Ekspektasi dan Momen. Tujuan Pembelajaran Memahami transformasi dari suatu varibel acak ke variabel...

Ekspektasi dan Momen


Tujuan Pembelajaran• Memahami transformasi dari suatu

varibel acak ke variabel acak yang lain

• Memahami dan menjelaskan konsep momen dan fungsi pembangkitan momen

• Memahami dan menggunakan transformasi variabel, momen dan fungsi pembangkitan momen


Agenda• Transformasi variabel• Momen dan Fungsi Pembangkit

Momen


1. Transformasi Variabel

Misal X merupakan variabel acak diskrit dengan fungsi kerapatan f(x), y = u(x)

mendefinisikan transformasi satu-satu antara nilai-nilai X dan Y sehingga y = u(x) dapat

diselesaikan secara unik untuk x di dalam besaran y, misal x = w(y). Maka fungsi probabilitas

dari Y diberikan oleh:

)]([)( ywfyg



Misal X1 dan X2 adalah dua variabel acak diskrit dengan distribusi probabilitas

gabungan f(x1, x2). Untuk mendapatkan distribusi probabilitas gabungan g(y1, y2) dimana Y1

= u1(X1, X2) dan Y2 = u2(X1, X2) menentukan transformasi satu-sata antara titik-titik (x1, x2)

dan (y1, y2), sehingga persamaan ),( 2111 xxuy dan ),( 2122 xxuy Dapat diselesaikan

secara unik untuk 1x dan 2x dalam bentuk ),( 2111 xxwy dan ),( 2122 xxwy . Maka

distribusi probabilitas gabungan Y1 dan Y2 diberikan oleh:

)],(),,([),( 21221121 yywyywfyyg



Misal X merupakan variabel acak kontinyu dengan fungsi kerapatan f(x), y = u(x)

mendefinisikan transformasi satu-satu antara nilai-nilai X dan Y sehingga y = u(x) dapat

diselesaikan secara unik untuk x di dalam besaran y, misal x = w(y). Maka fungsi probabilitas

dari Y diberikan oleh:

Jywfyg )]([)(

Dimana )(' ywJ adalah transformasi Jacobian.



Misal X1 dan X2 adalah dua variabel acak kontinyu dengan distribusi probabilitas

gabungan f(x1, x2). Misal Y1 = u1(X1, X2) dan Y2 = u2(X1, X2) menentukan transformasi satu-

sata antara titik-titik (x1, x2) dan (y1, y2), sehingga persamaan ),( 2111 xxuy dan

),( 2122 xxuy merupakan solusi tunggal untuk 1x dan 2x dalam bentuk ),( 2111 xxwy dan

),( 2122 xxwy . Maka distribusi probabilitas gabungan Y1 dan Y2 diberikan oleh:

Jyywyywfyyg )],(),,([),( 21221121

Dengan J adalah transformasi J acobian yang dinyatakan oleh:

2

2

2

1

1

2

1

1

dy

dx

dy

dx

dy

dx

dy

dx

J



Misal X adalah variabel acak kontinyu dengan distribusi probabilitas f(x). Y = u(X)

menentukan suatu transformasi di antara nilai X dan Y yang bukan satu-satu. Jika interval

pada X didefinisikan dapat dipartisi ke dalam k himpunan yang saling lepas sehingga masing-

masing fungsi invers

)( , ),( ),( 2211 ywxywxywx kk

Dari y = u(x) menentukan korespondensi satu-satu, maka distribusi probabilitas Y diberikan

oleh:

i

k

ii Jywfyg

1

)]([)(



Contoh 1

Ambil X sebagai peubah acak geometri dengan sebaran probabilitas

13 1

( ) , 1,2,3,..4 4

x

f x x

Carilah sebaran probabilutas dari peubah acak Y =X2.

Penyelesaian

Karena nilai X semuanya positif,. transformasi tersebut menentukan korespondensi satu-satu

di antara nilai-nilai x dan y, y = x2 dan x = √y. Sehingga

13 1

, 1,4,9,..( ) 4 4

0,

y

yg y

di tempat lain



Contoh 7.2

Ambil X1 dan X2 sebagai dua peubah acak bebas yang mempunyai sebaran Poisson

yang masing-masing dengan parameter 1 dan 2 . Carilah sebaran dari peubah acak Y1 =

X1 + X2!

