PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam...

140
i PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI DENGAN KONDISI ADANYA PENCILAN Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika Oleh : Petronela Yuni Iswari NIM: 133114001 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2017 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Transcript of PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam...

Page 1: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

i

PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA

POPULASI DENGAN KONDISI ADANYA PENCILAN

Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Oleh :

Petronela Yuni Iswari

NIM: 133114001

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2017

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 2: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

ii

ON THE ESTIMATION OF POPULATION MEAN

CONFIDENCE INTERVAL IN THE PRESENCE OF

OUTLIERS

A Thesis

Presented as a Partial Fulfillment of the Requirements

to Obtain the Degree of Sarjana Sains

Mathematics Study Program

Written by :

Petronela Yuni Iswari

Student Number: 133114001

MATHEMATICS STUDY PROGRAM

DEPARTMENT OF MATHEMATICS

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2017

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 3: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

iii

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 4: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

iv

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 5: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

v

HALAMAN PERSEMBAHAN

Skripsi ini dipersembahkan untuk:

Tuhan Yesus Kristus dan Bunda Maria yang senantiasa menyertai, memberikan

berkat-Nya, dan memberi perlindungan sepanjang perjalanan hidup saya.

Kedua orangtua, Bapak Hendricus Bagyo dan Ibu Margaretta Istikomah, S.Pd, serta

kakak Heribertus Henta Nooristyanto, S.T yang selalu mendokan, memberi kasih

sayang, serta menjadi penyemangat dalam hidup saya.

“Aku tahu, bahwa Engkau sanggup melakukan segala sesuatu, dan tidak ada

rencana-Mu yang gagal.” (Ayub 42:2)

“Banyaklah rancangan di hati manusia, tetapi keputusan Tuhanlah yang

terlaksana.” (Amsal 19:21)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 6: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

vi

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 7: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

vii

ABSTRAK

Pencilan adalah nilai ekstrim yang muncul di dalam suatu analisis data. Adanya

pencilan dapat mengakibatkan bias kesimpulan atas hasil analisis. Untuk

mendeteksi pencilan digunakan metode grafis, Boxplot, Uji Grubbs, dan Uji MAD.

Penulisan skripsi ini bertujuan untuk menduga selang kepercayaan rata-rata

populasi dengan kondisi adanya pencilan. Untuk menyimpulkan hasil analisis pada

data yang memuat pencilan digunakan statistik robust (kekar) yang menghasilkan

kesimpulan data tetap akurat meskipun dalam keadaan yang tidak ideal. Statistik

robust yang digunakan adalah penduga median (Fraiman, et al) dan penduga 𝑀

(penduga Huber). Dalam skripsi ini digunakan empat metode selang kepercayaan,

yaitu metode selang kepercayaan dengan penduga rata-rata, median (Kendall and

Stuart), median (Fraiman, et al), dan penduga Huber. Selang kepercayaan robust

dengan simulasi data acak diperoleh dari distribusi Normal, Cauchy, dan Chi-

Square dengan ukuran 𝑛 = 10, 50, 100, dan 500 untuk setiap distribusi. Hasil

simulasi menunjukkan bahwa selang kepercayaan robust bagi parameter lokasi

dengan penduga median (Fraiman, et al) dan penduga Huber adalah selang

kepercayaan robust yang insensitif terhadap adanya pencilan. Hal ini disebabkan

karena hasil dari standard error (galat standar) dan lebar selang kepercayaan yang

tetap, meskipun nilai pencilan semakin besar untuk setiap ukuran sampel yang

diberikan.

Kata Kunci: Pencilan, Pendeteksian Pencilan, Statistik Robust, Penduga Robust,

Selang Kepercayaan Robust.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 8: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

viii

ABSTRACT

An outlier is an extreme value which is appeared in data analysis. The presence of

outliers will affect to the bias conclusion of analytical results. Graphical method,

Boxplot, Grubbs Test, and MAD Test can be applied to detect the presence of

outliers. The purpose of this thesis is to estimate the population mean confidence

interval in the presence of outliers. To summarize the results of the analysis on the

data contains the outliers, robust statistics is used so that the result in the conclusion

of the data remains accurate although it is not ideal. Robust statistics for location

parameters which were used are median estimators (Fraiman, et al) and M

estimators (Huber estimators). We apply four confidence interval methods that are

confidence interval method for mean estimators, median estimators (Kendall and

Stuart), median estimators (Fraiman, et al), and Huber estimators. Robust

confidence interval with random data simulation was obtained from Normal,

Cauchy, and Chi-Square distributions of sample sizes 𝑛 = 10, 50, 100, and 500 for

each distributions. From the simulation, robust confidence interval for location

parameters with the median estimators (Fraiman, et al) and Huber estimators were

insensitive robust confidence interval to the presence of outliers while two others

were sensitive. It is due to the value of the standard error and the width of the

confidence interval which remains constant although the value of the outlier

becomes bigger for each sample size.

Keywords: Outlier, Detection of Outlier, Robust Statistics, Robust Estimators,

Robust Confidence Intervals.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 9: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

ix

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 10: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

x

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus yang selalu

mencurahkan rahmat dan Roh KudusNya sehingga penulis mampu mengerjakan

dan menyelesaikan skripsi ini dengan baik. Skripsi ini dibuat dengan tujuan

memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan

memperoleh gelar Sarjana Sains (S.Si.) pada Program Studi Matematika, Fakultas

Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

Penulis menyadari bahwa proses penulisan skripsi ini melibatkan banyak

pihak untuk membantu dalam menghadapi berbagai macam tantangan, kesulitan

dan hambatan selama proses penulisan skripsi. Oleh karena itu, pada kesempatan

ini penulis mengucapkan terima kasih kepada:

1. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku dosen pembimbing skripsi

yang telah meluangkan waktu, tenaga, dan pikiran, serta dengan penuh

kesabaran telah memberikan masukan, nasihat dan arahan kepada

penulis.

2. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selaku Dekan

Fakultas Sains dan Teknologi.

3. Bapak YG. Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D., selaku Kaprodi Matematika.

4. Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Si., selaku Wakaprodi Matematika

dan Dosen Pembimbing Akademik angkatan 2013.

5. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, S.J., Bapak Dr. rer. nat. Herry P.

Suryawan, S.Si., M.Si., Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., Bapak

Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., Bapak YG. Hartono, S.Si.,

M.Sc., Ph.D., Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Si., dan Ibu Lusia

Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si., selaku dosen Prodi Matematika yang

telah memberikan banyak pengetahuan dan pengalaman kepada penulis

selama proses perkuliahan.

6. Perpustakaan Universitas Sanata Dharma dan Bapak/Ibu

dosen/karyawan Fakultas Sains dan Teknologi yang telah banyak

membantu selama penulis berkuliah.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 11: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

xi

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 12: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

xii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ...........................................................................................i

HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ........................................ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .................................................iii

HALAMAN PENGESAHAN .............................................................................iv

HALAMAN PERSEMBAHAN .........................................................................v

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA .............................................................vi

ABSTRAK ..........................................................................................................vii

ABSTRACK .......................................................................................................viii

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN ...................................................ix

KATA PENGANTAR ........................................................................................x

DAFTAR ISI .......................................................................................................xii

DAFTAR TABEL ...............................................................................................xvi

DAFTAR GAMBAR ..........................................................................................xvii

BAB I PENDAHULUAN ...................................................................................1

A. Latar Belakang ....................................................................................1

B. Rumusan Masalah ..............................................................................2

C. Pembatasan Masalah...........................................................................3

D. Tujuan Penulisan ................................................................................3

E. Manfaat Penulisan ..............................................................................4

F. Metode Penulisan ...............................................................................4

G. Sistematika Penulisan .........................................................................4

BAB II PENDUGAAN PARAMETER ..............................................................6

A. Statistika .............................................................................................6

B. Distribusi Probabilitas ........................................................................11

1. Variabel Acak ..............................................................................11

2. Fungsi Probabilitas bagi Variabel Acak .......................................12

3. Fungsi Distribusi Kumulatif .........................................................14

4. Karakteristik Distribusi Probabilitas ............................................14

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 13: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

xiii

C. Distribusi Sampling ............................................................................30

1. Teorema Limit Pusat ....................................................................30

2. Distribusi 𝑡 ....................................................................................32

D. Pendugaan Parameter .........................................................................33

1. Pendugaan (Estimasi) ...................................................................33

2. Macam-macam Pendugaan Parameter..........................................34

E. Konsistensi Penduga ...........................................................................45

F. Metode Kemungkinan Maksimum .....................................................47

G. Pencilan ..............................................................................................51

1. Definisi Pencilan ..........................................................................51

2. Pengaruh Pencilan ........................................................................55

3. Pendeteksian Pencilan ..................................................................56

BAB III SELANG KEPERCAYAAN ROBUST ................................................69

A. Statistik Robust ...................................................................................69

B. Pengujian Robustness .........................................................................70

C. Penduga 𝑀 (Penduga Huber) .............................................................75

D. MAD (Median Absolute Deviation) ...................................................79

E. Selang Kepercayaan Robust bagi Parameter Lokasi ..........................82

BAB IV SELANG KEPERCAYAAN ROBUST DENGAN SIMULASI DATA

ACAK ...................................................................................................85

BAB V PENUTUP ..............................................................................................89

A. Kesimpulan .........................................................................................89

B. Saran ...................................................................................................90

DAFTAR PUSTAKA .........................................................................................92

LAMPIRAN ........................................................................................................94

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 14: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

xiv

DAFTAR TABEL

Tabel 2.1 Fungsi probabilitas banyaknya laptop yang rusak ............................... 13

Tabel 2.2 Nilai harapan dan galat standar beberapa penduga titik ....................... 38

Tabel 2.3 Banyaknya barang yang terjual dan harga barang ................................ 52

Tabel 2.4 Produksi hasil hutan rimba (kayu pertukangan) menurut jenisnya di

provinsi D. I. Yogyakarta ................................................................... 53

Tabel 2.5 Jumlah wisatawan yang masuk melalui pintu Makassar ...................... 56

Tabel 2.6 Durasi (dalam menit) periode aktif dari Geyser Old Faithful ............. 61

Tabel 2.7 Ketebalan lapisan oksida bagi silicon wafers ....................................... 63

Tabel 2.8 Data Boiler ........................................................................................... 66

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 15: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

xv

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Fungsi probabilitas Normal ............................................................. 24

Gambar 2.2 Distribusi nilai dugaan ..................................................................... 35

Gambar 2.3 Distribusi sampling untuk penduga titik bias positif ....................... 35

Gambar 2.4 Fungsi probabilitas bagi 𝑈 ............................................................... 42

Gambar 2.5 Letak −𝑧𝛼 2⁄ dan 𝑧𝛼 2⁄ ...................................................................... 44

Gambar 2.6 Harga barang terhadap banyaknya barang yang terjual ................... 53

Gambar 2.7 Produksi hasil hutan rimba terhadap waktu ..................................... 54

Gambar 2.8 Scatter-plot jumlah wisman dan pengunjung asing ......................... 57

Gambar 2.9 Anatomi dari Boxplot ....................................................................... 60

Gambar 2.10 Boxplot contoh 2.29 ....................................................................... 61

Gambar 2.11 Perbandingan boxplot untuk data ketebalan lapisan oksida .......... 64

Gambar 3.1 Kurva sensitivitas untuk rata-rata .................................................... 72

Gambar 3.2 Kurva sensitivitas untuk median ...................................................... 73

Gambar 3.3 Kurva sensitivitas untuk median contoh 3.4 .................................... 74

Gambar 3.4 (a) Fungsi tujuan, 𝜌(𝑥; 𝑡) = (𝑥 − 𝑡)2 ............................................. 76

(b) Fungsi 𝜓,𝜓(𝑥; 𝑡) = 𝑥 − 𝑡.......................................................... 77

Gambar 3.5 Pendugaan dengan fungsi tujuan mutlak residual. (a) Fungsi tujuan,

𝜌(𝑥; 𝑡) = |𝑥 − 𝑡|; (b) Fungsi 𝜓, 𝜓(𝑥; 𝑡) = sgn(𝑥 − 𝑡) .................. 79

Gambar 3.6 Hasil pendeteksian uji MAD ........................................................... 80

Gambar 3.7 (a) Kurva sensitivitas untuk MAD .................................................. 81

(b) Kurva sensitivitas untuk standar deviasi .................................... 82

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 16: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Pendugaan sering muncul di lingkungan sekitar dalam kehidupan sehari-

hari yang tidak dapat dihindari. Permasalahan yang sering terjadi adalah

bagaimana dugaan tersebut dapat mendekati kebenaran. Terdapat dua jenis

pendugaan, yaitu pendugaan titik dan pendugaan selang. Pendugaan titik

adalah penentuan suatu nilai tunggal berdasarkan atas sampel yang dengan baik

menduga parameter sasaran, sedangkan pendugaan selang adalah penentuan

batas-batas selang nilai, yang disebut batas atas (𝜃𝑈) dan batas bawah (𝜃𝐿).

Batas-batas itu dihitung berdasarkan pengukuran sampel dan hasilnya

mempunyai peluang tertentu yang memuat parameter sasaran (Wackerly, et al,

2008: 391). Peluang tersebut disebut tingkat kepercayaan. Tingkat kepercayaan

itu sering dinyatakan dengan persen (%) dan memuat parameter tertentu (𝜃)

yang disebut koefisien kepercayaan. Selang yang dihasilkan dengan tingkat

kepercayaan tertentu disebut selang kepercayaan. Bentuk selang kepercayaan

yang sering digunakan adalah

𝑷(𝜃𝐿 < 𝜃 < 𝜃𝑈) = 1 − 𝛼, 0 < 𝛼 < 1,

dengan 1 − 𝛼 adalah koefisien kepercayaan dan 𝜃𝐿 < 𝜃 < 𝜃𝑈 adalah selang

kepercayaan.

Pada umumnya bentuk selang kepercayaan (1 − 𝛼)100% bagi 𝜇 adalah

�̅� − 𝑧𝛼 2⁄ ∙𝜎

√𝑛< 𝜇 < �̅� + 𝑧𝛼 2⁄ ∙

𝜎

√𝑛

dengan 𝜎 adalah standar deviasi populasi yang diketahui dan 𝑧𝛼 2⁄ adalah

kuartil ke (𝛼 2⁄ ) dari distribusi Normal standar 𝑍 dengan 𝑛 ≥ 30 menurut

Teorema Limit Pusat.

Suatu pendugaan yang dilakukan tidak tertutup kemungkinan akan

terjadi kesalahan (error). Kondisi tersebut kerap kali dipengaruhi oleh adanya

pencilan (outlier) yang dapat mengganggu proses analisis data, sehingga

pendeteksian pencilan sangat penting untuk dilakukan. Pencilan (outlier)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 17: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

2

adalah data yang memiliki perbedaan cukup ekstrim bila dibandingkan dengan

data lainnya (Barnett, 1978: v). Pengaruh pencilan pada proses analisis data,

salah satunya adalah terhadap nilai rata-rata dan standar deviasi. Adanya

pencilan dapat menunjukkan kesalahan pengukuran dalam distribusi data, serta

dapat menyebabkan variansi data menjadi besar, selang data menjadi lebar, dan

rata-rata tidak dapat menunjukkan nilai yang sebenarnya (bias). Oleh karena

itu, akan lebih baik jika pencilan dihapuskan supaya tidak ada kejanggalan

dalam analisis data, tetapi diupayakan terlebih dahulu untuk menyelidiki

penyebab adanya pencilan. Di sisi lain, adakalanya pencilan tidak dapat

dihapuskan begitu saja karena pencilan dapat memberikan suatu informasi

yang tidak dapat diberikan oleh data lainnya.

Skripsi ini akan membahas tentang selang kepercayaan yang robust

(kekar). Sifat robust (kekar) sendiri memiliki kinerja yang baik dalam

menghasilkan pendugaan yang dapat mencapai kebenaran yang memuaskan

dengan selang kepercayaan yang cenderung lebih sempit. Kata “robust”

(kekar) seringkali muncul di dalam proses analisis data yang menginginkan

pencilan tetap ada, namun tidak menyebabkan adanya kejanggalan. Dengan

demikian, akan diperoleh selang kepercayaan baru yang menjadikan selang

kepercayaan dapat tetap kekar untuk digunakan dalam pendugaan rata-rata

populasi. Akan diperkenalkan selang kepercayaan robust bagi parameter lokasi

dengan penduga median dan penduga Huber. Selang kepercayaan robust bagi

parameter lokasi dengan penduga Median dibedakan menjadi dua berdasarkan

galat standar yang diberikan oleh Fraiman, et al (2001) dengan Kendall dan

Stuart (2001).

B. Rumusan Masalah

Perumusan masalah yang akan dibicarakan pada skripsi ini adalah:

1. Bagaimana cara mengetahui data yang mengandung pencilan?

2. Apa pengaruh pencilan dalam pendugaan selang kepercayaan rata-rata

populasi?

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 18: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

3

3. Bagaimana penduga robust (kekar) dapat membuat selang kepercayaan

menjadi lebih baik dengan adanya pencilan?

4. Bagaimana perbandingan selang kepercayaan yang robust dengan selang

kepercayaan yang biasa?

C. Pembatasan Masalah

Penulis akan membatasi penulisan agar menjadi lebih terarah dan tidak

menyimpang dari masalah yang akan dibahas, yaitu:

1. Data yang digunakan dalam penulisan hanyalah data yang mengandung

pencilan univariat.

2. Metode yang digunakan dalam pengujian sifat robust yang dimiliki oleh

suatu penduga hanya dengan menggunakan kurva sensitivitas.

3. Penulis hanya menggunakan dua penduga robust dengan menggunakan

penduga median (Fraiman, et al) dan penduga M (Huber) bagi parameter

lokasi.

4. Galat standar dan lebar selang yang dihasilkan dari selang kepercayaan

bagi suatu penduga akan dibandingkan dengan galat standar dan lebar

selang yang dihasilkan dari selang kepercayaan bagi penduga lainnya.

D. Tujuan Penulisan

Tujuan yang ingin dicapai penulis, selain untuk memenuhi syarat skripsi

dalam Program Studi Matematika Universitas Sanata Dharma, juga untuk:

1. Mengetahui penduga robust dalam menduga parameter lokasi untuk data

yang memuat pencilan.

2. Mengetahui seberapa robust (kekar) selang kepercayaan yang terbentuk

dari suatu data yang memuat pencilan.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 19: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

4

E. Manfaat Penulisan

Manfaat dari penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut:

1. Penulis memperoleh pengetahuan baru selama mengerjakan tulisan ini.

2. Pembaca mendapat gambaran tentang pendugaan selang kepercayaan

bagi rata-rata populasi dengan kondisi adanya pencilan di dalam suatu

data.

3. Skripsi ini dapat dijadikan referensi bagi penganalisis lain.

F. Metode Penulisan

Metode penulisan yang digunakan penulis dalam penulisan skripsi ini

adalah metode studi pustaka, yaitu dengan membaca dan mempelajari buku-

buku atau jurnal yang berkaitan dengan pendugaan selang kepercayaan rata-

rata populasi, pencilan, serta sifat robust (kekar) dari selang kepercayaan.

G. Sistematika Penulisan

Skripsi ini ditulis menggunakan sistematika berikut:

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

B. Rumusan Masalah

C. Batasan Masalah

D. Tujuan Penulisan

E. Manfaat Penulisan

F. Metode Penulisan

G. Sistematika Penulisan

BAB II PENDUGAAN PARAMETER

A. Statistika

B. Distribusi Probabilitas

C. Distribusi Sampling

D. Pendugaan Parameter

E. Konsistensi Penduga

F. Metode Kemungkinan Maksimum

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 20: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

5

G. Pencilan

BAB III SELANG KEPERCAYAAN ROBUST

A. Statistik Robust

B. Pengujian Robustness

C. Penduga M

D. MAD (Median Absolute Deviation)

E. Selang Kepercayaan yang Robust bagi Parameter Lokasi

BAB IV SELANG KEPERCAYAAN ROBUST DENGAN SIMULASI

DATA ACAK

BAB V PENUTUP

A. Kesimpulan

B. Saran

DAFTAR PUSTAKA

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 21: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

6

BAB II

PENDUGAAN PARAMETER

A. Statistika

Teknik statistik hampir digunakan dalam setiap fase kehidupan banyak

orang di berbagai bidang. Contohnya, para ahli ekonomi yang mengamati

berbagai indeks kesehatan ekonomi selama periode waktu dan menggunakan

informasi tersebut untuk meramalkan kondisi ekonomi di masa depan, serta

pelaksanaan survey yang dirancang untuk mengumpulkan data pada hari

pemilihan dan meramalkan hasil pemilu.

Definisi dari statistika sendiri muncul dari para statistikawan. Stuart dan

Ord (1991) menyatakan: "Statistika adalah cabang dari metode ilmiah yang

berkaitan dengan data yang diperoleh dengan menghitung atau mengukur sifat

dari populasi. Rice (1995) dalam komentarnya mengenai eksperimen dan

aplikasi dalam statistika, menyatakan bahwa statistika pada dasarnya berkaitan

dengan prosedur untuk menganalisis data, terutama data yang memiliki karakter

acak. Freund dan Walpole (1987) menyatakan statistika adalah ilmu yang

mendasarkan kesimpulan pada data yang diamati dan seluruh masalah dalam

membuat keputusan dalam menghadapi ketidakpastian. Mood, Graybill, dan

Boes (1974) mendefinisikan statistika sebagai teknologi dari metode ilmiah dan

menambahkan bahwa statistika berkaitan dengan desain eksperimen dan

penyelidikan, serta statistika inferensi. Dari beberapa definisi tersebut dapat

disimpulkan bahwa statistika adalah sekumpulan metode untuk merencanakan

eksperimen, mengumpulkan data, menganalisis, menafsirkan dan mengambil

kesimpulan berdasarkan data.

Pengambilan sampel dari populasi yang akan diteliti diperlukan untuk

mengambil kesimpulan.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 22: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

7

Definisi 2.1

Populasi adalah kumpulan yang lengkap dari semua elemen (nilai, orang, benda,

hasil, dan lain-lain) yang menjadi pusat perhatian untuk dipelajari dan diteliti.

Lengkap berarti mencakup semua obyek yang akan diambil kesimpulannya.

Banyaknya observasi dalam populasi didefinisikan sebagai ukuran

populasi. Di bidang statistika inferensi, statistik tertarik pada kesimpulan

mengenai populasi bila tidak memungkinkan untuk mengamati seluruh

pengamatan yang membentuk populasi. Misalnya, dalam upaya untuk

menentukan rata-rata hidup dari suatu lampu merk tertentu. Hal ini tidak

mungkin untuk menguji semua lampu. Biaya yang terlalu tinggi juga bisa

menjadi faktor penghalang dalam mengamati seluruh populasi. Oleh karena itu,

pengamatan bergantung pada bagian dari populasi, yang disebut sampel, untuk

membantu memperoleh kesimpulan tentang populasi yang diamati berdasarkan

informasi yang terdapat di dalam sampel .

Definisi 2.2

Sampel adalah himpunan bagian dari populasi yang menjadi perhatian kita.

Jika menginginkan kesimpulan yang valid, maka harus didapatkan sampel

yang mewakili populasi. Oleh karena itu, diperlukan pemilihan sampel secara

acak, yaitu setiap individu dalam populasi mempunyai peluang tertentu untuk

dipilih sebagai anggota sampel. Tujuan utama dalam memilih sampel secara

acak adalah untuk memperoleh informasi tentang parameter populasi yang tidak

diketahui.

Definisi 2.3

Parameter adalah karakteristik dari populasi yang biasa dinyatakan dalam suatu

nilai/konstanta.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 23: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

8

Secara umum, parameter dilambangkan dengan 𝜃. Parameter 𝜃 dapat

berupa rata-rata µ, variansi 𝜎2 dan proporsi 𝑝. Parameter dibagi menjadi dua

bagian, yaitu parameter lokasi dan parameter skala yang definisi eksaknya akan

dibahas kemudian pada Definisi 2.15 dan Definisi 2.18. Parameter lokasi

dirancang untuk memenuhi analisis dengan banyaknya nilai pada data yang

berada di pusat. Contohnya adalah rata-rata µ dan median. Sedangkan parameter

skala dirancang untuk mengetahui penyebaran data analisis. Contoh dari

parameter skala adalah variansi 𝜎2 dan standar deviasi 𝜎.

Definisi 2.4

Statistik adalah fungsi dari variabel-variabel acak yang diamati dalam sampel

dan dinyatakan dalam suatu bilangan.

Ada beberapa contoh statistik, yaitu rata-rata sampel �̅�, standar deviasi sampel

𝑠, dan proporsi sampel �̂�. Parameter 𝜇, 𝜎2 dan 𝑝 adalah parameter yang nilainya

sama sekali tidak terpengaruh atau dipengaruhi oleh pengamatan sampel acak.

Statistik yang paling umum digunakan adalah mean (rata-rata), median (nilai

tengah) dan modus.

Definisi 2.5

Misalkan pengamatan di dalam sampel berukuran 𝑛 adalah 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛.

Rata-rata sampel dilambangkan dengan �̅� yang didefinisikan sebagai

�̅� =𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛

𝑛=∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=1

𝑛.

Definisi 2.6

Diberikan pengamatan sampel 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛. Sampel disusun dari data yang

nilainya terkecil hingga data yang nilainya terbesar, maka nilai tengah (median)

sampel adalah:

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 24: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

9

�̃� = {

𝑥(𝑛+1)/2 , jika 𝑛 bilangan ganjil,

1

2(𝑥𝑛/2 + 𝑥𝑛

2+1) , jika 𝑛 bilangan genap,

dengan 𝑥(𝑛+1)/2 adalah pengamatan ke- (𝑛 + 1)/2 dari variabel acak 𝑋.

Definisi 2.7

Modus sampel adalah nilai dari sampel yang paling sering muncul atau memiliki

frekuensi yang paling besar.

Ukuran variasi yang lebih umum digunakan dalam statistika adalah variansi

yang merupakan fungsi deviasi (atau jarak) ukuran sampel dari rata-ratanya.

Definisi 2.8

Variansi dari sampel berukuran 𝑛, diberikan sebagai berikut

𝑠2 =∑ (𝑥𝑖 − �̅�)

2𝑛𝑖=1

𝑛 − 1.

Variansi populasi yang sesuai, dilambangkan dengan 𝜎2.

Definisi 2.9

Standar deviasi dari sampel berukuran 𝑛 adalah akar kuadrat positif dari variansi

yang diberikan sebagai berikut

𝑠 = √𝑠2.

Standar deviasi populasi yang sesuai, dilambangkan dengan 𝜎 = √𝜎2.

Contoh 2.1

Dari hasil penelitian mengenai nilai ujian matematika dari 50 mahasiswa

diperoleh data sebagai berikut:

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 25: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

10

Carilah rata-rata, median, modus, variansi serta standar deviasi dari sampel

penelitian tersebut.

Solusi:

Rata-rata Sampel

�̅� =∑ 𝑥𝑖50𝑖=1

50=3292

50= 65.8.

Median Sampel

Data penelitian yang sudah urut adalah sebagai berikut:

sehingga diperoleh,

�̃� =1

2(𝑥25 + 𝑥26) =

1

2(67 + 68) = 67.5.

Modus Sampel

Nilai yang sering muncul dalam pengamatan sampel adalah 74, yaitu sebanyak

empat kali. Oleh karena itu, modus sampel dari pengamatan adalah 74.

Variansi Sampel

𝑠2 =∑ (𝑥𝑖 − 65.8)

250𝑖=1

49=19080.04

49= 389.3886.

