Pendugaan parameter

PENDUGAAN PARAMETER

1 Pendahuluan

Pendugaan Parameter Populasi dilakukan dengan menggunakan nilai Statistik Sampel

Misal : 1. x digunakan sebagai penduga bagi 2. s digunakan sebagai penduga bagi 3. p p atau digunakan sebagai penduga bagi atau p

Catatan : Beberapa pustaka menulis p sebagai p (p topi) p = proporsi "sukses" dalam sampel acak (ingat konsep percobaan binomial?)

1 - p = q = proporsi "gagal" dalam sampel acak

Pendugaan parameter diwujudkan dalam pembentukan selang kepercayaan, karena hampir tidak pernah ditemukan nilai statistik tepat sama dengan nilai parameter.

Selang Kepercayaan = Konfidensi Interval = Confidence Interval

Didekati dengan distribusi Normal (Distribusi z atau Distribusi t) Mempunyai 2 batas : batas atas (kanan) dan batas bawah (kiri) Derajat Kepercayaan = Tingkat Kepercayaan = Koefisien Kepercayaan = 1 - kemudian akan dibagi ke dua sisi

/2 di atas batas atas dan /2 di bawah batas bawah

Selang kepercayaan menurut Distribusi z dan Distribusi t

Selang Kepercayaan dengan Distribusi z (Tabel hal 175)

Nilai dan Selang kepercayaan yang lazim digunakan antara lain :

Selang kepercayaan 90 % Derajat Kepercayaan = 1 - = 9 = 10 % /2 = 5 %

Selang kepercayaan 95 % Derajat Kepercayaan = 1 - = 95% = 5 % /2 = 2.5 %

Selang kepercayaan 99 % Derajat Kepercayaan = 1 - = 99% = 1 % /2 = 0.5 % z z0 5% 0 005 2 575. . .

Contoh Distribusi z untuk Selang Kepercayaan (SK) 99 %

Stat-2 –ATA0203 – ESTIMASI Halaman 1Sri Wulan W.R..

1

luas daerah tidak terarsir ini diketahui dari Tabel (hal 175)

luas daerah terarsir luas daerah terarsir ini = ini = /2 = 0.5% /2 = 0.5%

-2.575 0 2.575

Selang Kepercayaan dengan Distribusi t (Tabel hal 177)

Nilai (dan tentu saja /2) sudah diterakan dalam Tabel.Perhatikan derajat bebas (db).Nilai t tabel tergantung dari nilai derajat bebas (db) dan nilai /2 (Tabel hal 177)

Misal : Selang kepercayaan 99 %; db = 13 1 - = 99% = 1 % /2 = 0.5 % t tabel (db=13;/2 = 0.5%) = 3.012

Contoh Distribusi t untuk SK 99 % ; db = 13

luas daerah terarsir luas daerah terarsir ini = ini = /2 = 0.5% /2 = 0.5%

-t = -3.012 0 t =3.012

Selang Kepercayaan yang baik?Idealnya selang yang baik adalah selang yang pendek dengan derajat kepercayaan yang tinggi.

Banyak Selang Kepercayaan yang dapat dibentuk dalam suatu populasi adalahTidak terhingga, anda bebas menetapkan derajat kebebasan dan lebar selangnya.

Contoh 1:


2

Di bawah ini terdapat 4 selang kepercayaan mengenai rata-rata umur mahasiswa. Semua selang dibuat untuk populasi yang sama, manakah yang paling baik?

A. Selang kepercayaan 90 % rata-rata umur mahasiswa 18 - 25 tahunB. Selang kepercayaan 99 % rata-rata umur mahasiswa 18 - 27 tahunC. Selang Kepercayaan 90 % rata-rata umur mahasiswa 22 - 27 tahunD. Selang Kepercayaan 99 % rata-rata umur mahasiswa 22 - 25 tahun

Jawab : D, karena................................

