HARAPAN MATEMATIK

Nur Hayati, S.ST, MT

Yogyakarta, Maret 2016

Pendahuluan

• Rata-rata perubah acak X atau rata-rata distribusi peluang X

ditulis atau .

• Dalam statistik rata-rata ini disebut harapan matematik atau

nilai harapan dari perubah acak X, dinyatakan sebagai .

• Rata-rata atau nilai harapan dari perubah acak X ini

menggambarkan letak pusat distribusi probabilitas.

x

E(X)

Pengertian

• E(X) adalah harapan matematik atau nilai harapan dari

peubah acak X dan juga banyak yang menyebutnya rata-

rata peubah acak X atau rata-rata distribusi probabilitas X

x

x f(x) ; jika Xdiskret

E(X)

x f(x)dx ; jika X kontinu

• Bila variabel acak X mempunyai fungsi probabilitas f(x) =

P(X=x), maka harapan atau ekspektasi matematis dari X

yang ditulis E(X) adalah

Contoh 1• Suatu percobaan pelemparan dua uang logam, yang

dilemparkan sebanyak 16 kali.

• Jika X menyatakan banyaknya sisi muka yang muncul setiap

pelemparan, maka X dapat bernilai 0, 1, dan 2

• Misalkan percobaan itu masing-masing menghasilkan

sebanyak 4, 7, dan 5 kali, maka rata-rata banyaknya sisi

muka per pelemparan [=nilai harapan matematik] adalah

0 4 1 7 2 51 06

16

( )( ) ( )( ) ( )( )E(X) .

Contoh 2• Pada pelemparan tiga uang logam. Tentukan harapan

matematis munculnya “muka” pada tiap pelemparan, jika X

menyatakan banyaknya muncul muka.

• S = {(m,m,m), (m,m,b), (m,b,m), (b,m,m), (b,b,m), (b,m,b),

(m,b,b), (b,b,b) }

• X = {0,1,2,3} ;

• Maka P(X=x)

– P(x = 0) = 1/8 ;

– P(x = 1) = 3/8 ;

– P(x = 2) = 3/8 ;

– P(x = 3) = 1/8 ;

Contoh 2• Sehingga :

• E(X) = x=03 𝑥 𝑓(𝑥) = x=0

3 𝑥 𝑃(𝑋 = 𝑥)

• E(X) = (0) P(x=0) + (1) P(x=1) + (2) P(x=2) + (3) P(x=3)

• E(X) = (0)(1/8) + (1)(3/8) + (2)(3/8) + (3)(1/8)

• E(X) = (0+3+6+3)/8 = 12/8 = 1,5

Contoh 3

• Pada pelemparan dua dadu. Tentukan harapan matematis

munculnya jumlah muka dua dadu, jika X menyatakan jumlah

muka dua dadu.

• E(X) = x=212 𝑥 𝑓(𝑥) = x=2

12 𝑥 𝑃(𝑋 = 𝑥)

• E(X) = (2) P(x=2) + (3) P(x=3) + (4) P(x=4) +…..+ (12) P(x=12)

• E(X) = 252/36 = 7

Contoh 4• Carilah nilai harapan dari statistikawan yang duduk dalam

panitia yang terdiri dari 3 orang yang dipilih secara acak

dari 4 statistikawan dan 3 ahli biologi.

• Misalkan X = banyaknya statistikawan dalam panitia.

• X = {0, 1, 2, 3}

• Fungsi probabilitasnya dinyatakan sebagai

4 33

0 1 2 373

x xf(x) ;x , , ,

• Dari perhitungan diperoleh:

181 12 435 35 35 35

0 1 2 3f( ) ; f( ) ; f( ) ; f( )

Contoh 4• Dibuat tabel distribusi probabilitas X

Tabel 4.1. Distribusi Probabilitas X

• Jadi nilai harapan (rata-rata) banyaknya statistikawan yang duduk

dalam panitia adalah:

x 0 1 2 3

f(x) 135

1235

1835

435

181 12 435 35 35 35

127

0 1 2 3

1 7

x

E(X) x f(x)