42 74 68 54 78 57 83 71 41 89

64 50 76 100 90 74 59 89 98 23

84 64 90 95 33 45 71 87 66 67

57 78 62 38 79 65 87 67 42 74

71 50 34 57 90 69 59 23 74 34

23 23 33 33 34 38 41 42 42 45

50 50 54 57 57 57 59 59 62 64

64 65 66 67 67 68 69 71 71 71

74 74 74 74 76 78 78 79 83 84

87 87 89 89 90 90 90 95 98 100

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 26: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

11

Standar Deviasi Sampel

𝑠 = √389.3886 = 19.73.

B. Distribusi Probabilitas

1. Variabel Acak

Definisi 2.10

Variabel acak adalah fungsi bernilai bilangan real yang domainnya adalah

ruang sampel.

Variabel acak dinotasikan dengan huruf kapital dan nilainya

dinotasikan dengan huruf kecil. Misalkan 𝑋 menyatakan variabel acak,

maka nilai dari 𝑋 adalah 𝑥.

Definisi 2.11

Variabel acak 𝑋 dikatakan variabel acak diskrit jika himpunan dari

kemungkinan hasilnya adalah terbilang. Jika hal ini tidak terpenuhi, maka

variabel acak 𝑋 disebut variabel acak kontinu.

Contoh 2.2

Para statistikawan menggunakan perencanaan pengambilan sampel untuk

menerima atau menolak sekumpulan barang. Misalnya, salah satu rencana

pengambilan sampel yaitu sampel diambil secara acak sebanyak 10 dari

100 barang. Dari 100 barang tersebut terdapat 12 barang yang rusak.

Misalkan 𝑋 adalah variabel acak yang didefinisikan sebagai banyaknya

barang yang ditemukan rusak dalam sampel dari 10 barang. Dalam hal ini,

variabel acak bernilai 0,1,2, . . . ,9,10.

Contoh 2.3

Pusat survey melakukan percobaan dengan mengirimkan surat pada para

responden dan melihat proporsi responden dalam merespon surat tersebut.

Misalkan 𝑋 adalah variabel acak yang didefinisikan sebagai proporsi

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 27: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

12

responden. 𝑋 akan memuat semua nilai 𝑥 dalam selang

0 ≤ 𝑥 ≤ 1.

2. Fungsi Probabilitas bagi Variabel Acak

Fungsi probabilitas dibagi menjadi dua macam, yaitu fungsi

probabilitas diskrit dan kontinu.

a. Fungsi Probabilitas Diskrit

Definisi 2.12

Himpunan pasangan terurut (𝑥, 𝑝(𝑥)) adalah suatu fungsi

probabilitas, atau distribusi probabilitas dari suatu variabel acak

diskrit 𝑋, jika

1. 0 ≤ 𝑝(𝑥) ≤ 1 untuk setiap 𝑥,

2. ∑ 𝑝(𝑥)𝑥 = 1,

3. 𝑃(𝑋 = 𝑥) = 𝑝(𝑥).

Contoh 2.4

Pengiriman 20 laptop ke toko pengecer berisi 3 yang rusak. Apabila

ada sekolah yang membeli laptop secara acak sebanyak 2 laptop,

temukanlah distribusi probabilitas untuk banyaknya laptop yang

rusak.

Solusi:

Misalkan 𝑋 adalah variabel acak yang nilainya 𝑥, yaitu kemungkinan

banyaknya laptop rusak yang dibeli oleh sekolah. Kemudian 𝑥 hanya

dapat berisi nilai 0,1, dan 2, sehingga diperoleh

𝑝(0) = 𝑃(𝑋 = 0) =(30)(17

2)

(202)

=136

190,

𝑝(1) = 𝑃(𝑋 = 1) =(31)(17

1)

(202)

=51

190,

𝑝(2) = 𝑃(𝑋 = 2) =(32)(17

0)

(202)

=3

190.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 28: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

13

Tabel 2.1. Fungsi probabilitas banyaknya laptop yang rusak

b. Fungsi Probabilitas Kontinu

Definisi 2.13

Fungsi 𝑓(𝑥) adalah fungsi probabilitas untuk variabel acak kontinu

𝑋, jika

1. 𝑓(𝑥) ≥ 0, untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑅,

2. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1∞

−∞,

3. 𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎.

Contoh 2.5

Misalkan suhu dalam ℃ yang diuji dalam pengontrolan laboratorium

adalah suatu variabel acak kontinu 𝑋 yang mempunyai fungsi

probabilitas

𝑓(𝑥) = {𝑥2

3 , 𝑑𝑎𝑛 − 1 < 𝑥 < 2,

0 , lainnya.

a) Periksalah bahwa 𝑓(𝑥) adalah fungsi probabilitas.

b) Temukan 𝑃(0 < 𝑋 ≤ 1).

Solusi:

a) Dengan jelas, 𝑓(𝑥) ≥ 0.

Untuk memeriksa syarat kedua dalam Definisi 2.13, diperoleh

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑥2

3

2

−1𝑑𝑥 =

𝑥3

9| 2−1= 1

−∞.

b) 𝑃(0 < 𝑋 ≤ 1) = ∫𝑥2

3

1

0𝑑𝑥 =

𝑥3

9| 10=

1

9.

𝑥 0 1 2

𝑝(𝑥) 136

190 51

190

3

190

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 29: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

14

3. Fungsi Distribusi Kumulatif

Definisi 2.14

Fungsi distribusi kumulatif 𝐹(𝑥) dari variabel acak 𝑋 dengan fungsi

probabilitas 𝑝(𝑥) adalah

𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) =

{

∑ 𝑝(𝑡)

∀𝑡≤𝑥

, 𝑑𝑎𝑛jika 𝑋 diskrit

∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑥

−∞

, 𝑑𝑎𝑛jika 𝑋 kontinu

4. Karakteristik Distribusi Probabilitas

Distribusi probabilitas suatu variabel acak dicirikan dengan

parameter lokasi dan parameter skala.

Definisi 2.15

Misalkan 𝑓(𝑥; 𝜃, 𝜆) adalah sembarang fungsi probabilitas suatu variabel

acak 𝑋. Parameter 𝜃 adalah parameter lokasi jika fungsi probabilitas dapat

ditulis sebagai fungsi dari 𝑥 − 𝜃; yaitu 𝑓(𝑥; 𝜃, 𝜆) = ℎ(𝑥 − 𝜃; 𝜆) untuk

setiap fungsi ℎ(∗; 𝜆) yang tidak bergantung pada 𝜃.

Contoh 2.6

Diberikan fungsi probabilitas sebagai berikut

𝑓(𝑥; 𝜇, 𝜎) =1

𝜎√2𝜋𝑒−(1/2) [(𝑥−𝜇)/𝜎]

2.

Misalkan 𝑦 = 𝑥 − 𝜇, maka fungsi 𝑓(𝑥; 𝜇, 𝜎) dapat ditulis sebagai

ℎ(𝑦; 𝜎) =1

𝜎√2𝜋𝑒−(1/2) [𝑦/𝜎]

2.

Dengan demikian, 𝜇 adalah parameter lokasi.

Contoh 2.7

Jika 𝑋~𝑁(0, 𝜃), maka 𝑋 − 𝜃~𝑁(−𝜃, 𝜃) mempunyai distribusi yang tidak

bebas dari 𝜃. Dengan demikian, 𝜃 adalah bukan parameter lokasi.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 30: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

15

Definisi 2.16

Misalkan 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 adalah variabel acak dari suatu distribusi dengan

fungsi probabilitas 𝑓(𝑥; 𝜇); 𝜇 ∈ Ω, Ω adalah ruang parameter. Penduga

𝑡(𝑥1, … , 𝑥𝑛) didefinisikan sebagai ekuivarian lokasi jika dan hanya jika

𝑡(𝑥1 + 𝑐,… , 𝑥𝑛 + 𝑐) = 𝑡(𝑥1, … , 𝑥𝑛) + 𝑐,

untuk semua nilai 𝑥1, … , 𝑥𝑛 dan sebuah konstanta 𝑐.

Dengan kata lain, penambahan konstanta 𝑐 pada variabel acak akan

menambah nilai dugaan sebesar 𝑐.

Definisi 2.17

Misalkan 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 adalah variabel acak dari suatu distribusi dengan

fungsi probabilitas 𝑓(𝑥; 𝜇); 𝜇 ∈ Ω, Ω adalah ruang parameter. Penduga

𝑡(𝑥1, … , 𝑥𝑛) didefinisikan sebagai invarian lokasi jika dan hanya jika

𝑡(𝑥1 + 𝑐,… , 𝑥𝑛 + 𝑐) = 𝑡(𝑥1, … , 𝑥𝑛),

untuk semua nilai 𝑥1, … , 𝑥𝑛 dan sebuah konstanta 𝑐.

Dengan kata lain, penambahan konstanta 𝑐 pada variabel acak tidak akan

mengubah nilai penduga.

Contoh 2.8

Apakah �̅� adalah penduga invarian atau ekuivarian lokasi?

Solusi:

Misalkan 𝑡(𝑥1, … , 𝑥𝑛) = �̅�.

Kemudian,

𝑡(𝑥1 + 𝑐,… , 𝑥𝑛 + 𝑐) =∑ (𝑥𝑖 + 𝑐)𝑛𝑖=1

𝑛

=∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=1 + 𝑛𝑐

𝑛

= �̅� + 𝑐

= 𝑡(𝑥1, … , 𝑥𝑛) + 𝑐.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 31: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

16

Oleh karena penambahan konstanta 𝑐 pada variabel acak akan menambah

nilai dugaan �̅� sebesar 𝑐, maka �̅� adalah penduga ekuivarian lokasi dan

tidak invarian.

Contoh 2.9

Apakah 𝑠2 adalah penduga invarian atau ekuivarian lokasi?

Solusi:

Misalkan 𝑡(𝑥1, … , 𝑥𝑛) = 𝑠2 =∑ (𝑥𝑖−(

∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=1𝑛

))

2

𝑛𝑖=1

𝑛−1.

Kemudian,

Oleh karena penambahan konstanta 𝑐 pada variabel acak tidak

mengalami perubahan nilai dugaan 𝑠2, maka 𝑠2 adalah penduga invarian

lokasi dan tidak ekuivarian.

Definisi 2.18

Misalkan 𝑓(𝑥; 𝜃) adalah sembarang fungsi probabilitas suatu variabel

acak 𝑋. Keluarga fungsi probabilitas 𝑓(𝑥/𝜃) 𝜃⁄ , untuk 𝜃 > 0, parameter

𝜃 adalah parameter skala bagi 𝑓(𝑥) jika dan hanya jika distribusi dari 𝑥 𝜃⁄

tidak bergantung pada 𝜃.

𝑡(𝑥1 + 𝑐,… , 𝑥𝑛 + 𝑐) =

∑ (𝑥𝑖 + 𝑐 − (∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=1 + 𝑐𝑛 ))

2

𝑛𝑖=1

𝑛 − 1

=∑ (𝑥𝑖 + 𝑐 − (�̅� + 𝑐))

2𝑛𝑖=1

𝑛 − 1

=∑ (𝑥𝑖 − �̅�)

2𝑛𝑖=1

𝑛 − 1

=

∑ (𝑥𝑖 − (∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=1

𝑛 ))

2

𝑛𝑖=1

𝑛 − 1

= 𝑠2

= 𝑡(𝑥1, … , 𝑥𝑛).

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 32: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

17

Contoh 2.10

Diberikan fungsi probabilitas sebagai berikut

𝑓(𝑥) =1

𝜃𝑒−(𝑥/𝜃).

Misalkan 𝑦 = 𝑥/𝜃, maka keluarga fungsi probabilitas 𝑓(𝑥/𝜃) 𝜃⁄ dapat

ditulis sebagai

𝑓(𝑦)

𝜃=1

𝜃𝑒−(𝑦)

𝑓(𝑦) = 𝑒−(𝑦), untuk 𝑦 > 0

Dengan demikian, 𝜃 adalah parameter skala.

Definisi 2.19

Misalkan 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 adalah variabel acak dari suatu distribusi dengan

fungsi probabilitas 𝑓(𝑥; 𝜇); 𝜇 ∈ Ω, Ω adalah ruang parameter. Penduga

𝑡(𝑥1, … , 𝑥𝑛) didefinisikan sebagai ekuivarian skala jika dan hanya jika

𝑡(𝑐𝑥1, … , 𝑐𝑥𝑛) = 𝑐𝑡(𝑥1, … , 𝑥𝑛),

untuk semua nilai 𝑥1, … , 𝑥𝑛 dan sebuah konstanta 𝑐 > 0.

Definisi 2.20

Misalkan 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 adalah variabel acak dari suatu distribusi dengan

fungsi probabilitas 𝑓(𝑥; 𝜇); 𝜇 ∈ Ω, Ω adalah ruang parameter. Penduga

𝑡(𝑥1, … , 𝑥𝑛) didefinisikan sebagai invarian skala jika dan hanya jika

𝑡(𝑐𝑥1, … , 𝑐𝑥𝑛) = 𝑡(𝑥1, … , 𝑥𝑛),

untuk semua nilai 𝑥1, … , 𝑥𝑛 dan sebuah konstanta 𝑐 > 0.

Dengan kata lain, penduga bersifat invarian terhadap skala jika nilainya

tidak mengalami perubahan dengan adanya perkalian dengan 𝑐.

Contoh 2.11

Apakah �̅� adalah penduga invarian atau ekuivarian terhadap skala?

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 33: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

18

Solusi:

Misalkan 𝑡(𝑥1, … , 𝑥𝑛) = �̅�.

Kemudian,

𝑡(𝑐𝑥1, … , 𝑐𝑥𝑛) =∑ 𝑐𝑥𝑖𝑛𝑖=1

𝑛

=𝑐 ∑ 𝑥𝑖

𝑛𝑖=1

𝑛

= 𝑐�̅�

= 𝑐𝑡(𝑥1, … , 𝑥𝑛).

Oleh karena penambahan konstanta 𝑐 pada variabel acak akan mengubah

nilai dugaan �̅�, maka �̅� adalah penduga ekuivarian terhadap skala dan tidak

invarian.

a. Nilai Harapan atau Rata-rata dari Variabel Acak

Definisi 2.21

Misalkan 𝑋 adalah variabel acak dengan fungsi probabilitas 𝑝(𝑥). Nilai

harapan atau rata-rata dari 𝑋 adalah

𝜇 = 𝐸(𝑋) =

{

∑𝑥𝑝(𝑥)

𝑥

, 𝑑𝑎𝑛jika 𝑋 diskrit

∫ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥∞

−∞

, 𝑑𝑎𝑛jika 𝑋 kontinu

Teorema 2.1

Diberikan 𝑎, 𝑏 suatu konstanta, 𝐸(𝑎𝑋 + 𝑏) = 𝑎𝐸(𝑋) + 𝑏.

Bukti:

Berdasarkan Definisi 2.21, diperoleh:

untuk variabel acak diskrit,

𝐸(𝑎𝑋 + 𝑏) =∑(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑝(𝑥)

𝑥

=∑(𝑎𝑥 𝑝(𝑥) + 𝑏 𝑝(𝑥))

𝑥

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 34: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

19

= 𝑎∑𝑥 𝑝(𝑥) + 𝑏∑𝑝(𝑥)

𝑥𝑥

= 𝑎𝐸(𝑋) + 𝑏.

Untuk variabel acak kontinu,

𝐸(𝑎𝑋 + 𝑏) = ∫ (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑓(𝑥)𝑑𝑥∞

−∞

= 𝑎∫ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥∞

−∞

+ 𝑏∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥∞

−∞

= 𝑎𝐸(𝑋) + 𝑏. ∎

Lemma 2.1

Diberikan 𝑎 = 0, maka 𝐸(𝑏) = 𝑏.

Bukti:

Untuk variabel acak diskrit,

𝐸(𝑏) = ∑ 𝑏𝑝(𝑥) = 𝑏∑ 𝑝(𝑥) = 𝑏(1) = 𝑏𝑥𝑥 .

Untuk variabel acak kontinu,

𝑥𝐸(𝑏) = ∫𝑏𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑏 ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑏. ∎

Lemma 2.2

Diberikan 𝑏 = 0, maka 𝐸(𝑎𝑋) = 𝑎𝐸(𝑋).

Bukti:

Untuk variabel acak diskrit,

𝐸(𝑎𝑋) = ∑ 𝑎𝑥𝑝(𝑥) = 𝑎∑ 𝑥𝑝(𝑥) = 𝑎𝐸(𝑋)𝑥𝑥 .

Untuk variabel acak kontinu,

𝐸(𝑎𝑋) = ∫𝑎𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑎 ∫ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑎𝐸(𝑋). ∎

Teorema 2.2

Misalkan 𝑋 adalah variabel acak dengan fungsi probabilitas 𝑝(𝑥) dan

𝑔1(𝑋), 𝑔2(𝑋),… , 𝑔𝑘(𝑋) adalah 𝑘 buah fungsi dari 𝑋; maka

𝐸[𝑔1(𝑋) + 𝑔2(𝑋) + ⋯+ 𝑔𝑘(𝑋)]

= 𝐸[𝑔1(𝑋)] + 𝐸[𝑔2(𝑋)] + ⋯+ 𝐸[𝑔𝑘(𝑋)].

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 35: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

20

Bukti:

Akan dibuktikan dengan 𝑘 = 2, tetapi langkah tetap sama untuk setiap 𝑘.

Menurut Definisi 2.21, diperoleh:

untuk 𝑋 diskrit,

𝐸[𝑔1(𝑋) + 𝑔2(𝑋)] =∑[𝑔1(𝑥) + 𝑔2(𝑥)]𝑝(𝑥)

𝑥

=∑𝑔1(𝑥)𝑝(𝑥) +

𝑥

∑𝑔2(𝑥)𝑝(𝑥)

𝑥

= 𝐸[𝑔1(𝑋)] + 𝐸[𝑔2(𝑋)].

Untuk 𝑋 kontinu,

𝐸[𝑔1(𝑋) + 𝑔2(𝑋)] = ∫ [𝑔1(𝑥) + 𝑔2(𝑥)]𝑝(𝑥)𝑑𝑥∞

−∞

= ∫ 𝑔1(𝑥)𝑓(𝑥)𝑑𝑥 +∞

−∞

∫ 𝑔2(𝑥)𝑓(𝑥)𝑑𝑥∞

−∞

= 𝐸[𝑔1(𝑥)] + 𝐸[𝑔2(𝑥)]. ∎

b. Variansi dari Variabel Acak

Definisi 2.22

Jika 𝑋 adalah variabel acak dengan rata-rata 𝐸(𝑋) = 𝜇, maka variansi dari

𝑋 didefinisikan sebagai nilai harapan dari (𝑋 − 𝜇)2, yaitu

𝜎2 = 𝑉(𝑋) = 𝐸[(𝑋 − 𝜇)2]

=

{

∑(𝑥 − 𝜇)2𝑝(𝑥)

𝑥

, 𝑑𝑎𝑛jika 𝑋 diskrit,

∫ (𝑥 − 𝜇)2𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ∞

−∞

, jika 𝑋 kontinu.

Standar deviasi dari 𝑋 adalah akar dari 𝑉(𝑋).

Contoh 2.12

Diberikan 7 komponen sebagai sampel yang terdiri atas 4 komponen tidak

rusak dan 3 komponen rusak. Penguji mengambil sampel secara acak

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 36: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

21

sebanyak 3 komponen. Temukan nilai harapan dan variansi dari

banyaknya komponen rusak di dalam pengambilan sampel tersebut.

Solusi:

Misalkan 𝑋 adalah variabel acak yang menunjukkan banyaknya komponen

rusak di dalam sampel. Fungsi probabilitas dari 𝑋 adalah

𝑝(𝑥) =(3𝑥)(

43−𝑥)

(73), 𝑥 = 0,1,2,3.

Diperoleh:

𝑝(0) =(30)(

43)

(73)=

4

35,

𝑝(1) =(31)(

42)

(73)=

18

35,

𝑝(2) =(32)(

41)

(73)=

12

35,

𝑝(3) =(33)(

40)

(73)=

1

35.

Oleh karena itu,

𝜇 = 𝐸(𝑋) = (0) (4

35) + (1) (

18

35) + (2) (

12

35) + (3) (

1

35) = 1.3.

𝜎2 = 𝑉(𝑋) =∑(𝑥 − 1.3)2𝑝(𝑥)

3

𝑥=0

= (0 − 1.3)2 (4

35) +⋯+ (3 − 1.3)2 (

1

35)

= 0.49.

Contoh 2.13

Diberikan variabel acak 𝑋 yang mempunyai fungsi kontinu sebagai

berikut:

𝑓(𝑥) = {(3 8)𝑥2⁄ , 0 ≤ 𝑑𝑎𝑛𝑥 ≤ 2 0 , 𝑑𝑎𝑛lainnya

Temukanlah nilai harapan dan variansi bagi 𝑋.

Solusi:

Menurut definisi nilai harapan dan variansi, diperoleh:

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 37: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

22

𝜇 = 𝐸(𝑋) = ∫ 𝑥 (3

8) 𝑥2𝑑𝑥

2

0= (

3

8) (

1

4) 𝑥4]

0

2

= 1.5.

𝜎2 = 𝑉(𝑋) = ∫ (𝑥 − 1.5)2 (3

8) 𝑥2𝑑𝑥

2

0

= (3

8)∫ (𝑥2 − 3𝑥 + 2.25)𝑥2𝑑𝑥

2

0

= (3

8)∫ (𝑥4 − 3𝑥3 + 2.25𝑥2)𝑑𝑥

2

0

= (3

8)((

1

5) 𝑥5 − (

3

4) 𝑥4 + (

2.25

3) 𝑥3)]

0

2

= (3

40𝑥5 −

9

32𝑥4 + (

6.75

24)𝑥3)]

0

2

= 0.15.

Teorema 2.3

Misalkan 𝑋 adalah variabel acak diskrit dengan fungsi probabilitas 𝑝(𝑥)

dan rata-rata 𝐸(𝑋) = 𝜇; maka

𝑉(𝑋) = 𝜎2 = 𝐸[(𝑋 − 𝜇)2] = 𝐸(𝑋2) − [𝐸(𝑋)]2.

Bukti:

𝑉(𝑋) = 𝜎2 = 𝐸[(𝑋 − 𝜇)2]

= 𝐸(𝑋2 − 2𝜇𝑋 + 𝜇2)

= 𝐸(𝑋2) − 2𝜇𝐸(𝑋) + 𝐸(𝜇2)

= 𝐸(𝑋2) − 2𝜇2 + 𝜇2

= 𝐸(𝑋2) − 𝜇2

= 𝐸(𝑋2) − [𝐸(𝑋)]2. ∎

Contoh 2.14. Distribusi Normal

Distribusi probabilitas kontinu yang paling banyak digunakan adalah

distribusi Normal.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 38: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

23

Definisi 2.23

Variabel acak 𝑋 dikatakan berdistribusi Normal jika dan hanya jika untuk

𝜎 > 0 dan −∞ < 𝜇 < ∞, fungsi probabilitas dari 𝑋 adalah

𝑓(𝑥) =1

𝜎√2𝜋𝑒−(𝑥−𝜇)

2/(2𝜎2), −∞ < 𝑥 < ∞.

Teorema 2.4

Jika 𝑋 adalah variabel acak berdistribusi Normal dengan parameter 𝜇 dan

𝜎, maka

𝐸(𝑋) = 𝜇 dan 𝑉(𝑋) = 𝜎2.

Bukti:

Rata-rata dari distribusi Normal diberikan dengan

𝐸(𝑋 − 𝜇) = ∫𝑥 − 𝜇

√2𝜋𝜎𝑒−

12(𝑥−𝜇𝜎)2

𝑑𝑥.∞

−∞

Misalkan 𝑧 = (𝑥 − 𝜇) 𝜎⁄ dan 𝑑𝑥 = 𝜎 𝑑𝑧, maka

𝐸(𝑋 − 𝜇) =𝜎

√2𝜋∫ 𝑧𝑒−

𝑧2

2 𝑑𝑧 = 0∞

−∞

karena fungsi dari 𝑧 adalah fungsi ganjil. Dengan menggunakan Teorema

2.1, diperoleh:

𝐸(𝑋 − 𝜇) = 0

𝐸(𝑋) − 𝜇 = 0

𝐸(𝑋) = 𝜇.

Variansi dari distribusi Normal diberikan dengan

𝐸[(𝑋 − 𝜇)2] = ∫(𝑥 − 𝜇)2

𝜎√2𝜋𝑒−12(𝑥−𝜇𝜎)2

𝑑𝑥∞

−∞

.

Misalkan 𝑧 = (𝑥 − 𝜇) 𝜎⁄ dan 𝑑𝑥 = 𝜎 𝑑𝑧, maka

𝐸[(𝑋 − 𝜇)2] =𝜎2

√2𝜋∫ 𝑧2𝑒−

𝑧2

2 𝑑𝑧∞

−∞

.

Misalkan 𝑢 = 𝑧 dan 𝑑𝑣 = 𝑧𝑒−𝑧2

2 𝑑𝑧, maka 𝑑𝑢 = 𝑑𝑧 dan 𝑣 = −𝑒−𝑧2

2 ,

sehingga diperoleh:

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 39: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

24

𝐸[(𝑋 − 𝜇)2] =𝜎2

√2𝜋(−𝑧𝑒−

𝑧2

2 |−∞

+∫ 𝑒−𝑧2

2 𝑑𝑧∞

−∞

)

= 𝜎2(0 + 1) = 𝜎2. ∎

Teorema 2.4 menunjukkan bahwa parameter 𝜇 berada pada pusat distribusi

dan 𝜎 mengukur penyebarannya. Grafik fungsi probabilitas Normal

ditunjukkan pada gambar berikut.

Gambar 2.1. Fungsi probabilitas Normal

Variabel acak Normal 𝑋 dapat diubah ke variabel acak Normal standar 𝑍

dengan menggunakan hubungan

𝑍 =𝑋 − 𝜇

𝜎.

Kemudian melalui Tabel distribusi Normal Standar (Tabel 𝑍), dapat

digunakan untuk menghitung probabilitas. Nilai rata-rata 𝑍 harus 0 dan

standar deviasinya harus 1.

Contoh 2.15

Skor prestasi untuk ujian masuk perguruan tinggi memiliki rata-rata 75

dan standar deviasi 10. Hitunglah 𝑃(80 < 𝑋 < 90).

Solusi:

Ingat bahwa

𝑍 =𝑋−𝜇

𝜎.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 40: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

25

Dengan demikian,

𝑃(80 < 𝑋 < 90) = 𝑃 (80 − 75

10<𝑋 − 𝜇

𝜎<90 − 75

10)

= 𝑃(0.5 < 𝑍 < 1.5)

= 𝑃(𝑍 > 0.5) − 𝑃(𝑍 > 1.5)

= 0.3085 − 0.0668

= 0.2417

Hasil tersebut dapat diperoleh dengan menggunakan Tabel 𝑍 (terlampir).

Contoh 2.16

Misalkan 𝑍 adalah variabel acak Normal dengan rata-rata 0 dan standar

deviasi 1.

a) Temukan 𝑃(𝑍 > 2).

b) Temukan 𝑃(−2 ≤ 𝑍 ≤ 2).

Solusi:

a) Karena 𝜇 = 0 dan 𝜎 = 1, maka dengan menggunakan Tabel

distribusi Normal, diperoleh 𝑃(𝑍 > 2) = 0.0228.

b) Karena fungsi probabilitas Normal simetri pada rata-rata

𝜇 = 0, maka dengan menggunakan Tabel 𝑍 (terlampir), diperoleh

𝑃(−2 ≤ 𝑍 ≤ 2) = 1 − 2(𝑃(𝑍 > 2))

= 1 − 2(0.0228) = 0.9544.

