VARIABEL ACAK DAN NILAI HARAPAN

Variabel Acak

Didefinisikan sebagai deskripsi numerik dari hasil percobaan.Variabel acak adalah variabel yang nilai-nilainya ditentukan oleh kesempatan atau variabel yang dapat bernilai numerik yang didefinisikan dalam ruang sampel.Variabel acak biasanya menghubungkan nilai-nilai numerik dengan setiap kemungkinan hasil percobaan.

Variabel acak dapat dibedakan atas :

• Variabel acak diskrit (hasil perhitungan)

• Variabel Acak Kontinu (hasil pengukuran)

Variabel Acak Diskrit

• Variabel acak diskrit hanya dapat mengambil nilai-nilai tertentu yang terpisah, yg umumnya dihasilkan dari perhitungan suatu objek.

• Variabel acak diskrit tidak mengambil seluruh nilai yang ada dalam sebuah interval atau variabel yang hanya memiliki nilai tertentu.

• Nilainya merupakan bilangan bulat dan asli, tidak pecahan.

Contoh-contoh variabel Diskrit

Percobaan Variabel Acak Kemungkinan Nilai V. Acak

Penjualan Mobil

Jenis kelamin Pembeli

0 : Jika Wanita1 : Jika Pria

Penelitian thdp50 produk baru

Jumlah produk yang rusak

0,1,2,3……50

Variabel Acak Kontinu

Variabel Acak Kontinu adalah variabel random yang mengambil seluruh nilai yang ada dalam sebuah interval, atau variabel yang dapat memiliki nilai-nilai pada suatu interval tertentu.Nilainya dapat berupa bilangan bulat maupun pecahan.

Contoh variabel kontinu

PercobaanPercobaan Variabel AcakVariabel Acak Kemungkinan Kemungkinan Nilai-nilai Nilai-nilai Variabel AcakVariabel Acak

Membangun Membangun Proyek Proyek perkantoran perkantoran baru setelah 6 baru setelah 6 bulanbulan

Prosentasi Prosentasi proyek yang proyek yang diselesaikandiselesaikan

1000 x

DISTRIBUSI PROBABILITAS VARIABEL ACAK DISKRIT

Distribusi probabilitas variabel acak menggambarkan bagaimana suatu

probabilitas didistribusikan terharapan nilai-nilai dari variabel acak tersebut. Notasi

sebagai p(x)

Jumlah Mobil terjual dalam sehari menurut jumlah hari selama 300 hari

Jumlah mobil terjual dlm sehari

Jumlah hari

0 54

1 117

2 72

3 42

4 12

5 3

Total 300

Jika X menyatakan jumlah mobil yg terjual dalam sehari, maka p(0) menyatakan probabilitas 0 mobil terjual per hari, p(1) menyatakan probabilitas 1 mobil terjual perhari dan seterusnya. Berdasarkan informasi yang diperoleh maka probabilitas 0 mobil dalam sehari adalah 54/300 = 0.18.

Secara singkat nilai probabilitas ditabelkan sebagai berikut.

X P(x)

0 0.18

1 0.39

2 0.24

3 0.14

4 0.04

5 0.01

Total

1

Sehingga apabila kita ingin menghitung probabilitas bahwa 3 atau lebih mobil terjual dalam sehari, maka kita hitung

p(3) + p(4) + p(5) = 0.14 + 0.04 + 0.01 = 0.19

Syarat yang harus dipenuhi untuk fungsi probabilitas diskrit

• atau

• Jumlah seluruh

oxp )( 1)(0 xp

1)(xp

Grafik fungsi Probabilitas

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0 1 2 3 4 5

East

Distribusi probabilitas diatas dapat dinyatakandengan rumus (fungsi):

P(x) = x/10,

Untuk x = 1,2,3 atau 4 Fungsi distribusi tdk

boleh negatif & syarat sblumnya harus terpenuhi.

FUNGSI PROBABILITAS KUMULATIF VARIABEL ACAK DISKRIT

Digunakan untuk menyatakan jumlah dari seluruh nilai fungsi probabilitas yang lebih kecil atau sama dengan suatu nilai yang ditetapkan.Apabila kita ingin mencari probabilitas bahwa mobil yg terjual kurang dari 3, Maka kita akan menjumlahkan semua probabilitas dari nilai 2x yang bersangkutan.

Rumus Probabilitas Kumulatif Variabel Diskrit

Dimana : menyatakan fungsi probabilitas kumulatif pada titik X=x yang merupakan jumlah seluruh nilai fungsi probabilitas untuk nilai x sama atau kurang dari x

p(x)Xx)P(XF(X)

x)P(XF(x)

Probabilitas Kumulatif dari jumlah Mobil terjual dalam

Sehari

X F(X)

0 0.18

1 0.57 (=0.18+0.39)

2 0.81 (=0.57+0.24)

3 0.95 (=0.81+0.14)

4 0.99 (=0.95+0.04)

5 1.00 (=0.99+0.01)

Jadi jika fungsi kumulatif disajikan dalam bentuk grafik adalah sebagai berikut :

00,10,20,30,40,50,60,70,80,9

1

0 1 2 3 4 5

East

Fungsi Probabilitas Bersama (Joint Probability)

Pada Variabel acak dan distribusi probabilitas telah dibatasi hanya untuk ruang sample berdimensi satu, dalam arti bahwa hasil-hasil yg diperoleh sari suatu percobaan merupakan nilai-nilai yang dapat diambil oleh suatu peubah (variabel) acak. Dalam prakteknya banyak kondisi yang menghendaki kita untuk mencatat.

Sehingga untuk dinyatakan dalam bentuk formula kita ambil suatu contoh yaitu X dan Y adalah dua variabel acak diskrit, distribusi probabilitas bersamanya dapat dinyatakan sebagai sebuah fungsi f(x,y) bagi sembarang nilai (x,y) yang dapat diambil oleh peubah acak X dan Y. Sehingga dalam kasus variabel acak diskrit tersebut dinyatakan dalam :

• Formula Fungsi Probabilitas Bersama

f(x,y) = p(X=x, Y=y)Dimana : f(x,y) adalah pernyataan peluang

bahwa x dan y terjadi secara brsamaan.

Variabel DiskritHasil Lemparan Dadu Dua kali

X\Y 1 2 3 4 5 6

1 11 12 13 14 15 16

2 21 22 23 24 25 26

3 31 32 33 34 35 36

4 41 42 43 44 45 46

5 51 52 53 54 55 56

6 61 62 63 64 65 66

Distribusi Probabilitas Bersama, p(x,y)

X\Y 1 2 3 4 5 6

1 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36

2 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36

3 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36

4 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36

5 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36

6 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36

Nilai Harapan dan Varians dari Variabel Acak Diskrit

• Nilai Harapan variabel acak diskrit adalah rata-rata tertimbang terhadap seluruh kemungkinan hasil dimana penimbangnya adalah nilai probabilitas yang dihubungkan dengan setiap hasil ( outcome ).

Nilai Harapan Variabel Acak Diskrit

• E ( X )= x = xi.f (x)atau

• E ( X )= x = (xi.P(x))Dimana :Xi = nilai ke i dari variabel acak XP(xi) = probabilitas terjadinya xi

Contoh :

X = banyaknya pesanan barang dalam satuan yang masuk selama 1 minggu. P(X) = probabilitas X = x.

X 0 1 2 3

P(x) 0,125 0,375 0,375 0,125

Hitung rata-rata banyaknya pesanan atau pesanan yang diharapkan.

Varians dan Simpangan Baku

Dengan menggunakan nilai harapan ini maka varians atau simpangan baku dari distribusi teoretis dapat dihitung, yaitu :

Var (X) = 2 = E(X2) ––(E(X))2

Var (X) = 2 = (x – ) 2. P(x) = Var (X)

Nilai Harapan dari Fungsi Probabilitas Bersama.

E[h(x,y) = h(x,y) p(x,y)

dimana :h(x,y) = sembarang fungsi dari X dan Yp(x,y) = probabilitas terjadinya X dan Y secara bersama-sama.

Contoh :Apabila diketahui p(x,y) sebagai berikut :

X\Y 0 1 2 3 4 P(x)

2 0 0,1 0,1 0,2 0 0,4

3 0,1 0 0,1 0 0,2 0,4

4 0,1 0,1 0 0 0 0,2

q(y) 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 1a) Carilah nilai E (X+Y)b) Carilah nilai E (X) + E (Y)c) Carilah nilai E (XY)

Kovarians

• Kovarians adalah suatu pengukuran yang menyatakan variasi bersama dari dua variabel acak.

• Kovarians antara 2 variabel acak diskrit X dan Y dinotasikan dengan xy dan didefinisikan sebagai berikut :

),()]()][([1

iii

N

iixy yxp YEYXEX

Dimana :Xi = nilai variabel acak X ke iYi = nilai variabel acak Y ke ip(xi,yi) = probabilitas terjadinya xi dan yii = 1, 2, 3, …., n

Persamaan Kovarians