LPV Controller Interpolation for Improved Gain-Scheduling Control Performance

Post on 16-May-2023

1 views 0 download

Transcript of LPV Controller Interpolation for Improved Gain-Scheduling Control Performance

AIAA 2002-4759LPV Controller Interpolation forImproved Gain-Scheduling ControlPerformanceFen WuDept. of Mechanical and Aerospace EngineeringNorth Carolina State UniversityRaleigh, NC 27695SungWan KimDynamics and Control BranchNASA Langley Research CenterHampton, VA 23681-2199

AIAA Guidance, Navigation, and ControlConference

August 5-8, 2002/Monterey, CAFor permission to copy or republish, contact the American Institute of Aeronautics and Astronautics1801 Alexander Bell Drive, Suite 500, Reston, VA 20191–4344

��� ��������� �������� �� ��� ������

�� �������� �� ������� ���������

��� ���

����� �� ������ �� �������� �����������

���� ��� �� ���� ����������

� ���� �� ����

������� ��

���!��� �� ������ "���

���� #�� �� ������ ������

$!����� %� �&�'()�(��

�� ���� ���� � ��� ���� ���������� ������ ������������� �� ������� �� ��������� ��� ������ ��� �� ���� ������������ ����������� ��� ������������ ���� ��������� ��������� ��� �� �������� ��� �� ��� ��������� �� �������� ��������� ��� ��������������������� �� � ������ �������� �������� �� ������ ������� �� ��� ���� ����� ���� ���� �������� ��� ��� ��� ������ ������ �� ������� �� �������� ������ ������������� ������ ��� ����� ��������� ������ ����� ��� ���� �� ��� ��� �������� ���� ���� ������������������ ����� ������� ������ ��� ������������ ��� ����� ������� ��� ������ �� ����������������� � �������� �� �������� ������ �!������

������������

��� ���� ���������� ������� �� ������ ��� �� ������� ������ �������� ������ ������ ���������� ������� ���� ������ ���� �� "���� ������ ��� ���������� ������ ������� �������� �� ����� �� ��# ���� ��������� ���� �������� ������ ������� ���� ��� ��#���� ������� ��������� ���� ���������� � �� ��� ����������� ��� ������ ������ ���� ���� �������� ���������� �� ��������� ��������� � ���� ��� ���� ���������� $������� � ���������� ���� ���������������� ��������� ��� ��������� �� ��� ��� �� ������������ ������ %���& ������ ��������� ���� ������� ������� �� ��'���� ��� ��� ������� ����� ���� ������ ��������� ��� �� ��� ������ ���������� ����� �������� ����� �� ��� ��������� �� ��� ����� �� ������� ��� ������������ �� ������� ��������� ��� ���� ����� �� ���� ���������� �� ������� ������� �������������� ������������ �������� � ����� ������� ��������� ������ ��� ��� ������ ��������� �������

���������� �������� ���� ���� ���������������������� ����� ����� ��������� ���� ��������� ���� !��� ����"� #�� �$%%���& �' (���� ��� )�*�+��,�' -���"� .��� �)�(���/������

�-���"� ��,���� ���� *���� ����.�%'��,�� "� �//� �' �� 0$� �$�����& �' �� ����"��

������$� � �����$��"� ��& �������$��"�� ��"� #��� %���������

��������� ��������� ��� ��������� �������� ���������"�� ��� ������������ ��� ����(����� ����������������� ���� ������������ ���� ���������� ���� ���� )����� ��� ��������� ������ ���������� ����������� ��������� �������� �������� ������� ����� ���# �� �������� �� �������� *����+ ����� ���� ����� �� ��������(� ��"���� ����������� ����������������

������������ �� �� �������� ���� ����� ����������� ���� ��������� ��������� ��� ��� ��� ���� ��� ������� �������� �� � ���������� ���� ,��� �� ��������������� ���������� ���� ���� ������� �� �������- %.& ����� ������������ �� ����� (��� ��� ������� ����� ���������/ %0& ����� ������������ �� ���� ����� �� $������ ���������/ ��� %1& ����� �������������� ����� ����� ������� �� �������� �������� ��� �(������� ����� ��������� �� ����������� ������������ ����� ������� ���������(��� ���������� ,���������� $���� ������� � ���� ��������� ������ ����������� �� ������������ ����������� ��� ������������������ ������ �������� ������� ����� ���� ��� ������ �� ����� ��� ��������� �� ��� ��(�� �������������� )����� ��� ������ ������ ���� ��� ������ ����� ��������� ��� ��������� �������� ��� ��������������� ��������� �� ���� ���� ������ ���������

�� ���� ������ �� ������ �� ������������ ��������� ������� �� ��������� ��� ������ ��������� ������������ ����������� ��� ����������� ��������� ������ �� ������� �� �������� ��������� �� ������� �� "����� ��� ���� ��������� ����������������� �� � ����� ������ ������ ��� ����� ������ ��� ������ ���� �� �!������ �� ��� ����� ����������� �� � �������� ���������� �������� �������������� ������������� ��� ������� ��������������� ������ ��������� ��� ���� ��������� �� ������������� ������������ ��������� ������ �������� ��� ���� %�� �& �� ����� ��� �������� ��2���� ��� ��������� �� �������� ��� ����� ��� ������� ������������� �� 3�!���� ���� �������� �� ���� �� ������

� �� �

������ �� ������ �� �������� �� � ������� ���� ���������

�������� ������� ��� ���� ������ �� ���� �������� ��� � ������ ���� �������� ������ �!����� ������������ ���������� ��� �!������ ���� ��������������������

������ �� �������� ���������

4������ �� ��� �������5�%�&�%�&

�6

��%�%�&& �%�%�&&�%�%�&& �%�%�&&

� ��%�&�%�&

�%.&

���� � 5� � �� � � ��� � � ��� � ������ ������� ���� ���������� ����������� �� �� �� ����� ���� ��� ����� ������ ������� � ������������������� ��� ���� ��� ��� ���� �� ������� ��� ������� ������ � � ��� ��� ���� ��������� ��������� ��� �����"�� ��� ��������� �� � 5�� �� � 6 . 0 � � � �� 7� ���������� ������� � -6� - �� � � � � � 6 . 0 � � � �� ���� � �� � ����������! �������� �� �� ���� �������� ��� ������ 8������� ���� � ��� � �� ��"�� ��� ������� ����������� ��

�� 6

�� � �%���

�& - �%�& � � 5�%�& � � �� � 9�%0&

������� ��� �������� �� ��� ��� ������ �� ��� �����(�� �� ��� ������� ����� � ��� ��� ������������� ����� ������� ������ �� ��� ������ ��� �� ������ ������� �� � ������ �������� ��������%�������� � ������� ���������& ��� ��� ������������ ���� 7� ��� ����� ��� ������ �� �� �������� ��� ���������� ��������� ����� �� ��� ������ ����� �������� ��������� )����� �� ����� �� ���� "���� �� ��� ��� �����(� ��� ��������� �� ��� ��������� ��� ��'���� ������� ����� ����� ��'������������ ��������� ���� � ��������� ����������� �������� ��� ����������� ��� �� ������ ���� ���

������� ��� ��� ��������� ���� ���� �� � � ���,������ ���� �� �� ��������� �������� �� ��� �� ����� ��� � ��� ��"�� ��� ����������� �� �� ����� ��

��� 6 �� �� %1&

���� ��� ������� ����� � �� ��� ����� �� ��� ������������ ������ ����� ������������ �� ��� ����������������� ��%�& ��%�& ��� ������� �

� ��� �� �������� ������ � ���������� �������� �������� ������ ����� ������� ������ ��� ���������� �������� ��� �������� �������� �� �������� �� ����������������� ������� �� ��� ����� ��� ��� ��������� �� 2������� �������� �� ��� ��� ������ ��������� ���� ��� ��������� ��� ��������� �������� �������������� �� ��� ���������� ������� ������� �� ���� �� ������

������� � ��� ��� ��������� �� � 6�� :�

����

�� ���� ����� ��������� �� 6�� �

���� �� 6 ;� :�<

�� � ��� ��� ��� ���� ���� ��� � ����� ��������

������ �������� ��%�& � 9� �� ����� ���� � ������� ��������� � ����������� � ���������� ���� �������������� ��%�& � 6 . 0 ��� ���� ��� ��� � � � ��������� %�&��%�& =��%�&�%�&

���%�& =

���

��

� ���%�&�%�& �� %�&

�� %�&��%�& ���� �� %�&�%�& �%�& ����

���� � 9

%>&��� ��� � � � ���

��%�&���%�& = %�� �&��%�& � 9 %?&

��%�&���%�&� %�� �&��%�& � 9 %@&

���� ��� ��� ���� ��� � ���������� � ��� � ����� ������� �� ���� ��� �%9& 6 9 � ������� �� � 6��!��� ���!

8���� ��� ����� ���������� ��� ���� ������� ��� ��� � ���������� �������� �������� �� ��� ��� ��

� %� �& 6 ����

�� �

�� �

���%�& =

��� �

�� �

���%�&

��

%A&��� �� ���������� ��� ���� �� ����� ��� ������ ��� ������ ��� ��������� �������� �� ��� ������ �� ���������� ��2������� ������ �

�� ���� � ��� ������

����������� ������ ����� �� ������� �� ������ ��������������������� �� ��� �������� �������� ��������� ����� ������� �� ��� ������� ���������� ��� ���� ����� ����� ������ �� ������ . ������ ��� *���� ����+ ��������� ����� �� ��� ����� ����������� 7��!����� �� ��� ������� ��2����� �� ���������� ����� ������ � � ���� ��� ������B� ��������� �� ��� ������� �� �� ����� ����� �� ���� ���� ��! ��� ���������������� ���� ������ ������ ������ ��� ����

���� ��� ��������� ����� �� ��� ��� ������ �������� ��� �!������� �� � ���������� �������� ���������)����� �� �������� ���������� �� �� ������� ����� �������� � �������� ������� ��������� ���������������� ������� ������� �� � ������ ������ �� ��������� ��� ������� �������� ��������� ���� �� ���� ��� �� "�� � ����� ��������� ����� ������ ������������� ���� ��� ������ �������� �������� ���� ������������ �� �������������

������������ �� ������� ���������

8���� � �������(�� ���� ���� ��� �������� 5�%�&�%�&�%�&

� 6

���%�%�&& ��%�%�&& ��%�%�&&��%�%�&& ���%�%�&& ���%�%�&&��%�%�&& ���%�%�&& ���%�%�&&

����%�&�%�&�%�&

�%C&

���� ��� �� ��� ����� ����� ���� �� ���������� ���� ����� �� ��� ���������� ������� � �� �� ������� ������� ������� ��2����� ������ �� ��� ��� �

�� 7�

���������� �� ������ ����

� �� �

������ �� ������ �� �������� �� � ������� ���� ���������

�� %�%�& ��%�& ��%�&& �� ������� ������������������(���� ��� ���������� �� ��� �

�� ���%�& ��� ���%�& ���� ���� ������ ��� ����# ����������� �� ��� �

�� ���%�& 6 9 ��� ���%�& 6 9�

D� ������� ��� ����� �� ������������ ��� ��� ����� �� ��� ��� ���

5��%�&�%�&

�6

���%�%�& 5�%�&& ��%�%�& 5�%�&&��%�%�& 5�%�&& ��%�%�& 5�%�&&

� ���%�&�%�&

�%E&

�� ������ ��� �������� ���� �� � ���������� ���������� ������� � ��� ��� ���������� ��� ������ �� ���� ��2������ �� �� ������(� ��� ����� %�� ���& ����� ������ ������ �%�& �� ��� ������ ���� ������ �� ���������� �� ������� ����� ���������� �%�&� ,����� ������ �� ��� �������� ������ ������ ������ ������� ��#� �� ��������(� � ���� ��������� ������ ������������ ���������� �2������ ��������� �������� ���� ��� ��������� ��������� ����������� ���� ��� ����������� �� �� ������(����� ������ ���� ������(� ���� �� ������������ �� ��� ��� ��� ��� ����������� �������� ������ ���2��� �� ��#���� ����� ����� �������F�"�� �� -6