Contoh 2.17. Distribusi Chi-Square

Variabel acak kontinu 𝑋 berdistribusi chi-square dengan derajat bebas 𝑣,

jika fungsi probabilitasnya diberikan dengan

𝑓(𝑥; 𝑣) = {

1

2𝑣2Γ(𝑣 2)⁄

𝑥𝑣2−1𝑒−

𝑥2, 𝑑𝑎𝑛𝑥 > 0,

0 , 𝑑𝑎𝑛lainnya,

dengan 𝑣 adalah bilangan bulat positif dan Γ(𝑣 2)⁄ adalah fungsi

Gamma.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 41: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

26

Teorema 2.5

Jika 𝑋 adalah variabel acak berdistribusi chi-square dengan derajat bebas

𝑣, maka nilai harapan (rata-rata) dan variansinya adalah

𝜇 = 𝐸(𝑋) = 𝑣 dan 𝜎2 = 𝑉(𝑋) = 2𝑣.

Bukti:

Misalkan 𝑐 =1

2𝑣2Γ(𝑣 2)⁄

.

𝐸(𝑋) = ∫ 𝑥𝑐𝑥𝑣2−1𝑒−

𝑥2𝑑𝑥

0

= 𝑐∫ 𝑥

𝑣2𝑒−

𝑥2𝑑𝑥

0

= 𝑐 {[−2𝑥

𝑣2𝑒−

𝑥2]0

+∫ 2𝑣

2𝑥𝑣2−1𝑒−

𝑥2𝑑𝑥

0

}

= 𝑐 {(0 − 0) + 𝑣∫ 𝑥

𝑣2−1𝑒−

𝑥2𝑑𝑥

0

}

= 𝑣∫ 𝑐𝑥

𝑣2−1𝑒−

𝑥2𝑑𝑥

0

= 𝑣. (berdasarkan Definisi 2.13 (2))

Berdasarkan Teorema 2.3,

𝑉(𝑋) = 𝐸[(𝑋 − 𝜇)2] = 𝐸(𝑋2) − [𝐸(𝑋)]2.

𝐸(𝑋2) = ∫ 𝑥2𝑓(𝑥)𝑑𝑥∞

−∞

= ∫ 𝑥2𝑐𝑥𝑣2−1𝑒−

𝑥2𝑑𝑥

0

= 𝑐∫ 𝑥𝑣2+1𝑒−

𝑥2𝑑𝑥

0

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 42: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

27

= 𝑐 {−2𝑥

𝑣2+1𝑒−

𝑥2]0

+∫ 2(𝑣

2+ 1) 𝑥

𝑣2𝑒−

𝑥2𝑑𝑥

0

}

= 𝑐 {(0 − 0) + (𝑣 + 2)∫ 𝑥

𝑣2𝑒−

𝑥2𝑑𝑥

0

}

= 𝑐(𝑣 + 2) {∫ 𝑥

𝑣2𝑒−

𝑥2𝑑𝑥

0

}

= 𝑐(𝑣 + 2) {[−2𝑥

𝑣2𝑒−

𝑥2]0

+∫ 2𝑣

2𝑥𝑣2−1𝑒−

𝑥2𝑑𝑥

0

}

= 𝑐(𝑣 + 2) {(0 − 0) + 𝑣∫ 𝑥

𝑣2−1𝑒−

𝑥2𝑑𝑥

0

}

= 𝑣(𝑣 + 2) {∫ 𝑐𝑥

𝑣2−1𝑒−

𝑥2𝑑𝑥

0

}

= 𝑣(𝑣 + 2){∫ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥∞

0} = 𝑣(𝑣 + 2),

(berdasarkan Definisi 2.13 (2))

[𝐸(𝑋)]2 = 𝑣2

𝑉(𝑋) = 𝐸(𝑋2) − [𝐸(𝑋)]2 = 𝑣(𝑣 + 2) − 𝑣2 = 𝑣(𝑣 + 2 − 𝑣) = 2𝑣. ∎

c. Momen dan Fungsi Pembangkit Momen (FPM)

Definisi 2.24

Momen ke-𝑘 dari variabel acak 𝑋 didefinisikan sebagai 𝐸(𝑋𝑘) dan

dinotasikan dengan 𝜇′𝑘 dengan 𝑘 = 1,2,3, … .

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 43: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

28

Definisi 2.25

Fungsi pembangkit momen dari variabel acak 𝑋 diberikan dengan 𝐸(𝑒𝑡𝑋)

dan dinotasikan dengan 𝑀𝑋(𝑡), 𝑡 ∈ ℝ. Oleh karena itu,

𝑀𝑋(𝑡) = 𝐸(𝑒𝑡𝑋) =

{

∑𝑒𝑡𝑥𝑝(𝑥)

𝑥

, jika 𝑑𝑎𝑛𝑋 diskrit,

∫ 𝑒𝑡𝑥𝑓(𝑥) 𝑑𝑥∞

−∞

, jika 𝑑𝑎𝑛𝑋 kontinu.

Contoh 2.18

Temukanlah FPM dari Contoh 2.12 dan Contoh 2.13.

Solusi:

Untuk Contoh 2.12, diperoleh:

Untuk Contoh 2.13, diperoleh:

Dengan menggunakan integral parsial, diperoleh hasil sebagai berikut:

𝑀𝑋(𝑡) = 𝐸(𝑒𝑡𝑋) =∑𝑒𝑡𝑥𝑝(𝑥)

𝑥

= 𝑒0𝑡𝑝(0) + 𝑒𝑡𝑝(1) + 𝑒2𝑡𝑝(2) + 𝑒3𝑡𝑝(3)

=4

35+18

35𝑒𝑡 +

12

35𝑒2𝑡 +

1

35𝑒3𝑡 .

=1

35(4 + 18𝑒𝑡 + 12𝑒2𝑡 + 𝑒3𝑡); 𝑡 ∈ ℝ.

𝑀𝑋(𝑡) = 𝐸(𝑒𝑡𝑋) = ∫ 𝑒𝑡𝑥𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

−∞

=3

8∫ 𝑥2𝑒𝑡𝑥𝑑𝑥2

0

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 44: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

29

Dengan menggunakan kembali integral parsial, diperoleh:

𝑀𝑋(𝑡) =3

8{[𝑥2𝑒𝑡𝑥

𝑡]0

2

−2

𝑡∫ 𝑥𝑒𝑡𝑥𝑑𝑥2

0

}

=3

8[(4𝑒2𝑡

𝑡) −

2

𝑡∫ 𝑥𝑒𝑡𝑥𝑑𝑥2

0

]

𝑀𝑋(𝑡) =3

8[(4𝑒2𝑡

𝑡) −

2

𝑡(𝑥𝑒𝑡𝑥

𝑡]0

2

−1

𝑡∫ 𝑒𝑡𝑥𝑑𝑥2

0

)]

=3

8[(4𝑒2𝑡

𝑡) −

2

𝑡(2𝑒2𝑡

𝑡−1

𝑡[𝑒𝑡𝑥

𝑡]0

2

)]

=3

8[(4𝑒2𝑡

𝑡) −

2

𝑡(2𝑒2𝑡

𝑡−1

𝑡(𝑒2𝑡

𝑡−1

𝑡))]

=3

8[(4𝑒2𝑡

𝑡) −

2

𝑡(2𝑒2𝑡

𝑡−𝑒2𝑡

𝑡2+1

𝑡2)]

=3

8[4𝑒2𝑡

𝑡−4𝑒2𝑡

𝑡2+2𝑒2𝑡 + 2

𝑡3]

=3

8[2

𝑡(2𝑒2𝑡 −

2𝑒2𝑡

𝑡+𝑒2𝑡 + 1

𝑡2)]

=3

4𝑡(2𝑒2𝑡 −

2𝑒2𝑡

𝑡+𝑒2𝑡 + 1

𝑡2).

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 45: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

30

C. Distribusi Sampling

Kesimpulan pada statistika pada dasarnya berkaitan dengan generalisasi

dan dugaan yang diperoleh dari sampel. Oleh karena itu, sampel yang diamati

harus memiliki distribusi probabilitas.

Definisi 2.26

Distribusi probabilitas dari statistik disebut sebagai distribusi sampling.

Distribusi sampling dari statistik bergantung pada distribusi populasi, ukuran

sampel, dan metode pemilihan sampel. Distribusi probabilitas dari �̅� disebut

distribusi sampling dari rata-rata.

Distribusi sampling dari �̅� dan 𝑠2 dapat digunakan untuk membuat kesimpulan

pada parameter 𝜇 dan 𝜎2.

1. Teorema Limit Pusat

Jika dilakukan penarikan sampel dari populasi dengan distribusi

yang tidak diketahui, maka distribusi sampling dari �̅� akan tetap mendekati

Normal dengan rata-rata 𝜇 dan variansi 𝜎2

𝑛⁄ , asalkan ukuran sampelnya

besar. Hal ini adalah akibat langsung dari Teorema Limit Pusat (TLP).

Teorema 2.6 (TLP)

Misalkan 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 merupakan variabel acak saling bebas dan

terdistribusi dengan 𝐸(𝑥𝑖) = 𝜇 dan 𝑉(𝑥𝑖) = 𝜎2 < ∞. Variabel acak 𝑈𝑛

didefinisikan sebagai

𝑈𝑛 = (�̅�−𝜇

𝜎/√𝑛) dengan �̅� =

1

𝑛∑ 𝑥𝑖.𝑛𝑖=1

Fungsi distribusi dari 𝑈𝑛 konvergen ke fungsi distribusi Normal standar

untuk 𝑛 → ∞, yaitu

lim𝑛→∞

𝑃(𝑈𝑛 ≤ 𝑢) = ∫1

√2𝜋𝑒−𝑡

2 2⁄ 𝑑𝑡, ∀𝑢𝑢

−∞

.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 46: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

31

Teorema 2.7

Misalkan 𝑋 dan 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 adalah variabel acak dengan FPM 𝑚(𝑡) dan

𝑚1(𝑡),𝑚2(𝑡),𝑚3(𝑡), …, dan seterusnya.

Jika

lim𝑛→∞

𝑚𝑛(𝑡) = 𝑚(𝑡), ∀𝑡 ∈ ℝ,

maka fungsi distribusi dari 𝑋𝑛 konvergen ke fungsi distribusi dari 𝑋 untuk

𝑛 → ∞.

Bukti:

Bukti terdapat pada buku Williams, David. (1991). Probability with

Martingales. New York: Cambridge University Press. Halaman: 185.

Bukti Teorema Limit Pusat

Diketahui:

𝑈𝑛 = √𝑛 (�̅� − 𝜇

𝜎) = √𝑛(

∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=1

𝑛 − 𝜇

𝜎)

= √𝑛 (∑ 𝑋𝑖−𝑛𝜇𝑛𝑖=1

𝑛𝜎) =

√𝑛

𝑛(∑ 𝑋𝑖−𝑛𝜇𝑛𝑖=1

𝜎) =

1

√𝑛(∑ 𝑧𝑖

𝑛𝑖=1 ),

dengan 𝑧𝑖 =𝑋𝑖−𝜇

𝜎.

Karena variabel acak 𝑥𝑖 saling bebas dan berdistribusi secara identik, maka

𝑧𝑖 dengan 𝑖 = 1,2, . . . , 𝑛 juga saling bebas dan berdistribusi secara identik

dengan 𝐸(𝑧𝑖) = 0 dan 𝑉(𝑧𝑖) = 1.

Karena fpm dari banyaknya variabel acak saling bebas masing-masing

adalah hasil kali dari masing-masing fpm, maka

𝑚∑𝑍𝑖(𝑡) = 𝑚𝑍1

(𝑡) × 𝑚𝑍2(𝑡) …× 𝑚𝑍𝑛

(𝑡) = [𝑚𝑍1(𝑡)]𝑛

dan

𝑚𝑈𝑛(𝑡) = 𝑚∑𝑍𝑖

(𝑡

√𝑛) = [𝑚𝑍1 (

𝑡

√𝑛)]𝑛

.

Dengan menggunakan Teorema Deret Taylor di sekitar 0 dan dengan suku

sisa bentuk Lagrange,

𝑚𝑍1(𝑡) = 𝑚𝑍1

(0) +𝑚′𝑍1(0)𝑡 + 𝑚′′𝑍1(𝜉)𝑡2

2, dengan 0 < 𝜉 < 𝑡,

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 47: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

32

sehingga

𝑚𝑈𝑛(𝑡) = [1 +

𝑚′′𝑍1(𝜉𝑛)

2(𝑡

√𝑛)2

]

𝑛

= [1 +𝑚′′𝑍1(𝜉𝑛)𝑡

2

2𝑛]𝑛

, dengan 0 < 𝜉𝑛 <𝑡

√𝑛.

Perhatikan bahwa karena 𝑛 → ∞, 𝜉𝑛 → 0 dan

𝑚′′𝑍1(𝜉𝑛)(𝑡2 2⁄ ) → 𝑚′′𝑍1(0)(𝑡

2 2⁄ ) = 𝐸(𝑍12)(𝑡2 2⁄ ) = (𝑡2 2⁄ ) dengan

𝐸(𝑍12) = 𝑉(𝑍1) = 1.

Perlu diingat bahwa jika lim𝑛→∞

𝑏𝑛 = 𝑏, maka lim𝑛→∞

(1 +𝑏𝑛

𝑛)𝑛

= 𝑒𝑏.

Akhirnya diperoleh,

lim𝑛→∞

𝑚𝑈𝑛(𝑡) = lim

𝑛→∞[1 +

𝑚′′𝑍1(𝜉𝑛)(𝑡2 2⁄ )

𝑛]𝑛

= 𝑒(𝑡2 2⁄ ),

fpm untuk variabel acak Normal standar. Dengan menerapkan Teorema

2.7, dapat disimpulkan bahwa 𝑈𝑛 memiliki fungsi distribusi yang

konvergen ke fungsi distribusi dari variabel acak Normal standar. ∎

2. Distribusi 𝑡

Definisi 2.27

Misalkan 𝑍 =�̅�−𝜇

𝜎/√𝑛 adalah variabel acak Normal standar dan 𝑊 =

(𝑛−1)𝑠2

𝜎2

berdistribusi 𝜒2 dengan derajat bebas 𝑣. Jika 𝑍 dan 𝑊 saling bebas, maka

𝑇 =𝑍

√𝑊/𝑣

berdistribusi 𝑡 dengan derajat bebas 𝑣.

Lemma 2.3

Misalkan 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 sebagai variabel acak saling bebas berdistribusi

Normal dengan rata-rata 𝜇 dan standar deviasi 𝜎; maka variabel acak 𝑇 =

�̅�−𝜇

𝑠/√𝑛 berdistribusi 𝑡 dengan derajat bebas 𝑣 = 𝑛 − 1.

Bukti:

Berdasarkan Definisi 2.27,

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 48: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

33

𝑇 =𝑍

√𝑊/𝑣 =

(�̅� − 𝜇) (𝜎/√𝑛)⁄

√[(𝑛 − 1)𝑠2/𝜎2] (𝑛 − 1)⁄

=√𝑛(�̅� − 𝜇) 𝜎⁄

√𝑠2/𝜎2

=√𝑛(�̅� − 𝜇) 𝜎⁄

𝑠/𝜎=√𝑛(�̅� − 𝜇)

𝑠

berdistribusi 𝑡 dengan derajat bebas 𝑣 = (𝑛 − 1). ∎

Contoh 2.19

Temukan 𝑃(−𝑡0.025 < 𝑇 < 𝑡0.025).

Solusi:

Dari tabel distribusi 𝑡 (terlampir) diperoleh,

𝑃(−𝑡0.025 < 𝑇 < 𝑡0.025) = 1 − 0.05 − 0.025 = 0.925.

D. Pendugaan Parameter

Pendugaan adalah pokok bahasan dalam statistika yang berhubungan

dengan pendugaan nilai-nilai parameter berdasarkan data yang diukur/data

empiris yang berasal dari sampel acak. Tujuan dari percobaan atau penelitian

statistik adalah untuk menduga satu atau lebih parameter yang relvan. Pendugaan

parameter adalah suatu proses untuk membuat kesimpulan tentang parameter

populasi berdasarkan sampel acak.

1. Pendugaan (Estimasi)

Di dalam statistika, pendugaan-pendugaan dilakukan untuk

menyimpulkan karakteristik dari populasi (parameter).

Definisi 2.28 (Wackerly, et al., 2008: 391)

Penduga adalah suatu aturan, yang dinyatakan dalam bentuk rumus, yang

memberitahukan bagaimana cara menghitung nilai suatu dugaan

berdasarkan pengukuran yang termuat di dalam sampel.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 49: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

34

Penduga dari parameter 𝜃 adalah statistik 𝜃. Contoh dari parameter

𝜃 dapat berupa rata-rata µ, standar deviasi 𝜎, dan proporsi 𝑝 yang diduga

dengan rata-rata �̅�, standar deviasi 𝑠, dan proporsi �̂�.

2. Macam-Macam Pendugaan Parameter

Nilai parameter dapat diduga dengan dua cara, yakni: penduga titik

dan penduga selang.

2.1. Penduga Titik

Definisi 2.29

Penduga titik adalah penentuan suatu nilai tunggal berdasarkan atas

sampel yang dengan baik menduga parameter yang sebenarnya.

Bias dan Rata-rata Galat Kuadrat dari Penduga Titik

Dalam pemilihan sampel, hal yang sering dilakukan adalah

memilih anggota yang paling cocok dari populasi. Cara tersebut

dapat menyebabkan kesimpulan yang keliru mengenai populasi dan

dapat dikatakan sebagai bias. Oleh karena itu, diperlukan pemilihan

sampel secara acak.

Misalkan seorang pria menembak satu tembakan pada suatu

sasaran dan mengenai sasaran tersebut. Apakah dapat disimpulkan

bahwa pria tersebut adalah penembak jitu? Apakah ingin

disimpulkan dugaan sementara pada tembakan kedua? Jelas, tidak

bisa disimpulkan bahwa pria tersebut adalah seorang ahli menembak

berdasarkan bukti yang sedikit. Di sisi lain, jika 100 tembakan

berturut-turut dapat menembak tepat sasaran, mungkin dapat

diperoleh keyakinan bahwa orang tersebut adalah seorang penembak

jitu dan berkeyakinan besar untuk menembak tepat sasaran. Dapat

dikatakan bahwa hal itu adalah distribusi dari pendugaan yang tepat

mengenai parameter sasaran, seperti yang ditunjukkan pada Gambar

2.2. Dengan kata lain, rata-rata atau nilai yang diharapkan dari

distribusi nilai dugaan akan sama dengan parameter nilai dugaan,

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 50: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

35

𝜃 𝜃

yaitu 𝐸(𝜃) = 𝜃. Penduga titik yang memenuhi sifat ini dikatakan

sebagai penduga tak bias. Distribusi sampling untuk suatu penduga

titik bias positif adalah 𝐸(𝜃) > 𝜃, ditunjukkan pada Gambar 2.3.

Gambar 2.2. Distribusi Nilai Dugaan

Gambar 2.3. Distribusi Sampling untuk Penduga Titik Bias Positif

Definisi 2.30

Misalkan 𝜃 adalah penduga titik dari parameter 𝜃, maka 𝜃 adalah

penduga tak bias bagi 𝜃 jika 𝐸(𝜃) = 𝜃. Jika 𝐸(𝜃) ≠ 𝜃, maka 𝜃

dikatakan penduga yang bias bagi 𝜃.

Definisi 2.31

Bias dari penduga titik 𝜃 didefinisikan sebagai 𝐵(𝜃) = 𝐸(𝜃) − 𝜃.

Contoh 2.20

Misalkan 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 adalah sampel acak dengan 𝐸(𝑥𝑖) = 𝜇 dan

𝑉(𝑥𝑖) = 𝜎2. Tunjukkan bahwa 𝑠′

2=

1

𝑛∑ (𝑥𝑖 − �̅�)

2𝑛𝑖=1 adalah

penduga bias bagi 𝜎2 dan bahwa 𝑠2 =1

𝑛−1∑ (𝑥𝑖 − �̅�)

2𝑛𝑖=1 adalah

penduga tak bias bagi 𝜎2.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 51: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

36

Solusi:

∑(𝑥𝑖 − �̅�)2 =

𝑛

𝑖=1

∑(𝑥𝑖2 − 2�̅�𝑥𝑖 + �̅�

2)

𝑛

𝑖=1

=∑𝑥𝑖2 − 2�̅�∑𝑥𝑖 +∑�̅�2

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑖=1

=∑𝑥𝑖2 − 2�̅�𝑛

𝑛

𝑖=1

�̅� + 𝑛�̅�2

=∑𝑥𝑖2 − 2𝑛�̅�2

𝑛

𝑖=1

+ 𝑛�̅�2 =∑𝑥𝑖2 − 𝑛�̅�2

𝑛

𝑖=1

sehingga,

𝐸 [∑(𝑥𝑖 − �̅�)2

𝑛

𝑖=1

] = 𝐸 [∑𝑥𝑖2 − 𝑛�̅�2

𝑛

𝑖=1

] = 𝐸 [∑𝑥𝑖2

𝑛

𝑖=1

] − n𝐸[�̅�2]

=∑𝐸[𝑥𝑖2]

𝑛

𝑖=1

− n𝐸[�̅�2]

Karena 𝐸[𝑋𝑖2] sama untuk ∀𝑖 = 1,2, … , 𝑛 dan

𝑉(𝑋) = 𝐸[𝑋2] − (𝐸[𝑋])2 = 𝐸[𝑋2] − 𝜇2,

maka

𝐸[𝑋2] = 𝑉(𝑋) + 𝜇2

dan

𝐸 [∑(𝑥𝑖 − �̅�)2

𝑛

𝑖=1

] =∑𝐸[𝑥𝑖2]

𝑛

𝑖=1

− n𝐸[�̅�2]

=∑[𝑉(𝑥𝑖) + 𝜇2] − 𝑛[𝑉(�̅�) + 𝜇2]

𝑛

𝑖=1

=∑(𝜎2 + 𝜇2) − 𝑛 (𝜎2

𝑛+ 𝜇2)

𝑛

𝑖=1

= 𝑛(𝜎2 + 𝜇2) − 𝑛 (𝜎2

𝑛+ 𝜇2)

= 𝑛𝜎2 + 𝑛𝜇2 − 𝜎2 − 𝑛𝜇2

= (𝑛 − 1)𝜎2

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 52: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

37

Oleh karena itu,

𝐸(𝑠′2) =

1

𝑛𝐸[∑ (𝑥𝑖 − �̅�)

2𝑛𝑖=1 ] =

1

𝑛[(𝑛 − 1)𝜎2] =

𝑛−1

𝑛𝜎2, maka

𝑛

𝑛−1𝐸(𝑠′

2) = 𝜎2.

Dengan demikian, 𝑠′2 adalah penduga bias bagi 𝜎2 karena

𝐸(𝑠′2) ≠ 𝜎2.

Akan tetapi,

𝐸(𝑠2) =1

𝑛 − 1𝐸 [∑(𝑥𝑖 − �̅�)

2

𝑛

𝑖=1

]

=1

𝑛 − 1[(𝑛 − 1)𝜎2]

=𝑛 − 1

𝑛 − 1𝜎2 = 𝜎2,

sehingga 𝑠2 adalah penduga tak bias bagi 𝜎2 karena 𝐸(𝑠2) = 𝜎2.

Definisi 2.32

Rata-rata kuadrat galat (Mean Square Error) dari penduga titik 𝜃

adalah

𝑀𝑆𝐸(𝜃) = 𝐸 [(𝜃 − 𝜃)2].

𝑀𝑆𝐸(𝜃) adalah fungsi dari variansi dan biasnya.

Definisi 2.33

Variansi penduga titik 𝜃 adalah 𝑉(𝜃) = 𝐸 [(𝜃 − 𝐸(𝜃))2

].

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 53: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

38

Teorema 2.8

Jika 𝐵(𝜃) menunjukkan bias dari penduga titik 𝜃, maka

𝑀𝑆𝐸(𝜃) = 𝑉(𝜃) + [𝐵(𝜃)]2.

Bukti:

Petunjuk:

(𝜃 − 𝜃) = [𝜃 − 𝐸(𝜃)] + [𝐸(𝜃) − 𝜃] = [𝜃 − 𝐸(𝜃)] + 𝐵(𝜃).

Dengan menggunakan petunjuk di atas, diperoleh:

𝑀𝑆𝐸(𝜃) = 𝐸 [(𝜃 − 𝜃)2]

= 𝐸 [((𝜃 − 𝐸(𝜃)) + 𝐵(𝜃)) ∙ ((𝜃 − 𝐸(𝜃)) + 𝐵(𝜃))]

= 𝐸 [(𝜃 − 𝐸(𝜃))2

+ 2(𝜃 − 𝐸(𝜃))𝐵(𝜃) + (𝐵(𝜃))2

]

= 𝐸 [(𝜃 − 𝐸(𝜃))2

] + 2𝐵(𝜃)𝐸[𝜃 − 𝐸(𝜃)] + [𝐵(𝜃)]2

= 𝑉(𝜃) + 2𝐵(𝜃)(𝐸[𝜃] − 𝐸[𝐸(𝜃)]) + [𝐵(𝜃)]2

= 𝑉(𝜃) + 2𝐵(𝜃)[𝐸(𝜃) − 𝐸(𝜃)] + [𝐵(𝜃)]2

= 𝑉(𝜃) + [𝐵(𝜃)]2. ∎

Tabel 2.2. Nilai Harapan dan galat standar Beberapa Penduga Titik

Parameter

Sasaran

𝜃

Ukuran

Sampel

Penduga

Titik

𝜃

Galat standar

𝐸(𝜃) 𝜎𝜃

𝜇 𝑛 �̅� 𝜇 𝜎

√𝑛

𝑝 𝑛 �̂� =𝑋

𝑛 𝑝 √

𝑝𝑞

𝑛

𝜇1 − 𝜇2 𝑛1dan 𝑛2 �̅�1 − �̅�2 𝜇1 − 𝜇2 √𝜎12

𝑛1+𝜎22

𝑛2

𝑝1 − 𝑝2 𝑛1dan 𝑛2 �̂�1 − �̂�2 �̂�1 − �̂�2 √𝑝1𝑞1𝑛1

+𝑝2𝑞2𝑛2

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 54: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

39

2.2. Penduga Selang Kepercayaan

Definisi 2.33

Penduga selang adalah suatu penentuan selang nilai yang dihitung

berdasarkan pengukuran sampel dan mempunyai peluang tertentu,

akan memuat parameter yang sebenarnya.

Idealnya, selang yang dihasilkan akan memiliki dua sifat:

Pertama, akan memuat parameter sasaran 𝜃; kedua, menghasilkan

selang yang relatif sempit. Salah satu atau kedua batas dari selang

menjadi fungsi dari pengukuran sampel, yang akan bervariasi secara

acak dari sampel yang satu ke sampel lainnya.

Penduga selang biasa disebut “Selang Kepercayaan”. Pro-

babilitas bahwa selang kepercayaan akan memuat parameter sasaran

𝜃 disebut “Koefisien Kepercayaan”. Jika diketahui bahwa koefisien

kepercayaan memiliki nilai yang tinggi, maka dapat dipercaya

bahwa setiap selang kepercayaan yang dibentuk dengan mengguna-

kan hasil dari sampel akan memuat parameter sasaran 𝜃.

