Distribusi Variabel Acak
description
Transcript of Distribusi Variabel Acak
Distribusi Variabel Acak( Diskrit )
Hubungan Beberapa Distribusi
Diskrit
Distribusi Peluang Diskrit
1. Distribusi Bernoulli
2. Distribusi Binomial
3. Distribusi Poisson
4. Distribusi Geometrik
5. Distribusi Binomial Negatif (Pascal)
6. Distribusi Hipergeometrik
Distribusi Bernoulli
Definisi :
Variabel acak X dikatakan berdistribusi Bernoulli dengan parameter p, dan ditulis dalam bentuk : X ~ BIN (1, p)
X 1 0
P(X=x) p 1 - p
Probability mass function (pmf) untuk distribusi Bernoulli berdasarkan tabel di atas adalah
lainnyauntuk
xuntukp
xuntukp
xpxXP
;0
0;1
1;
)()(
Distribusi Bernoulli
Karakteristik distribusi Bernoulli :
Notasi : X ~ BIN (1, p)
Rata-rata : µ = p
Varians : σ 2 = p (1 – p)
Distribusi BernoulliContoh :
Sebuah dadu diundi. Jika diketahui munculnya angka 2 atau 4 dikatakan sukses, tentukan fungsi peluang, rata-rata, dan varians-nya.
Penyelesaian :
p = P(sukses) = P(muncul angka 2 atau 4) = 2/6 = 1/3
lainnya
xjika
xjika
xp
;0
0;3/2
1;3/1
)(
Rata-rata : µ = p = 1/3
Varians : σ 2 = p (1 – p) = 1/3 (2/3) = 2/9
Contoh:1. Jika dalam suatu permainan sebuah dadu,
kejadian dadu bernilai 4 atau 6 disebut sukses, dan kejadian lainnya disebut gagal, tentukan:
a. Fungsi peluangnya
b. Rata-rata dan variansnya
c. FPM
Jawab:Peristiwa sukses jika dadu bernilai 4 atau 6 Peristiwa gagal jika dadu bernilai 1,2,3,5
Peluang sukses =2 1
(sukses)6 3
P p
Peluang gagal =1 2
(gagal) 1 13 3
P p
a.
11 1
1 , 0,1( ) 3 3
0, lainnya
x x
xp x
x
b.1
( )3
E X p
1 2 2( ) (1 )
3 3 9
Var X p p
c. ( ) (1 ) tXM t p pe 2 1
3 3
te
2. Jika fungsi pembangkit moment suatu variabel acak adalah:
3 5( )
8 8
tXM t e
Tentukan simpangannya Jawab:
( ) (1 ) tXM t p pe
Simpangan:
3(1 )
8 p
3 5 1(1 ) 15
8 8 8
x p p
1110/9/01
Undian Bernoulli (Bernoulli Trial)
Trial
n kali trial hingga sukses pertama
kali
jml sukses dalam n kali
trial
Distribusi Geometrik
Distribusi Binomial
Distribusi Binomial
Distribusi Binomial merupakan proses Bernoulli yang dilakukan sebanyak n kali
Misal Xi ~ BIN (1, p), dan X1, X2, … , Xn saling bebas, maka
Xi ~ BIN (n, p)
nxppx
nxpxXP xnx ,,1,0;)1()()(
dimana
)!(!
!
xnx
n
x
n
Distribusi Binomial Karakteristik distribusi Binomial :
Notasi : X ~ BIN (n, p)µ = ? σ 2 = ?