��� ���

� ���� ��� ������ ���� ������

��� �� ������ ���5��

�6

��%� 5�& �%� 5�&�%� 5�& �%� 5�&

����

�%.9&

����

�� �

� �

�6

�� � 9 ��

9 9 9�� 9 ���

=

�� 9 ��

� 99 ���

� ��� ��

�� ��

� �9 � 9�� 9 ���

%..&

G�!� �� ������ � ��������� ��������� �� ��������� ��� �������� ����� �������� ������� ��������� �������� ��������� ��� �� ������������������� 7� ������ ���� ��� ������� �� ������������ ��� ������� ����� � �� ������ �� ��� ��� ������ ������� �� ��� ��� 7� ���� ������� �������� ���# �� ������ ��� ��� �������� �� ������ �� ������ �� ���� %E&� ��� ������ ���� ���������� ��� ����� �� ���� ���������� �� ������������ ����� ������������� �� �� ���� ���� ��� ������ �������� �� �� ����� �� ��������� ������ ��������� ��� �� ������������� ����� )����� � ������� ����� �������������� ��� ������� �������� ������������ ������ ����� ��������� �� ��� ������ ��� ��������� ���� ������ ��������� �� ����������� � �������� ������������������ �������� ��� ��� ����� ������� ����

������� � ��� � ��������� �� ��������� ���� � 6�� :�

�� ���� �� 6

�� �

���� �� 6 ;� :�< �� � ���

��� ����� �� �� � 9 ������ ��������� �� ��� �� ����� ���� �"���� ��� ��������� ��� ��� ��#

�! ����� ���� ��������� � ����������� � ������ ��������� ��%�& ��%�& � 6 . 0 ��� ���� ��� � � � �

� ��

������

�� =

���

��

�=��� =���

����

�� ��

���� ���� 9��� 9 ����

������ � 9

%.0&

� ��

������

�� =

�����

�=���� = ���

����� ��

��� �� ���� 9�� 9 ����

������ � 9

%.1&���%�& �� ��%�&

�� 9 %.>&

��� ��%�& 6 H����� %�& ��

��%�& 9�� ��%�& 6

H����%�& ���%�& 9

�� ��� ��� � � ���

��%�&���%�& = %�� �&�� � 9 %.?&

��%�&���%�&� %�� �&�� � 9 %.@&

��%�&� ��%�& = %�� �&�� � 9 %.A&

��%�&� ��%�&� %�� �&�� � 9� %.C&

$! ����� ���� ��������� � ����������� � ������ ��������� ��%�& ��%�& � 9 � 6 . 0 ��� ���������

������ �������� I��� I�

�� I�

�� � 6 . 0 ��� ����

��� � � � �������������

�� =

�� �

�=���= I�

�� �� = %�&

�I���

I����

�� =

��

�=��� =��

I��� = %�&

��� �� =��

��I���� ��

�� ���� =���I���

���� = I��� ��� ��

�� ����� = I�

��� ��

��

���� 99 ����

��� � 9

%.E&���%�& �� ��%�&

�� 9 %09&

��� ��� � � ���

��%�&���%�& = %�� �&�� � 9 %0.&

��%�&���%�&� %�� �&�� � 9 %00&

��%�&� ��%�& = %�� �&�� � 9 %01&

��%�&� ��%�&� %�� �&�� � 9 %0>&

� �� �

������ �� ������ �� �������� �� � ������� ���� ���������

���� ��� � ���� ��� ��� ���� ��� �� ���� �%�� ��� ��������� ��� ������ �� ��� ������� �� ������������ � ���� :� 6 ��!��� ���!������������ ��

�%�& 6

�����

�� � � �������

��� =

������

��� � � � � �

�� � � �

%0?&

�%�& �%�& 6

�����������

��%�& ��%�& � � �������

����%�& ��%�&�

=������

����%�& ��%�&�

� � � � �

��%�& ��%�& � � �

%0@&

��� �%�&�� %�& -6 � ��%�&�%�&� �� �� ���

I��%� 5�& 6 �%�&��

��=�%�&

���

����� %�&

�.