Misalkan 𝜃𝐿 dan 𝜃𝑈 adalah batas bawah dan atas untuk parameter 𝜃.

Jika

𝑃(𝜃𝐿 ≤ 𝜃 ≤ 𝜃𝑈) = 1 − 𝛼,

untuk 0 < 𝛼 < 1, maka probabilitas (1 − 𝛼) adalah koefisien

kepercayaan. Selang 𝜃𝐿 ≤ 𝜃 ≤ 𝜃𝑈 dihitung dari sampel yang

diseleksi, ini adalah selang kepercayaan 100(1 − 𝛼)%, dan titik

akhir 𝜃𝐿 dan 𝜃𝑈 sebagai titik batas terbesar dan terkecil dari selang

kepercayaan. Jadi, sebagai contohnya, ketika 𝛼 = 0.05, berarti

diperoleh selang kepercayaan 95%, dan ketika 𝛼 = 0.01, diperoleh

selang kepercayaan 99%. Semakin lebar selang kepercayaan, maka

selang kepercayaan tersebut memuat parameter yang tidak diketahui.

Akan tetapi, lebih baik jika menghasilkan selang yang relatif pendek

dengan tingkat kepercayaan yang tinggi.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 55: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

40

Selang acak yang dihasilkan didefinisikan dengan [𝜃𝐿 , 𝜃𝑈] yang

disebut sebagai “Selang Kepercayaan Dua Sisi”.

Definisi 2.34

Selang kepercayaan satu sisi yang dinyatakan dengan

𝑃(𝜃𝐿 ≤ 𝜃) = 1 − 𝛼

akan menghasilkan selang kepercayaan satu sisi bawah, yaitu

[𝜃𝐿 , ∞), dan

𝑃(𝜃 ≤ 𝜃𝑈) = 1 − 𝛼

akan menghasilkan selang kepercayaan satu sisi atas, yaitu

(−∞, 𝜃𝑈].

Salah satu metode yang sangat berguna untuk mencari selang

kepercayaan adalah Metode Pivot. Metode ini tergantung pada suatu

nilai yang disebut besaran Pivot. Besaran ini memiliki dua karak-

teristik, yaitu:

i. Merupakan fungsi dari pengukuran sampel dan parameter 𝜃 yang

tidak diketahui.

ii. Distribusi probabilitas dari besaran ini tidak tergantung pada

parameter 𝜃.

Jika distribusi probabilitas dari besaran Pivot diketahui, maka

besaran tersebut dapat digunakan untuk membentuk nilai dugaan

selang yang diinginkan.

Contoh 2.21

Diberikan pengamatan tunggal 𝑋 dari distribusi eksponensial dengan

rata-rata 𝜃. Gunakan 𝑋 untuk membentuk selang kepercayaan bagi

𝜃 dengan koefisien kepercayaan 0.90.

Solusi:

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 56: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

41

Fungsi densitas probabilitas bagi 𝑋 diberikan dengan

𝑓(𝑥) = {(1

𝜃) 𝑒−

𝑥𝜃⁄ , 𝑑𝑎𝑛𝑥 ≥ 0

0 , danlainnya

Dengan menggunakan Metode Pivot, akan diperiksa apakah 𝑈 =𝑋

𝜃

memenuhi syarat sebagai besaran Pivot?

1) 𝑈 =𝑋

𝜃 adalah fungsi dari 𝑋 (ukuran sampel) dan 𝜃 tidak

diketahui.

2) 𝑈 =𝑋

𝜃

𝑓𝑢(𝑢) = ⋯?

Untuk 𝑥 < 0, 𝐹(𝑥) = 0.

Untuk 𝑥 ≥ 0,

𝐹(𝑥) = ∫ 0 𝑑𝑡 +0

−∞

∫ (1

𝜃) 𝑒−

𝑡𝜃⁄ 𝑑𝑡 =

𝑥

0

1

𝜃(−𝜃)𝑒−

𝑡𝜃⁄ ]𝑥0

= −𝑒−𝑥𝜃⁄ + 1.

𝐹(𝑥) = {0 , 𝑑𝑎𝑛𝑥 < 0

−𝑒−𝑥𝜃⁄ + 1, 𝑑𝑎𝑛𝑥 ≥ 0

𝐹𝑢(𝑢) = 𝑃(𝑈 ≤ 𝑢) = 𝑃 (𝑋

𝜃≤ 𝑢)

= 𝑃(𝑋 ≤ 𝑢𝜃) = 𝐹(𝑢𝜃) = −𝑒−𝑢𝜃

𝜃⁄ + 1

= −𝑒−𝑢 + 1.

𝐹𝑢(𝑢) = {0 , 𝑑𝑎𝑛𝑢 < 0−𝑒−𝑢 + 1, 𝑑𝑎𝑛𝑢 ≥ 0

𝑓𝑢(𝑢) = {0 , 𝑑𝑎𝑛𝑢 < 0𝑒−𝑢 , 𝑑𝑎𝑛𝑢 ≥ 0

𝑓𝑢(𝑢) tidak bergantung pada 𝜃.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 57: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

42

Kedua syarat besaran Pivot terpenuhi

Gambar 2.4. Fungsi probabilitas bagi 𝑈

Selanjutnya akan dicari selang kepercayaan bagi 𝜃

∗ 𝑃(𝑈 < 𝑎) = ∫ 𝑒−𝑢 𝑑𝑢 =𝑎

00.05

−𝑒−𝑢]𝑎0

= 0.05

1−𝑒−𝑎 = 0.05

𝑒−𝑎 = 0.95

ln(𝑒−𝑎) = ln(0.95)

−𝑎 = −0.051

𝑎 = 0.051

*𝑃(𝑈 > 𝑏) = ∫ 𝑒−𝑢 𝑑𝑢 =∞

𝑏0.05

−𝑒−𝑢]∞𝑏

= 0.05

𝑒−𝑏 = 0.05

ln(𝑒−𝑏) = ln(0.05)

−𝑏 = −2.996

𝑏 = 2.996

sehingga,

0.9 = 𝑃(0.051 ≤ 𝑈 ≤ 2.996) = 𝑃 (0.051 ≤𝑋

𝜃≤ 2.996).

Karena akan dicari penduga selang bagi 𝜃, maka diperoleh:

0.9 = 𝑃 (0.051 ≤𝑋

𝜃≤ 2.996) = 𝑃 (

0.051

𝑋≤1

𝜃≤2.996

𝑋)

0.9 = 𝑃 (𝑋

0.051≥ 𝜃 ≥

𝑋

2.996) = 𝑃 (

𝑋

2.996≤ 𝜃 ≤

𝑋

0.051)

0.90

a b

f(u)

0.05

0.05

u

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 58: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

43

Dengan demikian, diperoleh batas bawah dan batas atas untuk selang

kepercayaan 𝜃 adalah 𝑋

2.996 dan

𝑋

0.051.

2.3. Selang Kepercayaan Sampel Besar

Untuk sampel besar, semua penduga titik akan mendekati

distribusi sampling Normal dengan galat standar yang telah

ditunjukkan pada Tabel 2.2.

Jika parameter sasaran 𝜃 adalah 𝜇, 𝑝, 𝜇1 − 𝜇2, atau

𝑝1 − 𝑝2, maka untuk sampel besar,

𝑍 =𝜃 − 𝜃

𝜎�̂�

akan mendekati distribusi Normal standar. Akibatnya, 𝑍 adalah

suatu besaran Pivot dan Metode Pivot dapat digunakan untuk

menghasilkan selang kepercayaan untuk parameter sasaran 𝜃.

Contoh 2.22

Misalkan 𝜃 adalah statistik berdistribusi Normal dengan rata-rata 𝜃

dan galat standar 𝜎𝜃. Temukan selang kepercayaan bagi 𝜃 yang

memiliki koefisien kepercayaan (1 − 𝛼).

Solusi:

Nilai 𝑍 =�̂�−𝜃

𝜎�̂� berdistribusi Normal. Sekarang, pilih dua nilai di

dalam selang, yaitu 𝑧𝛼 2⁄ dan −𝑧𝛼 2⁄ , sehingga

𝑃(−𝑧𝛼 2⁄ ≤ 𝑍 ≤ 𝑧𝛼 2⁄ ) = 1 − 𝛼.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 59: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

44

1 - α α/2α/2

−𝑧𝛼 2⁄

𝑧𝛼 2⁄ 0

Gambar 2.5. Letak −𝑧𝛼 2⁄ dan 𝑧𝛼 2⁄

Dengan mensubstitusi nilai 𝑍 =�̂�−𝜃

𝜎�̂� , diperoleh

𝑃 (−𝑧𝛼 2⁄ ≤�̂�−𝜃

𝜎�̂�≤ 𝑧𝛼 2⁄ ) = 1 − 𝛼.

Pada ketidaksamaan tersebut, kalikan semuanya dengan 𝜎�̂�,

diperoleh

𝑃(−𝑧𝛼 2⁄ 𝜎�̂� ≤ 𝜃 − 𝜃 ≤ 𝑧𝛼 2⁄ 𝜎�̂�) = 1 − 𝛼

𝑃(−𝜃 − 𝑧𝛼 2⁄ 𝜎�̂� ≤ −𝜃 ≤ −𝜃 + 𝑧𝛼 2⁄ 𝜎�̂�) = 1 − 𝛼

𝑃(𝜃 − 𝑧𝛼 2⁄ 𝜎�̂� ≤ 𝜃 ≤ 𝜃 + 𝑧𝛼 2⁄ 𝜎�̂�) = 1 − 𝛼

Dengan demikian, titik akhir untuk 100(1 − 𝛼)% selang ke-

percayaan bagi 𝜃 diberikan dengan

𝜃𝐿 = 𝜃 − 𝑧𝛼 2⁄ 𝜎�̂� dan 𝜃𝑈 = 𝜃 + 𝑧𝛼 2⁄ 𝜎�̂�. ∎

Dengan cara yang sama, dapat ditentukan pula 100(1 − 𝛼)% batas

kepercayaan satu sisi, yaitu

100(1 − 𝛼)% batas bawah bagi 𝜃 = 𝜃 − 𝑧𝛼𝜎�̂�.

100(1 − 𝛼)% batas atas bagi 𝜃 = 𝜃 + 𝑧𝛼𝜎�̂�.

Contoh 2.23

Suatu supermarket mencatat waktu belanja 64 sampel acak dari

konsumen yang datang. Rata-rata dan variansi dari ke-64 konsumen

tersebut adalah 33 dan 256 menit. Tentukan penduga waktu rata-

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 60: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

45

rata setiap konsumen (µ) dengan koefisien kepercayaan dari 1 −

𝛼 = 0.9.

Solusi:

Diketahui: 𝑛 = 64, �̅� = 33 dan 𝑠2 = 256.

Variansi dari populasi tidak diketahui, maka digunakan s2 untuk

menduga 𝜎2. Batas selang kepercayaan adalah

𝜃 ± 𝑧𝛼2⁄𝜎�̂�

akan menjadi

�̅� ± 𝑧𝛼2⁄(𝜎

√𝑛) ≈ �̅� ± 𝑧𝛼

2⁄(𝑠

√𝑛)

Dengan menggunakan Tabel Z (terlampir), diperoleh

𝑧𝛼2⁄= 𝑧0.05 = 1.645; oleh karena itu, batas kepercayaannya adalah

�̅� − 𝑧𝛼2⁄(𝑠

√𝑛) = 33 − 1.645 (

16

√64) = 29.71l,

�̅� + 𝑧𝛼2⁄(𝑠

√𝑛) = 33 + 1.645 (

16

√64) = 36.29.

Dengan demikian, selang kepercayaan bagi 𝜇 adalah (29.71,36.29).

Dalam pengambilan sampel berulang, sekitar 90% dari semua

selang yang berbentuk �̅� ± 1,645 (𝑠/√𝑛) akan memuat 𝜇, yaitu

rata-rata sebenarnya dari waktu belanja setiap pelanggan.

E. Konsistensi Penduga

Definisi 2.36

Penduga 𝜃𝑛 dikatakan sebagai penduga konsisten bagi 𝜃 jika ∀𝜀 > 0,

lim𝑛→∞

𝑃(|𝜃𝑛 − 𝜃| ≤ 𝜀) = 1,

atau

lim𝑛→∞

𝑃(|𝜃𝑛 − 𝜃| > 𝜀) = 0.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 61: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

46

Teorema 2.9

Suatu penduga tak bias 𝜃𝑛 bagi 𝜃 adalah penduga konsisten bagi 𝜃 jika

lim𝑛→∞

𝑉(𝜃𝑛) = 0.

Bukti:

Jika 𝑋 adalah sembarang variabel acak dengan 𝐸(𝑋) = 𝜇 dan 𝑉(𝑋) = 𝜎2 < ∞

dan ∀𝑘 > 0, dapat digunakan Teorema Tchebysheff yang menyatakan bahwa

𝑃(|𝑋 − 𝜇| > 𝑘𝜎) ≤1

𝑘2.

Bukti Teorema Tchebysheff terdapat pada buku Wackerly, et al. (2008).

Mathematical Statistics with Applications. Seventh Edition. Duxbury: Thomson

Brooks/Cole. Halaman: 208.

Karena 𝜃𝑛 adalah penduga tak bias bagi 𝜃, itu menunjukkan bahwa

𝐸(𝜃𝑛) = 𝜃.

Misalkan 𝜎�̂�𝑛 = √𝑉(𝜃𝑛) menotasikan galat standar bagi 𝜃𝑛.

Dengan menerapkan Teorema Tchebysheff untuk variabel acak 𝜃𝑛, diperoleh:

𝑃(|𝜃𝑛 − 𝜃| > 𝑘𝜎�̂�𝑛) ≤1

𝑘2.

Misalkan 𝑛 adalah ukuran sampel,

𝑘 =𝜀

𝜎�̂�𝑛, ∀𝜀 > 0, 𝑘 > 0.

Penerapan Teorema Tchebysheff untuk pemilihan nilai 𝑘 tersebut menunjukkan

bahwa

𝑃(|𝜃𝑛 − 𝜃| > 𝜀) = 𝑃 (|𝜃𝑛 − 𝜃| > [𝜀

𝜎�̂�𝑛] 𝜎�̂�𝑛) ≤

1

(𝜀 𝜎�̂�𝑛⁄ )2 =

𝑉(𝜃𝑛)

𝜀2.

Dengan demikian,

0 ≤ 𝑃(|𝜃𝑛 − 𝜃| > 𝜀) ≤𝑉(𝜃𝑛)

𝜀2.

Bila lim𝑛→∞

𝑉(𝜃𝑛) = 0, maka untuk 𝑛 → ∞,

lim𝑛→∞

0 ≤ lim𝑛→∞

𝑃(|𝜃𝑛 − 𝜃| > 𝜀) ≤ lim𝑛→∞

𝑉(𝜃𝑛)

𝜀2= 0.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 62: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

47

Dengan demikian, 𝜃𝑛 adalah penduga konsisten bagi 𝜃. ∎

Contoh 2.24

Misalkan 𝑋𝑖 adalah variabel acak berdistribusi Normal dengan 𝑖 = 1,2, . . 𝑛, rata-

rata 𝜇 dan variansi 𝜎2. Tunjukkan bahwa �̅� adalah penduga konsisten bagi 𝜇.

Solusi:

Akan diperiksa terlebih dahulu apakah �̅� merupakan penduga tak bias bagi 𝜇.

𝐸(�̅�) = 𝐸 (1

𝑛∑𝑋𝑖) =

1

𝑛[𝐸(𝑋1) + 𝐸(𝑋2) +⋯+ 𝐸(𝑋𝑛)] =

1

𝑛∙ 𝑛𝜇 = 𝜇.

Terbukti bahwa �̅� adalah penduga tak bias bagi 𝜇.

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa �̅� adalah penduga konsisten bagi 𝜇.

𝑉(�̅�) = 𝑉 (1

𝑛∑𝑋𝑖) =

1

𝑛2[𝑉(𝑋1) + 𝑉(𝑋2) + ⋯+ 𝑉(𝑋𝑛)]

=1

𝑛2∙ 𝑛𝜎2 =

𝜎2

𝑛.

lim𝑛→∞

𝑉(�̅�) = lim𝑛→∞

𝜎2

𝑛= 0.

Jadi, terbukti bahwa �̅� adalah penduga konsisten bagi 𝜇. ∎

F. Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Estimation

Method/MLE)

Salah satu metode dalam pendugaan parameter adalah metode Pendugaan

Kemungkinan Maksimum (MLE). Sebagai contoh, misalkan terdapat sebuah

kotak yang berisi tiga bola. Diketahui bahwa setiap bola berwarna merah atau

putih, tetapi tidak diketahui banyaknya bola untuk setiap warna. Dipilih sampel

secara acak dua bola tanpa pengembalian. Jika sampel acak menghasilkan dua

bola merah, maka disimpulkan bahwa banyaknya bola merah pada kotak haruslah

dua atau tiga. Jika terdapat dua bola merah dan satu bola putih pada kotak, maka

peluang terpilihnya dua bola merah secara acak adalah

(22)(10)

(32)

=1

3.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 63: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

48

Di sisi lain ketika ketiga bola berwarna merah, maka peluang terpilihnya

tiga bola merah secara acak adalah

(32)

(32)= 1.

Oleh karena itu, dipilih tiga bola merah sebagai penduga dari banyaknya

bola merah di dalam kotak karena nilai dugaan ini merupakan penduga yang

memaksimumkan probabilitas dari sampel yang diamati. Hal ini jika

dibandingkan dengan dua bola merah, tiga bola merah mempunyai probabilitas

yang lebih besar, yaitu 1 >1

3. Tentu saja kemungkinan terdapat dua bola merah

pada kotak juga benar, tetapi hasil yang diamati memberikan kepercayaan yang

lebih untuk tiga bola merah di dalam kotak.

Contoh tersebut mengilustrasikan sebuah metode untuk menemukan sebuah

penduga yang dapat diaplikasikan pada berbagai situasi. Secara teknis, metode ini

disebut Metode Kemungkinan Maksimum. Metode tersebut diperkenalkan

pertama kali oleh R. A. Fisher (1912) yang menghasilkan penduga yang sangat

baik bagi parameter 𝜃 untuk sampel berukuran besar.

Definisi 2.37

Diberikan pengamatan saling bebas 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 yang merupakan variabel acak

kontinu berukuran 𝑛 dengan fungsi probabilitas 𝑓(𝑥|𝜃) dan 𝜃 adalah parameter

yang tidak diketahui. Misalkan fungsi kemungkinan tergantung pada 𝑘 buah

parameter, yaitu 𝜃1, 𝜃2, … , 𝜃𝑘, maka tujuan dari metode kemungkinan maksimum

adalah untuk menentukan penduga dari 𝜃 yang memaksimumkan fungsi

likelihood

𝐿(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛|𝜃1, 𝜃2, … , 𝜃𝑘) = 𝑓(𝑥|𝜃) =∏𝑓(𝑥𝑖; 𝜃).

𝑛

𝑖=1

Terkadang sulit untuk mencari turunan fungsi likelihood, maka yang

dilakukan adalah menentukan nilai maksimum dari fungsi log-likelihood. Fungsi

log-likelihood dapat ditulis dalam bentuk:

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 64: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

49

𝑙 = ln 𝐿(𝜃).

Nilai parameter 𝜃 dapat diperoleh dengan memaksimumkan fungsi log-

likelihood. Hal tersebut dilakukan dengan mencari turunan parsial pertama dari

fungsi log-likelihood-nya terhadap setiap parameternya. Sehingga, MLE 𝜃

merupakan penyelesaian dari persamaan berikut:

𝜕𝑙

𝜕𝜃= 0.

Misalkan terdapat 𝑘 buah parameter yang tidak diketahui, maka pendugaan

parameter 𝜃𝑖 dengan Metode Kemungkinan Maksimum adalah

𝜕𝑙

𝜕𝜃𝑖= 0,

dengan 𝑙 = ln(𝜃1, 𝜃2, … , 𝜃𝑘), 𝑖 = 1,2, … , 𝑘.

Contoh 2.25

Misalkan 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 adalah sampel acak berdistribusi Normal dengan rata-rata

𝜇 dan variansi 𝜎2. Temukanlah �̂� dan �̂�2 dengan menggunakan Metode

Kemungkinan Maksimum.

Solusi:

Karena 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 adalah sampel acak kontinu berdistribusi Normal dengan

rata-rata 𝜇 dan variansi 𝜎2, maka fungsi probabilitasnya didefinisikan sebagai

𝑓(𝑥) =1

𝜎√2𝜋exp [(−

1

2𝜎2) (𝑥 − 𝜇)2] , − ∞ < 𝑥 < ∞.

Berdasarkan Definisi MLE, diperoleh

𝐿(𝜇, 𝜎2) = 𝑓(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛|𝜇, 𝜎2)

= 𝑓(𝑥1|𝜇, 𝜎2) × 𝑓(𝑥2|𝜇, 𝜎

2) × …× 𝑓(𝑥𝑛|𝜇, 𝜎2)

= [

1

𝜎√2𝜋exp(

−(𝑥1 − 𝜇)2

2𝜎2)] × …× [

1

𝜎√2𝜋exp(

−(𝑥𝑛 − 𝜇)2

2𝜎2)]

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 65: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

50

= (1

2𝜋𝜎2)

𝑛2exp [−

1

2𝜎2∑(𝑥𝑖 − 𝜇)

2

𝑛

𝑖=1

].

Fungsi log-likelihood dari persamaan di atas adalah

ln[𝐿(𝜇, 𝜎2)] = ln {(1

2𝜋𝜎2)

𝑛2exp [−

1

2𝜎2∑(𝑥𝑖 − 𝜇)

2

𝑛

𝑖=1

]}

=𝑛

2[ln (

1

2𝜋𝜎2)] −

1

2𝜎2∑(𝑥𝑖 − 𝜇)

2

𝑛

𝑖=1

= −

𝑛

2ln(𝜎2) −

𝑛

2ln(2𝜋) −

1

2𝜎2∑(𝑥𝑖 − 𝜇)

2

𝑛

𝑖=1

Penduga kemungkinan maksimum dari 𝜇 dan 𝜎2 adalah penduga yang

memaksimumkan ln[𝐿(𝜇, 𝜎2)] dengan mencari nilai turunan parsial terhadap 𝜇

dan 𝜎2, maka diperoleh

Jika turunan parsial terhadap 𝜇 dan 𝜎2 disamakan dengan nol, maka diperoleh:

1

𝜎2∑(𝑥𝑖 − 𝜇)

𝑛

𝑖=1

= 0

∑(𝑥𝑖 − 𝜇)

𝑛

𝑖=1

= 0

∑𝑥𝑖 − 𝑛𝜇

𝑛

𝑖=1

= 0

𝜕 ln[𝐿(𝜇, 𝜎2)]

𝜕𝜇 =

1

𝜎2∑(𝑥𝑖 − 𝜇)

𝑛

𝑖=1

𝜕 ln[𝐿(𝜇, 𝜎2)]

𝜕𝜎2 = −

𝑛

2𝜎2+

1

2𝜎4∑(𝑥𝑖 − 𝜇)

2

𝑛

𝑖=1

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 66: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

51

𝜇 =∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=1

𝑛= �̅�

−𝑛

2𝜎2+

1

2𝜎4∑(𝑥𝑖 − 𝜇)

2

𝑛

𝑖=1

= 0

1

2𝜎4∑(𝑥𝑖 − 𝜇)

2

𝑛

𝑖=1

=𝑛

2𝜎2

1

𝜎2∑(𝑥𝑖 − 𝜇)

2

𝑛

𝑖=1

= 𝑛

𝜎2 =1

𝑛∑(𝑥𝑖 − 𝜇)

2

𝑛

𝑖=1

.

Dengan substitusi 𝜇 = �̅� ke persamaan, diperoleh

𝜎2 =1

𝑛∑ (𝑥𝑖 − �̅�)

2𝑛𝑖=1 .

Jadi, penduga kemungkinan maksimum untuk 𝜇 dan 𝜎2 adalah

𝜇 = �̅� dan 𝜎2 =1

𝑛∑ (𝑥𝑖 − �̅�)

2𝑛𝑖=1 .

G. Pencilan

1. Definisi Pencilan

Pencilan seringkali ada di dalam proses pengolahan data. Banyak

peneliti menganggap bahwa pencilan akan menjadikan pendugaan terjadi

kesalahan (error), sehingga diperlukan pendeteksian pencilan.

Definisi yang tepat dari pencilan sering tergantung pada asumsi data

dan metode deteksi yang diterapkan. Namun, beberapa definisi dianggap

cukup untuk berbagai jenis data dan metode. Hawkins (1980)

mendefinisikan pencilan sebagai satu atau lebih pengamatan yang nilainya

menyimpang jauh dari pengamatan lain yang menimbulkan kecurigaan

bahwa pengamatan dihasilkan oleh mekanisme yang berbeda. Barnet dan

Lewis (1994) mendefinisikan pencilan sebagai suatu pengamatan yang

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 67: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

52

menyimpang dengan sangat mencolok dari anggota sampel lainnya.

Johnson (1992) mendefinisikan pencilan sebagai pengamatan dalam

kumpulan data yang tampaknya tidak konsisten dengan kumpulan data

lainnya. Ferguson (1961), pencilan adalah data yang menyimpang dari

sekumpulan data yang lain. R. K. Sembiring (1950) mendefinisikan

pencilan dalam konteks analisis regresi, yaitu pengamatan yang jauh dari

pusat data yang mungkin berpengaruh besar terhadap koefisien regresi.

Dilihat dari beberapa definisi tersebut, dapat disimpulkan bahwa

pencilan adalah pengamatan yang nilainya menyimpang jauh dari

kumpulan data/pengamatan lainnya.

Contoh 2.26

Sebuah toko mempunyai rincian banyaknya barang yang terjual beserta

harganya yang disajikan dalam Tabel 2.3. Dengan 𝑋 = banyaknya buku

yang terjual dan 𝑌 = harga barang (dalam ribuan).

Tabel 2.3. Banyaknya barang yang terjual dan harga barang

Pengamatan X Y

1 19 792

2 17 807

3 14 812

4 11 829

5 18 835

6 35 850

7 9 855

Dengan menggambar grafik nilai Y terhadap nilai X, akan terlihat apakah

data tersebut memuat pencilan atau tidak, sehingga diperoleh:

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 68: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

53

Gambar 2.6. Harga Barang terhadap Banyaknya Barang yang Terjual

Berdasarkan Gambar 2.6 terlihat bahwa pengamatan ke-6 jauh di

atas pengamatan yang lain pada umumnya. Hal ini diperkuat dengan letak

titik pada grafik yang mencolok pada data pengamatan ke-6, sehingga data

tersebut bila dibandingkan dengan data lainnya memiliki perbedaan yang

sangat signifikan dan dapat diduga sebagai pencilan.