xnx ppx
nxp
)1()(
n
x
xnxt
x
xnxtx
tx
ppex
npp
x
ne
eEtM
0
)1()1(
)()(
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0 1 2 3 4 5 6
Distribusi Binomial
n
x
xnxn abx
nba
0
)(
n
x
xnxt ppex
ntM
0
)1()(
ntpeptM ])1([)(
)(])1([)( 1 tnt pepepntM
22
1
)(])1()[1(
)(])1([)(tnt
tnt
pepepnn
pepepntM
npM )0(
222 )()1()0( npnpnppnnnpM
)1()0()0( 222 pnpnpnpMM
Distribusi Binomial
Contoh :
Pada perusahaan A, 20 persen karyawannya dikategorikan sebagai pekerja yang baik. Jika dipilih 15 karyawan secara acak, berapakah peluang :
a. 4 orang karyawan berkategori baik
b. Paling sedikit 2 orang berkategori baik
c. Tidak lebih dari 1 orang berkategori baik
Distribusi Binomial Jawab :
Diketahui : n = 15 ; p = 0.2 1 – p = 0.8
a. 4 orang karyawan berkategori baik x = 4
19.08.02.0!11!4
!158.02.0
4
15)4( 114114
xP
b. Paling sedikit 2 orang berkategori baik x > 2
)]1()0([1)2(1)2( xPxPxPxP
035.08.08.02.00
15)0( 15150
xP
132.0)8.0)(2.0(158.02.01
15)1( 14141
xP
833.0)132.0035.0(1)]1()0([1)2( xPxPxP
Distribusi Binomial
c. Tidak lebih dari 1 orang berkategori baik x < 1
P( x < 1) = P(x = 0) + P(x=1) = 0.035 + 0.132 = 0.167
Contoh:
1. Bila tentukan P(0<X<2) 1
(5, )3
X b~
55 1 2, 0,1,...,5
( ) 3 3
0, lainnya
x x
xp x x
x
(0 2) ( 1) P X P X45 1 2
1 3 3
41 2
53 3
2. Jika tentukan7
1 1( )
2 2
tXM t e
a. Rata-rata dan variansnya
b. (0 2) P X
3. (2, )X b p dan (4, )Y b p5
( 1)9
P X
tentukan ( 1)P Y
~ ~
20
1 (1 ) 0.99 e
(1 ) 0.01 e
1 jika1(1 1) e 0.74
2 2 (1 2) e 0.41
6 0.017
7 0.007
6 (1 6) e
7 (1 7) e
Jadi minimal rata-ratanya coklat yang ada di biskuit adalah 7.
Pada percobaan Binomial, yang dicari adalah peluang sejumlah sukses atau gagal dari n kali ulangan (misalkan peluang paling sedikit terjadi sukses 3 kali dari n ulangan, dll).
Jika ingin diketahui peluang sukses yang ke-k dari n kali percobaan, maka percobaan tersebut adalah percobaan binomial negatif.
Distribusi Binomial Negatif / Pascal
Distribusi Binomial Negatif / Pascal
Distribusi Binomial Negatif adalah pengamatan terhadap percobaan Bernoulli untuk mengamati k “sukses” dengan P(sukses) = p
Notasi : X ~ PAS( p,k )
22 )1(
,p
pk
p
k
1
( ; , ) , , 1, 2,...1
0 , yang lain
k x kxp q
p x k p x k k kk
x
( )1
kt
X t
peM t
qe
23
Contoh:
Misalkan pada percobaan pelemparan mata uang 4x, maka peristiwa yang mungkin terjadi adalah sebanyak 16 (ruang sampel = ). 42
Ingin diketahui:peluang munculnya sisi muka (M) yang ke dua kali terjadi pada lemparan ke -4
24
Ilustrasi :
M
Lemparan 1:
Lemparan 2:
Lemparan 3:
Lemparan 4:
Tiga lemparan pertama harus menghasilkan satu M, dimana saja satu M harus terjadi dari sisa lemparan (4-1)
Lemparan ke 4 sudah pasti M (yang terjadi ke 2 kalinya)
25
Ruang sampel:, , , ,
, , , ,
, , , ,
, , ,
MMMM MMMB MMBM MMBB
MBMM MBMB MBBM MBBBS
BMMM BMMB BMBM BMBB
BBMM BBMB BBBM BBBB
Variabel acak X menyatakan banyaknya ulangan yang berakhir tepat pada sukses yang ke-k, jika X=4 dan k=2 maka kejadiannya :{MBBM,BMBM,BBMM}
26
Peristiwa:MBBM 2 2( ) P MBBM pqqp p q
BMBM 2 2( ) P BMBM qpqp p q
BBMM 2 2( ) P BBMM qqpp p q
( 2) ( ) ( ) ( ) P X P MBBM P BMBM P BBMM2 2(3)( ) p q 2 23
( )1
p q
2 4 24 1( )
2 1
p q
Distribusi Binomial Negatif / Pascal
Contoh :
Ani dan Santi bermain “ular tangga” berulang kali hingga salah satu diantara mereka menang 5 kali. Misal permainan mereka saling bebas dan peluang Santi memenangkan sebuah permainan adalah 0.58. Berapa peluang bahwa permainan dihentikan setelah pengulangan ke-7 ?
