter n:

(4.30)

Jadi, pendugaan parameter dengan menggunakan metode moment pada distribusi

binomial dapat diperoleh

.

4.3 Membandingkan Metode Maximum Likelihood dan Metode Moment

Menggunakan Simulasi dengan Pemrograman Bahasa R.

4.3.1 Algoritma Simulasi

Adapun algoritma simulasi dengan pemrograman Bahasa R adalah:

1. Membangkitkan bilangan acak yang berdistribusi binomial dengan ukuran

sampelnya adalah n = 10, n = 20, n = 50, n = 75, n = 100.


28

2. Mencari nilai pendugaan parameter dengan metode maximum likelihood

berdasarkan ukuran sampelnya. Karena pendugaan parameter distribusi binomial

dengan metode maximum likelihood dan metode moment bernilai sama, maka

cukup dicari salah satunya untuk mempersingkat program.

3. Setelah nilai estimator (pendugaan parameter) telah didapat, maka dilakukan

evaluasi nilai estimator dengan melihat salah satu sifat pendugaan yaitu nilai

biasnya. Untuk mencari nilai bias, maka harus ada peluang yang sebenarnya.

Penulis mengambil sampel peluangnya adalah p = 0,2, p = 0,4, p = 0,6, p = 0,8, p

= 0,95.

4. Menampilkan histogram dan kurva dari distribusi binomial. Kemudian mencari

nilai kemiringannya. Misalnya menampilkan histogram dan kurva dari distribusi

binomial dengan banyak sampelnya 10 dan peluangnya 0,2. Hal ini dilakukan

untuk banyak sampel 20, 50, 75, dan 100.

5. Hasil dari simulasi.

Tabel 4.1 Nilai Bias Pendugaan Parameter Distribusi Binomial

N p

Nilai Pendugaan

Parameter Nilai Bias

10

0,2

0,11 0,11

-0,09 -0,09

0,4 -0,29 -0,29

0,6 -0,49 -0,49

0,8 -0,69 -0,69

0,95 -0,84 -0,84

20

0,2

0,0575 0,0575

-0,1425 -0,1425

0,4 -0,3425 -0,3425

0,6 -0,5425 -0,5425

0,8 -0,7425 -0,7425

0,95 -0,8925 -0,8925

50

0,2

0,0212 0,0212

-0,1788 -0,1788

0,4 -0,3788 -0,3788

0,6 -0,5788 -0,5788

0,8 -0,7788 -0,7788

0,95 -0,9288 -0,9288

75

0,2

0,01351 0,01351

-0,18649 -0,18649

0,4 -0,38649 -0,38649

0,6 -0,58649 -0,58649

0,8 -0,78649 -0,78649


29

0,95 -0,98649 -0,98649

100

0,2

0,0104 0,0104

-0,1896 -0,1896

0,4 -0,3896 -0,3896

0,6 -0,5896 -0,5896

0,8 -0,7896 -0,7896

0,95 -0,9896 -0,9896

6. Gambar dari histogram dan kurva dari distribusi binomial dengan banyak

sampelnya (n=10) dan peluangnya (p=0,2)

Gambar 4.1 Histogram dengan n = 10

Berdasarkan Gambar 4.1 menyatakan bahwa bilangan 0-0,5 sebanyak 3, bilangan

0,5-1,0 sebanyak 4, bilangan 1,5-2,0 sebanyak 2, dan bilangan 2,5-3,0 sebanyak 1.

Jumlah keseluruhan bilangan sebanyak 10.


30

Gambar 4.2 Kurva dengan n = 10

Berdasarkan Gambar 4.2 diketahui bahwa kurva miring ke kanan maka disebut

kemiringan positif. Nilai kemiringan yaitu 0.4743416 berdasarkan rumus

kemiringan distribusi binomial dengan menggunakan program bahasa R. Hal ini

dapat dilakukan pada sampel lainnya yaitu 20, 50, 75, dan 100.