Bentuk Umum Selang Kepercayaan

Batas Bawah < (Simbol) Parameter < Batas Atas

Untuk Sampel Berukuran Besar :

Statistik-( z /2 ×Standard Error Sampel)<Parameter<Statistik+( z /2 ×Standard Error Sampel)

Untuk Sampel Berukuran Kecil :

Statistik-( t db( ; / ) 2 ×Standard Error Sampel)< Parameter<Statistik+( t db( ; / ) 2 × Standard Error Sampel)

2. Pendugaan 1 Nilai Rata-rata

2.1. Pendugaan Rata-rata dari sampel besar (n 30)

Nilai simpangan baku populasi () diketahui Jika nilai simpangan baku populasi () tidak diketahui gunakan simpangan baku

sampel (s) Selang kepercayaan 1

Selang Kepercayaan sebesar (1-) bagi adalah :

x z x z - n

< < + n

2 2

Jika tidak diketahui, dapat digunakan s

Ukuran Sampel bagi pendugaan Pada Derajat Kepercayaan (1-) ukuran sampel dengan Error (galat) maksimal = E adalah


3

n dibulatkan ke bilangan bulat terdekat terbesar (fungsi ceiling)jika tidak diketahui, gunakan s

E : error maksimal selisih x dengan

Contoh 2:

Dari 36 mahasiswa tingkat II diketahui bahwa rata-rata IPK = 2.6 dengan simpangan baku = 0.3.a. Buat selang kepercayaan 95 % untuk rata-rata IPKseluruh mahasiswa tingkat II? Selang kepercayaan 95 % = 5 % /2 = 2.5 %

x = 2.6 s = 0.3

x zs

x zs

- n

< < +n0 025 0 025. .

2.6 - 1.96 36

) < < 2.6 + 1.96 36

)

0 3 0 3. .

2.6 - 0.098 < < 2.6 + 0.098 2.502 < < 2.698

b. Buat selang kepercayaan 99 % untuk rata-rata IPK seluruh mahasiswa tingkat II? Selang kepercayaan 99 % = 1 % /2 = 0.5 % (selanjutnya.....selesaikan sendiri!!!)

c. Berapa ukuran sampel agar error maksimal pada selang kepercayaan 95 % tidak lebih dari 6 %? E = 6 % = 0.06 s = 0.3

Selang kepercayaan 95 % = 5 % /2 = 2.5 %

= 97

d. Berapa ukuran sampel agar error maksimal pada selang kepercayaan 99 % tidak lebih dari 6 %? E = 6 % = 0.06 s = 0.3


(jawab : n = 166 coba selesaikan dengan lengkap!!!)


4

2.2. Pendugaan Rata-rata dari sampel kecil (n < 30)dan nilai simpangan baku populasi () tidak diketahui gunakan simpangan baku sampel (s²)

Selang Kepercayaan 2


x ts

x ts

db db - n

< < + n

( ; ) ( ; ) 2 2

db = derajat bebas = n-1

Contoh 3 :9 orang mahasiswa FE-GD rata-rata membolos sebanyak 10 hari/tahun dengan standar deviasi 1.8 hari. a. Buat selang kepercayaan 95 % bagi rata-rata banyaknya hari membolos setiap tahun

untuk seluruh mahasiswa! Selang kepercayaan 95 % = 5 % /2 = 2.5 % = 0.025 x = 10 s = 1.8 db = n-1 = 9 -1 = 8 t (db=8; /2 =0.025) = 2.306

x ts

x ts

db db - n

< < + n

( ; ) ( ; ) 2 2

10 - 9

< < 10 + 9

2 30618

2 30618

..

..

10 - 1.3836 < < 10 + 1.3836 8.6164 < < 11.3836


5

3. Pendugaan Beda 2 Rata-rata

3.1 Pendugaan Beda 2 Rata-rata dari sampel-sampel besardan nilai ragam populasi ( dan ) diketahuidan jika nilai ragam populasi ( dan ) tidak diketahui gunakan ragam sampel ( dan )


Selang Kepercayaan sebesar (1-) bagi 1 2 adalah :

x xn n

x xn n1 2 1 2- - z < - < - + z

2 2

12

1

22

21 2

12

1

22

2

dan tidak diketahui gunakan dan

Contoh 4: 64 orang Jepang ditanyai, dan diketahui rata-rata setiap bulan mereka makan 48 kg ikan dengan ragam= 8. 56 orang Inggris ditanyai, dan diketahui rata-rata, setiap bulan mereka makan 28 kg ikan dengan ragam =7.

Tentukan selang kepercayaan 95 % untuk beda rata-rata banyak ikan yang dimakan setiap bulan oleh seluruh orang Jepang dan orang Inggris x1 = 48 x2 = 28 x x1 2 = 48 - 28 = 20

= 64 = 56 = 8 = 7


x xn n

x xn n1 2 1 2- - z < - < - + z

2 2

12

1

22

21 2

12

1

22

2

20 - + 756

< < + 756

196864

20 1968641 2. .