Contoh 2.27

Pada penelitian Badan Pusat Statistik (BPS) Provinsi D. I. Yogyakarta

telah diperoleh data produksi hasil hutan rimba menurut jenisnya pada

tahun 2001-2015 yang disajikan dalam tabel berikut:

Tabel 2.4. Produksi Hasil Hutan Rimba (Kayu Pertukangan)

Menurut Jenisnya di Provinsi D. I. Yogyakarta

No Tahun

Produksi

Hasil Hutan

(m3)

No Tahun

Produksi

Hasil Hutan

(m3)

1 2001 600.95 9 2009 1120.62

2 2002 52.78 10 2010 174.66

3 2003 36.36 11 2011 35.59

4 2004 20.16 12 2012 63.72

780

800

820

840

860

0 10 20 30 40

Y

X

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 69: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

54

No Tahun

Produksi

Hasil Hutan

(m3)

No Tahun

Produksi

Hasil Hutan

(m3)

5 2005 54.89 13 2013 195.65

6 2006 17.76 14 2014 266.66

7 2007 5.10 15 2015 14.50

8 2008 1120.62

Sumber: BPS Provinsi D. I. Yogyakarta

www.yogyakarta.bps.go.id/linkTabelStatis/view/id/49

Dengan menggambar grafik produksi hasil hutan rimba terhadap

waktu, akan terlihat apakah data tersebut mengandung data pencilan atau

tidak, sehingga diperoleh

Gambar 2.7. Produksi Hasil Hutan Rimba Terhadap Waktu

Berdasarkan Gambar 2.7 terlihat bahwa data tahun 2001, 2008 dan 2009

jauh di atas data yang lain pada umumnya. Hal ini diperkuat dengan letak

titik pada grafik yang mencolok pada data tahun 2001, 2008 dan 2009,

sehingga data tersebut bila dibandingkan dengan data lainnya memiliki

perbedaan yang sangat signifikan dan dapat diduga sebagai pencilan.

0

200

400

600

800

1000

1200

2001 2003 2005 2007 2009 2011 2013 2015Pro

du

ksi

Ha

sil

Hu

tan

(m3)

Tahun

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 70: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

55

2. Pengaruh Pencilan

Data pengamatan yang mengandung pencilan akan mengganggu

proses analisis data. Keberadaan pencilan dapat berpengaruh pada proses

perhitungan statistik yang akan berdampak pada hasil kesimpulan.

Melalui data pengamatan, diperoleh informasi-informasi penting

yang dapat membantu proses perhitungan. Informasi tersebut dapat berupa

rata-rata. Pada contoh 2.26 diperoleh rata-rata dari keseluruhan

pengamatan sebesar 825.7143. Di sisi lain, jika pengamatan yang

merupakan pencilan (pengamatan ke-6) tidak diikutsertakan dalam proses

perhitungan rata-rata, maka diperoleh rata-rata sebesar 821.667. Pada

contoh berikutnya (contoh 2.27) akan dicari pula rata-rata data. Diperoleh

rata-rata dari keseluruhan pengamatan sebesar 252.0013. Apabila

pengamatan yang merupakan pencilan (pengamatan tahun 2001, 2008, dan

2009) tidak diikutsertakan dalam perhitungan, maka diperoleh rata-rata

sebesar 78.1525. Hal ini terlihat bahwa dari kedua contoh tersebut

menunjukkan adanya perbedaan antara rata-rata keseluruhan pengamatan

dalam data dengan rata-rata data yang dihitung tanpa mengikutsertakan

pencilan. Jadi, keberadaan pencilan dapat memberikan perbedaan pada

perhitungan/hasil analisis data. Perbedaan yang terjadi akibat

meningkatnya pendugaan variansi (pengukuran semakin meluas), selang

data menjadi lebar dan rata-rata yang dihitung tidak dapat menunjukkan

nilai yang sebenarnya (bias).

Seringkali pencilan dihilangkan/dihapuskan untuk meningkatkan

akurasi dari pendugaan. Akan tetapi dalam praktiknya, hal tersebut tidak

dianjurkan karena terkadang pencilan dapat memiliki informasi yang

sangat berguna. Kehadiran data pencilan dapat menunjukkan individu atau

kelompok yang memiliki perilaku/nilai sangat berbeda dari situasi standar

dibanding dengan kumpulan pengamatan yang lain pada data.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 71: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

56

3. Pendeteksian Pencilan

3.1. Metode Grafis

Pencilan dapat dilihat berdasarkan grafis (gambar). Dengan

memplot data penelitian ke-i (i=1,2,…,n) dengan n adalah

banyaknya data penelitian, dapat diketahui data tersebut memuat

pencilan atau tidak. Apabila terdapat satu atau beberapa data yang

terletak jauh dari pola grafis pada kumpulan data keseluruhan, maka

hal ini dapat diidentifikasi bahwa data mengandung pencilan.

Metode ini mempunyai keuntungan, yaitu sangat mudah dipahami

karena tidak perlu menggunakan perhitungan rumit untuk mencari

pencilan, serta tampilannya yang menarik karena menampilkan data

secara grafis. Di sisi lain, terdapat pula kelemahan melalui metode

ini, yaitu keputusan bahwa suatu data disebut pencilan sangat

bergantung pada subyektivitas peneliti. Hal ini dikarenakan hanya

mengandalkan visualisasi grafis dan untuk itu dibutuhkan seseorang

yang ahli dan berpengalaman dalam menginterpretasikan grafis

tersebut.

Untuk lebih jelasnya, akan diperlihatkan identifikasi data

pencilan yang terdapat pada contoh berikut.

Contoh 2.28

Dalam suatu penelitian diketahui data jumlah wisatawan

mancanegara dan pengunjung asing yang masuk melalui pintu

Makassar pada tahun 2007 yang disajikan dalam tabel berikut.

Tabel 2.5. Jumlah wisatawan yang masuk melalui pintu Makassar

No Bulan X No Bulan X

1 Januari ‘07 187 11 November 383

2 Februari 989 12 Desember 246

3 Maret 741 13 Januari ‘08 228

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 72: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

57

No Bulan X No Bulan X

4 April 78 14 Februari 79

5 Mei 154 15 Maret 94

6 Juni 36 16 April 78

7 Juli 178 17 Mei 67

8 Agustus 99 18 Juni 112

9 September 323 19 Juli 430

10 Oktober 88

Keterangan: X adalah jumlah wisman dan pengunjung asing

Sumber: Ditjen Imigrasi, BPS dan Angkasa Pura I dan II

Diolah kembali oleh Pusat Pengelolaan Data dan Sistem Jaringan

www.budpar.go.id

Dengan menguji data menggunakan metode grafis akan

terlihat apakah data tersebut mengandung data pencilan atau tidak,

sehingga diperoleh:

Gambar 2.8. Scatter-plot Jumlah Wisman dan Pengunjung Asing

Berdasarkan Gambar 2.8 terlihat bahwa pengamatan bulan Februari

dan Maret 2007 jauh di atas pengamatan yang lain pada umumnya,

sehingga dapat diprediksi sebagai pencilan. Bila dibandingkan

0

200

400

600

800

1000

1200

0 5 10 15 20Wis

man

& P

eng

un

jun

g A

sin

g

Bulan

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 73: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

58

dengan pengamatan bulan Februari dan Maret 2008, terlihat

pengamatan bulan Februari dan Maret 2007 memiliki perbedaan

yang sangat signifikan. Hal ini dapat diduga sebagai pencilan.

3.2. Diagram Kotak Garis (Boxplot)

John Tukey (1977) memperkenalkan beberapa metode untuk

penyelidikan analisis data, salah satunya adalah metode Boxplot.

Sebuah Boxplot adalah grafik yang menyajikan median (𝑄2), kuartil

pertama (𝑄1) dan kuartil ketiga (𝑄3), serta setiap pencilan yang

termuat di dalam sampel. Melalui Boxplot dapat menunjukkan

ada/tidaknya nilai ekstrim dari data pengamatan.

Perhatikan bahwa 75% dari data adalah kurang dari kuartil

ketiga dan 25% adalah kurang dari kuartil pertama, hal berikut

bahwa 50%, atau setengah data berada di antara kuartil pertama dan

ketiga. Oleh karena itu, selang interkuartil (𝐼𝑄𝑅) adalah perbedaan

antara kuartil pertama dan kuartil ketiga. Jika 𝐼𝑄𝑅 = 𝑄3 − 𝑄1 akan

mewakili selang interkuartil, maka untuk menggambar Boxplot,

untuk setiap titik yang lebih dari 1.5 IQR di atas kuartil ketiga, atau

lebih dari 1.5 IQR di bawah kuartil pertama, dianggap pencilan.

Kerangka Boxplot terdiri dari: sebuah kotak memanjang dari

kiri ke kanan, sisi bawah kotak adalah 𝑄1 dan sisi atas adalah 𝑄3;

sebuah garis horizontal yang ditarik dari median; serta whiskers yang

memanjang dari atas dan bawah kotak, yaitu dari 𝑄1 dan 𝑄3.

Biasanya, whiskers secara signifikan lebih panjang dibandingkan

kotak. Whiskers yang pendek dapat diidentifikasi sebagai distribusi

seragam dengan titik-titik perhentian yang ekstrim.

Terdapat dua tipe pencilan yang terkenal, yaitu: pencilan

ringan (mild outliers) dan pencilan ekstrim (extreme outliers). Suatu

pengamatan 𝑥 disebut sebagai pencilan ekstrim, jika berada di luar

selang (𝑄1 − 3 × 𝐼𝑄𝑅, 𝑄3 + 3 × 𝐼𝑄𝑅). Perhatikan bahwa pusat dari

selang adalah (𝑄1 + 𝑄3) 2⁄ dan jangkauannya adalah 3.5 × 𝐼𝑄𝑅.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 74: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

59

Suatu pengamatan 𝑥 disebut sebagai pencilan ringan jika berada di

luar selang (𝑄1 − 1.5 × 𝐼𝑄𝑅, 𝑄3 + 1.5 × 𝐼𝑄𝑅). Angka 1.5 dan 3

dipilih dari perbandingan dengan distribusi Normal.

Untuk sampel besar dari populasi berdistribusi Normal,

kuartil harus dekat dengan 𝜇 ± 0.67𝜎. Dengan demikian, selang

bagian dalam harus dekat dengan 𝜇 ± 2.67𝜎 dan selang bagian luar

dekat dengan 𝜇 ± 4.67𝜎. Dapat disimpulkan bahwa, jika populasi

berdistribusi Normal, hanya sekitar 0.8% data akan ditemukan di

luar selang bagian dalam. Pencilan-pencilan diduga sebagai bukti

dari kumpulan data yang terkontaminasi, dapat menjadi bukti bahwa

populasi memiliki distribusi tidak Normal, atau diduga muncul

dalam sampel dari populasi berdistribusi Normal.

Untuk ukuran sampel yang kecil, diharapkan data ekstrim

yang lebih sedikit. Jika yang diambil hanyalah sampel kecil, maka

lebih cenderung untuk mendapatkan 𝐼𝑄𝑅 yang tidak dapat mewakili

yang kecil, sehingga menghasilkan selang yang sempit. Ketika ini

terjadi, kemungkinan besar bahwa data akan ditandai sebagai

pencilan, kecuali untuk 𝑁 kecil dan distribusi tunggal, perhitungan

probabilitas yang tepat adalah mustahil.

Di bawah ini diperlihatkan anatomi dari Boxplot beserta cara

penentuan batas-batasnya.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 75: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

60

Gambar 2.9. Anatomi dari Boxplot

Langkah-langkah pembuatan Boxplot:

1) Hitunglah median, kuartil pertama dan ketiga dari sampel.

Tunjukkan ini dengan garis horisontal. Gambar garis vertikal

untuk menyelesaikan kotak.

2) Cari nilai sampel terbesar yang tidak lebih dari 1.5 IQR

di atas kuartil ketiga, dan nilai sampel terkecil yang tidak lebih

dari 1.5 IQR di bawah kuartil pertama. Perpanjang garis

vertikal (whiskers) dari garis-garis kuartil menuju ke titik nilai

tersebut.

3) Nilai yang lebih dari 1.5 IQR di atas kuartil ketiga, atau lebih

dari 1.5 IQR di bawah kuartil pertama, tetapkan itu sebagai

pencilan. Gambarlah setiap pencilan secara satu per satu.

Data titik terbesar dari

1.5 IQR di bawah 𝑄1

Pencilan 𝑄2

𝑄1

𝑄3

Data titik terbesar dari

1.5 IQR di atas 𝑄3

𝑥

𝑥

𝑥

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 76: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

61

Contoh 2.29

Tabel 2.6. Durasi (dalam menit) periode aktif dari Geyser Old

Faithful

42 45 49 50 51 51 51 51 53 53

55 55 56 56 57 58 60 66 67 67

68 69 70 71 72 73 73 74 75 75

75 75 76 76 76 76 76 79 79 80

80 80 80 81 82 82 82 83 83 84

84 84 85 86 86 86 88 90 91 93

Berikut adalah gambar Boxplot yang diperoleh berdasarkan data

Gambar 2.10. Boxplot Contoh 2.29

Gambar 2.10 menyajikan Boxplot untuk data yang disajikan

pada Tabel 2.6. Catatan pertama bahwa tidak ada pencilan dalam

data tersebut. Dengan membandingkan empat bagian Boxplot,

dapat dikatakan bahwa nilai-nilai sampel relatif dekat antara

median dan kuartil ketiga, serta lebih jauh antara median dan

kuartil pertama. Whiskers bawah adalah sedikit lebih jauh dari

yang atas, ini menunjukkan bahwa data memiliki bagian yang

sedikit lebih panjang dan lebih rendah dari bagian atas. Oleh

karena jarak antara median dan kuartil pertama lebih jauh dari

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 77: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

62

jarak antara median dan kuartil ketiga, maka seperempat data

yang rendah menghasilkan whiskers yang lebih panjang

dibandingkan dengan seperempat yang paling atas. Boxplot ini

menunjukkan bahwa data tidak simetris ke kiri.

Contoh 2.30

Tabel 2.7 memberikan informasi tentang ukuran ketebalan dalam

angstrom (𝐴)̇ , dari lapisan oksida untuk 24 wafers (Navidi, 2011:

36). Sembilan kali pengukuran dilakukan pada setiap wafer.

Wafers tersebut diproduksi di dalam dua pengukuran secara

terpisah dengan 12 wafers berada di dalam setiap pengukuran.

Kedua belas wafers di dalam setiap pengukuran terdiri dari

beberapa jenis yang berbeda dan diproses dalam beberapa lokasi

tungku yang berbeda. Tujuan dalam mengumpulkan data adalah

untuk menentukan apakah ketebalan lapisan oksida salah satunya

dipengaruhi oleh jenis wafer atau lokasi tungku. Oleh karena itu,

hal yang menjadi sorotan dalam percobaan ini adalah jenis wafer

dan lokasi tungku sebagai faktor-faktornya, dan ketebalan lapisan

oksida sebagai hasilnya.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 78: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

63

Tabel 2.7. Ketebalan Lapisan Oksida Bagi Silicon Wafers

Wafer Ketebalan

Penilaian 1

1 90.0 92.2 94.9 92.7 91.6 88.2 92.0 98.2 96.0

2 91.8 94.5 93.9 77.3 92 89.9 87.9 92.8 93.3

3 90.3 91.1 93.3 93.5 87.2 88.1 90.1 91.9 94.5

4 92.6 90.3 92.8 91.6 92.7 91.7 89.3 95.5 93.6

5 91.1 89.8 91.5 91.5 90.6 93.1 88.9 92.5 92.4

6 76.1 90.2 96.8 84.6 93.3 95.7 90.9 100.3 95.2

7 92.4 91.7 91.6 91.1 88.0 92.4 88.7 92.9 92.6

8 91.3 90.1 95.4 89.6 90.7 95.8 91.7 97.9 95.7

9 96.7 93.7 93.9 87.9 90.4 92.0 90.5 95.2 94.3

10 92.0 94.6 93.7 94 89.3 90.1 91.3 92.7 94.5

11 94.1 91.5 95.3 92.8 93.4 92.2 89.4 94.5 95.4

12 91.7 97.4 95.1 96.7 77.5 91.4 90.5 95.2 93.1

Wafer Ketebalan

Penilaian 2

1 93.0 89.9 93.6 89 93.6 90.9 89.8 92.4 93.0

2 91.4 90.6 92.2 91.9 92.4 87.6 88.9 90.9 92.8

3 91.9 91.8 92.8 96.4 93.8 86.5 92.7 90.9 92.8

4 90.6 91.3 94.9 88.3 87.9 92.2 90.7 91.3 93.6

5 93.1 91.8 94.6 88.9 90.0 97.9 92.1 91.6 98.4

6 90.8 91.5 91.5 91.5 94.0 91.0 92.1 91.8 94.0

7 88.0 91.8 90.5 90.4 90.3 91.5 89.4 93.2 93.9

8 88.3 96.0 92.8 93.7 89.6 89.6 90.2 95.3 93.0

9 94.2 92.2 95.8 92.5 91.0 91.4 92.8 93.6 91.0

10 101.5 103.1 103.2 103.5 96.1 102.5 102 106.7 105.4

11 92.8 90.8 92.2 91.7 89.0 88.5 87.5 93.8 91.4

12 92.1 93.4 94.0 94.7 90.8 92.1 91.2 92.3 91.1

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 79: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

64

Solusi:

Langkah pertama dalam analisis ini adalah membuat sebuah

Boxplot untuk data di masing-masing penilaian untuk membantu

menentukan apakah ditemukan pencilan dan apakah salah satu

pengamatan harus dihapus?

Hasil Boxplot disajikan pada Gambar 2.11.

Gambar 2.11. Perbandingan Boxplot untuk Data Ketebalan Lapisan

Oksida

Boxplot menunjukkan bahwa ada beberapa pencilan

dalam setiap pengukuran. Perhatikan bahwa selain dari pencilan

ini, tidak ada perbedaan yang mencolok antara sampel, dan

karena itu tidak ada bukti perbedaan secara sistematis

antarpengukuran. Langkah berikutnya adalah memeriksa

pencilan, jika ada, harus dihapus. Dengan memeriksa data

tersebut, dapat dilihat bahwa sembilan pengukuran terbesar

berada di dalam pengukuran 2 yang terjadi pada wafer ke-10. Hal

itu kemudian ditetapkan bahwa wafer tersebut telah

terkontaminasi dengan residual film, yang menyebabkan

pengukuran ketebalan besar. Oleh karena itu, akan sesuai untuk

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 80: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

65

menghapus pengukuran ini. Dalam pengukuran 1, telah

ditemukan tiga pengukuran terkecil yang disebabkan oleh

rusaknya alat pengukuran ketebalan, dan karena itu tepat dihapus.

Akan tetapi, tidak adanya alasan yang kuat untuk dua pencilan

yang tersisa dalam pengukuran 1, sehingga dapat dimasukkan

dalam analisis.

3.3. Uji Grubbs

Uji ini digunakan untuk mendeteksi pencilan pada suatu

waktu dalam kumpulan data univariat. Hal ini didasarkan pada

asumsi Normalitas. Artinya bahwa sebelum menerapkan uji

Grubbs, data harus cukup dekat dengan distribusi Normal. Jika

sampel diselidiki berdistribusi lainnya, maka uji ini memberikan

hasil yang tidak sebenarnya.

Uji ini didasarkan pada perbedaan rata-rata sampel dan

data yang paling ekstrim dengan mempertimbangkan standar

deviasi (Grubbs, 1950, 1969; DIN 32645; DIN 38402).

Definisi 2.38

Statistik uji Grubbs diberikan dengan

𝐺 =maks|𝑋𝑖 − �̅�|

𝑠

dengan 𝑋𝑖 adalah pengamatan ke-𝑖, �̅� dan 𝑠 adalah rata-rata dan

standar deviasi sampel. (Dan, E. D., and Ijeoma, O. A., 2013: 11)

Langkah-langkah Pengujian Hipotesis

1) H0: Pengamatan ke-𝑖 bukan pencilan

2) H1: Pengamatan ke-𝑖 merupakan pencilan

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 81: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

66

3) Asumsi: Data Pengamatan Berdistribusi Normal

Statistik Uji:

𝐺 =maks|𝑋𝑖 − �̅�|

𝑠, 𝑖 = 1. . , 𝑛

4) Wilayah Kritis:

H0 ditolak jika 𝐺 >(𝑛−1)

√𝑛√

𝑡(𝛼 𝑛,𝑛−2)⁄2

𝑛−2+𝑡(𝛼 𝑛,𝑛−2)⁄2 ,

dengan 𝑛 adalah ukuran sampel, 𝑡(𝛼 𝑛,𝑛−2)⁄ adalah nilai kritis dari

distribusi 𝑡 dengan derajat bebas (𝑛 − 2) dan tingkat signifikansi

dari (𝛼 𝑛)⁄ .

5) Perhitungan

6) Kesimpulan

Contoh 2.31

Diketahui data penelitian sebagai berikut

Tabel 2.8. Data Boiler

1200 2566 3120 3728 4206 6500

1206 2635 3137 3748 4268 6565

1515 2680 3163 3775 4526 6928

1965 2735 3211 4006 5651 7606

2048 2974 3698 4065 6454 14791

2000 2972 3590 4023 6387 10825

Temukanlah pencilan di dalam data Boiler tersebut.

Solusi:

Dengan menggunakan Program R (lampiran 1), diperoleh data ke-

30 dan 36, yaitu 14791 dan 10825 terdeteksi sebagai pencilan.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 82: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

67

3.4. Uji MAD (Median Absolute Deviation)

Pengujian ini dilakukan untuk mendeteksi adanya pencilan

dalam suatu kumpulan data yang diteliti.

Definisi 2.39 (Huber, 1981)

MAD didefinisikan sebagai berikut:

MAD = 𝑏�̃�𝑖(|𝑥𝑖 − �̃�𝑗(𝑥𝑗)|)

dengan �̃�𝑗(𝑥𝑗) adalah median dari 𝑛 pengamatan, 𝑥𝑖 adalah

pengamatan terurut, �̃�𝑖(|𝑥𝑖 − �̃�𝑗(𝑥𝑗)|) adalah median dari 𝑛 nilai

mutlak dari (𝑥𝑖 − �̃�𝑗(𝑥𝑗)). (Rousseeuw dan Croux, 1993)

Nilai 𝑏 adalah sebuah konstanta yang terkait dengan asumsi

Normalitas atau ketidaknormalan yang disebabkan oleh pencilan.

Nilai 𝑏 dapat diperoleh dari 𝑏 = 1/𝑄(0.75), dengan 𝑄(0.75) adalah

kuartil 0.75 dari distribusi yang diasumsikan. Dalam kasus

Normalitas, nilai 𝑏 = 1/𝑄(0.75) = 1.4826 (Huber, 1981).

Dalam pengujian menggunakan MAD harus ditentukan

terlebih dahulu kriteria penolakan suatu nilai. Miller (1991)

mengusulkan beberapa nilai, yaitu 3 (sangat konservatif), 2.5

(cukup konservatif) atau 2 (kurang konservatif).

Misalkan dipilih batas tepi dengan nilai 3, maka kriteria

keputusan menjadi:

�̃� − 3 × MAD < 𝑥𝑖 < �̃� + 3 × MAD

atau

𝑥𝑖−�̃�

MAD> | ± 3|,

dengan �̃� adalah median dari data pengamatan.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 83: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

68

Langkah-langkah Pengujian Hipotesis

1) H0: Pengamatan ke-𝑖 bukan pencilan

2) H1: Pengamatan ke-𝑖 merupakan pencilan

3) Asumsi: Data Pengamatan Berdistribusi Normal

Statistik Uji:

𝑥𝑖 − �̃�

MAD,

dengan �̃� adalah median dari data pengamatan

4) Wilayah Kritis:

H0 ditolak jika

𝑥𝑖 ∉ (�̃� − 3 × MAD, �̃� + 3 × MAD)

atau

𝑥𝑖 − �̃�

MAD< | ± 3|

5) Perhitungan

6) Kesimpulan

Uji ini akan diaplikasikan pada contoh 3.8 dalam bab 3.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 84: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

69

BAB III

SELANG KEPERCAYAAN ROBUST

A. Statistika Robust

Bidang statistika robust menjadi penting dalam beberapa dekade terakhir.

Banyak peneliti menggunakan metode statistik 𝑟𝑜𝑏𝑢𝑠𝑡 yang klasik dan

pengembangan teori komprehensif dari kekekaran (𝑟𝑜𝑏𝑢𝑠𝑡𝑛𝑒𝑠𝑠), karena ada

keuntungan dari statistik 𝑟𝑜𝑏𝑢𝑠𝑡.

Dengan digunakannya metode robust, hasil yang diharapkan meskipun

dalam kondisi yang tidak ideal (seperti variansi data terlalu besar dan terdapat

pencilan) akan tetap akurat. Banyak ahli statistik mengatakan bahwa analisis data

statistik harus selalu mempertimbangkan aspek "𝑟𝑜𝑏𝑢𝑠𝑡". Apa yang dimaksud

" 𝑟𝑜𝑏𝑢𝑠𝑡"?

Menurut Kamus Oxford, kata robust dapat didefinisikan sebagai berikut.

(a) (of an object) study in construction.

‘a robust metal cabinet’

(b) (of a system, organization, etc.) able to withstand or overcome adverse

conditions.

‘the country's political system has continued to be robust in spite of its economic

problems’

(c) Uncompromising and forceful.

‘he took quite a robust view of my case’

Berdasarkan ketiga definisi tersebut, dapat disimpulkan bahwa robust

adalah kata sifat yang berarti kekar, kuat, atau kokoh. Diharapkan dengan statistik

robust inilah suatu data dapat tetap kekar walaupun ada faktor-faktor pengganggu

yang terdapat di dalam suatu data, misalnya pengamatan pencilan.

Asumsi Normalitas, saling bebas, dan linearitas sering tidak terpenuhi

dalam analisis data. Penduga dan uji statistik yang didasarkan pada asumsi-asumsi

tersebut akan memberikan hasil yang bias, tergantung pada "besarnya" pe-

nyimpangan dan "sensitivitas" dari prosedur yang ada. Untuk mendapatkan hasil

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 85: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

70

yang dapat diandalkan, teori statistik diperlukan untuk jenis penyimpangan model

parametrik. Statistik nonparametrik membolehkan berbagai variasi distribusi

probabilitas, sehingga asumsi distribusi Normal tidak lagi relevan. Namun, ada

juga asumsi yang harus dipenuhi dalam statistik nonparametrik, seperti simetri

dan kontinuitas mutlak. Penyimpangan dari prasyarat ini menyebabkan hasil yang

bias dan terdistorsi. Sifat robust di dalam statistika umumnya menunjukkan

ketidaksensitivan pada penyimpangan di sekitar suatu model probabilistik yang

mendasari (Hoaglin, et al: 2). Statistik robust dapat dilihat sebagai pendekatan

terhadap teori pendugaan model parametrik.

Statistik yang robust adalah cara tepat untuk meringkas hasil, ketika

diduga ada sebagian kecil dalam data yang merupakan pencilan. Sebagian besar

penduga parameter lokasi (misalnya, rata-rata) dan parameter skala (misalnya,

standar deviasi) tergantung pada asumsi implisit, misalnya data merupakan

sampel acak berdistribusi Normal. Tetapi, diketahui bahwa data analitik seringkali

bermula dari suatu model. Distribusi dari suatu data seringkali berbentuk sangat

miring dan terkadang memuat pencilan.

