08-Kalkulus 2 Bab 4 Integral Lipat

5/28/2018 08-Kalkulus 2 Bab 4 Integral Lipat

1/9

Bahan Ajar Kalkulus 2(2012/2) STKIP SURYA

68Created by Edwin Setiawan N.

Bab 4. Integral Lipat

Integral Lipat Dua Pada Persegi Panjang

Gambar berikut ini mengilustrasikan aproksimasi perhitungan volume dibawah permukaan f

dan diatas domain R.

Sumber:http://www.mhhe.com/math/calc/smithminton2e/cd/folder_structure/text/chap13/section01.htm


2/9



Definisi

Misalkanfsuatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang tertutup.

Jika|| || 0

1

lim ( , )

n

k k kP

k

f x y A

=

ada ,

kita katakanfdapat di integralkan padaR. Lebih lanjut,

|| || 01

( , ) lim ( , )

n

k k kP

kR

f x y dA f x y A

=

=

Teorema Keintegrasian

Jika f terbatas pada suatu persegi panjang tertutupR, dan jikafkontinu disana kecuali pada

sejumlah pada sejumlah berhingga kurva-kurva mulus , makafdapat di integrasikan padaR.

Khususnya , jikafkontinu pada semua titikR, makafdapat di integrasikan disana.

Sifat-Sifat Integral Lipat

1.Integral lipat dua bersifat linear, yaitu

a. ( , ) ( , )

R R

kf x y dA k f x y dA=

b. ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

R R R

f x y g x y dA f x y dA g x y dA+ = +

2. Integral lipat dua bersifat aditif pada persegi pajang yang saling berimpit pada hanya

sebuah ruas garis

1 2

( , ) ( , ) ( , )

R R R

f x y dA f x y dA f x y dA= +


3/9


3. Sifat perbandingan berlaku. Jika f (x, y) g (x, y) untuk semua (x, y) di R, maka

( , ) ( , )

R R

f x y dA g x y dA

Menghitung Integral berulang

Sumber:http://www.mhhe.com/math/calc/smithminton2e/cd/folder_structure/text/chap13/section01.htm

( , ) ( , )

d b

R c a

f x y dA f x y dx dy =

atau ( , ) ( , )b d

R a c

f x y dA f x y dy dx =

Contoh 1

Hitunglah a.

2 2

0 1

4x y dx dy +

dan b.2 2

1 0

4x y dy dx

Penyelesaian

a.

22

2

1

1

4 2 8 2 (2 ) 6x y dx x xy y y y + = + = + + = +


4/9



2 2 22

212

0

0 1 0

4 6 6 12 2 14x y dx dy y dy y y + = + = + = + =

b.

22

212 0

0

4 4 8 2x y dy xy y x + = + = + 2 2 2

22

1

1 0 1

4 8 2 4 2 20 6 14x y dy dx x dx x x + = + = + = =

Perhatikanlah perhitungan integral diatas sama.

Contoh 2

Hitunglah

1 9

0 1

xye dydx

Penyelesaian

1 9 1 191

2

01

0 1 0 0

140 40 40

2

x x x xye dydx y e dx e dx e e = = = =

Contoh 3

Hitunglah volume diantara surfacez=16 -x2- 3y

2dan persegi R = [0, 3] x [0, 1].

Penyelesaian

1 3 1

32 2 3 213

0

0 0 0

( , ) 16 3 16 3

R

f x y dA x y dxdy x x xy dy = =

1 11

2 2 3

0

0 0

48 9 9 39 9 39 3 36y dy y dy y y = = = =


5/9



Latihan

Dengan menggunakan metode integral berulang, carilah volume yang dibatasi permukaan f

dan domainnya

1. f(x,y) = 5, 0 x2, 0 y2

2. f(x,y) = 8, 0 x5, 0 y5

3. f(x,y) =x+y, 0 x3, 0 y4

4. f(x,y) =x-y, 4 x8, 0 y3

5. f(x,y) =x2, 1 x4, 2 y6

6. f(x,y) =y2

, 0 x2, 0 y4

7. f(x,y) =xy, 1 x5, 2 y6

8. f(x,y) =x2y+xy

2, 0 x2, 0 y4

9. f(x,y) = sinx+ cosy, 0 x/2, 0 y/2

10. f(x,y) = exy

, 0 x1, 0 y4

Hitunglah integral berulang berikut ini

11.

3 3

0 1

4x y dxdy+

12.

2 7

0 3

xye dydx

13.

1 9

0 1

xye dydy 14.2 1

0 0

8 2x dxdy

15.