4.4 Analisis Hasil Simulasi

Adapun hasil dari simulasi dengan menggunakan pemrograman bahasa R adalah:

1. Berdasarkan hasil simulasi dengan menggunakan pemrograman bahasa R, dapat

diketahui bahwa nilai bias dari metode maximum likelihood dan metode moment

semakin kecil dengan ukuran sampel yang semakin besar. Misalnya n = 10, p

sebenarnya = 0,2, dan p dugaannya = 0,11 maka nilai biasnya = -0,09. Begitu

seterusnya untuk ukuran sampel lainnya.

2. Berdasarkan hasil simulasi dengan pemrograman bahasa R dapat diketahui

bahwa semakin besar ukuran sampel maka semakin kecil nilai pendugaan

parameter. Misalnya jika n = 10 maka nilai pendugaan parameter p = 0,11, jika n

= 20 maka nilai pendugaan parameter p = 0,0575, jika n = 50 maka nilai

pendugaan parameter p = 0,0212, jika n = 75 maka nilai pendugaan parameter p

= 0,01351, dan jika n = 100 maka nilai pendugaan parameter p = 0,0104.


31

3. Disimpulkan bahwa nilai pendugaan parameter dengan metode maximum

likehood dan metode moment bernilai sama. Akan tetapi, untuk mencari nilai

pendugaan parameter distribusi binomial lebih mudah dengan metode moment

daripada metode maximum likehood dalam pengerjaan analisisnya.


BAB 5

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Adapun kesimpulan dari hasil penelitian ini yaitu:

1. Nilai pendugaan parameter pada distribusi binomial dengan metode maximum

likelihood dan metode moment secara manualnya adalah:

a. Pendugaan parameter dengan metode maximum likelihood

b. Pendugaan parameter dengan metode moment

2. Disimpulkan bahwa nilai pendugaan parameter dengan metode maximum

likehood dan metode moment bernilai sama. Akan tetapi, untuk mencari nilai

pendugaan parameter distribusi binomial lebih mudah dengan metode moment

daripada metode maximum likehood dalam pengerjaan analisisnya.

3. Berdasarkan hasil simulasi dengan menggunakan pemrograman bahasa R, dapat

diketahui bahwa nilai bias dari metode maximum likelihood dan metode moment

semakin kecil dengan ukuran sampel yang semakin besar. Misalnya n = 10, p

sebenarnya = 0,2, dan p dugaannya = 0,11 maka nilai biasnya = -0,09. Begitu

seterusnya untuk ukuran sampel lainnya.

4. Berdasarkan hasil simulasi dengan pemrograman bahasa R dapat diketahui

bahwa semakin besar ukuran sampel maka semakin kecil nilai pendugaan

parameter. Misalnya jika n = 10 maka nilai pendugaan parameter p = 0,11, jika n

= 20 maka nilai pendugaan parameter p = 0,0575, jika n = 50 maka nilai

pendugaan parameter p = 0,0212, jika n = 75 maka nilai pendugaan parameter p

= 0,01351, dan jika n = 100 maka nilai pendugaan parameter p = 0,0104.

5.2 Saran

Adapun saran untuk penelitian selanjutnya adalah:

1. Pendugaan parameter pada distribusi binomial dengan menggunakan metode

bayes ataupun metode pendugaan lainnya.


33

2. Simulasi dapat dilakukan dengan bahasa pemrograman lainnya misalnya R-Shiny

untuk membandingkan hasil metode pendugaan parameter.


34

DAFTAR PUSTAKA

Degroot, Morris H dan Mark J. Schervish. 2012. Probability and Statistics Fourth

Edition. America: Pearson Education.

Freund, John E. 1992. Mathematical Statistics Fifth Edition. America: Prentice Hall.

Hasan, M. Iqbal. 2003. Pokok-Pokok Statistik 2 (Statistik Inferensif). Jakarta: PT

Bumi Aksara.

Herrhyanto, Nar dan Tuti Gantini. 2009. Pengantar Statistika Matematika. Bandung:

CV. Yrama Widya.

Kapur, J.N dan Saxena H.C. 1960. Mathematical Statistic. India: Rajendra Ravindra

Printers.

Purwanto S.K, Suharyadi. 2016. Statistika untuk Ekonomi dan Keuangan Modern

Edisi 3 | Buku 1. Jakarta Selatan: Salemba Empat.

Purwanto S.K, Suharyadi. 2016. Statistika untuk Ekonomi dan Keuangan Modern

Edisi 3 | Buku 2. Jakarta Selatan: Salemba Empat.

Ridiani, Feby. 2014 “Pendugaan Parameter Distribusi Beta dengan Metode Momen

dan Metode Likelihood” Jurnal Matematika UNAND (online).

jmua.fmipa.unand.ac.id. Diakses pada Tanggal 03 Januari 2019.

Rodrigues, Giovani Carrara, Francisco Louzada dan Pedro Luis Ramos. 2018

“Poisson-exponential distribution: different methods of estimation”

Journal Of Applied Statistics (online). www.tandfonline.com. Diakses

pada Tanggal 21 November 2018.

Spiegel, Murray R. 1994. Statistika Edisi Kedua (Diterjemahkan oleh I Nyoman

Susila dan Ellen Gunawan). Jakarta: Erlangga.

Subanar. 2013. Statistika Matematika. Yogyakarta: Graha Ilmu.

Sussolaikah, Kelik. 2016 “Sentimen Analysis Terhadap Acara Televisi Mata Najwa

Berdasarkan Opini Masyarakat pada Microblogging Twitter” Thesis

Universitas Muhammadiyah Ponorogo (online). http://library.umpo.ac.id.

Diakses pada Tanggal 02 juni 2019.

Walpole, Ronald E. 1997. Pengantar Statistika Edisi Ke-3. Jakarta: PT Gramedia

Pustaka Utama.

Waluyo, Sihono Dwi. 2001. Statistika untuk Pengambilan Keputusan. Jakarta:Ghalia

Indonesia.


http://www.tandfonline.com/

http://library.umpo.ac.id/

35

LAMPIRAN

1. Simulasi dengan Pemrograman Bahasa R

set.seed(1)

> n10<-10

> x10<-rbinom(10,5,0.2)

> x10

[1] 0 1 1 2 0 2 3 1 1 0

> MLE10<-(sum(x10))/n10^2

> MLE10

[1] 0.11

> bias10_1<-(mean(MLE10))-0.2

> bias10_1

[1] -0.09

> bias10_2<-(mean(MLE10))-0.4

> bias10_2

[1] -0.29

> bias10_3<-(mean(MLE10))-0.6

> bias10_3

[1] -0.49

> bias10_4<-(mean(MLE10))-0.8

> bias10_4

[1] -0.69

> bias10_5<-(mean(MLE10))-0.95

> bias10_5

[1] -0.84

> hist(x10)

> plot(density(x10))

> p <- 0.2

> kemiringan <- ((1-2*p)/(sqrt((n10*p)*(1-p))))

[1] 0.4743416


36

> set.seed(1)

> n20<-20

> x20<-rbinom(20,5,0.2)

> x20

[1] 0 1 1 2 0 2 3 1 1 0 0 0 1 1 2 1 1 3 1 2

> MLE20<-(sum(x20))/n20^2

> MLE20

[1] 0.0575

> bias20_1<-(mean(MLE20))-0.2

> bias20_1

[1] -0.1425

> bias20_2<-(mean(MLE20))-0.4

> bias20_2

[1] -0.3425

> bias20_3<-(mean(MLE20))-0.6

> bias20_3

[1] -0.5425

> bias20_4<-(mean(MLE20))-0.8

> bias20_4

[1] -0.7425

> bias20_5<-(mean(MLE20))-0.95

> bias20_5

[1] -0.8925

> hist(x20)