B. Pengujian Robustness

Kurva Sensitivitas

Kurva sensitivitas menunjukkan pengaruh nilai tambahan pada suatu

pengamatan terhadap penduga. Misalkan ada sebuah penduga yang didefinisikan

untuk sampel yang berukuran sembarang 𝑛. Untuk sampel yang berukuran 𝑛 − 1

dengan variabel acak 𝑥1, … , 𝑥𝑛−1 akan menduga 𝑇𝑛−1(𝑥1, … , 𝑥𝑛−1). Perubahan

nilai dugaan terjadi ketika adanya suatu nilai yang sama dengan 𝑥 dari sebuah

pengamatan ke-𝑛, yaitu 𝑇𝑛(𝑥1, … , 𝑥𝑛−1, 𝑥) − 𝑇𝑛−1(𝑥1, … , 𝑥𝑛−1). Kita dapat

membuat perbandingan ukuran sampel dengan mempertimbangkan perubahan

secara proporsional dalam ukuran sampel. Kita bagi perubahan nilai dugaan

dengan 1/𝑛 atau ekuivalen dengan mengalikannya dengan 𝑛. Hasilnya berupa

kurva sensitivitas.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 86: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

71

Definisi 3.1

Kurva sensitivitas dari penduga 𝑇𝑛, didefinisikan untuk 𝑛 = 2,3, …, pada sampel

𝑥1, … , 𝑥𝑛−1 adalah

𝑆𝐶(𝑥; 𝑥1, … , 𝑥𝑛−1, 𝑇𝑛) = 𝑛{𝑇𝑛(𝑥1, … , 𝑥𝑛−1, 𝑥) − 𝑇𝑛−1(𝑥1, … , 𝑥𝑛−1)}.

Kurva sensitivitas dianggap sebagai fungsi dari penambahan pengamatan

𝑥, tetapi bergantung pada sampel dan bentuk dari penduga. Notasi untuk kurva

sensitivitas adalah 𝑆𝐶(𝑥).

Contoh 3.1

Diberikan pengamatan sampel 𝑥1, … , 𝑥𝑛−1. Pengamatan sampel dengan

penambahan 𝑥, yaitu 𝑥1, … , 𝑥𝑛−1, 𝑥. Tentukanlah kurva sensitivitas dari penduga

rata-rata sampel.

Solusi:

Penduga 𝑇𝑛 = �̅� =∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=1

𝑛.

𝒊 𝒙𝒊

1 𝑥1

2 𝑥2

⋮ ⋮

𝑛 − 1 𝑥𝑛−1

𝑛 𝑥𝑛

Nilai

tambahan

Contoh 3.2

Diberikan data pengamatan sampel berukuran 𝑛 − 1 sebagai berikut.

𝒊 1 2 3 4 5 6 7 8 9

𝒙𝒊 5 6 7 8 9 10 11 12 13

𝑆𝐶(𝑥) = 𝑛{𝑇𝑛(𝑥1, … , 𝑥𝑛−1, 𝑥) − 𝑇𝑛−1(𝑥1, … , 𝑥𝑛−1)}

= 𝑛 (

∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=1

𝑛−∑ 𝑥𝑖𝑛−1𝑖=1

𝑛 − 1)

= (∑𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

−𝑛

𝑛 − 1∑𝑥𝑖

𝑛−1

𝑖=1

)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 87: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

72

Tentukanlah kurva sensitivitas dari penduga rata-rata sampel tersebut dengan nilai

tambahan yang berbeda-beda, yaitu 90, 150, 225, 450.

Solusi:

Dengan menggunakan rumus yang telah diperoleh pada Contoh 3.1,

untuk 𝑥𝑛 = 90 * untuk 𝑥𝑛 = 150

untuk 𝑥𝑛 = 225 * untuk 𝑥𝑛 = 450

Gambar 3.1. Kurva Sensitivitas untuk Rata-rata

Dari Gambar 3.1 terlihat bahwa semakin besar nilai tambahan pada data

pengamatan, semakin besar pula nilai dari sensitivitas kurva untuk rata-rata.

50

150

250

350

450

0 100 200 300 400

SC (

x)

Xn

𝑆𝐶(𝑥) =∑𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

−𝑛

𝑛 − 1∑𝑥𝑖

𝑛−1

𝑖=1

= 231 − 90 = 141

𝑆𝐶(𝑥) =∑𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

−𝑛

𝑛 − 1∑𝑥𝑖

𝑛−1

𝑖=1

= 171 − 90 = 81

𝑆𝐶(𝑥) =∑𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

−𝑛

𝑛 − 1∑𝑥𝑖

𝑛−1

𝑖=1

= 531 − 90

= 441

𝑆𝐶(𝑥) =∑𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

−𝑛

𝑛 − 1∑𝑥𝑖

𝑛−1

𝑖=1

= 306 − 90

= 216

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 88: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

73

Contoh 3.3

Misalkan 𝑛 = 2𝑚 + 1 adalah bilangan ganjil dan penduganya adalah median.

Misalkan 𝑥(1) < ⋯ < 𝑥(𝑛−1) adalah statistik terurut bagi sampel 𝑥1, … , 𝑥𝑛−1.

Kemudian

𝑇𝑛−1(𝑥1, … , 𝑥𝑛−1) =1

2[𝑥(𝑚) + 𝑥(𝑚+1)],

dan

𝑆𝐶(𝑥) =

{

𝑛 {𝑥(𝑚) −

1

2[𝑥(𝑚) + 𝑥(𝑚+1)]} =

𝑛

2[𝑥(𝑚) − 𝑥(𝑚+1)] jika 𝑥 < 𝑥(𝑚),

𝑛 {𝑥 −1

2[𝑥(𝑚) + 𝑥(𝑚+1)]} jika 𝑥(𝑚) ≤ 𝑥 ≤ 𝑥(𝑚+1),

𝑛 {𝑥(𝑚+1) −1

2[𝑥(𝑚) + 𝑥(𝑚+1)]} =

𝑛

2[𝑥(𝑚+1) − 𝑥(𝑚)] jika 𝑥 > 𝑥(𝑚+1).

Gambar 3.2. Kurva Sensitivitas untuk Median Contoh 3.3

Contoh 3.4

Diberikan data pengamatan statistik terurut pada sampel berukuran 𝑛 − 1 sebagai

berikut.

𝒊 1 2 3 4 5 6 7 8

𝒙𝒊 5 6 7 8 9 10 11 12

Xn

SC (x)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 89: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

74

Tentukanlah kurva sensitivitas dari penduga median sampel tersebut dengan nilai

tambahan yang sama seperti nilai tambahan pada Contoh 3.2, yaitu 90, 150, 225,

450.

Solusi:

Karena 𝑛 = 9 adalah bilangan ganjil, maka 𝑚 = 4.

Dengan menggunakan rumus pada Contoh 3.3,

untuk 𝑥 = 90 * untuk 𝑥 = 150

untuk 𝑥 = 225 * untuk 𝑥 = 450

Gambar 3.3. Kurva Sensitivitas untuk Median Contoh 3.4

Dari gambar 3.3 terlihat bahwa semakin besar nilai tambahan pada data

pengamatan, maka nilai dari kurva sensitivitas untuk median adalah suatu nilai

yang konstan.

0

1

2

3

4

5

0 100 200 300 400

SC (

x)

Xn

𝑆𝐶(𝑥) =𝑛

2[𝑥(𝑚+1) − 𝑥(𝑚)]

= 4.5(9 − 8)

= 4.5

𝑆𝐶(𝑥) =𝑛

2[𝑥(𝑚+1) − 𝑥(𝑚)]

= 4.5(9 − 8)

= 4.5

𝑆𝐶(𝑥) =𝑛

2[𝑥(𝑚+1) − 𝑥(𝑚)]

= 4.5(9 − 8)

= 4.5

𝑆𝐶(𝑥) =𝑛

2[𝑥(𝑚+1) − 𝑥(𝑚)]

= 4.5(9 − 8)

= 4.5

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 90: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

75

C. Penduga 𝑴 (Penduga Huber)

Salah satu teori untuk mempelajari sifat 𝑟𝑜𝑏𝑢𝑠𝑡 dari penduga lokasi yang

sangat sederhana adalah dengan menerapkan penduga 𝑀. Penduga 𝑀 di-

perkenalkan oleh Huber (1964, 1967), yang meminimalkan fungsi deviasi

pengamatan dari nilai dugaan. Dengan cara ini, penduga 𝑀 meliputi rata-rata dan

median sebagai kasus khusus. Di samping itu, secara umum penduga 𝑀

merupakan penduga kemungkinan maksimum (maximum-likelihood) dari

parameter lokasi di dalam distribusi tertentu. Dengan demikian, pemilihan

penduga 𝑀 yang sesuai akan memiliki efisiensi robust yang baik di dalam sampel

berukuran besar.

Penduga 𝑀 meminimalkan fungsi tujuan yang bersifat lebih umum

daripada yang sudah dikenal, yaitu jumlah kuadrat residual terkait dengan rata-

rata sampel. Penduga 𝑀 menerapkan fungsi 𝜌(𝑥; 𝑡) dan membentuk fungsi tujuan

dengan menjumlahkan untuk seluruh sampel: ∑ 𝜌(𝑥𝑖; 𝑡)𝑛𝑖=1 . Seringkali 𝜌(𝑥; 𝑡)

hanya tergantung pada 𝑥 dan 𝑡 melalui 𝑥 − 𝑡, sehingga dapat ditulis 𝜌(𝑥 − 𝑡).

Sifat 𝜌 menentukan sifat-sifat penduga 𝑀.

Definisi 3.2

Penduga 𝑀, 𝑇𝑛(𝑥1, … , 𝑥𝑛) sebagai fungsi 𝜌 dan sampel 𝑥1, … , 𝑥𝑛 adalah nilai 𝑡

yang meminimalkan fungsi tujuan ∑ 𝜌(𝑥𝑖; 𝑡)𝑛𝑖=1 .

Jika diketahui turunan dari 𝜌 terhadap 𝑡, maka sebuah fungsi yang

dilambangkan dengan 𝜓 dapat digunakan untuk menentukan 𝑇𝑛 dengan mencari

nilai 𝑡 yang memenuhi:

∑ 𝜓(𝑥𝑖; 𝑡) = 0𝑛𝑖=1 .

(Hoaglin, et al: 341)

Contoh 3.5. Rata-rata Sampel

Misalkan 𝑇𝑛 = �̅� dari sampel acak 𝑥1, … , 𝑥𝑛 sebagai fungsi 𝜌, yaitu kuadrat

residual yang diberikan dengan:

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 91: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

76

𝜌(𝑥; 𝑡) = (𝑥 − 𝑡)2.

Carilah nilai 𝑡.

Solusi:

Akan dicari terlebih dahulu turunan dari 𝜌(𝑥; 𝑡) terhadap 𝑡, yaitu:

𝜌′(𝑥; 𝑡) =𝑑𝜌(𝑥; 𝑡)

𝑑𝑡= −2(𝑥 − 𝑡)

Selanjutnya mencari nilai 𝑡 yang memenuhi:

∑ 𝜓(𝑥𝑖; 𝑡) = 0𝑛

𝑖=1

∑(𝑥𝑖 − 𝑡)

𝑛

𝑖=1

= 0

∑𝑥𝑖 − 𝑛𝑡

𝑛

𝑖=1

= 0

𝑡 =∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=1

𝑛= �̅�.

Karena 𝑡 = ∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=1 𝑛 ⁄ menyelesaikan persamaan tersebut, maka 𝑇𝑛 benar sebagai

penduga rata-rata sampel. Gambar 3.4 menunjukkan fungsi 𝜌 dan 𝜓 untuk rata-

rata sampel.

(a)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 92: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

77

(b)

Gambar 3.4. Penduga dengan fungsi tujuan kuadrat residual.

(a) Fungsi Tujuan, 𝜌(𝑥; 𝑡) = (𝑥 − 𝑡)2; (b) Fungsi 𝜓, 𝜓(𝑥; 𝑡) = 𝑥 − 𝑡.

Rata-rata memiliki 𝜓(𝑥𝑖; 𝑇𝑛) = 𝑥𝑖 − 𝑇𝑛 yang sensitif terhadap semua

pengamatan dan secara khusus saat dipengaruhi oleh adanya pencilan. Fungsi 𝜓

tak terbatas di kedua arah seperti yang digambarkan pada Gambar 3.4 (b). Dari

grafik tersebut dapat dibaca bahwa adanya pencilan yang sangat kecil atau sangat

besar akan berpengaruh terhadap rata-rata (sensitif).

Contoh 3.6. Median Sampel

Misalkan 𝑇𝑛 sebagai penduga median dari sampel acak 𝑥1, … , 𝑥𝑛. Fungsi 𝜌 adalah

nilai mutlak residual yang diberikan dengan:

𝜌(𝑥; 𝑡) = |𝑥 − 𝑡|.

Akan ditunjukkan bahwa penyelesaian dari ∑ 𝜓(𝑥𝑖; 𝑡) = 0𝑛𝑖=1 adalah median.

Sebelum menyelesaikan persamaan tersebut, terlebih dahulu akan didefinisikan

fungsi signum.

Definisi 3.3

Misalkan diberikan nilai mutlak 𝑥 yang dinotasikan dengan |𝑥|. Turunan dari nilai

mutlak 𝑥 adalah sebuah fungsi signum yang didefinisikan dengan:

sgn(𝑥) = {+1 , 𝑥 > 00 , 𝑥 = 0−1 , 𝑥 < 0.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 93: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

78

Contoh 3.7

Temukan turunan 𝑓′(𝑥) dari 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 1|.

Solusi:

Misalkan 𝑢 = 𝑥 − 1, diperoleh turunan dari 𝑓(𝑥) adalah sebagai berikut:

sgn(𝑢) = {+1 , 𝑥 > 10 , 𝑥 = 1−1 , 𝑥 < 1.

Selanjutnya akan dicari solusi untuk Contoh 3.6. Turunan dari 𝜌(𝑥; 𝑡) = |𝑥 − 𝑡|

adalah sebagai berikut:

𝜓(𝑥; 𝑡) = sgn(𝑥 − 𝑡),

dengan 𝑢 = 𝑥 − 𝑡,

sgn(𝑢) = {+1 , 𝑥 > 𝑡0 , 𝑥 = 𝑡−1 , 𝑥 < 𝑡.

Rumus

∑ 𝜓(𝑥𝑖; 𝑡) =∑ sgn(𝑥𝑖 − 𝑡)𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑖=1

menghitung setiap pengamatan yang lebih dari 𝑡 akan bernilai +1 dan setiap

pengamatan yang kurang dari 𝑡 akan bernilai −1, sehingga 𝑡 = median yang

menghasilkan jumlahan nol. Gambar 3.5 menunjukan 𝜌 dan 𝜓 sebagai fungsi

tujuan mutlak residual.

(a)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 94: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

79

(b)

Gambar 3.5. Pendugaan dengan fungsi tujuan mutlak residual.

(a) Fungsi Tujuan, 𝜌(𝑥; 𝑡) = |𝑥 − 𝑡|; (b) Fungsi 𝜓, 𝜓(𝑥; 𝑡) = sgn(𝑥 − 𝑡).

Pemilihan fungsi tujuan untuk pendugaan 𝑀 menggeneralisasikan

pendugaan kuadrat terkecil. Namun demikian, fungsi 𝜓 bekerja lebih baik

daripada fungsi 𝜌. Median adalah solusi dari ∑ sgn(𝑥𝑖 − 𝑇𝑛)𝑛𝑖=1 = 0. Median

insensitif terhadap pencilan tetapi sensitif terhadap nilai dari satu atau dua

pengamatan yang berada di tengah. Fungsi 𝜓 terbatas tetapi memiliki sebuah

loncatan pada 0 seperti yang digambarkan pada Gambar 3.5 (b). Dari grafik

tersebut dapat dibaca bahwa adanya pencilan yang sangat kecil atau sangat besar

tidak berpengaruh terhadap median (insensitif).

D. MAD (Median Absolute Deviation)

MAD ditemukan dan dipopulerkan oleh Hampel (1974) sebagai salah satu

penduga skala yang robust, yaitu menduga standar deviasi dari sampel. Dapat

dikatakan bahwa MAD sebagai penduga skala yang insensitif terhadap adanya

pencilan. Huber (1981) mendeskripsikan MAD sebagai "penduga skala tunggal

yang paling berguna".

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 95: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

80

Contoh 3.8

Diketahui data sebagai berikut:

Temukanlah nilai MAD dari data tersebut.

Solusi:

Langkah awal adalah melakukan pendeteksian pencilan pada data.

Dengan menggunakan pendeteksian uji MAD melalui program R (lampiran 2),

diperoleh:

Gambar 3.6. Hasil Pendeteksian Uji MAD

Melalui Gambar 3.6 dapat terlihat bahwa data memuat pencilan pada 𝑥 = 9.9.

Langkah selanjutnya adalah menghitung nilai MAD yang memerlukan tahap-

tahap sebagai berikut.

(a) Urutkan setiap pengamatan dalam data dari yang terkecil sampai yang

terbesar, sehingga diperoleh

4.2 4.5 4.9 5.2 5.6 6.2 9.9

(b) Carilah median dari data pengamatan terurut tersebut.

Karena 𝑛 = 7 (ganjil), maka diperoleh �̃� = 𝑥(𝑛+1)/2 = 𝑥4 = 5.2.

4.5 4.9 5.6 4.2 6.2 5.2 9.9

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 96: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

81

(c) Setiap pengamatan terurut dikurangi dengan median yang menghasilkan

nilai-nilai mutlak, yaitu

1.0 0.7 0.3 0.0 0.4 1.0 4.7

(d) Urutkan hasil yang diperoleh pada (c), sehingga diperoleh

0.0 0.3 0.4 0.7 1.0 1.0 4.7

(e) Temukan median dari data terurut pada (d).

Karena 𝑛 = 7 (ganjil), maka diperoleh �̃� = 𝑥(𝑛+1)/2 = 𝑥4 = 0.7.

(f) Temukan MAD dengan cara mengalikan median pada (e) dengan 𝑏 =

1.4826, sehingga diperoleh:

MAD = 1.4826 × 0.7 = 1.03782. ∎

Untuk menguji kerobustan dari penduga MAD akan ditunjukkan dengan

kurva sensitivitas yang akan dibandingkan dengan standar deviasi (𝑠). Melalui

data pada Contoh 3.8 dan dengan diberikan penambahan nilai ekstrim yang

berbeda-beda, yaitu 9.9, 50, 75, 105 akan diperoleh kurva sensitivitas sebagai

berikut:

(a)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 97: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

82

(b)

Gambar 3.7. (a) Kurva Sensitivitas untuk MAD; (b) Kurva

Sensitivitas untuk Standar Deviasi.

Dari grafik tersebut dapat dibaca bahwa adanya pencilan yang sangat kecil

atau sangat besar tidak berpengaruh terhadap MAD (insensitif), tetapi

berpengaruh pada standar deviasi (sensitif).

E. Selang Kepercayaan Robust bagi Parameter Lokasi

Selang kepercayaan robust berdasarkan penduga yang robust dapat

terbentuk ketika distribusi yang mendasari bukan dari distribusi simetris.

Kepercayaan robust diperkenalkan oleh Huber (1968). Fraiman, et al (2001)

mengkonstruksikan selang kepercayaan robust berdasarkan optimal robust pada

penduga 𝑀 bagi parameter lokasi. Selang kepercayaan robust bagi parameter

lokasi dengan penduga median diperkenalkan oleh Staudte dan Sheater (1990).

Seperti yang telah dibahas pada Bab II subbab 2.2 tentang penduga selang

kepercayaan, maka cara paling umum untuk menemukan selang kepercayaan

100 (1 − 𝛼)% bagi pusat distribusi simetris adalah

�̅� ± 𝑡1−𝛼 2;𝑛−1⁄ (𝑠/√𝑛),

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 98: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

83

dengan 𝑡 adalah titik 100 (1 − 𝛼/2)% dari distribusi 𝑡 pada derajat bebas

𝑛 − 1. Selang tersebut adalah selang kepercayaan bagi penduga lokasi dan skala

yang lebih efisien untuk distribusi Normal.

Apa yang terjadi jika data tidak berdistribusi Normal, tetapi dari distribusi

yang miring? Karena kedua �̅� dan 𝑠 mempunyai efisiensi yang rendah, maka

kemungkinan selang akan bervariasi dari sampel yang satu dengan yang lainnya.

Nilai dari rata-rata dan variansi sampel mungkin cukup besar dan cenderung

memberikan selang yang relatif lebar. Oleh karena itu, digunakan cara alternatif

untuk menemukan selang kepercayaan yang 𝑟𝑜𝑏𝑢𝑠𝑡. Berikut diperkenalkan dua

selang kepercayaan robust bagi parameter lokasi, yaitu selang kepercayaan robust

dengan penduga median dan penduga Huber.

Definisi 3.4

Selang kepercayaan robust bagi parameter lokasi dengan penduga median

diberikan dengan

�̃� ± 𝑡1−𝛼 2;𝑛−1⁄ 𝑆𝐸(�̃�),

dengan �̃� adalah median sampel dan 𝑆𝐸(�̃�) adalah galat standar bagi median.

Galat standar bagi median yang diberikan oleh Fraiman et al (2001) adalah

sebagai berikut:

𝑆𝐸(�̃�) =𝑠∗

√𝑛,

dengan 𝑠∗ = (𝑥𝑎 − 𝑥𝑏) 3.4641⁄ . Nilai 𝑎 dan 𝑏 dapat diperoleh dengan:

𝑎 =𝑛

2+√3𝑛

2 dan 𝑏 =

𝑛

2−√3𝑛

2.

Galat standar bagi median yang diberikan oleh Kendall dan Stuart (2001)

adalah sebagai berikut:

𝑆𝐸(�̃�) = √𝜋

2× 𝑆𝐸(�̅�) = 1.2533 ×

𝑠

√𝑛,

dengan 𝑆𝐸(�̅�) adalah galat standar bagi rata-rata dan 𝑠 adalah standar deviasi

sampel.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 99: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

84

Definisi 3.5

Selang kepercayaan robust berdasarkan penduga Huber diberikan dengan

𝐻𝑢𝑏𝑒𝑟 ± 𝑡1−𝛼 2;𝑛−1⁄ (𝑠𝐻𝑢𝑏𝑒𝑟),

dengan Huber adalah penduga 𝑀 bagi lokasi dan 𝑠𝐻𝑢𝑏𝑒𝑟 adalah galat standar bagi

penduga Huber yang diberikan dengan

𝑠𝐻𝑢𝑏𝑒𝑟 =𝑀𝐴𝐷(𝑥)

1.486

(Cetin, Meral., Aktas, Serpil., 2008: 254)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 100: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

85

BAB IV

SELANG KEPERCAYAAN ROBUST

DENGAN SIMULASI DATA ACAK

Kinerja selang kepercayaan yang robust dari parameter lokasi diilustrasikan

dengan menggunakan pengkodean program R. Empat jenis selang kepercayaan

yang akan disimulasikan adalah selang kepercayaan bagi parameter lokasi dengan

penduga titik berupa rata-rata sampel, median dengan galat standar dari Fraiman,

et al (2001), median dengan galat standar dari Kendall dan Stuart (2001), dan Huber

(pendugaan 𝑀). Selang kepercayaan menggunakan tingkat kepercayaan sebesar

95% untuk setiap penduga. Sampel acak dihasilkan dari distribusi Normal, Cauchy,

dan Chi-Square untuk ukuran sampel 𝑛 = 10, 50, 100, dan 500, sebagaimana

diketahui bahwa distribusi Cauchy dan Chi-Square adalah dua contoh distribusi

yang miring ke kanan (tidak simetris). Untuk melihat pengaruh pencilan pada suatu

penduga dan juga pada selang kepercayaan, digunakan simulasi data yang

diimplementasikan memuat nilai tambahan sebagai pencilan. Pencilan ini

digunakan untuk ukuran sampel yang sama.

Hasil simulasi data acak yang diperoleh dengan menggunakan program R

dilampirkan pada lampiran 5 sampai dengan lampiran 7. List code pemrograman

yang terlampir hanya data dari distribusi Normal berukuran 𝑛 = 10 (lampiran 3)

dan yang lainnya diperoleh secara analog. Diberikan pula plot yang

menggambarkan setiap nilai tambahan yang diberikan terhadap galat standar dari

masing-masing penduga. Batas bawah dan batas atas selang kepercayaan

ditunjukkan pada Tabel 4.1 sampai Tabel 4.12 (lampiran 5 sampai dengan lampiran

7) berkenaan dengan ukuran sampel dan pencilan. Gambar 4.1 sampai Gambar 4.12

(lampiran 5 sampai dengan lampiran 7) menunjukkan galat standar dari masing-

masing penduga lokasi terhadap setiap nilai tambahan yang diberikan.

Berdasarkan hasil pembangkitan data dengan simulasi pada Tabel 4.1 sampai

dengan Tabel 4.12 (lampiran 5 sampai dengan lampiran 7) dapat dihasilkan

beberapa temuan berikut:

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 101: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

86

Tabel 4.13. Hasil Simulasi Data Acak

Distribusi 𝑛 Metode Temuan Ket

Normal

10

1

Semakin besar nilai pencilan, semakin

besar galat standar dan semakin lebar

selang kepercayaan (selang bersifat

sensitif terhadap pencilan)

Lampiran

5

50

100

500

10

2

Galat standar dan lebar selang

kepercayaan tidak mengalami perubah-

an meskipun nilai pencilan semakin

besar (selang bersifat insensitif ter-

hadap pencilan)

50

100

500

10

3

Semakin besar nilai pencilan, semakin

besar galat standar dan semakin lebar

selang kepercayaan (selang bersifat

sensitif terhadap pencilan)

50

100

500

10

4

Galat standar dan lebar selang

kepercayaan tidak mengalami perubah-

an meskipun nilai pencilan semakin

besar (selang bersifat insensitif ter-

hadap pencilan)

50

100

500

Cauchy

10

1

Semakin besar nilai pencilan, semakin

besar galat standar dan semakin lebar

selang kepercayaan (selang bersifat

sensitif terhadap pencilan) Lampiran

6

50

100

500

10

2

Galat standar dan lebar selang

kepercayaan tidak mengalami perubah-

an meskipun nilai pencilan semakin

besar (selang bersifat insensitif ter-

hadap pencilan)

50

100

500

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 102: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

87

Distribusi 𝑛 Metode Temuan Ket

Cauchy

10

3

Semakin besar nilai pencilan, semakin

besar galat standar dan semakin lebar

selang kepercayaan (selang bersifat

sensitif terhadap pencilan) Lampiran

6

50

100

500

10

4

Galat standar dan lebar selang

kepercayaan tidak mengalami perubah-

an meskipun nilai pencilan semakin

besar (selang bersifat insensitif ter-

hadap pencilan)

50

100

500

Chi-

Square

10

1

Semakin besar nilai pencilan, semakin

besar galat standar dan semakin lebar

selang kepercayaan (selang bersifat

sensitif terhadap pencilan)

Lampiran

7

50

100

500

10

2

Galat standar dan lebar selang

kepercayaan tidak mengalami perubah-

an meskipun nilai pencilan semakin

besar (selang bersifat insensitif ter-

hadap pencilan)

50

100

500

10

3

Semakin besar nilai pencilan, semakin

besar galat standar dan semakin lebar

selang kepercayaan (selang bersifat

sensitif terhadap pencilan)

50

100

500

10

4

Galat standar dan lebar selang

kepercayaan tidak mengalami perubah-

an meskipun nilai pencilan semakin

besar (selang bersifat insensitif ter-

hadap pencilan)

50

100

500

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 103: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

88

Keterangan:

Metode selang kepercayaan (SK) yang digunakan, yaitu

1. SK dengan penduga µ menurut Definisi 2.33

2. SK robust dengan penduga median (Fraiman, et al) menurut Definisi 3.4

3. SK robust dengan penduga median (Kendall dan Stuart) menurut Definisi

3.4

4. SK robust dengan penduga Huber menurut Definisi 3.5

Dari temuan yang diperoleh pada Tabel 4.13 di atas dapat disimpulkan bahwa

statistik untuk setiap ukuran sampel rata-rata dan median (Kendall dan Stuart, 2001)

sangat sensitif terhadap kehadiran pencilan, yang ditunjukkan dengan semakin

besarnya galat standar dan semakin lebarnya selang kepercayaan. Sebaliknya, hal

ini tidak terjadi pada penduga robust median (Fraiman, et al) dan penduga Huber.

