KalkulusDeret Binomial

Materi

Nama Kelompok

Sekolah Tinggi Teknologi (STT) Migas Balikpapan

Nama Kelompok :1.Astria Hara2.Irzak Khoirul Huda3.Poetra Meilyansyah4.Renato Dian Yacob S5.Rizki Putra Pratama

KELOMPOK III (TIGA)

Materi Pembahasan

Faktorial & Kombinasi

Notasi ( )

Deret Binomial

Bilangan Eksponensial

e

FaktorialPengantar :Jawablah pertanyaan ini : Berapa banyakkah bilangan tiga digit yang dapat anda susun dengan menggunakan numeral 5, 7 dan 8. masing-masing sekali saja.

Next :, berapa banyakkah bilangan empat-digit yang dapat di susun dengan menggunakan numeral 1,2,3,dan 4 sekali dalam setiap bilangan ?

Jadi : Bagaimana kita menentukan banyaknya bilangan yang dapat di susun dari 5, 6, 7, 9, atau 10 digit angka ??? Apakah kita akan menuliskan 1 demi 1 angka dan susunannya itu

menghambat waktuPenyelesaian

KombinasiMarilah kita anggap bahwa anda memiliki pekerjaan paruh-waktu pada malam-malam hari kerja dimana anda harus bekerja hanya dua malam dari lima malam hari-hari kerja tersebut. Marilah kita anggap juga bahwa atasan anda sangat fleksibel dan memperbolehkan anda memilih malam yang mana anda bekerja asalkan anda menelpon dan membritahukannya pada hari minggu. Salah satu pilihan yang mungkin adalah:

Senin Selasa Rabu Kamis Jumat - K K - -Salah satu pilihan yang lain lagi adalah

Senin Selasa Rabu Kamis Jumat - - K - K ada berapa banyak susunan dua malam-kerja di antara lima hari tersebut?

5x4=20

3 Sifat dari koefisien kombinatorial

Segitiga pascalJajaran segitiga dari koefisien kombinatorial berikut dapat dikonstruksi di mana superskrip di sebelah kiri setiap koefisien menandakan nomor baris dan subskrip di sebelah kanannya menandakan nomor kolom :

Ekspansi Binomial

Binomial adalah pasangan bilangan yang dipangkatkan. Dalam Program ini kita hanya akan memperhatikan pangkat bilangan asli,yakni binomial yang berbentuk :

dengan n merupakan bilangan asli. Secara khusus, lihatlah ekspansi di bawah ini :

Jadi,berapakah ekspansi dan koefisien dari ?

Apa hubungan dari ekspansi binomial dengan segitiga pascal yang telah di jelaskan di atas ?

Suku Umum Ekspansi Binomial

Sebelumnya,kita telah menemukan bahwa ekspansi binomial yang terbentuk diberikan sebagai berikut :

Setiap suku dari ekspansi ini menyerupai di mana nilai r = 0 sampai r = n (terdapat n+1 suku dalam ekspansi ini).

Karena pernyataan pasti selalu terdapat pada setiap suku dalam ekspansi tersebut,kita menamainya suku umum ekspansi tersebut.

Marilah kita lihat satu contoh.Untuk mencari suku ke-10 dalam ekspansi binomial berbentuk dari rendah ke tinggi dalam pangkat x dari rendah ke tinggi,kita perhatikan bahwa a = 1, b = x, n = 15 dan r + 1 = 10 sehingga r = 9. Ini akan menghasilkan suku ke-10 sebagai berikut :

Notasi sigma (∑)

Daripada menulis setiap suku dalam penjumlahan ini dengan cara ini,maka dibuatlah satu notasi yang lebih singkat.Kita menulis suku umumnya dan kemudian menggunakan huruf Yunani ∑ (Sigma) untuk menyatakan penjumlahan.Dengan kata lain :

Ekspansi binomial yang berbentuk diberikan sebagai penjumlahan suku-suku :

Suku-suku umumAnda harus memiliki kemampuan untuk membentuk suku umum dari suatu penjumlahan suku-suku khusus dan sesudahnya menulis penjumlahan suku-suku khusus dengan menggunakan notasi sigma.