> p <- 0.2


> kemiringan

[1] 0.3354102

> set.seed(1)

> n50<-50

> x50<-rbinom(50,5,0.2)


37

> x50

[1] 0 1 1 2 0 2 3 1 1 0 0 0 1 1 2 1 1 3 1 2 2 0 1 0 0 1 0 1 2 1 1 1 1 0 2 1 2 0

[39] 1 1 2 1 2 1 1 2 0 1 1 1

> MLE50<-(sum(x50))/n50^2

> MLE50

[1] 0.0212

> bias50_1<-(mean(MLE50))-0.2

> bias50_1

[1] -0.1788

> bias50_2<-(mean(MLE50))-0.4

> bias50_2

[1] -0.3788

> bias50_3<-(mean(MLE50))-0.6

> bias50_3

[1] -0.5788

> bias50_4<-(mean(MLE50))-0.8

> bias50_4

[1] -0.7788

> bias50_5<-(mean(MLE50))-0.95

> bias50_5

[1] -0.9288

> hist(x50)


> p <- 0.2


> kemiringan

[1] 0.212132

> set.seed(1)

> n75<-75

> x75<-rbinom(75,5,0.2)

> x75

[1] 0 1 1 2 0 2 3 1 1 0 0 0 1 1 2 1 1 3 1 2 2 0 1 0 0 1 0 1 2 1 1 1 1 0 2 1 2 0


38

[39] 1 1 2 1 2 1 1 2 0 1 1 1 1 2 1 0 0 0 0 1 1 1 2 0 1 1 1 0 1 2 0 2 1 2 1 1 1

> MLE75<-(sum(x75))/n75^2

> MLE75

[1] 0.01351111

> bias75_1<-(mean(MLE75))-0.2

> bias75_1

[1] -0.1864889

> bias75_2<-(mean(MLE75))-0.4

> bias75_2

[1] -0.3864889

> bias75_3<-(mean(MLE75))-0.6

> bias75_3

[1] -0.5864889

> bias75_4<-(mean(MLE75))-0.8

> bias75_4

[1] -0.7864889

> bias75_5<-(mean(MLE75))-0.95

> bias75_5

[1] -0.9364889

> hist(x75)


> p <- 0.2


> kemiringan

[1] 0.1732051

> set.seed(1)

> n100<-100

> x100<-rbinom(100,5,0.2)

> x100

[1] 0 1 1 2 0 2 3 1 1 0 0 0 1 1 2 1 1 3 1 2 2 0 1 0 0 1 0 1 2 1 1 1 1 0 2 1 2

[38] 0 1 1 2 1 2 1 1 2 0 1 1 1 1 2 1 0 0 0 0 1 1 1 2 0 1 1 1 0 1 2 0 2 1 2 1 1

[75] 1 2 2 1 2 3 1 1 1 0 2 0 1 0 0 0 0 0 1 2 2 2 1 1 2 1


39

> MLE100<-(sum(x100))/n100^2

> MLE100

[1] 0.0104

> bias100_1<-(mean(MLE100))-0.2

> bias100_1

[1] -0.1896

> bias100_2<-(mean(MLE100))-0.4

> bias100_2

[1] -0.3896

> bias100_3<-(mean(MLE100))-0.6

> bias100_3

[1] -0.5896

> bias100_4<-(mean(MLE100))-0.8

> bias100_4

[1] -0.7896

> bias100_5<-(mean(MLE100))-0.95

> bias100_5

[1] -0.9396

> hist(x100)


> p <- 0.2


> kemiringan

[1] 0.15


PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI BINOMIAL DENGAN MENGGUNAKAN ...

Documents

Transcript of PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI BINOMIAL DENGAN MENGGUNAKAN ...