Distribusi Binomial Negatif / Pascal
24.0066.017.0
58.042.04
642.058.0
4
6)7()7( 2525
YPXP
Jawab :
Misal X adalah jumlah pengulangan permainan hingga Santi menang 5 kali, dan Y adalah jumlah pengulangan permainan hingga Ani menang 5 kali. Maka X dan Y ~ PAS (5, 0.58)
Peluang bahwa permainan dihentikan setelah pengulangan ke-7 adalah
Berapa peluang Santi menang ?
71.024.0
17.0
)7()7(
)7(
)(
)()(
YPXP
XP
BP
BAPBAP
Misal A = Santi menang
2910/9/01
Trial Geometrik:Coba terus sampai berhasil!!
s
p = 3/4 q = 1 - p = 1/4
g
f(1)= 3/4
s
s
s
g
g
f(3)= 1/4 x 1/4 x 3/4 = 3/64
f(4)= 1/4 x 1/4 x 1/4 x 3/4 = 3/256
f(2)= 1/4 x 3/4 = 3/16
1x
2x
3x
4x
Probabilitas kumulatif s/d 4x =255/256 = 0.9961
3010/9/01
Distribusi Geometrik
Variabel random X berdistribusi geometrik dengan parameter p apabila fungsi peluangnya
f(x) = (1- p)x-1p untuk 0<p<1 dan x=1,2,3,4,……
dan (1- p)x-1p = 1x=1
Distribusi Geometrik
Distribusi Geometrik berasal dari distribusi Binomial dengan penekanan pada pengamatan kejadian “sukses” pertama
Notasi : X ~ GEO( p )
1)1()()( xppxpxXP x = 1,2, …
22 )1(
,1
p
p
p
Distribusi Geometrik
Contoh :
1
13
12
13
1)(
n
nXP
1 set kartu (52 buah) dikocok, satu kartu diambil secara acak dengan pengembalian, pengambilan kartu dianggap sukses jika diperoleh kartu “As”. Berapa peluang bahwa kartu “As” baru didapat setelah pengambilan kartu ke-10?
Jawab :
Misal X jumlah pengocokkan sampai diperoleh “As” pertama, maka X ~ GEO (1/13)
Distribusi Geometrik
49.0
13
12
13121
1312
13
1
13
12
13
1
13
12
13
1)10(
99
10
1
10
1
n
n
n
n
XP
maka peluang bahwa kartu “As” baru didapat setelah pengambilan kartu ke-10 adalah
Distribusi Hypergeometrik Misalkan dalam suatu populasi yang berukuran N terdapat
N1 item cacat dan N2 item tidak cacat. Sebuah sampel diambil dengan ukuran sampel n, ternyata x diantaranya merupakan item cacat, maka peluang cacat pada sampel akan berdistribusi Hypergeometrik ( X ~ HYP( n, N1, N2 ))
dengan fungsi peluang :
1 2
( ) ( )
N N
x n xp x P X x
N
n
11 ;;,,1,0 NNxnNxnx
Distribusi Hypergeometrik
121
1 NN
n
NN
Nn
)1(
)(
)1()(
)(
221
212
21
21212
NN
nNNNn
NNNN
nNNNNn
3610/9/01
ContohTerdapat 20 bola dalam sebuah kotak. 12 hitam dan
8 putih. 5 bola diambil acak tanpa pengembalian. X adalah jumlah bola hitam yang terambil dalam
sampel
Distribusi Hypergeometric
3710/9/01
Berapa peluang X?
