Momen peubah ganda.docx

8/10/2019 Momen peubah ganda.docx

1/21

Momen Peubah Ganda

Di pasal 5.1 dibahas momen untuk peubah acak X yang tunggal (yakni, bermatra 1);

di pasal ini dibahas momen dari beberapa peubah acak (pada umumnya, tidak bebas-jadi,

mereka saling mempengaruhi).

Bila ( X 1 , , X n) suatu peubah acak bermatra n, maka g ( X 1 , , X n) juga suatu peubah

acak yang mempunyai fungsi distribusi, jadi harapannya terdefinisi (definsi 5.1.1) dan

berbagai teorema yang berkaitan dengan itu telah dikemukakan di pasal 5.1. Sebagai contoh,

akibat 5.1.3 dan akibat 5.1.6.

Teorema 5.3.1

Bila ( X 1, , X n) suatu peubah acak bermatra n dan bila Eg ( X 1 , , X n) ada, maka

nn x xnn dxdx x x f x x g X X Eg n ,...,,...,,...,...,..., 11,...11 1 Jika ( X 1 , , X n) kontinu mutlak, dan

n x xnn x x p x x g X X Eg n ,...,,...,...,..., 1,...11 1

Jika ( X 1 , , X n) diskret

Bukti :

Berdasarkan definisi 5.1.1

dx x xf EX x bila X kontinu mutlak dengan fungsi padat f x(x)

i xi x p x EX bila X diskrit dengan fungsi peluang p x(x)

Maka

nn x xn

x x xn

dxdx x x f x x g

dxdx x x f x x g dx x f x g X X Eg

n

,....,,....,,...,.. .

....,,,,...,

11,....,1

2121,211111

1

211

nn x xn dxdx x x f x x g n ,....,,....,,...,... 11,....,1 1 n x xn x x xn x x p x x g x x p x x g x p x g X X Eg n ,...,,...,...,,,..., 1,...,121,21111 1211

n x xn x x p x x g n ,...,,..., 1,...,1 1


2/21

Teorema 5.3.2

Bila ( X 1 , X 2) suatu peubah acak dwipeubah dan bila rataannya ada, maka E ( X 1 + X 2) = E ( X 1)

+ E ( X 2)

Bukti :

Karena Y = X 1 + X 2 suatu peubah acak dan fungsi padat peluangnya dapat dihitung dari

fungsi padat peluang gabungan ( X 1 , X 2) seperti di teorema 4.6.15.

dy y yf Y E y

21

2221

2121,2111

1221,211

1221,2221,1

1221,2221,1

1221,21

12111,

2

211

211

2121

2121

21

21

21

,

,

,,

,,

,

)(dengan,

X E X E

dx x f x X E

dxdx x x f xdx x f x

dxdx x x f x x f x

dxdx x x f xdx x x f x

dxdx x x f xdx x x f x

dxdx x x f x x

x y xdydx x y x f y

dy y yf

x

x x x

x x x

x x x x

x x x x

x x

x x

x x

Karena Y = X 1 + X 2 , maka terbukti E ( X 1 + X 2) = E ( X 1) + E ( X 2)

Kendati bukti yang ingin diberikan untuk teorema 5.3.2 ialah untuk kasus yang mempunyai fungsi padat peluang gabungan, hasil itu juga benar untuk peubah acak

lainnya (ataukah diskret, kontinu, campuran dan umum). Hal ini dapat dengan mudah

dirampat menjadi harapan dari setiap jumlah berhingga dari peubah acak. [sebagai contoh

untuk menunjukkan bahwa E ( ) = E ( ) + E ( ) + E ( ). Pertama-tamagunakan teorema 5.3.2 untuk menunjukkan bahwa E ( ) = E ( ) + E ( ) +

E ( ), dan kemudian gunakan untuk kedua kalinya pada E ( ) untuk membuktikanseluruhnya.] yakni


3/21

Akibat 5.3.3

Bila peubah acak bermatra n dan bila rataannya ada, maka E = E ( )++ E ( ).Contoh 5.3.4

Dalam contoh rulet ini (contoh 5.1.8 hal. 249) perhatikan bahwa secara intuisi jelas bahwa

rataan jumlah keuntungan dalam 100 kali main putaran sama dengan jumlah putaran. Bila

dimisalkan pada putaran ke- i perjudian tersebut dan biladiingat bahwa keuntungan dalam 100 putaran pertama ialah , maka akibat 5.3.3

diperoleh

E(Y) = -0,7632

Karena E (Y ) untuk satu kali putaran, maka untuk 100 kali putaran menjadi

=

= (-0 ,7632) + + ( -0,7632)

= -76,32

Seperti dinyatakan dalam contoh 5.1.8 [ catatan : ini benar-benar terlepas dari bentuk

fungsi padat peluang gabungan dari keuntungan, sepanjang distribusi marginalnya tidak

diubah, karena hanya fungsi padat peluang marginal yang digunakan dalam menghitung

]

Definisi 5.3.5

Misalkan (bilangan bulat yangtak negatif) definisikanlah ( )(bila harapan ini ada). Ini disebut momengabungan orde dari

Contoh 5.3.6

Misalkan suatu peubah acak bermatra 2, maka

E


4/21

Perhatikan bahwa disebut momen perkalian.

Definisi 5.3.7

Misalkan suatu peubah acak bermatra 2. Untuk setiap (bilangan bulat taknegatif) didefinisikan * +(bila harapan ini ada). Inidisebut momen pusat gabungan ordo dari Contoh 5.3.8

Misalkan suatu peubah acak bermatra 2 maka* + * +* +var * +var * + .

Lemma 5.3.9

Kov .Bukti :Kov * +

= Lemma 5.3.10Var Var ( ) Var ( ) Kov .Bukti:Berdasarkan definisi 5.1.14 yang menyatakan bahwa Var( X ) ialah 2 (momen pusat kedua

dari X ) dengan n = E ( X EX )n

, maka

Var ( X ) = E ( X EX )2

Var ( ) = ( )


5/21

= ( ) ( ) ( ) Jadi variansi dari jumlah peubah acak adalah jumlah kedua variansi ditambah dua kali

besaran yang diseb ut kovariansi (suatu ukuran hubungan antar keduanya). Bila kedua

peubah acak tidak ada hubungannya dalam arti kovariansinya nol (atau korelasi), apakah

keduanya bebas? Pertanyaan ini akan dibahas berikut ini, dan hasil akhirnya diberikan pada

teorema 5.3.19; pertanyaan yang berkaitan dengan itu juga akan dibahas. Pertama-tama,

sebelum itu akan diberikan perluasan yang berguna dari lemma 5.3.10 kejumlah n peubah

acak dan beberapa contoh.

Lemma 5.3.11

Var ( ) Bukti lemma 5.3.11 dengan mudah dapat diturunkan dari lemma 5.3.10 dengan

menggunakan induksi matematika (sebagai permulaan, perhatikan bahwa suatu jumlah dua peubah acak, padanya lemma 5.3.10 dapatdigunakan). Suatu hasil yang berguna diperoleh dengan menggabungkan akibat 5.3.3 dengan

lemma 5.3.11 sebagai berikut:

Akibat 5.3.12

Misalkan , jika peubah acak dengan Var dan Kov ( ) maka ,dan

Var Bukti : =

=


6/21

( ) Berdasarkan Lemma 5.3.10, maka

(dengan )

= Contoh 5.3.13

Misalkan suatu peubah acak bermatra 2 dengan fungsi padat peluang gabungan

Untuk mencari momen sampai ordo kedua dan menghitung korelasinya (definisi 5.3.21-

korelasi ialah kovariansi Kov

, dibagi dengan perkalian simpangan baku

. Dikerjakan sebagai berikut.Umumnya,( )

Jadi, untuk mencari momen masing-masing,


7/21

dan

( )

Jadi,

= . /

() |

Sehingga , dan = ( Var ( ()-


8/21

Begitu pula

=

| |

}

=

| |

}

Var ./


9/21

|

|

Dan korelasinya (dibahas di definisi 5.3.21)

Kor ./

Contoh 5.3.14

Misalkan peubah acak bermatra 2 dengan fungsi padat peluang gabungan Untuk mencari semua momen sampai ordo ke 2 dan korelasi antara

dan

, kita kerjakan

sebagai berikut


10/21

Sekarang

() , Var = () , Var = Kov ././ Dan korelasinya (definisi 5.3.21) adalah

Contoh 5.3.15

Perhitungan momen peubah ganda dalam kasus diskrit. Misalkan peubah acak bermatra 2 dengan fungsi peluang dicontoh 3.5.5. Cari semua momen sampai ordo ke 2

(lihat contoh 3.5.5)

{

{

Dengan pada semua lainnya, dan pada semua lainnya, jadi ;


11/21

E ( ) Jadi

Var ./ Var ./ Kov

Dan (lihat definisi 5.3.21)

Kor ././ Teorema 5.3.16

Bila dan bebas, maka untuk setiap dua fungsi dan Bila harapan ini diruas kanan ada, (rampatannya ke n peubah acak jelas juga

benar).

Bukti :

Berdasarkan teorema 4.4.6, untuk n = 2 maka dan berdasarkan teorema 5.3.2 bahwa maka dapat ditulis

Dua peubah acak X 1 dan X 2 tidak berkorelasi bila [yakni, bila hasilteorema 5.3.16 berlaku untuk ]


12/21

Lemma 5.3.17

dan tidak berkorelasi jika dan hanya jika Kov ( , ) = 0Bukti :

1. Jika

dan

tidak berkorelasi maka Kov (

,

) = 0

Berdasarkan teorema 5.3.16,

Jika dan tidak berkorelasi maka Kov ( , ) = 0

2. Jika Kov ( , ) = 0 maka dan tidak berkorelasiKov ( , ) = 0

Karena maka dan tidak berkorelasiTeorema 5.3.18

Var ( + ) = Var( Var( ) jika dan hanya jika dan tidak berkorelasiBukti:menurut lemma 5.3.10

Var (

+

) = Var(

Var(

)+ Kov (

,

)

Suku terakhir diruas kanan nol menurut lemma 5.3.17

Teorema 5.3.19

i Bila dan bebas maka keduanya tidak berkorelasiii bila dan tidak berkorelasi, keduanya belum tentu bebasBukti:

i Berdasarkan teorema 5.3.16 dengan mengambil

, tidak berkorelasi, bebas

Untuk semua fungsi kontinu

dan yang menjadi 0 (nol)

Diluar suatu selang berhingga


13/21

Gambar 5.3.1 hubungan antara kebebasan dan korelasi

ii Misalkan , cos dan U seragam pada (0,1). Dapat dibuktikan bahwa tidak berkorelasi, tetapi karena untuk semua maka keduanya tidak bebas.Teorema ini menjawab pertanyaan yang diajukan menyusul bukti lemma 5.3.10, tentangapakah kovariansi yang nol mengakibatkan kebebasan, sedangkan teorema berikut

memberikan pernyataan yang tepat dan lengkap mengenai hubungan antara korelasi dan

kebebasan.

Teorema 5.3.20

bebas jika dan hanya jika untuk semua fungsikontinu

yang sama dengan nol diluar suatu selang berhingga(lihat gambar

5.3.1)

Definisi 5.3.21 Koefisien korelasi dari dua p.a yang berdistribusi gabunganadalah [bila ( ) > 0, ( ) > 0 dan ( ), ( ) berhingga].Kor [catatan: rincian perhitungan kor diberikan dicontoh 5.3.13, 5.3.14 dan 5.3.15]Lemma 5.3.22 Misalkan bahwa

terdefinisi . maka

dan

tidak berkorelasi jika

dan hanya jika Koefisien korelasi memberikan suatu ukuran dari hubungan linear antara dua p.a. yakni suatuukuran dari kebaikan suatu prediksi nilai salah satu p.a yang dapat dibuat melalui fungsi

linear dari pengamatan pada yang lainnya. Tetapi misalkanlah dan . maka terdapat hubungan kuadrat yang tepat antara dan ; seterusnya kov ( dan jika [yakni, bila dan masing-masing dengan peluang , atau bila

mempunyai sembarang fungsi padat yang setangkup terhadap titik nol,

misalnya, fungsi padat N (0, )]. Maka kov Akan tetapi bila diketahuimaka kita dapat memprediksikan dengan amat baik (bila kita ketahui bahwa .Ini menunjukkan kendati koefiesien korelasi dapat mengukur hubungan linear cukup baik,

tidak berarti baik untuk mengukur hubungan yang tak linear.

Teorema 5.3.23 ketidaksamaan Schawarz

Untuk p.a jika harapannya ada, . Tanda sama berlaku jika danhanya jika (untuk suatu tetapan a)


14/21

Bukti: anggap (jika tidak, maka dengan peluang 1 dan teorema jelas berlaku).

Maka

Merupakan suatu polinom berderajat dua dalam t. karena polinom ini tak negative, maka

apakah (1) ada dua akar yang kompleks (bila tanda yang berlaku) atau (2) dua akar real yang berimpit (bila tanda ). Akar tesebut adalah Jadi. Diperoleh (1) jika dan hanya jika 4 ( yakni jika

. Diperoleh (2) jika dan hanya jika dan kasus ini adalah

= 0, jadi

dengan peluang 1 dan =

[catatan : ketidaksamaan Schawarz ialah hal khusus dari ketaksamaan H

lder (Teorema

5.1.13) dengan - Teorema 5.3.24

i -1 ii Jika dan hanya jika daniii

jika dan hanya jika

butki:

i Ambil (di teorema 5.3.23) ; maka .[kov - Var Var ; ii dan iii

jika dan hanya jika Jadi, jikka

Jikka

Jikka Sebagai contoh, ingat (definisi 4.5.2) bahwa suatu p. a

berdistribusi normal

dwi peubah


15/21

. / ./. / . /} Sehingga kita dapat membuktikan yang berikut.

Teorema 5.3.25.Misalkan berdistribusi normal gabungan. Maka Var ,, Var juga tidak berkorelasi jika dan hanya jikakeduanya bebas.

Bukti:

Pertama-tama perhatikan bahwa jika berdistribusi normal dwipeubah, maka

. / ./. / . /} . / ./ }

. / . / . / ./ }

. / . / Disini dilakukan penggantian lengkapi bentuk kuadratnya dengan

Dan kemudian melakukan pergantian

./ Jadi, bila berdistribusi normal dwi peubah, maka berdistribusi (eka peubah)normal, yang (lihat teorema 5.3.6) menunjukkan bahwa Var . Begitu

pula diperoleh Var . Sisa bukti teorema ini diberikan sebagai soal 5.4.teorema 5.3.25 dapat diperluaskan ke distribusi normal peubah ganda yang didefini 4.5.4.

khususnya berdistribusi normal bermatra n jikka kombinasi linear dari berdistribusi normal. Sementara itu, perhatikan bahwa haruslah gabungannya


16/21

normal; agar supaya kenormalannya mengakibatkan kebebasan jikka =0). Sepertiyang ditunjukkan oleh contoh berikut.

Inti persoalannya ialah bahwa distribusi normal setangkup terhadap rataanya, sehingga

, -

, -

, -, - , -, - , - Yakni, Z (begitupun X ) berdistribusi normal marginal. Sekarang , - karena Tetapi saling bergantungan.Sebagai pokok bahasan terakhir dipasal ini, kita pandang harapan bersyarat. Ini digunakan

untuk menjawab pertanyaan seperti itu, bila kita ketahui ?Definisi 5.3.27 bila kontinu mutlak atau diskrit, maka (masing-masing) rataan

bersyarat dari bila diketahui adalah

Jadi definisi harapan bersyarat hamper sama dengan definisi harapan (definisi 5.1.1). kecuali

bahwa sebagaoi pengganti fungsi padat (atau peluang) marginal digunakan fungsi padat( atau

peluang)bersyarat. Nanti akan terlihat bahwa harapan bersyarat merupakan salah satu alatdasar dalam teori penaksiran. Disamping itu, dalam teori peluang harapan bersyarat berperan

teramat penting dalam proses stokhastik. Teorema 5.3. bila sasaran tersebut ada dan bila

kontinu mut;lak atau diskrit, maka (untuk masing-masing kasus)

Bukti:

Mari kita pandang kasus yang diskrit (kasus yang kontinu mutlak dibuktikan dengan cara

yang sama dengan mengganti tanda penjumlahan dengan integral.) maka menurut definisi

5.3.27

Sehingga bila kedua ruas dikalikan dengan diperoleh


17/21

Dengan kesamaan terakhir diperoleh karena = sekarang jumlahkan

terhadap kita peroleh

(Disini digunakan definisi 3.4.14 untuk mengawali sebagai fungsi peluangmarginal dari sehingga teorema terbukti.

Teorema 5.3.2 sering amat berguna dalam menghitung nilai harapan. Perhatikan bahwa tidak hanya

yang dapat didefinisikan, tapi juga suatu p.a (paling tidak EY ada). Makahasil terakhir mengatakan bahwa

( ) Sutau perluasan yang berguna dari teorema 5.3.2 menyatakan (dalam lambing yang terakhir) bahwa

( ) Contoh 5.3.29 misalkan bahwa suatu p.a bermatra 2 dengan fungsi padat

Gambar 5.3.2 Daerah

Yakni didistribusikan seragam diatas daerah digambar 5.3.2. periksa bahwa suatu fungsi padat, yaitu dan

.

Berapakah rata-rata dalam hal bernilai Besaran yang ingin dicari dinyatakan tepat oleh definisi 5.3.27; yakni, [sekaranglihat persamaan (4.4.5)]

Kita beralih sejenak untuk menghitung


18/21

Sehingga

Dan

Perhatikan bahwa ialah distribusi seragam pada , sehingga dari teorema5.2.4 diperoleh langsung bahwa . jugadiperhatikan bahwa setelah menemukan

dengan mudah kita peroleh melalui

teorema 5.3.28:

Contoh 5.3.31Misalkan suatu p.a diskrit bermatra 2 dengan fungsi peluang Untuk suatu bilangan bulat positif k tertentu. Cari semua momennya sampai ordo kedua, kor

dan , , Var , Var Pertama-tama, perhatikan bahwa distribusi dari seragam pada titik-titik sepertidigambarkan 5.3.3. sekarang kita teruskan dengan menghitung funsi peluang marginal dan

bersyarat dan momennya seperti berikut.

Setelah mendapat fungsi peluang gabungan dan marginal, sekarang kita dapat menghitung

fungsi peluang bersyarat


19/21

Gambar 5.3.3 dititik titik ini

bernilai positif (k=10)

(yang diatas hanya berlaku untuk nilai yang memenuhi karena

pada titik lainnyta peluang bersyarat tidak terdefinisi).

Yang diatas ini memberikan fungsi yang diperlukan untuk menyelesaikan soal tadi denganmenghitung momen yang ingin dicari, seperti berikut ini:

() Var

()

Var )

Kov

)


20/21

Dan (bila k>1, karena penyebutnya sama dengan nol bila k =1 dan korelasi tidak terdefinisi).

Kov ) Kita telah melihat perhitungan seperti ini sebelumnya (yakni, dalam contoh 5.3.13, 5.3.14 dan5.3.15); sekarang kita lanjutkan dengan menghitung besaran baru, harapan yang bersyarat:

Bila (perhatikan bahwa harapan bersyarat tidak terdefinisi untuk setiap nilai

yang selainnya);

Bila, (dan harapan bersyarat tidak terdefinisi untuk setiap yang lainnya);

( ) Bila

Var ( ) ( ) , - Bila

( )

Bila dan

Var . / . / Bila

Perhatikan bahwa, setelah menemukan . Kita sekarang dapat mencari berdasarkan teorema 5.3.28:


21/21

Seperti telah diturunkan sebelumnya, di contoh ini, dari distribusi marginal . [Diberikansebagai latihan untuk membuktikan hasil yang telah kita peroleh denganmenggunakan distribusi marginal dari , melalui ].

Momen peubah ganda.docx

Documents

Transcript of Momen peubah ganda.docx