Kedua penduga menghasilkan galat standar dan lebar selang kepercayaan yang

tetap, meskipun nilai pencilan semakin besar (penduga tidak sensitif terhadap

pencilan). Penduga robust median (Fraiman, et al) adalah penduga robust yang

lebih baik dari penduga Huber, karena memiliki galat standar yang lebih kecil dan

lebar selang kepercayaan yang relatif lebih sempit.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 104: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

89

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

A. Kesimpulan

Hasil simulasi data acak dari distribusi Normal, Cauchy, dan Chi-Square

dengan ukuran sampel 𝑛 = 10, 50, 100, 500 untuk setiap distribusi, menemukan

bahwa selang kepercayaan bagi parameter lokasi dengan penduga rata-rata dan

median yang menggunakan galat standar dari Kendall dan Stuart (2001) sangat

sensitif terhadap pencilan. Hal ini terlihat dari semakin besar nilai pencilan,

semakin besar galat standar dan semakin lebar selang kepercayaan untuk setiap

ukuran sampel. Sebaliknya hal ini tidak terjadi pada selang kepercayaan robust bagi

parameter lokasi dengan penduga median yang menggunakan galat standar dari

Fraiman, et al (2001) dan penduga Huber. Kedua penduga menghasilkan galat

standar dan lebar selang kepercayaan yang tetap, meskipun nilai pencilan semakin

besar (penduga tidak sensitif terhadap pencilan). Akan tetapi dari antara penduga

median dengan menggunakan galat standar dari Fraiman, et al (2001) dan penduga

Huber, penduga robust yang paling baik adalah penduga median dengan

menggunakan galat standar dari Fraiman, et al. Hal ini dikarenakan penduga

median tersebut menghasilkan galat standar yang kecil dan membentuk selang

kepercayaan yang relatif lebih sempit.

B. Saran

Penulis sadar bahwa dalam penulisan skripsi ini masih banyak kekurangan.

Oleh sebab itu, penulis mengharapkan kelak ada yang melanjutkan penelitian ini.

Tulisan ini hanya membahas penyelesaian selang kepercayaan robust bagi

parameter lokasi dengan penduga median yang menggunakan galat standar dari

Fraiman, et al (2001), penduga median yang menggunakan galat standar dari

Kendall dan Stuart (2001), dan penduga Huber. Penulis berharap di waktu yang

akan datang, ada yang melanjutkan penulisan ini dengan metode yang lain dan lebih

baik. Misalnya, selang kepercayaan robust bagi parameter skala dengan suatu

penduga yang robust.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 105: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

90

DAFTAR PUSTAKA

Acuna, Edgar., and Rodriguez, Caroline. On Detection of Outliers and Their Effect

in Supervised Classification. Mayaguez: Department of Mathematics.

(https://www.researchgate.net/publication/228965221_On_Detection_Of_Out

liers_And_Their_Effect_In_Supervised_Classification)

Analytical Methods Commitee. (2001). Robust Statistics: A Method of Coping

with Outliers. AMC Technical Brief, 6.

Barnett, Vic., and Lewis, T. (1978). Outliers In Statistical Data. First Edition.

Chichester: John Wiley dan Sons.

Ben-Gal, Irad. (2005). Outlier Detection. Israel: Kluwer Academic Publisher.

Cetin, Meral., and Aktas, Serpil. (2008). Confidence Interval Based on Robust

Estimators. Digital Commons, 7 (1): 253-258.

Dan, E. D., and Ijeoma, O. A. (2013). Statistical Analysis/Methods of Detecting

Outliers in A Univariate Data in A Regression Analysis Model. International

Journal of Education and Research, 1 (5): 1-24.

Dawson, Robert. (2011). How Significant Is A Boxplot Outlier?. Journal of

Statistics Education, 19 (2): 1-13.

Fraiman, R., et al. (2001). Optimal Robust M-estimates of Location. Annals of

Statistics, 29 (1): 194-223.

Harding, Bradley., et al. Standard Errors: A Review and Evaluation of Standard

Error Estimators Using Monte Carlo Simulations. The Quantitative Methods

for Psychology, 10 (2): 107-123.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 106: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

91

Hoaglin, D. C., et al. (1983). Understanding Robust and Exploratory Data

Analysis. New York: John Wiley dan Sons.

Location & Scale Parameter.ppt

(https://www.google.co.id/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&

cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwiQoOug95rVAhWCEbwKHZHzAEcQFggr

MAE&url=http%3A%2F%2Fusers.metu.edu.tr%2Foilk%2F6.LOCATION%

2520%26%2520SCALE%2520PARAMETERS%2520-

%2520552.ppt&usg=AFQjCNGEkRudSE8PgQvBOeLpbcXKCl62Qw)

Leys, C., et al. (2013). Detecting Outliers: Do Not Use Standard Deviation Around

The Mean, Use Absolute Deviation Around The Median. Journal of

Experimental Social Psychology, 3.

Navidi, William. (2011). Statistics for Engineers and Scientists. Third Edition. New

York: The McGraw-Hill Companies.

Paludi, Salman. (2009). Identifikasi dan Pengaruh Keberadaan Data Pencilan

(Outlier). Majalah Ilmiah Panorama Nusantara, VI: 56-62.

Rousseeuw, P. J., and Croux, Christophe. (1993). Alternatives to the Median

Absolute Deviation. Journal of the American Statistical Association, 88 (424):

1273-1283.

Staudte, R. G., and Sheater, S. J. (1990). Robust Estimation and Testing. New York:

John Wiley dan Sons.

Wackerly, D. D., et al. (2008). Mathematical Statistics With Applications. Seventh

Edition. Duxubury: Thompson Brooks/Cole.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 107: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

92

Walpole , R. E., et al. (2012). Probability dan Statistics for Engineers dan

Scientists. Ninth Edition. New York: Prentice Hall.

William, David. (1991). Probability with Martingales. New York: Cambridge

University Press.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 108: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

93

LAMPIRAN

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 109: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

94

Berikut ini merupakan list code pada program statistika R versi 3.3.3.

Lampiran 1

Contoh 2.31. Uji Grubbs

> x=scan(file.choose(),skip=0)

Read 36 items

> x

[1] 1200 2566 3120 3728 4206 6500 1206 2635 3137 3748 4268 6565

[13] 1515 2680 3163 3775 4526 6928 1965 2735 3211 4006 5651 7606

[25] 2048 2974 3698 4065 6454 14791 2000 2972 3590 4023 6387 10825

#Uji Normalitas Data

> shapiro.test(x)

Shapiro-Wilk normality test

data: x

W = 0.80159, p-value = 1.752e-05

#Pengujian dengan 𝜶 = 𝟎. 𝟎𝟓

> library(outliers)

> library(ggplot2)

> grubbs.flag=function(x) {

+ outliers=NULL

+ test=x

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 110: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

95

+ grubbs.result <- grubbs.test(test)

+ pv <- grubbs.result$p.value

+ while(pv < 0.05) {

+ outliers <- c(outliers,as.numeric(strsplit(grubbs.result$alternative," ")[[1]][3]))

+ test <- x[!x %in% outliers]

+ grubbs.result <- grubbs.test(test)

+ pv <- grubbs.result$p.value

+ }

+ return(data.frame(X=x,Outlier=(x %in% outliers)))

+ }

> grubbs.flag(x)

X Outlier

1 1200 FALSE

2 2566 FALSE

3 3120 FALSE

4 3728 FALSE

5 4206 FALSE

6 6500 FALSE

7 1206 FALSE

8 2635 FALSE

9 3137 FALSE

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 111: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

96

10 3748 FALSE

11 4268 FALSE

12 6565 FALSE

13 1515 FALSE

14 2680 FALSE

15 3163 FALSE

16 3775 FALSE

17 4526 FALSE

18 6928 FALSE

19 1965 FALSE

20 2735 FALSE

21 3211 FALSE

22 4006 FALSE

23 5651 FALSE

24 7606 FALSE

25 2048 FALSE

26 2974 FALSE

27 3698 FALSE

28 4065 FALSE

29 6454 FALSE

30 14791 TRUE

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 112: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

97

31 2000 FALSE

32 2972 FALSE

33 3590 FALSE

34 4023 FALSE

35 6387 FALSE

36 10825 TRUE

#Plot Pencilan

> ggplot(grubbs.flag(x),aes(x=X,color=Outlier,fill=Outlier))+

+ geom_histogram(binwidth=diff(range(x))/30)+

+ theme_bw()

Lampiran 2

Contoh 3.8. Uji MAD

> x=c(4.5,4.9,5.6,4.2,6.2,5.2,9.9)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 113: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

98

> center=median(x, na.rm = F)

> center

[1] 5.2

> MAD=mad(x, center, constant = 1.4826, na.rm = FALSE)

> MAD

[1] 1.03782

> require(BHH2)

> dotchart(x)

> mean.x=mean(x)

> sd.x=sd(x)

> lines(rep(mean.x,2),c(0.2, 0.25)) #Vertical line at mean

> lines(rep(mean.x + 2*sd.x, 2), c(0.2, 0.25)) #Vertical line at mean + 2 SD

> text(mean.x , 0.3, expression(bar(x)))

> text(mean.x + 2*sd.x, 0.3, expression(paste(bar(x), " + 2s")))

Lampiran 3

Simulasi BAB IV

#Membangkitkan Data dari distribusi Normal Berukuran n-1=9

> a=rnorm(9,10,2)

> a

[1] 8.750761 11.132768 10.929959 13.235969 6.478947 7.073720 8.932900

[8] 10.150914 8.525724

#Cari Nilai Maksimum Untuk Menentukan Penambahan Nilai Ekstrim

> max(a)

[1] 13.23597

#Nilai tambahan informasi

> x=c(20,30,50,90,100)

#Mencari Nilai t

> n=10

> alpha=0.1

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 114: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

99

> t=qt(1-(alpha/2),df=n-1)

> t

[1] 1.833113

#Pembentukan Data Setelah Diberi Nilai Tambahan

> ax1=c(a,x[1])

> ax2=c(a,x[2])

> ax3=c(a,x[3])

> ax4=c(a,x[4])

> ax5=c(a,x[5])

#Cek Pencilan dengan Metode Boxplot

> par(mfrow=c(2,3))

> boxplot(ax1)

> boxplot(ax2)

> boxplot(ax3)

> boxplot(ax4)

> boxplot(ax5)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 115: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

100

#Mencari Galat standar

#Galat standar bagi 𝝁

> SExbar.ax1=sd(ax1)/sqrt(n)

> SExbar.ax1

[1] 1.228187

> SExbar.ax2=sd(ax2)/sqrt(n)

> SExbar.ax2

[1] 2.14822

> SExbar.ax3=sd(ax3)/sqrt(n)

> SExbar.ax3

[1] 4.102154

> SExbar.ax4=sd(ax4)/sqrt(n)

> SExbar.ax4

[1] 8.077951

> SExbar.ax5=sd(ax5)/sqrt(n)

> SExbar.ax5

[1] 9.075225

#Galat standar bagi Median menurut Fraiman et al

> o=(n/2)+(sqrt(3*n)/2)

> p=(n/2)-(sqrt(3*n)/2)

> SEmedian.Fraiman.ax1=abs((ax1[o]-ax1[p])/(3.4641*sqrt(n)))

> SEmedian.Fraiman.ax1

[1] 0.2008196

> SEmedian.Fraiman.ax2=abs((ax2[o]-ax2[p])/(3.4641*sqrt(n)))

> SEmedian.Fraiman.ax2

[1] 0.2008196

> SEmedian.Fraiman.ax3=abs((ax3[o]-ax3[p])/(3.4641*sqrt(n)))

> SEmedian.Fraiman.ax3

[1] 0.2008196

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 116: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

101

> SEmedian.Fraiman.ax4=abs((ax4[o]-ax4[p])/(3.4641*sqrt(n)))

> SEmedian.Fraiman.ax4

[1] 0.2008196

> SEmedian.Fraiman.ax5=abs((ax5[o]-ax5[p])/(3.4641*sqrt(n)))

> SEmedian.Fraiman.ax5

[1] 0.2008196

#Galat standar bagi Median menurut Kendall and Stuart

> SEmedian.Kendall.ax1=sqrt(pi/2)*SExbar.ax1

> SEmedian.Kendall.ax1

[1] 1.539304

> SEmedian.Kendall.ax2=sqrt(pi/2)*SExbar.ax2

> SEmedian.Kendall.ax2

[1] 2.692395

> SEmedian.Kendall.ax3=sqrt(pi/2)*SExbar.ax3

> SEmedian.Kendall.ax3

[1] 5.141287

> SEmedian.Kendall.ax4=sqrt(pi/2)*SExbar.ax4

> SEmedian.Kendall.ax4

[1] 10.12421

> SEmedian.Kendall.ax5=sqrt(pi/2)*SExbar.ax5

> SEmedian.Kendall.ax5

[1] 11.37411

#Galat standar bagi Huber

> SEhuber.ax1=mad(ax1)/1.486

> SEhuber.ax1

[1] 1.486048

> SEhuber.ax2=mad(ax2)/1.486

> SEhuber.ax2

[1] 1.486048

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 117: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

102

> SEhuber.ax3=mad(ax3)/1.486

> SEhuber.ax3

[1] 1.486048

> SEhuber.ax4=mad(ax4)/1.486

> SEhuber.ax4

[1] 1.486048

> SEhuber.ax5=mad(ax5)/1.486

> SEhuber.ax5

[1] 1.486048

#Mencari Nilai Median

> median.ax1=median(ax1)

> median.ax1

[1] 9.541907

> median.ax2=median(ax2)

> median.ax2

[1] 9.541907

> median.ax3=median(ax3)

> median.ax3

[1] 9.541907

> median.ax4=median(ax4)

> median.ax4

[1] 9.541907

> median.ax5=median(ax5)

> median.ax5

[1] 9.541907

#Mencari Nilai Penduga Huber

> require(MASS)

> huber.ax1=huber(ax1)

> huber.ax1

$mu

[1] 9.829877

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 118: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

103

$s

[1] 2.208268

> huber.ax2=huber(ax2)

> huber.ax2

$mu

[1] 9.829877

$s

[1] 2.208268

> huber.ax3=huber(ax3)

> huber.ax3

$mu

[1] 9.829877

$s

[1] 2.208268

> huber.ax4=huber(ax4)

> huber.ax4

$mu

[1] 9.829877

$s

[1] 2.208268

> huber.ax5=huber(ax5)

> huber.ax5

$mu

[1] 9.829877

$s

[1] 2.208268

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 119: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

104

#Pembentukan Selang Kepercayaan

#Selang Kepercayaan untuk data ax1

#Selang Kepercayaan Biasa

> t.test(ax1)

One Sample t-test

data: ax1

t = 8.5664, df = 9, p-value = 1.276e-05

alternative hypothesis: true mean is not equal to 0

95 percent confidence interval:

7.742815 13.299517

sample estimates:

mean of x

10.52117

#Selang Kepercayaan Robust bagi parameter lokasi dengan penduga Median

(SE Fraiman et al)

> left.Fraiman.ax1=median.ax1-(t*SEmedian.Fraiman.ax1)

> left.Fraiman.ax1

[1] 9.173782

> right.Fraiman.ax1=median.ax1+(t*SEmedian.Fraiman.ax1)

> right.Fraiman.ax1

[1] 9.910032

#Selang Kepercayaan Robust bagi parameter lokasi dengan penduga Median

(SE Kendall and Stuart)

> right.Kendall.ax1=median.ax1+(t*SEmedian.Kendall.ax1)

> right.Kendall.ax1

[1] 12.36362

> left.Kendall.ax1=median.ax1-(t*SEmedian.Kendall.ax1)

> left.Kendall.ax1

[1] 6.720189

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 120: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

105

#Selang Kepercayaan Robust bagi parameter lokasi dengan penduga Huber

> left.huber.ax1=huber.ax1$mu-(t*SEhuber.ax1)

> left.huber.ax1

[1] 7.105782

> right.huber.ax1=huber.ax1$mu+(t*SEhuber.ax1)

> right.huber.ax1

[1] 12.55397

#Selang Kepercayaan untuk data ax2

#Selang Kepercayaan Biasa

> t.test(ax2)

One Sample t-test

data: ax2

t = 5.3631, df = 9, p-value = 0.0004544

alternative hypothesis: true mean is not equal to 0

95 percent confidence interval:

6.661554 16.380778

sample estimates:

mean of x

11.52117

#Selang Kepercayaan Robust bagi parameter lokasi dengan penduga median

(SE Fraiman et al)

> right.Fraiman.ax2=median.ax2+(t*SEmedian.Fraiman.ax2)

> right.Fraiman.ax2

[1] 9.910032

> left.Fraiman.ax2=median.ax2-(t*SEmedian.Fraiman.ax2)

> left.Fraiman.ax2

[1] 9.173782

#Selang Kepercayaan Robust bagi parameter lokasi dengan penduga median

(SE Kendall and Stuart)

> left.Kendall.ax2=median.ax2-(t*SEmedian.Kendall.ax2)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 121: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

106

> left.Kendall.ax2

[1] 4.606443

> right.Kendall.ax2=median.ax2+(t*SEmedian.Kendall.ax2)

> right.Kendall.ax2

[1] 14.47737

#Selang Kepercayaan Robust bagi parameter lokasi dengan penduga Huber

> left.huber.ax2=huber.ax2$mu-(t*SEhuber.ax2)

> left.huber.ax2

[1] 7.105782

> right.huber.ax2=huber.ax2$mu+(t*SEhuber.ax2)

> right.huber.ax2

[1] 12.55397

#Selang Kepercayaan untuk data ax3

#Selang Kepercayaan Biasa

> t.test(ax3)

One Sample t-test

data: ax3

t = 3.2961, df = 9, p-value = 0.009287

alternative hypothesis: true mean is not equal to 0

95 percent confidence interval:

4.24145 22.80088

sample estimates:

mean of x

13.52117

#Selang Kepercayaan Robust bagi parameter lokasi dengan penduga median

(SE Fraiman et al)

> left.Fraiman.ax3=median.ax3-(t*SEmedian.Fraiman.ax3)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 122: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

107

> left.Fraiman.ax3

[1] 9.173782

> right.Fraiman.ax3=median.ax3+(t*SEmedian.Fraiman.ax3)

> right.Fraiman.ax3

[1] 9.910032

#Selang Kepercayaan Robust bagi parameter lokasi dengan penduga median

(SE Kendall and Stuart)

> right.Kendall.ax3=median.ax3+(t*SEmedian.Kendall.ax3)

> right.Kendall.ax3

[1] 18.96647

> left.Kendall.ax3=median.ax3-(t*SEmedian.Kendall.ax3)

> left.Kendall.ax3

[1] 0.1173469

#Selang Kepercayaan Robust bagi parameter lokasi dengan penduga Huber

> left.huber.ax3=huber.ax3$mu-(t*SEhuber.ax3)

> left.huber.ax3

[1] 7.105782

> right.huber.ax3=huber.ax3$mu+(t*SEhuber.ax3)

> right.huber.ax3

[1] 12.55397

#Selang Kepercayaan untuk data ax4

#Selang Kepercayaan Biasa

> t.test(ax4)

One Sample t-test

data: ax4

t = 2.169, df = 9, p-value = 0.05821

alternative hypothesis: true mean is not equal to 0

95 percent confidence interval:

-0.752429 35.794761

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 123: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

108

sample estimates:

mean of x

17.52117

#Selang Kepercayaan Robust bagi parameter lokasi dengan penduga median

(SE Fraiman et al)

> right.Fraiman.ax4=median.ax4+(t*SEmedian.Fraiman.ax4)

> right.Fraiman.ax4

[1] 9.910032

> left.Fraiman.ax4=median.ax4-(t*SEmedian.Fraiman.ax4)

> left.Fraiman.ax4

[1] 9.173782

#Selang Kepercayaan Robust bagi parameter lokasi dengan penduga median

(SE Kendall and Stuart)

> left.Kendall.ax4=median.ax4-(t*SEmedian.Kendall.ax4)

> left.Kendall.ax4

[1] -9.016914

> right.Kendall.ax4=median.ax4+(t*SEmedian.Kendall.ax4)

> right.Kendall.ax4

[1] 28.10073

#Selang Kepercayaan Robust bagi parameter lokasi dengan penduga Huber

> left.huber.ax4=huber.ax4$mu-(t*SEhuber.ax4)

> left.huber.ax4

[1] 7.105782

> right.huber.ax4=huber.ax4$mu+(t*SEhuber.ax4)

> right.huber.ax4

[1] 12.55397

#Selang Kepercayaan untuk data ax5

#Selang Kepercayaan Biasa

> t.test(ax5)

One Sample t-test

data: ax5

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 124: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

109

t = 2.0408, df = 9, p-value = 0.07167

alternative hypothesis: true mean is not equal to 0

95 percent confidence interval:

-2.008418 39.050751

sample estimates:

mean of x

18.52117

#Selang Kepercayaan Robust bagi parameter lokasi dengan penduga median

(SE Fraiman et al)

> left.Fraiman.ax5=median.ax5-(t*SEmedian.Fraiman.ax5)

> left.Fraiman.ax5

[1] 9.173782

> right.Fraiman.ax5=median.ax5+(t*SEmedian.Fraiman.ax5)

> right.Fraiman.ax5

[1] 9.910032

#Selang Kepercayaan Robust bagi parameter lokasi dengan penduga median

(SE Kendall and Stuart)

> right.Kendall.ax5=median.ax5+(t*SEmedian.Kendall.ax5)

> right.Kendall.ax5

[1] 30.39193

> left.Kendall.ax5=median.ax5-(t*SEmedian.Kendall.ax5)

> left.Kendall.ax5

[1] -11.30812

#Selang Kepercayaan Robust bagi parameter lokasi dengan penduga Huber

> left.huber.ax5=huber.ax5$mu-(t*SEhuber.ax5)

> left.huber.ax5

[1] 7.105782

> right.huber.ax5=huber.ax5$mu+(t*SEhuber.ax5)

> right.huber.ax5

[1] 12.55397

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 125: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

110

Lampiran 4

Plot simulasi data acak dari Distribusi Normal (n=10, µ=10, σ=2) antara nilai

tambahan (x) terhadap Galat standar (SE)

> x=c(20,30,50,90,100) #nilai tambahan

> SExbar=c(1.228187,2.14822,4.102154,8.077951,9.075225)

> SEmedian.Fraiman=c(0.2008196,0.2008196,0.2008196,0.2008196,0.2008196)

> SEmedian.Kendall=c(1.539304,2.692395,5.141287,10.12421,11.37411)

> SEhuber=c(1.486048,1.486048,1.486048,1.486048,1.486048)

> plot(x, SExbar, type="o", col="blue", pch="o", lty=1, ylim=c(0,15),

ylab="Galat standar")

> points(x,SEmedian.Fraiman, col="red", pch="*")

> lines(x, SEmedian.Fraiman, col="red", lty=2)

> points(x, SEmedian.Kendall, col="brown", pch="+")

> lines(x, SEmedian.Kendall, col="brown", lty=3)

> points(x, SEhuber, col="black", pch="^")

> lines(x, SEhuber, col="black", lty=4)

>

legend(21,14,legend=c("SExbar","SEmedian.Fraiman","SEmedian.Kendall","SEh

uber"), col=c("blue","red","brown","black"),pch=c("o","*","+","^"),lty=c(1,2,3,4),

ncol=1)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 126: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

111

Lampiran 5 Hasil Simulasi Data Acak dari Distribusi Normal

Tabel 4.1. Pembangkitan Data dari Distribusi Normal (n=10, µ=10, σ=2)

Metode SK

Nilai Tambahan

Nilai Penduga

Galat standar

Selang Kepercayaan 95% Lebar Selang

Batas Bawah Batas Atas

1

20 10.52117 1.228187 7.742815 13.299517 5.556702

30 11.52117 2.14822 6.661554 16.380778 9.719224

50 13.52117 4.102154 4.24145 22.80088 18.55943

90 17.52117 8.077951 -0.752429 35.794761 36.54719

100 18.52117 9.075225 -2.008418 39.050751 41.059169

2

20 9.541907 0.2008196 9.173782 9.910032 0.73625

30 9.541907 0.2008196 9.173782 9.910032 0.73625

50 9.541907 0.2008196 9.173782 9.910032 0.73625

90 9.541907 0.2008196 9.173782 9.910032 0.73625

100 9.541907 0.2008196 9.173782 9.910032 0.73625

3

20 9.541907 1.539304 6.720189 12.36362 5.643431

30 9.541907 2.692395 4.606443 14.47737 9.870927

50 9.541907 5.141287 0.1173469 18.96647 18.8491231

90 9.541907 10.12421 -9.016914 28.10073 37.117644

100 9.541907 11.37411 -11.30812 30.39193 41.70005

4

20 9.829877 1.486048 7.105782 12.55397 5.448188

30 9.829877 1.486048 7.105782 12.55397 5.448188

50 9.829877 1.486048 7.105782 12.55397 5.448188

90 9.829877 1.486048 7.105782 12.55397 5.448188

100 9.829877 1.486048 7.105782 12.55397 5.448188

Gambar 4.1. Galat standar dari Distribusi Normal (n=10, µ=10, σ=2)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 127: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

112

Tabel 4.2. Pembangkitan Data dari Distribusi Normal (n=50, µ=10, σ=2)

Metode SK

Nilai Tambahan

Nilai Penduga

Galat standar

Selang Kepercayaan 95% Lebar Selang

Batas Bawah Batas Atas

1

100 11.25921 1.829071 7.583554 14.934864 7.35131

180 12.85921 3.420646 5.985164 19.733254 13.74809

200 13.25921 3.819639 5.583356 20.935062 15.351706

300 15.25921 5.816682 3.570149 26.94827 23.378121

350 16.25921 6.815854 2.562238 29.95618 27.393942

2

100 9.399257 0.149233 9.14906 9.649453 0.500393

180 9.399257 0.149233 9.14906 9.649453 0.500393

200 9.399257 0.149233 9.14906 9.649453 0.500393

300 9.399257 0.149233 9.14906 9.649453 0.500393

350 9.399257 0.149233 9.14906 9.649453 0.500393

3

100 9.399257 2.2924 5.555931 13.24258 7.686649

180 9.399257 4.287143 2.211642 16.58687 14.375228

200 9.399257 4.787208 1.373259 17.42525 16.051991

300 9.399257 7.29013 -2.823017 21.62153 24.444547

350 9.399257 8.542406 -4.922522 23.72104 28.643562

4

100 9.413415 1.122698 7.531155 11.29568 3.764525

180 9.413415 1.122698 7.531155 11.29568 3.764525

200 9.413415 1.122698 7.531155 11.29568 3.764525

300 9.413415 1.122698 7.531155 11.29568 3.764525

350 9.413415 1.122698 7.531155 11.29568 3.764525

Gambar 4.2. Galat standar dari Distribusi Normal (n=50, µ=10, σ=2)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 128: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

113

Tabel 4.3. Pembangkitan Data dari Distribusi Normal (n=100, µ=10, σ=2)

