Post on 16-May-2023
AIAA 2002-4759LPV Controller Interpolation forImproved Gain-Scheduling ControlPerformanceFen WuDept. of Mechanical and Aerospace EngineeringNorth Carolina State UniversityRaleigh, NC 27695SungWan KimDynamics and Control BranchNASA Langley Research CenterHampton, VA 23681-2199
AIAA Guidance, Navigation, and ControlConference
August 5-8, 2002/Monterey, CAFor permission to copy or republish, contact the American Institute of Aeronautics and Astronautics1801 Alexander Bell Drive, Suite 500, Reston, VA 20191–4344
��� ��������� �������� �� ��� ������
�� �������� �� ������� ���������
��� ���
����� �� ������ �� �������� �����������
���� ��� �� ���� ����������
� ���� �� ����
������� ��
���!��� �� ������ "���
���� #�� �� ������ ������
$!����� %� �&�'()�(��
�� ���� ���� � ��� ���� ���������� ������ ������������� �� ������� �� ��������� ��� ������ ��� �� ���� ������������ ����������� ��� ������������ ���� ��������� ��������� ��� �� �������� ��� �� ��� ��������� �� �������� ��������� ��� ��������������������� �� � ������ �������� �������� �� ������ ������� �� ��� ���� ����� ���� ���� �������� ��� ��� ��� ������ ������ �� ������� �� �������� ������ ������������� ������ ��� ����� ��������� ������ ����� ��� ���� �� ��� ��� �������� ���� ���� ������������������ ����� ������� ������ ��� ������������ ��� ����� ������� ��� ������ �� ����������������� � �������� �� �������� ������ �!������
������������
��� ���� ���������� ������� �� ������ ��� �� ������� ������ �������� ������ ������ ���������� ������� ���� ������ ���� �� "���� ������ ��� ���������� ������ ������� �������� �� ����� �� ��# ���� ��������� ���� �������� ������ ������� ���� ��� ��#���� ������� ��������� ���� ���������� � �� ��� ����������� ��� ������ ������ ���� ���� �������� ���������� �� ��������� ��������� � ���� ��� ���� ���������� $������� � ���������� ���� ���������������� ��������� ��� ��������� �� ��� ��� �� ������������ ������ %���& ������ ��������� ���� ������� ������� �� ��'���� ��� ��� ������� ����� ���� ������ ��������� ��� �� ��� ������ ���������� ����� �������� ����� �� ��� ��������� �� ��� ����� �� ������� ��� ������������ �� ������� ��������� ��� ���� ����� �� ���� ���������� �� ������� ������� �������������� ������������ �������� � ����� ������� ��������� ������ ��� ��� ������ ��������� �������
���������� �������� ���� ���� ���������������������� ����� ����� ��������� ���� ��������� ���� !��� ����"� #�� �$%%���& �' (���� ��� )�*�+��,�' -���"� .��� �)�(���/������
�-���"� ��,���� ���� *���� ����.�%'��,�� "� �//� �' �� 0$� �$�����& �' �� ����"��
������$� � �����$��"� ��& �������$��"�� ��"� #��� %���������
��������� ��������� ��� ��������� �������� ���������"�� ��� ������������ ��� ����(����� ����������������� ���� ������������ ���� ���������� ���� ���� )����� ��� ��������� ������ ���������� ����������� ��������� �������� �������� ������� ����� ���# �� �������� �� �������� *����+ ����� ���� ����� �� ��������(� ��"���� ����������� ����������������
������������ �� �� �������� ���� ����� ����������� ���� ��������� ��������� ��� ��� ��� ���� ��� ������� �������� �� � ���������� ���� ,��� �� ��������������� ���������� ���� ���� ������� �� �������- %.& ����� ������������ �� ����� (��� ��� ������� ����� ���������/ %0& ����� ������������ �� ���� ����� �� $������ ���������/ ��� %1& ����� �������������� ����� ����� ������� �� �������� �������� ��� �(������� ����� ��������� �� ����������� ������������ ����� ������� ���������(��� ���������� ,���������� $���� ������� � ���� ��������� ������ ����������� �� ������������ ����������� ��� ������������������ ������ �������� ������� ����� ���� ��� ������ �� ����� ��� ��������� �� ��� ��(�� �������������� )����� ��� ������ ������ ���� ��� ������ ����� ��������� ��� ��������� �������� ��� ��������������� ��������� �� ���� ���� ������ ���������
�� ���� ������ �� ������ �� ������������ ��������� ������� �� ��������� ��� ������ ��������� ������������ ����������� ��� ����������� ��������� ������ �� ������� �� �������� ��������� �� ������� �� "����� ��� ���� ��������� ����������������� �� � ����� ������ ������ ��� ����� ������ ��� ������ ���� �� �!������ �� ��� ����� ����������� �� � �������� ���������� �������� �������������� ������������� ��� ������� ��������������� ������ ��������� ��� ���� ��������� �� ������������� ������������ ��������� ������ �������� ��� ���� %�� �& �� ����� ��� �������� ��2���� ��� ��������� �� �������� ��� ����� ��� ������� ������������� �� 3�!���� ���� �������� �� ���� �� ������
� �� �
������ �� ������ �� �������� �� � ������� ���� ���������
�������� ������� ��� ���� ������ �� ���� �������� ��� � ������ ���� �������� ������ �!����� ������������ ���������� ��� �!������ ���� ��������������������
������ �� �������� ���������
4������ �� ��� �������5�%�&�%�&
�6
��%�%�&& �%�%�&&�%�%�&& �%�%�&&
� ��%�&�%�&
�%.&
���� � 5� � �� � � ��� � � ��� � ������ ������� ���� ���������� ����������� �� �� �� ����� ���� ��� ����� ������ ������� � ������������������� ��� ���� ��� ��� ���� �� ������� ��� ������� ������ � � ��� ��� ���� ��������� ��������� ��� �����"�� ��� ��������� �� � 5�� �� � 6 . 0 � � � �� 7� ���������� ������� � -6� - �� � � � � � 6 . 0 � � � �� ���� � �� � ����������! �������� �� �� ���� �������� ��� ������ 8������� ���� � ��� � �� ��"�� ��� ������� ����������� ��
�� 6
�� � �%���
�& - �%�& � � 5�%�& � � �� � 9�%0&
������� ��� �������� �� ��� ��� ������ �� ��� �����(�� �� ��� ������� ����� � ��� ��� ������������� ����� ������� ������ �� ��� ������ ��� �� ������ ������� �� � ������ �������� ��������%�������� � ������� ���������& ��� ��� ������������ ���� 7� ��� ����� ��� ������ �� �� �������� ��� ���������� ��������� ����� �� ��� ������ ����� �������� ��������� )����� �� ����� �� ���� "���� �� ��� ��� �����(� ��� ��������� �� ��� ��������� ��� ��'���� ������� ����� ����� ��'������������ ��������� ���� � ��������� ����������� �������� ��� ����������� ��� �� ������ ���� ���
������� ��� ��� ��������� ���� ���� �� � � ���,������ ���� �� �� ��������� �������� �� ��� �� ����� ��� � ��� ��"�� ��� ����������� �� �� ����� ��
��� 6 �� �� %1&
���� ��� ������� ����� � �� ��� ����� �� ��� ������������ ������ ����� ������������ �� ��� ����������������� ��%�& ��%�& ��� ������� �
� ��� �� �������� ������ � ���������� �������� �������� ������ ����� ������� ������ ��� ���������� �������� ��� �������� �������� �� �������� �� ����������������� ������� �� ��� ����� ��� ��� ��������� �� 2������� �������� �� ��� ��� ������ ��������� ���� ��� ��������� ��� ��������� �������� �������������� �� ��� ���������� ������� ������� �� ���� �� ������
������� � ��� ��� ��������� �� � 6�� :�
����
�� ���� ����� ��������� �� 6�� �
���� �� 6 ;� :�<
�� � ��� ��� ��� ���� ���� ��� � ����� ��������
������ �������� ��%�& � 9� �� ����� ���� � ������� ��������� � ����������� � ���������� ���� �������������� ��%�& � 6 . 0 ��� ���� ��� ��� � � � ��������� %�&��%�& =��%�&�%�&
���%�& =
���
��
� ���%�&�%�& �� %�&
�� %�&��%�& ���� �� %�&�%�& �%�& ����
���� � 9
%>&��� ��� � � � ���
��%�&���%�& = %�� �&��%�& � 9 %?&
��%�&���%�&� %�� �&��%�& � 9 %@&
���� ��� ��� ���� ��� � ���������� � ��� � ����� ������� �� ���� ��� �%9& 6 9 � ������� �� � 6��!��� ���!
8���� ��� ����� ���������� ��� ���� ������� ��� ��� � ���������� �������� �������� �� ��� ��� ��
� %� �& 6 ����
�� �
�� �
���%�& =
��� �
�� �
���%�&
��
%A&��� �� ���������� ��� ���� �� ����� ��� ������ ��� ������ ��� ��������� �������� �� ��� ������ �� ���������� ��2������� ������ �
�� ���� � ��� ������
����������� ������ ����� �� ������� �� ������ ��������������������� �� ��� �������� �������� ��������� ����� ������� �� ��� ������� ���������� ��� ���� ����� ����� ������ �� ������ . ������ ��� *���� ����+ ��������� ����� �� ��� ����� ����������� 7��!����� �� ��� ������� ��2����� �� ���������� ����� ������ � � ���� ��� ������B� ��������� �� ��� ������� �� �� ����� ����� �� ���� ���� ��! ��� ���������������� ���� ������ ������ ������ ��� ����
���� ��� ��������� ����� �� ��� ��� ������ �������� ��� �!������� �� � ���������� �������� ���������)����� �� �������� ���������� �� �� ������� ����� �������� � �������� ������� ��������� ���������������� ������� ������� �� � ������ ������ �� ��������� ��� ������� �������� ��������� ���� �� ���� ��� �� "�� � ����� ��������� ����� ������ ������������� ���� ��� ������ �������� �������� ���� ������������ �� �������������
������������ �� ������� ���������
8���� � �������(�� ���� ���� ��� �������� 5�%�&�%�&�%�&
� 6
���%�%�&& ��%�%�&& ��%�%�&&��%�%�&& ���%�%�&& ���%�%�&&��%�%�&& ���%�%�&& ���%�%�&&
����%�&�%�&�%�&
�%C&
���� ��� �� ��� ����� ����� ���� �� ���������� ���� ����� �� ��� ���������� ������� � �� �� ������� ������� ������� ��2����� ������ �� ��� ��� �
�� 7�
���������� �� ������ ����
� �� �
������ �� ������ �� �������� �� � ������� ���� ���������
�� %�%�& ��%�& ��%�&& �� ������� ������������������(���� ��� ���������� �� ��� �
�� ���%�& ��� ���%�& ���� ���� ������ ��� ����# ����������� �� ��� �
�� ���%�& 6 9 ��� ���%�& 6 9�
D� ������� ��� ����� �� ������������ ��� ��� ����� �� ��� ��� ���
5��%�&�%�&
�6
���%�%�& 5�%�&& ��%�%�& 5�%�&&��%�%�& 5�%�&& ��%�%�& 5�%�&&
� ���%�&�%�&
�%E&
�� ������ ��� �������� ���� �� � ���������� ���������� ������� � ��� ��� ���������� ��� ������ �� ���� ��2������ �� �� ������(� ��� ����� %�� ���& ����� ������ ������ �%�& �� ��� ������ ���� ������ �� ���������� �� ������� ����� ���������� �%�&� ,����� ������ �� ��� �������� ������ ������ ������ ������� ��#� �� ��������(� � ���� ��������� ������ ������������ ���������� �2������ ��������� �������� ���� ��� ��������� ��������� ����������� ���� ��� ����������� �� �� ������(����� ������ ���� ������(� ���� �� ������������ �� ��� ��� ��� ��� ����������� �������� ������ ���2��� �� ��#���� ����� ����� �������F�"�� �� -6
��� ���
� ���� ��� ������ ���� ������
��� �� ������ ���5��
�6
��%� 5�& �%� 5�&�%� 5�& �%� 5�&
����
�%.9&
����
�� �
� �
�6
�� � 9 ��
9 9 9�� 9 ���
�
=
�� 9 ��
� 99 ���
� ��� ��
�� ��
� �9 � 9�� 9 ���
�
%..&
G�!� �� ������ � ��������� ��������� �� ��������� ��� �������� ����� �������� ������� ��������� �������� ��������� ��� �� ������������������� 7� ������ ���� ��� ������� �� ������������ ��� ������� ����� � �� ������ �� ��� ��� ������ ������� �� ��� ��� 7� ���� ������� �������� ���# �� ������ ��� ��� �������� �� ������ �� ������ �� ���� %E&� ��� ������ ���� ���������� ��� ����� �� ���� ���������� �� ������������ ����� ������������� �� �� ���� ���� ��� ������ �������� �� �� ����� �� ��������� ������ ��������� ��� �� ������������� ����� )����� � ������� ����� �������������� ��� ������� �������� ������������ ������ ����� ��������� �� ��� ������ ��� ��������� ���� ������ ��������� �� ����������� � �������� ������������������ �������� ��� ��� ����� ������� ����
������� � ��� � ��������� �� ��������� ���� � 6�� :�
�� ���� �� 6
�� �
���� �� 6 ;� :�< �� � ���
��� ����� �� �� � 9 ������ ��������� �� ��� �� ����� ���� �"���� ��� ��������� ��� ��� ��#
�! ����� ���� ��������� � ����������� � ������ ��������� ��%�& ��%�& � 6 . 0 ��� ���� ��� � � � �
� ��
������
�� =
���
��
�=��� =���
�
����
�� ��
���� ���� 9��� 9 ����
������ � 9
%.0&
� ��
������
�� =
�����
�=���� = ���
����� ��
�
��� �� ���� 9�� 9 ����
������ � 9
%.1&���%�& �� ��%�&
�� 9 %.>&
��� ��%�& 6 H����� %�& ��
��%�& 9�� ��%�& 6
H����%�& ���%�& 9
�� ��� ��� � � ���
��%�&���%�& = %�� �&�� � 9 %.?&
��%�&���%�&� %�� �&�� � 9 %.@&
��%�&� ��%�& = %�� �&�� � 9 %.A&
��%�&� ��%�&� %�� �&�� � 9� %.C&
$! ����� ���� ��������� � ����������� � ������ ��������� ��%�& ��%�& � 9 � 6 . 0 ��� ���������
������ �������� I��� I�
�� I�
�� � 6 . 0 ��� ����
��� � � � �������������
�
�� =
�� �
�=���= I�
�� �� = %�&
�I���
I����
�
�� =
��
�
�=��� =��
I��� = %�&
�
��� �� =��
��I���� ��
�
�� ���� =���I���
���� = I��� ��� ��
�
�� ����� = I�
��� ��
��
���� 99 ����
��� � 9
%.E&���%�& �� ��%�&
�� 9 %09&
��� ��� � � ���
��%�&���%�& = %�� �&�� � 9 %0.&
��%�&���%�&� %�� �&�� � 9 %00&
��%�&� ��%�& = %�� �&�� � 9 %01&
��%�&� ��%�&� %�� �&�� � 9 %0>&
� �� �
������ �� ������ �� �������� �� � ������� ���� ���������
���� ��� � ���� ��� ��� ���� ��� �� ���� �%�� ��� ��������� ��� ������ �� ��� ������� �� ������������ � ���� :� 6 ��!��� ���!������������ ��
�%�& 6
�����
�� � � �������
��� =
������
��� � � � � �
�� � � �
%0?&
�%�& �%�& 6
�����������
��%�& ��%�& � � �������
����%�& ��%�&�
=������
����%�& ��%�&�
� � � � �
��%�& ��%�& � � �
%0@&
��� �%�&�� %�& -6 � ��%�&�%�&� �� �� ���
I��%� 5�& 6 �%�&��
��=�%�&
���
����� %�&
�.
�%�&
��%�&��%�& = I��%�&���%�& ��
� %�&�
�
���� %�&
��%�&�%�& =���%�& I��%�&
�%0A&
I��%�& 6 ���%�&��
� %�& = �%�&��%�&����%�&
������%�&�
���%�&
���%0C&
I��%�& 6 ����
��%�&���%�&���
���%�&��
� %�& =����%�&��%�&�%�&
�%0E&
I��%�& 6 9 %19&
&��� ��� ������� ���� ��� ������ �� �� � �� ����������� �
��%� 5�& 6 ���%�&�I��%� 5�&� �%�&��%�& I��%�&
� I��%�&��%�&�%�&� �%�&�%�&�%�&���� %�&
%1.&
��%�& 6 ���%�& I��%�& %10&
��%�& 6 I��%�&��� %�& %11&
��%�& 6 9� %1>&
�� �� ����� ���� �� ��# �� ��'���� ��������������� ��� ���� ������� ��������� ��� ������������������� ������ ����� ������ � ������ �������( ��� ��� �������� ���� ��� ��������� �� ������ �������� ���������� ��� ������ �������� �������� ����� ������ ���� ��� ������ �� ������ ��� ��� ����!��������� ��%�& ��� ��%�&� ������ �� ��� �������� ���� ������ ���� �� ���!�� ���������� ��������� ������������ �������� ��������� ��� ��� �������������� ������� �������� �� �������� ���� "���� ��� ����� �� �������� ��������� ��� ���������� ������
�� �������� ��� ��� ������ �� ��������� ������ �� ����� �� ��� ��!���� ������� ��������� D��� � 9 %������ ������ ����& ��� ���������� %.@& %.C&���� ���� �� �'��� �� ��� ��������� ������ ���� ������������ ��������� ��� ���� ������ �� ����������� �� ������� ��� ��� �� ������ ����������������� ����������� ���������� �� ����� %.@& %.C&
�� ������ ��"���� ����������� �� �� ��� �������������� �� ����!����� �� ������ ��� ����� �� ���������� ��������� �������� �������� �� � ���� ��"���� ������ �� ����� ���������� ���� �� ���
��%�& 6
������
�� %�&��� ��%�& 6
������
!�� %�&��� %1?&
����� �� %�&
���
������
�!�� %�&
���
����� ��� �����"��
����� ����� ���������� G��� ���� ��'���� ����� ���� ����� ��� �� ���� ��� ��'���� ������� ����������� �
�� �� ��� ������(����� �������� �� �� ����
������ ���� ���� � ��������(����� ��� ������������ ���������� ��� �� ������ ����� � ������������� ��� ���� ������� �������
�������� ��� ���������������
�������
������ �������� ������� %�� �& ��� �� ������ �������� ���� �� ������ ���������� ������ �� � ��� �� ���� ����� ������� ��������� �� � ���������� ������ ������������� ���� ��#� ���� ���������� �� �������� ������������- ���� ������ ��� ���������� ������ �� ��� 3������ ��� ������������������� ������ ������� ��� ��� ��� ���� ���� ����� ������� ���� ���������� ������� ��� ��������������� ������� �� ������� ������ �������� �� ���������� �� � ��� �'�������� ��������� ������������������� ���������� ���� ���� ��������� ��� ������� ��� ��#��� ���� ������ �������� �� ��������������������� ���� �������� ������� �� �������� ��� ����� ������� �� ���� ������ �� 3������� �� ������ ���� �� �������� �������� �� ���� ����� �� � ����� ������ ��� ���� ������ ��������� �������� ��������� �������� ���������� ������������������� �� ������ ���� ��������� ��� ��������� ��������� �� ������� �� ��������� ������������ �� � �� ���� ������������ ���� ��#��� ��� �������� ������ ������ ����������� ������ ��� 3�!������� �� ���� ����� � ��� ���� �� ��� ������!��� �� ������ ������ ���#����� ��������� �� ��� ����� �� �������� ���
���� ��� �������� ����� ��F ���������� )������� �� ������ �� ������� ��� �������� ��������� � ��������� ���� ��F ������� ������� ��� ���� ��������� ��� �������� �� ����� �������� ���� ��������� �� ��������� �� ���� �������� ��� ���� �����(��� ��� �������(��� �������� ��������(� ���� ���� ��� ��� ������� � ������� ��� ������� ��� ����������� J����������� ���� �� ��� ����
� �� �
������ �� ������ �� �������� �� � ������� ���� ���������
���������� ������ ��������� ��'�� ��� ���� ��� ��� ������� ����������� ��� �������� ���� ���������� �������� ����� ���� ��� ������ ���� ��� ��� �������� ���� ��� ��� ����� ������� ���������
$��� 3�!������� ��� ��������� ����� ��� " ��������������������� �� ��� ����� ���� ��� " �������� �!��� ���� ���� ����� ��������� ��������� �� ��������� ����� ����� )����� ��� �������� ������ �����"������������� ���������� ���� ��� ������ ��� �������'�� ��� ��� �� �����"�� ������ ���������� K����� �� ������ ���� ������ �� �� ������ � ����� �� ��� ������ �� ���� �������� ����� ��� ���� ����������������� ����� ������������ )����� ���� ����������� ��� ������ ��� ��������� ��� ��������� ��� ������ �� ������� ��� ������� ��� ������� ���H������� ��� ��� ������ ����� ��� ������� �� �� ���� ������� ��� �������� ������ ����� � ���� �������� ��� ����������� �� ��� ������ ������ ���������(��� ,����� ��������� ��� ���� ��������� ��,������� ��� G��������
����� ������ �� ����
K���� �� ��� ����� ���������� �� ��� ��� ������� ��� ����� �������� ��� �������� ��������� ���� ����� �� �� ��� �� ������"�� �� � ��� �� ��������� ������ ��'������� ���������� )����� ��� � �� �������� �� ��������� ��������/ ���� �� ��������� ���������� ������ ��� ����� ���� ��������������������� ���� ��� ���� �������� �� ��� ���B��������� �� �� �������� �� ������� � ���� ����������������� ������� �� �2������ ��� ������� ������������ ��� ��� ����� ����������� ��������� ������ �� � �������� ������ ��� ��
������ ��� ��� ���� ���� �������� ����� ��� � ��
L# 6 ��$�$�
5% =&
$�% �� � �� = �� � �� = �& %1@&
L% 6�$�$�
5# =&
$�% �� � �� = �� � �� = �& %1A&
���� # % �� ��� M��� ������ �������� ��� ������ ���� �� ��� ��� ���������� $� $� �� ��� ������ �������� �� ��� ��� �� �!��� ��� ����� ��������� � ����������� ��� ������� � ������� ��� ��� ��������� �������� ����� �������� �� ��� ���� �� ���� ��������� �� ������� �� �� �� �� � 6 . 0 1 >� � � �� ���������� ����� ������ �� ������ ��� ����� ��� ���������� ������� �������������� ���� � �� ������ �� ��� �������
�� ����� ��� '�( ���� ������ ��� �������� 3�! %� ����� ���������
� 6 )*��
�. =
0!�+(
�%1C&
�� 6 ��*���
=0�
���!�*� %1E&
��� ��������� ������ �������� �� ������ �� ��������� �������� ������ �!����� %����� .&�
������� ������ ��� �� ���� ���� .?1.�AE,,�
( ���� ����� >9�99,,-� ������� ��� 9�??,,
$� ����� ������ �� ������ 9�111)! �,�
$� �!��� ������ �� ������ 9�9.1@)! �,�
& ���� ��� ������ �� ��� ����� 9�.1,) >�@A???A@� .9�
� ����� �� ���� ���� >99� ���� ��������� .>�@.(,N� ������� ����� 0�9E� .9��/�
����� � ������ ������ �����������
�� ��� ������� �� ����������� ��� �������� ������ ����� �������� �����"�� �� ����������� ������( ��� ��� �������� ��������� �� ��� ���������� ��������
L# 6 ��$�$�
5% =&
$�%�>0�&# = 00�*� = �& %>9&
L% 6�$�$�
5# =&
$�%�>0�&% = 00�*� = �& %>.&
� 5*� 6 �� = 0��&# � ��*� %>0&
� 5*� 6 �� = 0��&% � ��*� %>1&
���� *� *� �� ��� ��'������� �������� 3�! ����������������� ���� ��� �� �� �� ��� �������� ��� ��'������ �� ������� �������� ��� ���������0� 0� �� �� ������ �� N� -� ��� � ��� ��� �� ����� �� ��� ������� �� �������
0� 6 0)N�
�. =
0-�
+(
� 0� 6
0)N��
+( %>>&
�� 60�-�
��� �� 6
0�N�
��� , 6
$�&� %>?&
��� ��������� ����� � ��� � �� ��������� ��� ���� �� ���������� ����������� ��� �� ����� ��
� 6%$� � $�&
&��1 ���%��& %>@&
� 6%$� � $�&
&��1 ���%��&� %>A&
�� ��������� ��������� ������ ��� ��������� ��������� �� ������ �� � ���������� ����� ����� 2� 6;&1 ���%��= 3& &1 ���%��= 3&< �� ��� ������� ��������������� ����� ��� �� ������ �� � ����� �������� ��
5� � 6
�4 ��� 4
�� � =
�.9
�O� %>C&
2 6
�. 99 .
�� � %>E&
���� 4 6 �9�99.�
��� �� 6�&# &% & 5# & 5% *� *� � � � �
� 5 6 O�
��� �� 6 ;�� ��<� 4�������� ��� �������� ��� ���
� �� �
������ �� ������ �� �������� �� � ������� ���� ���������
���������� �������� ��� ������(�� �������� ��� �������� ��
5� 6 �%�&�=��5 =��� %?9&
6 6 ���=���5 =���� %?.&
� 6 ���=���5 =���� %?0&
����
� 6
������������
9 9 . 9 9 9 9 99 9 9 . 9 9 9 9
� ���
9 9 ������
���
9 9 9
9 � ���
�����
9 9 ���
9 9� ��
9 9 9 � ��
9 9 9
9 � ��
9 9 9 � ��
9 99 9 9 9 9 9 4 ��9 9 9 9 9 9 � 4
�����������
%?1&
�� 6
��9���.9
� �� 6
.
�
��9�����9���
� %?>&
�� 6
��� 9���9���
� ��� 6 9��� ��� 6
�9�����
�
%??&
�� 6��� 9��� ��
� ��� 6 9��� ��� 6 9���
%?@&
G��� ���� ��� ������(�� ��� ������� �������� �� ����� ��� �� � ����� ������� ������ ������ ������� ��� ����� ������ �� ��� �������� 7� ���� ��������� ������ ��� ��������� ����� �� ������� ���� ��������� �� ��� ���� �� �������� ����
������������ ��� ������� �����
��� ������ ��2������� �� ��� ��� �������� ���� �������������� �������(� ��� ������ ��� ��� ��������� �� ��� ������ ��� �� ������(� �� �� ���������������� � �������� ��� �� ��� ����� �� ��� ��� ���� ��� ��� ������������ �� ��� ������ ������������ ��� ������ ����� ������������� ��� ���������� ������� �� ���� ������ ��
��� ��� �������� �� �� ������ ������ �� � "!�� �� ����� �� ��� ������ ������ ��� ������ ��2������ ��������"�� ��� � ��(�� ������� ������ ����������� ��������� ��������� ��� ��� �������� ���� ������������������ �� ����� �� 7���� .��� 7���� . ��� ��������� ��������� �� ������ ��
/�%�& 6099%�= .99&
�= 9�9.�� %?A&
/�%�& 69�99.�
9�9?�= .�� %?C&
/�%�& 6 9�99. %?E&
��� ��� ����� �� ������� �� ������ ����� �� ����� 1.?7��8� �� ..997��8�� ��� ��� ����� ��� �!����� �����"���� ��������� �'���� �� ���� �����
�
� �
�
�� �
�
�
�
�
9�
/�
/�
/�
O�
��
��
2��
��� � ������ ��������� ����������� ��� ��������� ������ �������
����� ��� ��� ��������� ������ ��� �� ������ �� ��� ����� � ������ � ������� ��������� ���������������� �������� ��� ��� ������� ������ �� � ��� ����������� ������� ������ � � ��� ��������� �� ������ ������ � ������ �������� �������� ��������%,P�7& ������� �� � 6 109�AC ����� �� ����� ��� ��������� ���� �������� ��� ������ ��������� ����������� ���� ��� ����� ������� ����� ����������� ��� ������� %;1.? A09<� ;A99 ..99<& ��� ��� ��� ���� %;1.? ?09< � ;?99 A09< � ;A99 E09< � ;E99 ..99<&������������ ���� "�� ������ �� ���� �� ��� ����������� �������� ��������� ��� ��� ���������� ��� �� �� ������ �� 9�.��� �� � � � � �� �(�� ��������� �� ���� ���������� ������� ��������� ��� ���� �� ��������� ����� ��������� �� ���� ����������(� ��� ���������� �����
�� %�& 6 . %@9&
!�� %�& 6 . !�� %�& 6 � %@.&
�� ���� �� G��� ���� ��� ����� �������� �� ��%�&�� ������ �� � �������� ��� ���� ������� ����������� ���� ���� ����� ����� ��������� ����������������� ���� ��� ����������� ����� �������� �� ��������� ,���� ���� � ��� � ������ ��������� ������������ �������� ���� ������������ ��� ���� ������� ��� �������� ���� ���� ������ �� ���� ���������� ��� ��� ���������� ��� ��������� ������� ��� ������������ ��� �������� ����� ����� ��������� ������� ���� ��'���� ������� ������������ �� ����� �� ����� 0� G��� ���� ��� � ������������� ��� *���� ����+ ������������ ��� ��������������� ��� ��'���� ������� �������� ��� �� ���� ��������� ��� ���� ������� ������ ����� ������ ���� ��� *���� ����+ ����������7� ��������� � ������ ������� ��������� ���
����� �������� �� ���� ��������� �� ���������� ����������� �� ��� ����� ������� ��� ��������� ����� ����� ��� ���������� ��������� ����� �� ����� ������� �� ��� *���� ����+ ��������� �� �������������� ������
� �� �
������ �� ������ �� �������� �� � ������� ���� ���������
�������� ��� �F�7 ������������ ���0 ������� > �������
. E�C@1 E�E1@ E�E?>.99 .9�9@> .9�.9A .9�.>E.9999 .>.�0> .>>�>1 .>1�?9
����� !��"���� � #� ��� ���������� #���� ����� �� �#����� ���������� ���� ��� �����#��" �#����� $�����%�
&�#����� ���#���
G�!� ��� ��� �������� ��������(�� ����� ��� ��� ���� �� ���� �� ��������� ����� ��� ���������� ��#�
�� ������ ��� ��� �������� ���� ��� ��������� �������� ����� ������ �� ������ ��� ��� ���� ��� ��� � ��� �� �������� �� ��������(�� �� ������������ ���������� ���� ���� �� ��� ������ ��������� ���� ��� ��� ������� ������ ������������� �� �������� �� ��� ��������� ��������� �� "!��������� ������� ����� �� ������� �� ��� ����� 1�
�%7��8�& �� ������������ ���1.? E�AAC E�C11>0A�. A�>CA C�.>A?1E�1 @�.>E @�A.E@?.�> ?�0CE ?�AA0A@1�@ >�@E@ >�ECCCA?�A >�0@> >�C1.ECA�E 1�E1@ >�@99..99 1�@AC >�1C1
����� ' ���(�� ������)��� ���� ����� ��
�����
,���� ��� ��� �������� �� �������� �� � ���� ���������� �� �� ��� �������� ���� ���� �� ���� ��� ������� �� ���� "!�� ������� ������ )����� ���� ������� ���� ��� ������� ��������� ����� ������� �� ��� ����� �� ��� ���������� ��������� �� ���� ��� ��������� ��� ��� �������� �� ���� ��(���������� )����� ��� ������� �������� �� ����������� �� ��� ���������� ��� ������ D��� � �������������� ������� �� � ��'���� ��������� ����� ������ ����� ��������� ���������� � ���� ���� �� ����������� �!������� 7� �!����� ��� ������� �� ���������������� �� � 6 A997��8� ������ �� � �������������� � 6 .�.@� .9� ���� ��� ��� �� �������� ���� ��� ���� ��� ����� �� ..997��8��
7������ �� ������ ��� ������ ���� ���� ��������� ���� ������� ��� ��� ���������� ��� ���� � ������� �� ��� ������� �������� ��� ��� ��� ��� ����� �� ����� �� 7����� 0 ��� 7���� 1 ����� ������� �� ��� �� ���� ���� ��� ���� �������� �� ��������������� ��� ���� ��������� �� ����� ������������ ��� ������ ������� �� �������� ��'���� ����� ��� ���������� �� ��� ����������
���� �����(��� ��� ��(�� ����� ��� �������������� �� �� ���� �� �� ���� �������� ������
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5x 10
−3
Time (s)
Dis
plac
emen
t (m
)
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3−15
−10
−5
0
x 10−3
Time (s)
Dis
plac
emen
t (m
)
%�& ��� ������������ �� ��
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3−50
0
50
Time (s)
For
ce (
N)
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3−200
−100
0
100
200
300
Time (s)
For
ce (
N)
%�& ������ ���� �� ��
��� �*� ��������� #������� �������� +���� ������ ����������
����� �� �� ���� ���� ������ ��������� ������ ����� ������ ��� ����� ��"�� �� ������ ��
�%�& 6
���
���%@C9�& 9 � � � 9�?����%:�& : 6 @?? = ?9� 9�?� � � � .�?����%A19�& .�?� � � � 0�
%@0&G��� ���� ��� ��� ����� ��2����� �� ������ ����� ������ �� ���� ��� ����������� �� ��� �������;1.? A09< ��� ;A99 ..99< �� ��� ���������� ����� �� �� ��������� ��� �������� ������������ �'����F��������� O� 6 .�1 � .9� �� ���� �� ��� ������ ���� ������� M!���� �� ����� �������� ����� ����������� ������������ ����� ��� ���������� ���������������� ���� ��������� �� ������������ ��������� �� ����� �� 7���� >�
���������� ������
�� ���� ���� �� ��� ������ ������������ ���� ���� ��� ������� �� ������� ���� ��������� ������ ��������� ������� ��� ������� ��� ������������� ���"�� ��� ���������� ��� ������ ��������� ������������ ���������� ��� ��������� �� ���
� �� �
������ �� ������ �� �������� �� � ������� ���� ���������
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5x 10
−3
Time (s)
Dis
plac
emen
t (m
)
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3−15
−10
−5
0
x 10−3
Time (s)
Dis
plac
emen
t (m
)
%�& ��� ������������ �� ��
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3−50
0
50
Time (s)
For
ce (
N)
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3−200
−100
0
100
200
300
Time (s)
For
ce (
N)
%�& ������ ���� �� ��
��� ' �*� ��������� #������� �������� +����� ����������
����������� ��� ������ ��� �������� �� ������������������ �� �������� �������� ��� ����� ������������� D��� ������ ������� �� ������������� �'����� ������� ��� ������������ ������ ������� ������ ������ ��������� ������������ ��� ����� �� ������� ��� ������ ��������� ������ ��� ������� ����� �������� ������ ������ ������ �� �2��� �� ��������� ���������� ����������� ��� ������������������� ��� ������ �������� ���������� ��������� ���������
7� ����� ������ �� 7 .@ �������� ����� ������� ������� ��� ��� G�,� ������� $������ 4�� �� ��� ��� ������� ��� ������ ��������� �� �� ����� ����� ������� �� � ������ ����������� �������� ������ ��� ��������� ��� ��� �!������ 3������������ ���� �������� �������� 3���� ������� � ����� ���������� ������� ��� �� ��������� �������� �� ���� ����� ���������� �� ����� ��#� �� ��� ���� ��� ������������ ���������� ������ ������������ ����� �������� %��& ������ �'������ ������ ����������� ������ ������ ������� �� ��������� �������� ��� ���������� ���� ��� ����� ���������� ��� ����������� �� � ���"�� ������# ���
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2660
670
680
690
700
710
720
730
740
750
Time (s)
Fre
quen
cy (
rad/
sec)
%�& $��� ����� ��"��
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4x 10
−7
Time (s)
Dis
plac
emen
t (m
)
%�& F�����������- ��Q����� ��Q����
��� , ���������� �� ����������� ��� ��������� ����"����� ����� ���� �
�� �������� ��������� ��������� ��� ��������� ������ 3���� ���������
�����������0�1� -$,�� 2����'��"�� ���#��3 �� ,��� �"�&$���,�4
���� ������ �� �� �� ������ 56�5� ������1�*� *����� ��& � ������� 2����'��� � (��� *"�&$�&
.������ �� )������� �������4 ���� ����� �������� ����������������6�/ � ���/�
��� �%3����� ��& -�1� �&���� 2�&7��"& (�����"�&$���,!"���8$� �� 9�"����� *'�����4 ���� ����� ������ ��������� ��������:�� ��� �
��� �%3����� ��& �� (������ 2� .��7� .����"���;������ � (�����"�&$�& �� .����������4 ���� ����� ��������������� �����������:6��5� �����
�(� <"3� ��& ��=� ��"3��&� 2-��$�� �������" �+���� ��������"���' >��'��, *'���� $���, ��������"���'?%�&�� +���� ?'����" �&��"3�4 ��� ������ ��������:���/�6�������5�
���=� ��"3��&� 2(��� *"�&$���, 7�� +���� ���"������!��������������4 ��� ������ ������ ���� �6��� ���5�
�.�0� *"���� 2-��$�� ��& .������ ��& +�> .������#��� �$�� <��"3 *"����,��4 �� ������ ������� �� ��� �������� ������� �+� �� (���$�� *� )�"$��"$ &��� *�� � �����
��� 0$� @�A� B��,� ��=� ��"3��&� ��& (� <"3�� 2��&$"&�� )��� .������ �� +�> *'���� #��� <�$�&& �������>�������� -����4 ���� �� ����� ���� ������� ���C�/����:6���������
�?�1� *���#�� ��& 0�1� -$,�� 2*�������' ����7��, ����%�������� ���&� �� �� *'������ � (��� *"�&$�& .����������4����������� �������� �� �///�
�*� +�� ��& 1��� A�#� 2.������ � +�> �'���� $���, �
� �� �
������ �� ������ �� �������� �� � ������� ���� ���������
D$������"#�� �� ��������?%�&�� +'�%$��7 �$�"������4 �� ����� ����� ������ ������ ����� %%� ��//���/5�
��1�<� -��� 2�� ��"���� "����"�� ���,' *����, *'����� *%�" �%%��"������4 �� ��� �� �� ���������� ��� ��� !��� ����:����� �����
��.�?� A���� 2A�,� *%& ��'#��� �� ���,���& ���,'*����, ��& �����$& .�������4 �� ����� ����� ������ ��������� � %%� ���5������
�� ��-� )��� !� A��������� ��& =� )�����'�� 2?��,� ��� �����$& .��������� �� *%�""��� $���, � �,���"���'*$�%�&& ����$� 0���4 ����� �� ������� ����5���5���� �
���� !�������� A� *�� ��& .� A���� 2*������ �����$& .������� ��& ��#� !��"3��, #��� ����$� 0����4 �� ��������"���� ���������� �#������� ������ ��* %�%� )�� ���:� � �����
���� � ����& ��& �� <$�"��>������"� 2�������" .���%������� ��& �$�������� <����"��, �� �,���" <����,*'���� $���, �� ��%�������;����� !���'�4 ���� ����������� �� ������ ������/�6���� �����
���� ���$�$��� !� )����3�#�� =� A�,�#���� ��& � �$�E���� 2�%%��"����� � (��� *"�&$�& �� -��$�� .��������� ��� �,���" <����,�4 ���� ����� ������ �� ������ �����5�565�:� �����
��=� )����� ��& !� ���� 2� *'������ � ������ -�������,���" <����, *'����4 ���� ����� ������ �� ������������/:6���� �����
���� !������� ��& *� ����� 2*���"�&$�& �� .���������� �� �,���" <����,��4 �� ����� ���� ���� ����� �� ���� �� �$#��� ����� %%� ��������
���� !������� ��& .� =���%� 2-&$"��, .����7����� ��(�����"�&$�& �� .��������� �� � <F��4 �� ����� ��%&'(�� ����� )����� ���� ����� �$����� ��� �
�*� *�7���,�$ ��& =� )������ 2+ � �%%���"� �� (���*"�&$�& �� .������ <'��& ��? .������ �� ('���"�%�"-����� �,���" <����, *'�����4 �� ����� *+�� ���� �����,��� ������� ����� %%� :��5�:����
� �� �
������ �� ������ �� �������� �� � ������� ���� ���������