20 - 0.98 < < 20 + 0.98 19.02 < < 20.98


6

3.2. Pendugaan bagi Beda 2 Rata-rata dari sampel-sampel kecildan nilai kedua ragam populasi tidak sama ( ¹ ) dan tidak diketahui gunakan ragam sampel ( dan )


Selang Kepercayaan sebesar (1-)bagi adalah:

x xsn

sn

x xsn

sndb db1 2 1 2- - t < - < - + t ( ; ) ( ; )

2 2

12

1

22

21 2

12

1

22

2

derajat bebas (db) =

db : dibulatkan ke bilangan bulat terbesar terdekat (fungsi Ceiling)

Contoh 5:12 orang Jepang ditanyai, dan diketahui rata-rata setiap bulan mereka minum 22 liter teh dengan simpangan baku = 4. ( s1 4 dan s

1

2 24 16 )10 orang Inggris ditanyai, dan diketahui rata-rata, setiap bulan mereka minum 36 liter teh dengan simpangan baku = 5. ( s2 5 dan s2

2 25 25 )

Jika dianggap bahwa ragam kedua populasi bernilai tidak sama, hitung :

a. derajat bebas bagi distribusi t

db = = ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1612

2510

2

1612

2 2510

212 1 10 1

= ( . . )

( . ) ( . )1333 2 5

1333 11 2 5 9

2

2 2

= 14 6944

01616 0 6944. ...

. ... . = 14 69440 8560

. .... ... = 17.165 = 18

b. Tentukan selang kepercayaan 99 % untuk beda rata-rata banyak teh yang diminum setiap bulan oleh seluruh orang Jepang dan orang Inggris

Selang kepercayaan 99 % = 1 % /2 = 0.5 % = 0.005 db = 18

Nilai t (db = 18; /2 = 0.005) = 2.878


7

x xsn

sn

x xsn

sndb db1 2 1 2- - t < - < - + t ( ; ) ( ; )

2 2

12

1

22

21 2

12

1

22

2

22 36 21612

2510

22 36 21612

25101 2- - .878 < - < - + .878

14 - 5.53 < < 14 + 5.63 8.37 < < 19.63

3.3 Pendugaan bagi Beda 2 Rata-rata dari sampel-sampel kecildan nilai kedua ragam populasi sama ( = ) tidak diketahui gunakan ragam sampel gabungan ( )


Selang Kepercayaan sebesar (1-) bagi adalah:

x xn n

x xn ndb db1 2 gab 1 2 gab- - t s < - < - + t s

( ; ) ( ; ) 2 2

1 1 1 1

1 21 2

1 2

sn s n s

n ngab2 1 1

22 2

2

1 2

1 12

( ) ( ) +

dan

derajat bebas (db) =

Contoh 6:

12 orang Jepang ditanyai, dan diketahui rata-rata setiap bulan mereka minum 22 liter teh dengan simpangan baku = 4. 10 orang Inggris ditanyai, dan diketahui rata-rata, setiap bulan mereka minum 26 liter teh dengan simpangan baku = 5.

Jika dianggap bahwa ragam kedua populasi bernilai sama, hitung :

a. derajat bebasb. Ragam dan Simpangan baku gabungan kedua sampelc Tentukan selang kepercayaan 99 % untuk beda rata-rata banyak teh yang diminum

setiap bulan oleh seluruh orang Jepang dan orang Inggris (kerjakan sebagai latihan!!!)

a. db = = 12 + 10 - 2 = 20


8

b. sn s n s

n ngab2 1 1

22 2

2

1 2

1 12

( ) ( ) +

=( ) ( )

.11 16 9 25

2040120

20 05

= 20 05 4 477. . ...

c. Selang kepercayaan 99 % = 1 % /2 = 0.5 % = 0.005 db = 20

Nilai t (db = 20; /2 = 0.005) = 2.845

x xn n

x xn ndb db1 2 gab 1 2 gab- - t s < - < - + t s ( ; ) ( ; )

2 2

1 1 1 1

1 21 2

1 2

22 36 2 4 4771

121

1022 36 2 4 477

112

1101 2- - .845 < - < - + .845

. ... . ...

14 - 5.45 < < 14 + 5.45 8.55 < < 19.45

3.4 Pendugaan bagi Beda 2 Rata-rata dari data berpasangan (paired data) sampel- sampel kecil

Data berpasangan didapat dari 1 individu (yang relatif) sama yang dikenai 2 perlakuan.

Selang Kepercayaan 6:

Selang Kepercayaan sebesar (1-) bagi adalah:

d tsn

d tsndb

ddb

d

; / ; / 2 1 2 2

derajat bebas (db) = n-1

n : banyak pasangan datadi : x1i- x2i: selisih pasangan data ke-i untuk i = 1,2,3,...n d : rata-rata di

dd

ni

s d2 : ragam nilai d s

d dnd

i2

1

( )

s d : simpangan baku d s sd d 2


9

Contoh 7:Banyak produk rusak pada 2 shift diukur dari 4 karyawan.

Banyak Produk yang rusak Nama Shift Pagi

(x1)Shift malam (x2) di d (di -d ) (di -d )²

A 3 10 7 8 -1 1B 5 15 10 8 2 4C 4 9 5 8 -3 9D 2 12 10 8 2 4

di=32

(di -d )²=18

n = 4d

dn

i

324

8

sd d

ndi2

1

( )

183

6 dan s sd d 2 6 2 449. ...

Selang kepercayaan 99% untuk data berpasangan tersebut adalah:

Selang kepercayaan 99 % = 1 % /2 = 0.5 % = 0.005 db = n-1 = 4-1 = 3

Nilai t (db = 3; /2 = 0.005) = 5.841


10

d tsn

d tsndb

ddb

d

; / ; / 2 1 2 2

8 58412 449

48 5841

2 44941 2

.. ...

.. ...

8 7 15 8 7 151 2 . ... . ..

0 85 15151. .

4. Pendugaan Proporsi

Pengertian proporsi = proporsi populasip = proporsi "sukses" dalam sampel acak 1 - p = q = proporsi "gagal" dalam sampel acak

Misal : kelas "sukses" "menyukai seafood"kelas "gagal" "tidak menyukai seafood"

4.1 Pendugaan 1 Nilai Proporsi dari sampel besar Pendugaan Proporsi lebih lazim menggunakan sampel besar, jadi lebih lazim menggunakan Distribusi z.

Selang Kepercayaan 7:


p zp q

n p z

p qn

- < < + 2 2

ingat 1 - p = q


11

Ukuran Sampel untuk pendugaan proporsi Ukuran Sampel pada Selang Kepercayaan (1-) dengan Error (galat) maksimal= E

nz p q

E

/22

2

n di ceiling!

n : ukuran sampelE : error selisih p dengan

Contoh 8:Dari suatu sampel acak 500 orang diketahui bahwa 160 orang menyukai makan seafood.

a. Tentukan selang kepercayaan 95 % bagi proporsi populasi yang menyukai seafood!!!


= 160/500 = 0.32 = 1 - = 0.68

p zp q

n p z

p qn

- < < + 2 2

0.32 - < < 0.32 + 1 960 32 0 68

5001 96

0 32 0 68500

... .

... .

0.28 < < 0.36

b. Berapa ukuran sampel agar kita dapat percaya 95 % dan Error maksimal = 2%

nz p q

E

/22

2

=

196 0 32 0 680 02

2

2

. . ..

= 2089.8304 = 2090


12

4.2. Pendugaan Beda 2 Proporsi dari sampel-sampel besar


Selang Kepercayaan sebesar (1-) bagi 1 2 adalah :

p pp q

np q

np p

p qn

p qn1 2 1 2- - z

< - < - + z

2 2

1 1

1

2 2

21 2

1 1

1

2 2

2

Contoh 9:Dari 1000 penduduk Jakarta, 700 menyetujui berlakunya aturan lalulintas baru ( p1 =0.70)Dari 800 penduduk Surabaya, hanya 200 yang tidak menyetujui aturan lalulintas baru (q2 0 25 . )

Tentukan selang kepercayaan 90 % bagi beda proporsi penduduk Jakarta dan Surabaya yang menyetujui berlakunya aturan lalulintas baru!!!

kelas "sukses" = menyetujui berlakunya aturan lalulintas baru!!!p1 = 0.70 q p1 11 = 1 - 0.70 = 0.30

p q2 21 = 1 - 0.25 = 0.75p p1 2 = 0.70 - 0.75 = 0.05

Selang kepercayaan 90 % = 10 % /2 = 5 %

p pp q

np q

np p

p qn

p qn1 2 1 2- - z

< - < - + z

2 2

1 1

1

2 2

21 2

1 1

1

2 2

2

0 051000 800

0 051000 8001 2. . - 1.645

0.7 0.3 0.75 0.25 < - < + 1.645

0.7 0.3 0.75 0.25

0 05 0 051 2. . - (1.645 0.02108...) < - < + (1.645 0.02108...)

0 05 0 051 2. . - 0.03467... < - < + 0.03467...

0.01532... < - < 0.08467... 1 2

selesai


13

Pendugaan parameter

Education

Transcript of Pendugaan parameter