Untuk memulainya,perhatikanlah penjumlahan n bilangan yang genap yang pertama :

2 + 4 + 6 + 8 +. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Setiap bilangan bulat genap dapat dibagi 2 sehingga setiap bilangan bulat genap dapat ditulis dalam bentuk 2r di mana r merupakan bilangan bulat. Sebagai contoh :

8 = 2 X 4 Jadi disini 8 = 2r Dimana r = 4

Sebelumnya kita sudah mengetahui bahwa kita dapat menggunakan notasi sigma untuk menyatakan jumlah suku-suku umum.Kita sekarang akan menggunakan notasi tersebut untuk menyatakan penjumlahan suku-suku yang melibatkan bilangan bulat.Sebagai contoh ,dalam penjumlahan bilangan asli ganjil :

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + . . . . . . . . . . . . .

Suku umumnya sekarang dapat dinyatakan dengan 2r - 1 dimana r > 1 .Simbol ∑ kemudian dapat gunakan untuk menandakan penjumlahan suku-suku yang umumnya berbentuk :

Kita sekarang dapat juga menandakan kisaran suku-suku yang akan kita gunakan ketika kita ingin menguraikan penjumlahannya dengan menyisipkan nilai-nilai bilangan cacah r yang sesuai dibawah dan diatas tanda sigma.Sebagai contoh :

Penjumlahan Bilangan n Bilangan-bilangan Asli PertamaPerhatikan penjumlahan n bilangan asli bukan-0 pertama :

Akan sama dengan jika di tulis :

Berawal dengan n dan dikerjakan ke arah belakang.

Jika kedua penjumlahan ini di tambahkan suku demi suku,maka :

Dengan kata lain :

ditambahkan n kali

Dengan kata lain :

Penjumlahan n bilangan asli bukan-0 pertama

Aturan – aturan Untuk Memanipulasi Penjumlahan

Aturan 1

Jika f (r) merupakan suku umum dan k merupakan suatu konstanta,maka :

Konstanta persekutuan dapat dikeluarkan dari tanda sigmanya.

Khususnya,jika f (r) = 1 untuk semua nilai r

k yang dikalikan dengan 1 ditambahkan n kali

Aturan 2

Jika f (r) dan g (r) merupakan 2 suku umum,maka :

Bilangan Eksponensial eEkspansi Binomial yang berbentuk Diberikan sebagai

Ekspansi ini berlaku untuk sebarang nilai bilangan asli n, besar atau kecil, tetapi apabila n merupakan bilangan asli yang besar maka 1/n adalah bilangan kecil. Jika kita sekarang memisalkan nilai n membesar maka, seiring n membesar, nilai 1/n akan mengecil.

Memang semakin nilai n itu membesar, 1/n akan semakin dekat ke nol. Kita memiliki notasi untuk ini, Kita tulis

Selain itu, ketika , akan semakin dekatlah ekspansi itu ke ekspansi ...

Di sini elips(...) pada akhir ekspansi berarti bahwa ekspansi itu tidak berkesudahan –kita katakan bahwa ekspansi itu memiliki jumlah suku takterhingga.

Sebenarnya kita dapat menggunakan notasi sigma di sini dan menulis :

Perhatikan simbol untuk takterhingga ( di atas tanda sigma; simbol ini menandakan fakta bahwa penjumlahan tersebut berupa penjumlahan jumlah suku yang takterhingga. Dapat ditunjukan bahwa penjumlahan ini berupa jumlah takterhingga yang di nyatakan dengan e, bilangan eksponensial, yang nilainya ialah 2,7182818

Dengan kata lain:

Pada bagian II kita akan menunjukan bahwa ;

Thank’s Very Much For Your

Attention

Created By : Kelompok 3