Metode SK

Nilai Tambahan

Nilai Penduga

Galat standar

Selang Kepercayaan 95% Lebar Selang

Batas Bawah Batas Atas

1

150 11.574 1.40904 8.778154 14.369837 5.591683

180 11.874 1.707144 8.486652 15.26134 6.774688

200 12.074 1.90621 8.291661 15.85633 7.564669

300 13.074 2.903467 7.312887 18.835105 11.522218

350 13.574 3.4027 6.822301 20.32569 13.503389

2

150 10.08675 0.01746087 10.05776 10.11575 0.05799

180 10.08675 0.01746087 10.05776 10.11575 0.05799

200 10.08675 0.01746087 10.05776 10.11575 0.05799

300 10.08675 0.01746087 10.05776 10.11575 0.05799

350 10.08675 0.01746087 10.05776 10.11575 0.05799

3

150 10.08675 1.76597 7.154553 13.01896 5.864407

180 10.08675 2.139588 6.534202 13.63931 7.105108

200 10.08675 2.38908 6.119947 14.05356 7.933613

300 10.08675 3.638957 4.044663 16.12885 12.084187

350 10.08675 4.264652 3.005765 17.16774 14.161975

4

150 10.17211 1.099026 8.347296 11.99692 3.649624

180 10.17211 1.099026 8.347296 11.99692 3.649624

200 10.17211 1.099026 8.347296 11.99692 3.649624

300 10.17211 1.099026 8.347296 11.99692 3.649624

350 10.17211 1.099026 8.347296 11.99692 3.649624

Gambar 4.3. Galat standar dari Distribusi Normal (n=100, µ=10, σ=2)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 129: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

114

Tabel 4.4. Pembangkitan Data dari Distribusi Normal (n=500, µ=10, σ=2)

Metode SK

Nilai Tambahan

Nilai Penduga

Galat standar

Selang Kepercayaan 95% Lebar Selang

Batas Bawah Batas Atas

1

680 11.27603 1.343203 8.637003 13.915065 5.278062

750 11.41603 1.482913 8.502511 14.329557 5.827046

800 11.51603 1.582737 8.406384 14.625684 6.2193

1000 11.91603 1.982211 8.021527 15.810542 7.789015

1050 12.01603 2.082111 7.92525 16.10682 8.18157

2

680 9.889217 0.106006 9.714528 10.06391 0.349382

750 9.889217 0.106006 9.714528 10.06391 0.349382

800 9.889217 0.106006 9.714528 10.06391 0.349382

1000 9.889217 0.106006 9.714528 10.06391 0.349382

1050 9.889217 0.106006 9.714528 10.06391 0.349382

3

680 9.889217 1.683456 7.115028 12.66341 5.548382

750 9.889217 1.858556 6.826478 12.95196 6.125482

800 9.889217 1.983667 6.620307 13.15813 6.537823

1000 9.889217 2.484333 5.795253 13.98318 8.187927

1050 9.889217 2.609539 5.588924 14.18951 8.600586

4

680 9.951158 1.447588 7.565659 12.33666 4.771001

750 9.951158 1.447588 7.565659 12.33666 4.771001

800 9.951158 1.447588 7.565659 12.33666 4.771001

1000 9.951158 1.447588 7.565659 12.33666 4.771001

1050 9.951158 1.447588 7.565659 12.33666 4.771001

Gambar 4.4. Galat standar dari Distribusi Normal (n=500, µ=10, σ=2)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 130: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

115

Lampiran 6 Hasil Simulasi Data Acak dari Distribusi Cauchy

Tabel 4.5. Pembangkitan Data dari Distribusi Cauchy (n=10, µ=10, σ=2)

Metode SK

Nilai Tambahan

Nilai Penduga

Galat standar

Selang Kepercayaan 95% Lebar Selang

Batas Bawah Batas Atas

1

20 7.993803 1.960875 3.557995 12.42961 8.871615

30 2.129139 2.740999 -5.877356 10.135635 16.012991

50 4.129139 4.566088 -8.034837 16.293116 24.327953

90 8.129139 8.457029 -12.81115 29.06942 41.88057

100 9.129139 9.444013 -14.03798 32.29626 46.33424

2

20 8.61436 0.1966047 8.253962 8.974759 0.720797

30 8.61436 0.1966047 8.253962 8.974759 0.720797

50 8.61436 0.1966047 8.253962 8.974759 0.720797

90 8.61436 0.1966047 8.253962 8.974759 0.720797

100 8.61436 0.1966047 8.253962 8.974759 0.720797

3

20 8.61436 2.457592 4.109316 13.1194 9.010084

30 8.61436 3.435333 2.317007 14.91171 12.594703

50 8.61436 5.722743 -1.876074 19.10479 20.980864

90 8.61436 10.59931 -10.81538 28.0441 38.85948

100 8.61436 11.83632 -13.08294 30.31166 43.3946

4

20 7.524453 3.150254 1.749682 13.29922 11.549538

30 7.524453 3.150254 1.749682 13.29922 11.549538

50 7.524453 3.150254 1.749682 13.29922 11.549538

90 7.524453 3.150254 1.749682 13.29922 11.549538

100 7.524453 3.150254 1.749682 13.29922 11.549538

Gambar 4.5. Galat standar dari Distribusi Cauchy (n=10, µ=10, σ=2)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 131: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

116

Tabel 4.6. Pembangkitan Data dari Distribusi Cauchy (n=50, µ=10, σ=2)

Metode SK

Nilai Tambahan

Nilai Penduga

Galat standar

Selang Kepercayaan 95% Lebar Selang

Batas Bawah Batas Atas

1

100 10.2516 3.857795 0.528874 19.974334 19.44546

180 2.129139 4.838202 -5.877356 10.135635 16.012991

200 10.6516 5.132212 0.3380385 20.9651696 20.6271311

300 12.6516 6.767319 -0.947833 26.251041 27.198874

350 13.6516 7.650171 -1.72199 29.0252 30.74719

2

100 9.816656 0.01654206 9.788922 9.844389 0.055467

180 9.816656 0.01654206 9.788922 9.844389 0.055467

200 9.816656 0.01654206 9.788922 9.844389 0.055467

300 9.816656 0.01654206 9.788922 9.844389 0.055467

350 9.816656 0.01654206 9.788922 9.844389 0.055467

3

100 9.816656 4.835029 -0.349591 19.9829 20.332491

180 9.816656 6.063786 2.317007 14.91171 12.594703

200 9.816656 6.432273 -0.9673783 20.60069 21.5680683

300 9.816656 8.481577 -4.40314 24.03645 28.43959

350 9.816656 9.588067 -6.258227 25.89154 32.149767

4

100 9.412648 2.157443 5.795584 13.02971 7.234126

180 9.412648 2.157443 5.795584 13.02971 7.234126

200 9.412648 2.157443 5.795584 13.02971 7.234126

300 9.412648 2.157443 5.795584 13.02971 7.234126

350 9.412648 2.157443 5.795584 13.02971 7.234126

Gambar 4.6. Galat standar dari Distribusi Cauchy (n=50, µ=10, σ=2)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 132: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

117

Tabel 4.7. Pembangkitan Data dari Distribusi Cauchy (n=100, µ=10, σ=2)

Metode SK

Nilai Tambahan

Nilai Penduga

Galat standar

Selang Kepercayaan 95% Lebar Selang

Batas Bawah Batas Atas

1

150 5.952787 7.324704 -8.581015 20.48659 29.067605

180 6.252787 7.390149 -8.410872 20.916447 29.327319

200 6.452787 7.440183 -8.310149 21.215724 29.525873

300 7.452787 7.763141 -7.950969 22.856544 30.807513

350 7.952787 7.966893 -7.855257 23.760831 31.616088

2

150 9.563134 0.2885671 9.084 10.04227 0.95827

180 9.563134 0.2885671 9.084 10.04227 0.95827

200 9.563134 0.2885671 9.084 10.04227 0.95827

300 9.563134 0.2885671 9.084 10.04227 0.95827

350 9.563134 0.2885671 9.084 10.04227 0.95827

3

150 9.563134 9.180156 -5.679515 24.80578 30.485295

180 9.563134 9.262179 -5.815705 24.94197 30.757675

200 9.563134 9.324886 -5.919824 25.04609 30.965914

300 9.563134 9.729655 -6.591898 25.71817 32.310068

350 9.563134 9.98502 -7.015904 26.14217 33.158074

4

150 9.541773 2.08141 6.085818 12.99773 6.911912

180 9.541773 2.08141 6.085818 12.99773 6.911912

200 9.541773 2.08141 6.085818 12.99773 6.911912

300 9.541773 2.08141 6.085818 12.99773 6.911912

350 9.541773 2.08141 6.085818 12.99773 6.911912

Gambar 4.7. Galat standar dari Distribusi Cauchy (n=100, µ=10, σ=2)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 133: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

118

Tabel 4.8. Pembangkitan Data dari Distribusi Cauchy (n=500, µ=10, σ=2)

Metode SK

Nilai Tambahan

Nilai Penduga

Galat standar

Selang Kepercayaan 95% Lebar Selang

Batas Bawah Batas Atas

1

680 9.065528 1.922967 5.287417 12.843639 7.556222

750 9.205528 2.023334 5.230225 13.180832 7.950607

800 9.305528 2.097806 5.183906 13.42715 8.243244

1000 9.705528 2.414216 4.962247 14.448809 9.486562

1050 9.805528 2.497068 4.899465 14.711592 9.812127

2

680 10.00257 0.09471295 9.846494 10.15865 0.312156

750 10.00257 0.09471295 9.846494 10.15865 0.312156

800 10.00257 0.09471295 9.846494 10.15865 0.312156

1000 10.00257 0.09471295 9.846494 10.15865 0.312156

1050 10.00257 0.09471295 9.846494 10.15865 0.312156

3

680 10.00257 2.410082 6.030966 13.97418 7.943214

750 10.00257 2.535873 5.823674 14.18147 8.357796

800 10.00257 2.62921 5.669862 14.33528 8.665418

1000 10.00257 3.025771 5.016365 14.98878 9.972415

1050 10.00257 3.129611 4.845246 15.1599 10.314654

4

680 10.04852 1.897944 6.920869 13.17616 6.255291

750 10.04852 1.897944 6.920869 13.17616 6.255291

800 10.04852 1.897944 6.920869 13.17616 6.255291

1000 10.04852 1.897944 6.920869 13.17616 6.255291

1050 10.04852 1.897944 6.920869 13.17616 6.255291

Gambar 4.8. Galat standar dari Distribusi Cauchy (n=500, µ=10, σ=2)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 134: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

119

Lampiran 7 Hasil Simulasi Data Acak dari Distribusi Chi-Square

Tabel 4.9. Pembangkitan Data dari Distribusi Chi-Square (n=10, µ=10, σ=2)

Metode SK

Nilai Tambahan

Nilai Penduga

Galat standar

Selang Kepercayaan 95% Lebar Selang

Batas Bawah Batas Atas

1

20 10.52117 2.013593 7.742815 13.299517 5.556702

30 11.52117 2.779988 6.661554 16.380778 9.719224

50 13.52117 4.590847 4.24145 22.80088 18.55943

90 17.52117 8.471775 -0.752429 35.794761 36.54719

100 18.52117 9.457523 -2.008418 39.050751 41.059169

2

20 5.74352 0.9744533 9.173782 9.910032 0.73625

30 5.74352 0.9744533 9.173782 9.910032 0.73625

50 5.74352 0.9744533 9.173782 9.910032 0.73625

90 5.74352 0.9744533 9.173782 9.910032 0.73625

100 5.74352 0.9744533 9.173782 9.910032 0.73625

3

20 5.74352 2.523665 6.720189 12.36362 5.643431

30 5.74352 3.484198 4.606443 14.47737 9.870927

50 5.74352 5.753774 0.1173469 18.96647 18.8491231

90 5.74352 10.6178 -9.016914 28.10073 37.117644

100 5.74352 11.85325 -11.30812 30.39193 41.70005

4

20 6.493084 2.482404 7.105782 12.55397 5.448188

30 6.493084 2.482404 7.105782 12.55397 5.448188

50 6.493084 2.482404 7.105782 12.55397 5.448188

90 6.493084 2.482404 7.105782 12.55397 5.448188

100 6.493084 2.482404 7.105782 12.55397 5.448188

Gambar 4.9. Galat standar dari Distribusi Chi-Square (n=10, µ=10, σ=2)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 135: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

120

Tabel 4.10. Pembangkitan Data dari Distribusi Chi-Square (n=50, µ=10, σ=2)

Metode SK

Nilai Tambahan

Nilai Penduga

Galat standar

Selang Kepercayaan 95% Lebar Selang

Batas Bawah Batas Atas

1

100 49.21651 1.793433 45.61247 52.82055 7.20808

180 50.81651 3.01544 44.75676 56.87626 12.1195

200 51.21651 3.370756 44.44272 57.9903 13.54758

300 53.21651 5.244767 42.67676 63.75626 21.0795

350 54.21651 6.211311 41.73441 66.69861 24.9642

2

100 46.30712 1.01155 44.6112 48.00303 3.39183

180 46.30712 1.01155 44.6112 48.00303 3.39183

200 46.30712 1.01155 44.6112 48.00303 3.39183

300 46.30712 1.01155 44.6112 48.00303 3.39183

350 46.30712 1.01155 44.6112 48.00303 3.39183

3

100 46.30712 2.247736 42.53867 50.07556 7.53689

180 46.30712 3.779293 39.97094 52.64329 12.67235

200 46.30712 4.224616 39.22433 53.3899 14.16557

300 46.30712 6.573341 35.28658 57.32766 22.04108

350 46.30712 7.784724 33.25563 59.3586 26.10297

4

100 48.26307 7.6356 35.4616 61.06454 25.60294

180 48.26307 7.6356 35.4616 61.06454 25.60294

200 48.26307 7.6356 35.4616 61.06454 25.60294

300 48.26307 7.6356 35.4616 61.06454 25.60294

350 48.26307 7.6356 35.4616 61.06454 25.60294

Gambar 4.10. Galat standar dari Distribusi Chi-Square (n=50, µ=10, σ=2)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 136: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

121

Tabel 4.11. Pembangkitan Data dari Distribusi Chi-Square (n=100, µ=10, σ=2)

Metode SK

Nilai Tambahan

Nilai Penduga

Galat standar

Selang Kepercayaan 95% Lebar Selang

Batas Bawah Batas Atas

1

150 99.9281 1.309796 97.32918 102.52702 5.19784

180 100.2281 1.45225 97.34652 103.10968 5.76316

200 100.4281 1.57205 97.30881 103.54739 6.23858

300 101.4281 2.341558 96.78194 106.07426 9.29232

350 101.9281 2.781847 96.40831 107.44789 11.03958

2

150 98.95515 0.3659062 98.34761 99.5627 1.21509

180 98.95515 0.3659062 98.34761 99.5627 1.21509

200 98.95515 0.3659062 98.34761 99.5627 1.21509

300 98.95515 0.3659062 98.34761 99.5627 1.21509

350 98.95515 0.3659062 98.34761 99.5627 1.21509

3

150 98.95515 1.641586 96.22948 101.6808 5.45132

180 98.95515 1.820126 95.93303 101.9773 6.04427

200 98.95515 1.970273 95.68373 102.2266 6.54287

300 98.95515 2.934708 94.08239 103.8279 9.74551

350 98.95515 3.486528 93.16615 104.7442 11.57805

4

150 99.41169 8.412008 85.44447 113.3789 27.93443

180 99.41169 8.412008 85.44447 113.3789 27.93443

200 99.41169 8.412008 85.44447 113.3789 27.93443

300 99.41169 8.412008 85.44447 113.3789 27.93443

350 99.41169 8.412008 85.44447 113.3789 27.93443

Gambar 4.11. Galat standar dari Distribusi Chi-Square (n=100, µ=10, σ=2)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 137: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

122

Tabel 4.12. Pembangkitan Data dari Distribusi Chi-Square (n=500, µ=10, σ=2)

Metode SK

Nilai Tambahan

Nilai Penduga

Galat standar

Selang Kepercayaan 95% Lebar Selang

Batas Bawah Batas Atas

1

680 498.5649 1.4622 495.692 501.4377 5.7457

750 498.7049 1.503142 495.7516 501.6581 5.9065

800 498.8049 1.539531 495.7801 501.8296 6.0495

1000 499.2049 1.735809 495.7945 502.6152 6.8207

1050 499.3049 1.795481 495.7772 502.8325 7.0553

2

680 498.5799 0.1323977 498.3617 498.7981 0.4364

750 498.5799 0.1323977 498.3617 498.7981 0.4364

800 498.5799 0.1323977 498.3617 498.7981 0.4364

1000 498.5799 0.1323977 498.3617 498.7981 0.4364

1050 498.5799 0.1323977 498.3617 498.7981 0.4364

3

680 498.5799 1.832596 495.5599 501.5999 6.04

750 498.5799 1.883909 495.4754 501.6844 6.209

800 498.5799 1.929516 495.4002 501.7596 6.3594

1000 498.5799 2.175514 494.9948 502.165 7.1702

1050 498.5799 2.250302 494.8716 502.2882 7.4166

4

680 498.32 22.00634 462.0554 534.5845 72.5291

750 498.32 22.00634 462.0554 534.5845 72.5291

800 498.32 22.00634 462.0554 534.5845 72.5291

1000 498.32 22.00634 462.0554 534.5845 72.5291

1050 498.32 22.00634 462.0554 534.5845 72.5291

Gambar 4.12. Galat standar dari Distribusi Chi-Square (n=500, µ=10, σ=2)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 138: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

123

TABEL 𝒁

z 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

-3.8 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001

-3.7 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001

-3.6 0.0002 0.0002 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001

-3.5 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002

-3.4 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0002

-3.3 0.0005 0.0005 0.0005 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0003

-3.2 0.0007 0.0007 0.0006 0.0006 0.0006 0.0006 0.0006 0.0005 0.0005 0.0005

-3.1 0.001 0.0009 0.0009 0.0009 0.0008 0.0008 0.0008 0.0008 0.0007 0.0007

-3 0.0013 0.0013 0.0013 0.0012 0.0012 0.0011 0.0011 0.0011 0.001 0.001

-2.9 0.0019 0.0018 0.0018 0.0017 0.0016 0.0016 0.0015 0.0015 0.0014 0.0014

-2.8 0.0026 0.0025 0.0024 0.0023 0.0023 0.0022 0.0021 0.0021 0.002 0.0019

-2.7 0.0035 0.0034 0.0033 0.0032 0.0031 0.003 0.0029 0.0028 0.0027 0.0026

-2.6 0.0047 0.0045 0.0044 0.0043 0.0041 0.004 0.0039 0.0038 0.0037 0.0036

-2.5 0.0062 0.006 0.0059 0.0057 0.0055 0.0054 0.0052 0.0051 0.0049 0.0048

-2.4 0.0082 0.008 0.0078 0.0075 0.0073 0.0071 0.0069 0.0068 0.0066 0.0064

-2.3 0.0107 0.0104 0.0102 0.0099 0.0096 0.0094 0.0091 0.0089 0.0087 0.0084

-2.2 0.0139 0.0136 0.0132 0.0129 0.0125 0.0122 0.0119 0.0116 0.0113 0.011

-2.1 0.0179 0.0174 0.017 0.0166 0.0162 0.0158 0.0154 0.015 0.0146 0.0143

-2 0.0228 0.0222 0.0217 0.0212 0.0207 0.0202 0.0197 0.0192 0.0188 0.0183

-1.9 0.0287 0.0281 0.0274 0.0268 0.0262 0.0256 0.025 0.0244 0.0239 0.0233

-1.8 0.0359 0.0351 0.0344 0.0336 0.0329 0.0322 0.0314 0.0307 0.0301 0.0294

-1.7 0.0446 0.0436 0.0427 0.0418 0.0409 0.0401 0.0392 0.0384 0.0375 0.0367

-1.6 0.0548 0.0537 0.0526 0.0516 0.0505 0.0495 0.0485 0.0475 0.0465 0.0455

-1.5 0.0668 0.0655 0.0643 0.063 0.0618 0.0606 0.0594 0.0582 0.0571 0.0559

-1.4 0.0808 0.0793 0.0778 0.0764 0.0749 0.0735 0.0721 0.0708 0.0694 0.0681

-1.3 0.0968 0.0951 0.0934 0.0918 0.0901 0.0885 0.0869 0.0853 0.0838 0.0823

-1.2 0.1151 0.1131 0.1112 0.1093 0.1075 0.1056 0.1038 0.102 0.1003 0.0985

-1.1 0.1357 0.1335 0.1314 0.1292 0.1271 0.1251 0.123 0.121 0.119 0.117

-1 0.1587 0.1562 0.1539 0.1515 0.1492 0.1469 0.1446 0.1423 0.1401 0.1379

-0.9 0.1841 0.1814 0.1788 0.1762 0.1736 0.1711 0.1685 0.166 0.1635 0.1611

-0.8 0.2119 0.209 0.2061 0.2033 0.2005 0.1977 0.1949 0.1922 0.1894 0.1867

-0.7 0.242 0.2389 0.2358 0.2327 0.2296 0.2266 0.2236 0.2206 0.2177 0.2148

-0.6 0.2743 0.2709 0.2676 0.2643 0.2611 0.2578 0.2546 0.2514 0.2483 0.2451

-0.5 0.3085 0.305 0.3015 0.2981 0.2946 0.2912 0.2877 0.2843 0.281 0.2776

-0.4 0.3446 0.3409 0.3372 0.3336 0.33 0.3264 0.3228 0.3192 0.3156 0.3121

-0.3 0.3821 0.3783 0.3745 0.3707 0.3669 0.3632 0.3594 0.3557 0.352 0.3483

-0.2 0.4207 0.4168 0.4129 0.409 0.4052 0.4013 0.3974 0.3936 0.3897 0.3859

-0.1 0.4602 0.4562 0.4522 0.4483 0.4443 0.4404 0.4364 0.4325 0.4286 0.4247

0 0.5 0.496 0.492 0.488 0.484 0.4801 0.4761 0.4721 0.4681 0.4641

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 139: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

124

(lanjutan) TABEL 𝒁

z 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0 0.5 0.504 0.508 0.512 0.516 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359

0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753

0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.591 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141

0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.648 0.6517

0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.67 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879

0.5 0.6915 0.695 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.719 0.7224

0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549

0.7 0.758 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852

0.8 0.7881 0.791 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133

0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.834 0.8365 0.8389

1 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621

1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.877 0.879 0.881 0.883

1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.898 0.8997 0.9015

1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177

1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319

1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.937 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441

1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545

1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633

1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706

1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.975 0.9756 0.9761 0.9767

2 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817

2.1 0.9821 0.9826 0.983 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.985 0.9854 0.9857

2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.989

2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916

2.4 0.9918 0.992 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936

2.5 0.9938 0.994 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952

2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.996 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964

2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.997 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974

2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.998 0.9981

2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986

3 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.999 0.999

3.1 0.999 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993

3.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995

3.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997

3.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998

3.5 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998

3.6 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999

3.7 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999

3.8 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 140: PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI … · memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan ... 4 BAB II PENDUGAAN PARAMETER ... digunakan dalam

125

TABEL DISTRIBUSI-𝒕

df 𝜶

0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0.025 0.02 0.01 0.005 0.0025 0.001 0.0005

1 1 1.376 1.963 3.078 6.31 12.7 15.9 31.82 63.65 127.3 318.3 636.619

2 0.817 1.061 1.386 1.886 2.92 4.303 4.849 6.965 9.925 14.08 22.33 31.599

3 0.765 0.979 1.25 1.638 2.353 3.182 3.482 4.541 5.841 7.453 10.22 12.924

4 0.741 0.941 1.19 1.533 2.132 2.776 2.999 3.747 4.604 5.598 7.173 8.61

5 0.727 0.92 1.156 1.476 2.015 2.571 2.757 3.365 4.032 4.773 5.893 6.869

6 0.718 0.906 1.134 1.44 1.943 2.447 2.612 3.143 3.707 4.317 5.208 5.959

7 0.711 0.896 1.119 1.415 1.895 2.365 2.517 2.998 3.499 4.029 4.785 5.408

8 0.706 0.889 1.108 1.397 1.86 2.306 2.449 2.896 3.355 3.833 4.501 5.041

9 0.703 0.883 1.1 1.383 1.833 2.262 2.398 2.821 3.25 3.69 4.297 4.781

10 0.7 0.879 1.093 1.372 1.812 2.228 2.359 2.764 3.169 3.581 4.144 4.587

11 0.697 0.876 1.088 1.363 1.796 2.201 2.328 2.718 3.106 3.497 4.025 4.437

12 0.696 0.873 1.083 1.356 1.782 2.179 2.303 2.681 3.055 3.428 3.93 4.318

13 0.694 0.87 1.079 1.35 1.771 2.16 2.282 2.65 3.012 3.372 3.852 4.221

14 0.692 0.868 1.076 1.345 1.761 2.145 2.264 2.624 2.977 3.326 3.787 4.14

15 0.691 0.866 1.074 1.341 1.753 2.131 2.249 2.602 2.947 3.286 3.733 4.073

16 0.69 0.865 1.071 1.337 1.746 2.12 2.235 2.583 2.921 3.252 3.686 4.015

17 0.689 0.863 1.069 1.333 1.74 2.11 2.224 2.567 2.898 3.222 3.646 3.965

18 0.688 0.862 1.067 1.33 1.734 2.101 2.214 2.552 2.878 3.197 3.61 3.922

19 0.688 0.861 1.066 1.328 1.729 2.093 2.205 2.539 2.861 3.174 3.579 3.883

20 0.687 0.86 1.064 1.325 1.725 2.086 2.197 2.528 2.845 3.153 3.552 3.85

21 0.686 0.859 1.063 1.323 1.721 2.08 2.189 2.518 2.831 3.135 3.527 3.819

22 0.686 0.858 1.061 1.321 1.717 2.074 2.183 2.508 2.819 3.119 3.505 3.792

23 0.685 0.858 1.06 1.319 1.714 2.069 2.177 2.5 2.807 3.104 3.485 3.768

24 0.685 0.857 1.059 1.318 1.711 2.064 2.172 2.492 2.797 3.091 3.467 3.745

25 0.684 0.856 1.058 1.316 1.708 2.06 2.167 2.485 2.787 3.078 3.45 3.725

26 0.684 0.856 1.058 1.315 1.706 2.056 2.162 2.479 2.779 3.067 3.435 3.707

27 0.684 0.855 1.057 1.314 1.703 2.052 2.158 2.473 2.771 3.057 3.421 3.69

28 0.683 0.855 1.056 1.313 1.701 2.048 2.154 2.467 2.763 3.047 3.408 3.674

29 0.683 0.854 1.055 1.311 1.699 2.045 2.15 2.462 2.756 3.038 3.396 3.659

30 0.683 0.854 1.055 1.31 1.697 2.042 2.147 2.457 2.75 3.03 3.385 3.646

40 0.681 0.851 1.05 1.303 1.684 2.021 2.123 2.423 2.704 2.971 3.307 3.551

50 0.679 0.849 1.047 1.299 1.676 2.009 2.109 2.403 2.678 2.937 3.261 3.496

60 0.679 0.848 1.045 1.296 1.671 2 2.099 2.39 2.66 2.915 3.232 3.46

80 0.678 0.846 1.043 1.292 1.664 1.99 2.088 2.374 2.639 2.887 3.195 3.416

100 0.677 0.845 1.042 1.29 1.66 1.984 2.081 2.364 2.626 2.871 3.174 3.39

1000 0.675 0.842 1.037 1.282 1.646 1.962 2.056 2.33 2.581 2.813 3.098 3.3

∞ 0.674 0.841 1.036 1.282 1.645 1.96 2.054 2.326 2.576 2.807 3.09 3.291

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI