VARIABEL ACAK DAN

DISTRIBUSI PELUANG

1

Variabel Acak

Variabel acak adalah suatu fungsi yang mengaitkan suatu bilangan real pada setiap

anggota dalam ruang sampel.

Variabel acak (random variable), biasanya dinyatakan dengan huruf besar, misal nya X, sedangkan nilainya dinyatakan dengan huruf

kecil padanannya, misalnya x.

2

Contoh

3

Dua bola diambil satu demi satu tanpa dikembalikan dari sebuah kantong berisi 4 bola merah dan 3 bola hitam. Bila X menyatakan jumlah bola merah yang diambil maka nilai X yang mungkin dari variabel acak X adalah:

Ruang Sampel X

MMMHHMHH

2110

4

Variabel acak disebut variabel acak diskret apabila himpunan kemungkinan hasilnya terhitung.

Variabel acak disebut variabel acak kontinu apabila himpunan kemungkinan hasilnya

semua nilai pada skala kontinu yang umumnya diperoleh darihasil pengukuran.

Distribusi peluang diskret

5

Definisi:Himpunan pasangan terurut {x, p(x)} merupakan suatu fungsi peluang, fungsi massa peluang, atau distribusi peluang variabel acak diskret X bila, untuk setiap kemungkinan hasil x1.p(x) ≥ 02.∑ p(x) = 13.P(X=x) = p(x)

contoh

6

Pengiriman 8 komputer PC yang sama ke suatu toko mengandung 3 yang cacat. Apabila sebuah sekolah membeli 2 komputer ini secara acak, carilah distribusi peluang banyaknya PC yang cacat.

Penyelesaian:

Misalkan, X variabel acak banyaknya komputer yang cacat, maka nilai variabel acak yang mungkin adalah; 0, 1, dan 2

Jadi distribusi peluang X adalah:

x 0 1 2

p(x) 10/28 15/28 3/28

1)

Distribusi diskret kumulatif

Definisi:Distribusi kumulatif F(x) suatu variabel acak diskret X dengan distribusi peluang p(x) dinyatakan oleh:

7

Contoh2) Hitunglah distribusi kumulatif variabel acak dalam contoh no

1) diatas, dengan menggunakan F(x), perlihatkan bahwa p(2)=3/28Penyelesaian:

8

Mean dan Varians dari distribusi Peluang Diskret

Mean :

9

Varians :

Distribusi peluang kontinuDefinisi:Fungsi f(x) adalah fungsi padat peluang variabel acak kontinu X, yang didefinisikan di atas himpunan semua bilangan real R, jika:

1.

2.

3.

10

Distribusi kontinu kumulatifDefinisi:Distribusi kumulatif F(x) suatu variabel acak kontinu X dengan dengan fungsi padat f(x) diberikan oleh:

11

Akibat dari definisi diatas:

contoh

12

Misalkan diketahui fungsi padat dari besarnya beban dinamik X pada sebuah jembatan (dalam kN) dinyatakan sebagai fungsi:

Maka, untuk sembarang nilai x antara 0 dan 2, fungsi distribusi kumulatif beban dinamik tersebut adalah:

Jadi:

Lanjutan …Peluang beban dinamik pada jembatan antara 1 sampai 1,5 kN adalah:

13

Mean dan Varians dari distribusi Peluang Kontinu

Mean :

14

Varians :

Nilai Harapan / Nilai Ekspektasi(sebuah variabel acak)

Definisi:Nilai harapan atau nilai ekspektasi dari sebuah variabel acak X,

dilambangkan dengan E(X) dapat didefinisikan sebagai berikut

15

kontinuacakiabelXjikadxxxf

diskritacakiabelXjikaxfx

XE x

var)(

var)(.

)(

contoh1) Dalam suatu permainan seseorang mendapat 5000 rupiah bila

dalam lemparan 3 coin muncul semua muka atau semua belakang, dan membayar 3000 rupiah bila muncul muka satu atau dua. Berapakah harapan kemenangannya?Penyelesaian:

16

Ruang sampel, S={MMM, MMB, MBM, BMM, MBB, BMB, BBM, BBB}

Misalkan, variabe acak X = besarnya kemenanganE1 = peristiwa muncul semua muka atau semua belakangE2 = peristiwa muncul mu satu atau duaJadi:P(E1) = 1/4 dan P(E2) = 3/4

Dalam permainan ini si pemain akan kalah 1000 rupiah per lemparan 3 coin.

Lanjutan …2) Misalkan X adalah variabel acak yang menyatakan umur

dalam jam sejenis bola lampu. Fungsi padat peluangnya dibrikan oleh:

17

Hitunglah harapan umur jenis bola lampu tersebut.Penyelesaian:

Nilai Harapan / Nilai Ekspektasi(sebuah fungsi variabel acak)

Definisi:Nilai harapan atau nilai ekspektasi dari sebuah fungsi variabel acak X, g(X) dilambangkan dengan E[g(X)] dapat didefinisikan sebagai berikut

18

kontinuacakiabelXjikadxxfxg

diskritacakiabelXjikaxfxg

XgE x

var)()(

var)().(

}]{[

contoh3) Banyaknya mobil X, yang masuk ke suatu pencuci mobil setiap hari

antara jam 13.00 s/d 14.00 mempunyai distribusi peluang:

19

x 4 5 6 7 8 9P(X=x) 1/12 1/12 1/4 1/4 1/6 1/6

Misalkan g(x)=2x-1 menyatakan upah dalam ribuan rupiah, para karyawan yang dibayar perusahaan dalam jam tersebut. Carilah harapan pendapatan karyawan pada jam tersebut?

Penyelesaian:

= 12,67

Latihan Soal1) Tiga buah mobil secara acak dan diperiksa mesinnya apakah bertipe

mesin binsin (B) atau diesel (D). Jika X menyatakan jumlah mobil diantara tiga mobil yang bermesin diesel, tentukanlah distribusi peluang dari X.

20

2) Misalkan X=jumlah roda gigi yang rusak dalam gear box sistem transmisi sebuah mesin bubut, tentukan:a) yang mana dari tiga fungsi p(x) dibawah ini yang memenuhi

sysrat sebagai sebuah fungsi peluang untuk X.x 0 1 2 3 4

(1) P(x) 0,3 0,2 0,1 0,05 0,05

(2) P(x) 0,4 0,1 0,1 0,1 0,3

(3) P(x) 0,4 0,1 0,2 0,1 0,3

b) Untuk fungsi p(x) yang memenuhi syarat sebagai fungsi peluang hitunglah P(2≤X≤4), P(X≤2) dan P(X≠0)