Penyelesaian:

Karena X1 dan X2 bebas, bisa kita tulis

1 21 1 2 2 1 2

1 2 1 21 2 1 2

1 2 1 2

,! ! ! !

X X X Xe e ex x f x f x

x x x x

dimana y1 = 0,1,2,….. dan y2 = 0,1,2,……Perhatikanlah bahwa karena x1 >0, tranformasi x1 =y1 – y2 mengimplikasikan bahwa x2 dan oleh sebab itu y2 harus selalu kurang dari atau



sama dengan y1. Akibatnya, sebaran propabilitas marginal Y1 menjadi

1 1 2 2

1 2

2 2

1 21 1 2

0 0 1 2 2

,!

ty y y y y

y y

h y g y y ey y y

1 2 1

1 2 2

2

11

01 2 1 2

!

! ! !

yy y y

y

ye

y y y y

1 2 1

1 2 2

2

11

0 21 !

yy y y

y

ye

yy

Dengan menyadari penjumlahan ini sebagai ekspansi binomial dari 1

1 2

y , kita

dapatkan

11 2

1 21 1

1

, 0,1,2,...!

ye

h y yy

dari situ kita menyimpulkan bahwa jumlah dari dua peubah acak bebas yang mempunyai

sebaran Poisson, dengan parameter-parameter 1 dan 2 , mempunyai sebaran Poisson

dengan parameter 1 + 2 .



Contoh 3

Ambil X sebagai peubah acak kontinu dengan sebaran probabilitas

, 1 512

0,

xx

f xdi tempat lain

Carilah sebaran probabilitas peubah acak Y = 2x – 3!

penyelesaian:

Penyelesaian invers dari y = 2x -3 menghasilkan x = (y + 3)/2, yang dari sini kita

mendapatkan J = W’(y) = dx/dy = ½. Sehingga dengan menggunakan Teorema 7.3, kita

dapatkan fungsi kepekatan Y menjadi

3

1 32 , 1 712 2 48

0,

yy

yg y

di tempat lain



Contoh 7.5

Perlihatkanlah bahwa 2

2X

Y

mempunayi sebaran chi-kuadrat dengan 1

derajat kebebasan apabila X mempunyai sebaran normal dengan nilai tengah dan variansi

2 !

Penyelesaian:

Ambil XZ

, dimana peubah acak Z mempunyai sebaran normal baku

2 21,

2Zf z e z

Sekarang kita akan menentukan sebaran peubah acak 2Y Z . Penyelesaian invers dari y =

z2 adalah z y . Bila kita memberikan 1z y dan 2z y , maka 1 1 2J y dan

2 1 2J y . sehingga, melalui Teorema 7.5 kita dapatkan

2 21 1 1 1

2 2 2 2y yg y e e

y y



1 2 1 2

1 2

1, 0

2yy e y

Karena g(y) merupakan fungsi kepekatan, berlaku bahwa

1 2 1 2 1 2 1 21 21 2

0 0

1 21 11

2 1 22y yy e dy y e dy

integral tersebut menjadi luas di bawah kurva probabilitas gamma dengan parameter-

parameter =1/2 dan =2. Dengan demikian, 1 2 dan f ungsi probabilitas dari Y

diberikan oleh

1 2 1 2

1 2

1, 0

2 1 2

0,

yy e yg y

di tempat lain

yang kelihatan menjadi sebaran chi-kuadrat dengan 1 derajat kebebasan.


2. Momen dan Fungsi Pembangkit Momen

Bila rXXg )( untuk r = 0, 1, 2, …., momen ke-r dari titik asal variabel acak X, r' ,

diberikan oleh:

kontinyuXdxxfx

diskritXxfx

XE

r

r

r

''

Karena momen pertama dan kedua diberikan oleh XE1' dan 22' XE , maka mean

dan variansi variabel acak X diberikan oleh:

1' dan 22

2 '



Fungsi pembangkit momen variabel acak X, txeE dan dinyatakan sebagai tM x dan

diberikan oleh:

kontinyuXdxxfe

diskritXxfe

eEtM

tx

tx

txx

Fungsi pembangkit momen akan ada hanya bila jumlah integral tM x konvergen. X sebuah

variabel acak dengan fungsi pembangkit momen tM x , maka

r

t

rx

r

dt

tMd'

)(

0



Sifat lain dari fungsi pembangkit momen adalah

a. tMetM Xat

aX

b. atMtM XaX

c. Bila nXXX ,,, 21 merupakan variabel acak bebas dengan fungsi pembangkit

momen tMtMtMnxxx ,,,

21 dan nXXXY 21 , maka,

tMtMtMtMnxxxY

21


2. Momen dan Fungsi Pembangkit Momend. Bila nXXX ,,, 21 merupakan variabel acak normal bebas dengan yang memiliki

distribusi normal dengan mean n ,,, 21 dan variansi 222

21 ,,, n maka

variabel acak nn XaXaXaY 2211 mempunyai distribusi normal dengan

mean nnaaa 2211 dan variansi

2222

22

21

21

2nnaaa

e. Bila nXXX ,,, 21 merupakan variabel acak saling bebas dengan masing-masing

memiliki distribusi Chi-Kuadrat dengan derajat kebebasan n ,,, 21 , maka

variabel acak nXXXY 21 mempunyai distribusi Chi-Kuadrat dengan

n 21 derajat kebebasan

f. Bila nXXX ,,, 21 merupakan variabel acak bebas yang memiliki distribusi

normal yang identik dengan mean dan variansi 2 maka variabel acak

2

1

n

i

iXY

mempunyai sebuah distribusi Chi-Kuadrat dengan n derajat

kebebasan.



Contoh 7.6

Carilah fungsi pembangkit-momen peubah acak binomial X kemudian gunakanlah

untuk membuktikan bahwa np dan 2 npq .

Penyelesaian:

dari definisi 7.2 kita mempunyai

0 0

n n xtx x n x t n xx

x x

n nM t e p q pe q

x x

Dengan mengenali jumlah terakhir sebagai ekspansi binomial dari ntpe q , kita dapatkan

ntxM t pe q

Sekarang

1nx t tdM tn pe q pe

dt



dan

2

2 1

21

n nx t t t t td M tnp e n pe q pe pe q e

dt

Dengan membuat t = 0, kita dapatkan

1' np dan 2' 1 1np n p

Sehingga

1' np dan 2 22' 1np p npq



Contoh 7.7

Perlihatkanlah bahwa fungsi pembangkit momen peubah acak X yang mempunyai

sebaran probabilitas normal dengan nilai tengah dan variansi 2 diberikan oleh

2 2

exp2X

t tM t

Penyelesaian:

Dari Definisi 7.2 fungsi pembangkit-momen dari peubah acak normal X adalah

21 1 1

exp22

txX

xM t e dx

2 2 2

2

21exp

22

x t xdx



Dengan menyelesaikan kuadrat di dalam suku eksponen di atas kita bisa menulis

22 2 2 2 2 2 42 2x t x x t t t

kemudian

2

2 2 41

2

21

exp22

X

x t t tM t dx

22 2

2

1 21exp exp

2 2

x tt tdx

Ambil 2w x t ; maka dx = dw dan

22 2

21exp

2 2w

X

t tM t e dw

2 2

exp2

t t

karena integral terakhir menggmbarkan luas di bawah sebuah kurva kepekatan normal baku

dan oleh sebab itu sama dengan 1.



Contoh 7.8

Perlihatkanlah bahwa fungsi pembangkit-momen dari peubah acak X yang

mempunyai suatu sebaran chi-kuadrat dengan x berajat kebebasan berupa

21 2

v

xM t t !

Penyelesaian:

Sebaran chi-kuadrat diperoleh sebagai hal khusus sebaran gamma dengan membuat 2v

dan 2 . Dengan subtitusi untuk f(x) di dalam Definisi 7.2, kita dapatkan

1 2 22 1

20 0

1

2 2x ttx v

X vM t e x e dx

v

1 2 22 1

20

1

2 2x tv

vx e dx

v



Dengan menuliskan y = x(1 – 2t)/2 dan dx = [2/(1-2t)]dx, kita peroleh

2 1

2

20

1 21 2

2 2 1 2

vvy

X v

yM t e dy t

v t

22 1

20

11 2

2 1 2

vv yv y e t

v t

Karena integral terakhir sama dengan 2v .

Ekspektasi dan Momen. Tujuan Pembelajaran Memahami transformasi dari suatu varibel acak ke variabel...

Documents

Transcript of Ekspektasi dan Momen. Tujuan Pembelajaran Memahami transformasi dari suatu varibel acak ke variabel...