2 4

2

1 2

y dxdy 16.2 4

2

2 0

x dydx

17.

2 2

2

1 0

xy dydx 18.2 4

2

2 1

x y dydy

+

19.

1 3

2 2

1 3

x y dxdy

+

20.

4 2

2

1 0

x xy dxdy+


6/9



Integral Lipat Dua Pada Daerah Bukan Persegi Panjang

Pada bagian ini hanya akan dibahas integral lipat dua dengan batas-batas yang sederhana

yaitu sederhanaydan sederhanax.

Himpunan sederhanay:

2

1

( )

( )

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

xb d b

S R a c a x

f x y dA f x y dA f x y dydx f x y dydx

= = =

Himpunan sederhanax:

2

1

( )

( )

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

xd b d

S R c a c x

f x y dA f x y dA f x y dxdy f x y dxdy

= = =

Contoh 1

Hitunglah

23

0

4

x

x

dydx

Penyelesaian

[ ]

2

2

3 3 33

2 3 243

0

0 0 0

4 4 4 4 2 36 18 54

x

x

x

x

dydx y dx x x dx x x

= = + = + = + =

a b

x

y

y = 2(x)

y = 1(x)

Himpunan sederhanay

c

x

y

x = 1(y)

Himpunan sederhanax

x = 2(y)

d


7/9



Contoh 2

Hitunglah.

2

1 0

x

yxe dydx

Penyelesaian

2

22 2

2 2 25

41 1 12 2 2

0 11 0 1 1

xx

y y x xxe dydx xe dx xe dx e e e = = = =

Contoh 3

Carilah volume yang diantara bidangz= 2x+ 3ydan bidangxy.

Dimana domainnya, D: 0 y2,yx2y

Penyelesaian

2 22 2 2 22

2 2 2 2 2

0 0 0 0

2 3 3 4 6 3

y yy

y

y y

z dxdy x y dxdy x xy dy y y y y dy = + = + = +

22

2 3

0

0

6 2 16y dy y = =

Contoh 3

Carilah volume yang diantara bidangz=xy dan bidangxy.

Dimana domainnya, D: 0 x2, x/2y1

Penyelesaian

2

2 2

2 1 2 1 2 2

1 22 3 2 41 12 8

0

0 0 0 0

4 2 2x

x x

z dydx xy dydx xy dx x x dx x x = = = =

22 41

80

4 2 2x x = =


8/9



Latihan

Hitunglah volume yang terletak dibawah fungsi f dan diatas domainnya.

1. f(x,y) = 2, 0 x 1, 1 yex

2. f(x,y) =x2, 0 x2,xy4

3. f(x,y) =xy, 0 x2, 0 yx/2

4. f(x,y) =xy, 0 x2, 0 yx2

5. f(x,y) =x2y, 1 x3,xy2x+ 1

6. f(x,y) = 2 sin (x+y), 0 x/2,xy2x

7. f(x,y) = 4xy, 0 y2, 0 xy/2

8. f(x,y) = 6xy, 0 y2, 1 xey

9. f(x,y) = ex+2y

, 1 y3,y+ 1 x12 -y

10. f(x,y) = (x+y)-1

, 1 ye, 0 xy

Hitunglah

11.

2

1 0

x

yxe dydx

12.

1 2

2

0 0

2

x

x dydx

13.

2 1

1 0

x

y dydx

14

32

2 2

2 0

y

x y dxdy

+

15.

2

3 2

1 1

x

x y dydx

16.3

24

1

3

y

y

y

xe dxdy

17.

24

1 1

x

yxe dydx

18.2

23

1 0

y

ye dxdy

19.

4

4

3

2

0

sec

r

d dr

20.

2

6

cos

0

8 sinr drd


9/9



DAFTAR PUSTAKA

1. Purcell E.J, Verberg D., Rigdon,S.E.2011. Kalkulus Jilid 2 Edisi Kesembilan.Erlangga Jakarta.

2. Rogawski J.2008. Calculus Early Transedental.W.H Freeman and Company. NewYork - USA

3. http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Geometrical_interpretation_of_a_directional_derivative.svg

4. http://en.wikipedia.org/wiki/Gradient5. http://www.mhhe.com/math/calc/smithminton2e/cd/folder_structure/text/chap13/secti

on01.htm

6. http://sunburst.usd.edu/~jflores

08-Kalkulus 2 Bab 4 Integral Lipat

Documents

Transcript of 08-Kalkulus 2 Bab 4 Integral Lipat