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

,

• Teorema (1): Jika X suatu perubah acak dengan fungsi probabilitas

f(x), maka nilai harapan perubah acak g(X) adalah

x

g(X)

g(x)f(x) ; jika Xdiskret

E[g(X)]

g(x) f(x) ; jika Xkontinu

Teorema Harapan Matematis

• Jika X menyatakan banyaknya mobil yang datang di tempat

pencuci an mobil setiap hari antara jam 13.00 – 14.00

mempunyai distribusi probabilitas seperti pada tabel di

bawah ini:

Tabel 4.2. Distribusi Probabilitas X

x 4 5 6 7 8 9

P(X=x) 14

112

112

14

16

16

Contoh 5

• Jika diketahui bahwa g(X) = 2X-1 menyatakan upah para

karyawan yang dibayar perusahaan pada jam tersebut

(dalam ribuan rupiah), maka tentukan pendapatan yang

diharapan karyawan perusahaan tersebut

Contoh 5

• Jadi harapan penerimaan upah para karyawan = Rp 12,67

9

4

2 1 2 1g(x)

x

E[g(X)] E( X ) ( x )f(x)

1 1 1 1 1 112 12 4 4 6 6

(7)( ) (9)( ) (11)( ) (13)( ) (15)( ) (17)( )

12,67

Varians ( = sigma kuadrat)

• Variansi ( ) yaitu ukuran dispersi dari peubah acak.

• Variansi perubah acak X yang akan dibahas disini sangat berguna

dalam memberikan gambaran mengenai keragaman pengamatan

di sekitar nilai rata-rata

• Akar positip dari variansi, disebut simpangan baku X (standar

deviasi X).

• Jika X suatu perubah acak dengan fungsi peluang f(x)

dengan rata-rata , , maka variansi X adalah

2

2 2

2

x

(x ) f(x) ; jika Xdiskret

E[(X ) ]

(x ) f(x)dx ; jika X kontinu

2

2

2

Varians

• Variansi perubah acak X diskret adalah

• Bukti:

• karena dan

• Maka diperoleh

x

x f(x) ( ) 1

x

f x

2 2 2E(X )

2 2 2 2

2 2

2

2

x x

x x x

(x ) f(x) (x x )f(x)

x f(x) x f(x) f(x)

2 2 2 2 2 22

x

x f(x) E(X )

Varians

• Jika X suatu perubah acak dengan fungsi peluang f(x), maka variansi

perubah acak g(X) adalah

a. untuk kasus diskret

b. untuk kasus kontinyu

2 2 2g(X) g(X)g(X)

x

E{[g(X) ] } [g(X) ] f(x)

2 2 2g(X) g(X) g(X)E{[g(X) ] } [g(X) ] f(x)dx

Contoh 6

• Peubah acak X menyatakan banyaknya bagian yang cacat

dari suatu mesin jika 3 suku cadang disampling dari rantai

produksi dan dilakukan ujicoba. Hitunglah nilai variansi jika

diketahui distribusi probabilitas X seperti tabel di bawah ini

Tabel 4.4. Distribusi Probabilitas X

x 0 1 2 3

f(x) 0,51 0,38 0,10 0,01

Contoh 6

• Jadi banyaknya bagian yang cacat dari suatu mesin

mempunyai variansi sebesar 0,4979

0 0 51 1 0 38 2 0 10 3 0 01 0 61E(X) ( )( , ) ( )( , ) ( )( , ) ( )( , ) ,

2 2 2 2 20 0 51 1 0 38 2 0 10 3 0 01 0 87E(X ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ,

Contoh

1. Perhatikan kembali contoh 2 (Pada pelemparan tiga uang

logam); Tentukan nilai variansi dan standard deviasi dari X ;

jika X menyatakan banyaknya muncul muka

2. Perhatikan kembali contoh 3. Pada pelemparan dua dadu.

Bila X menyatakan munculnya jumlah muka dua dadu.

Tentukan Mean dan Standar deviasi X.

3. Pada pengiriman 6 pesawat TV berisi 2 rusak. Sebuah hotel

membeli 3 pesawat TV secara acak dari kiriman tersebut.

Bila X menyatakan banyaknya TV yang rusak yang dibeli

hotel. Tentukan Nilai Harapan X dan Simpangan baku X

*Sebelum menghitung cari dulu distribusi probabilitas X*

ADA PERTANYAAN?

TERIMA KASIH