N = 20, N1 = 12 (bola hitam), n = 5 (sampel)
P[X=0] = C(12,0)C(8,5)/C(20,5) = 0.0036
P[X=1] = C(12,1)C(8,4)/C(20,5) = 0.0542
P[X=2] = C(12,2)C(8,3)/C(20,5) = 0.2384
P[X=3] = C(12,3)C(8,2)/C(20,5) = 0.3973
P[X=4] = C(12,4)C(8,1)/C(20,5) = 0.2554
P[X=5] = C(12,5)C(8,0)/C(20,5) = 0.0511
Distribusi Hypergeometric
38
SOAL
Suatu kotak mengandung 7 komponen yang terdiri dari 4 komponen merek A dan 3 komponen merek B.Jika 3 komponen diambil secara random dari kotak, berapa probabilitas bahwa tepat terdapat 2 komponen merek A yang terambil?
Distribusi Poisson
Jika percobaan binomial dilakukan sampai mendekati tak hingga kali ( ),dan peluang sukses sangat kecil ( ), maka distribusi binomial akan mendekati distribusi Poisson dengan parameter
Distribusi Poisson dapat dibentuk dari pendekatan distribusi binomial .
n 0p
.np
Distribusi Poisson
Konsep dasar Distribusi Poisson berawal dari distribusi Binomial, oleh karena itu distribusi Poisson disebut sebagai pendekatan/hampiran dari distribusi Binomial
Jika X ~ BIN (n, p) , n ∞ ; np = λ
!)()(
x
expxXP
x
µ = ? σ 2 = ?
X ~ POI (λ)
Distribusi Poisson
!)()(
x
expxXP
x
00 !
)(
!][)(
x
xt
x
xtxtx
x
ee
x
eeeEtM
])1([exp)( te eeetMt
Deret MacLaurin :
)(])1([exp)( tt eetM
2)(])1([exp)(])1([exp)( tttt eeeetM 2)0(;)0( MM
2222 )(])0([)0( MM
Distribusi Poisson
Contoh :
Dalam tabel aktuaria perusahaan asuransi “T” ditentukan bahwa peluang seorang pria berumur 25 tahun akan meninggal tahun depan adalah 0.0002. Jika perusahaan asuransi “T” tahun ini menjual 4000 polis terhadap pria berumur 25 tahun, berapa peluang mereka akan membayar tepat 1 polis?
Jawab :
λ = 4000 (0.0002) = 0.8
3595.0!1
)8.0(
!)1(
8.01
e
x
exP
x
43
Contoh 1. Misalkan X adalah variabel acak
berdistribusi Poisson dengan parameter λ. Jika P(X=0)=0.2, maka tentukan P(X=2).Jawab: ( ) , 0,1,2,...
!
xe
p x xx
0
( 0) 0.20!
e
P X
0.2 e 1.6 2 (1.6)(1,6)
( 2) 0.25842!
e
P X
2. Misalkan dalam pembuatan biskuit Goodtime, jumlah coklat yang jatuh pada biskuit mengikuti distribusi Poisson. Konsumen menginginkan agar peluang sedikitnya dua coklat ada pada biskuit ini lebih besar dari atau sama dengan 0.99. Tentukan berapa nilai terkecil untuk rata-rata coklat yang ada setiap biskuit Goodtime ini.
Contoh
45
Jawab:
Misalkan variabel acak X adalah jumlah coklat yang ada pada biskuit, maka:
( 2) 0.99 P X
1 ( 2) P X 1 ( 0) ( 1) P X P X
1 ( 2) 0.99 P X
( 0)0!
oeP X
1
( 1)1!
eP X
( 0) ( 1) P X P X
(1 ) e
Tabel Jumlah peluangPoisson
0
( ; )r
x
p x