�%�&

��%�&��%�& = I��%�&���%�& ��

� %�&�

���� %�&

��%�&�%�& =���%�& I��%�&

�%0A&

I��%�& 6 ���%�&��

� %�& = �%�&��%�&����%�&

������%�&�

���%�&

���%0C&

I��%�& 6 ����

��%�&���%�&���

���%�&��

� %�& =����%�&��%�&�%�&

�%0E&

I��%�& 6 9 %19&

&��� ��� ������� ���� ��� ������ �� �� � �� ����������� �

��%� 5�& 6 ���%�&�I��%� 5�&� �%�&��%�& I��%�&

� I��%�&��%�&�%�&� �%�&�%�&�%�&���� %�&

%1.&

��%�& 6 ���%�& I��%�& %10&

��%�& 6 I��%�&��� %�& %11&

��%�& 6 9� %1>&

�� �� ����� ���� �� ��# �� ��'���� ��������������� ��� ���� ������� ��������� ��� ������������������� ������ ����� ������ � ������ �������( ��� ��� �������� ���� ��� ��������� �� ������ �������� ���������� ��� ������ �������� �������� ����� ������ ���� ��� ������ �� ������ ��� ��� ����!��������� ��%�& ��� ��%�&� ������ �� ��� �������� ���� ������ ���� �� ���!�� ���������� ��������� ������������ �������� ��������� ��� ��� �������������� ������� �������� �� �������� ���� "���� ��� ����� �� �������� ��������� ��� ���������� ������

�� �������� ��� ��� ������ �� ��������� ������ �� ����� �� ��� ��!���� ������� ��������� D��� � 9 %������ ������ ����& ��� ���������� %.@& %.C&���� ���� �� �'��� �� ��� ��������� ������ ���� ������������ ��������� ��� ���� ������ �� ����������� �� ������� ��� ��� �� ������ ����������������� ����������� ���������� �� ����� %.@& %.C&

�� ������ ��"���� ����������� �� �� ��� �������������� �� ����!����� �� ������ ��� ����� �� ���������� ��������� �������� �������� �� � ���� ��"���� ������ �� ����� ���������� ���� �� ���

��%�& 6

������

�� %�&��� ��%�& 6

������

!�� %�&��� %1?&

����� �� %�&

���

������

�!�� %�&

���

����� ��� �����"��

����� ����� ���������� G��� ���� ��'���� ����� ���� ����� ��� �� ���� ��� ��'���� ������� ����������� �

�� �� ��� ������(����� �������� �� �� ����

������ ���� ���� � ��������(����� ��� ������������ ���������� ��� �� ������ ����� � ������������� ��� ���� ������� �������

�������� ��� ���������������

�������

������ �������� ������� %�� �& ��� �� ������ �������� ���� �� ������ ���������� ������ �� � ��� �� ���� ����� ������� ��������� �� � ���������� ������ ������������� ���� ��#� ���� ���������� �� �������� ������������- ���� ������ ��� ���������� ������ �� ��� 3������ ��� ������������������� ������ ������� ��� ��� ��� ���� ���� ����� ������� ���� ���������� ������� ��� ��������������� ������� �� ������� ������ �������� �� ���������� �� � ��� �'�������� ��������� ������������������� ���������� ���� ���� ��������� ��� ������� ��� ��#��� ���� ������ �������� �� ��������������������� ���� �������� ������� �� �������� ��� ����� ������� �� ���� ������ �� 3������� �� ������ ���� �� �������� �������� �� ���� ����� �� � ����� ������ ��� ���� ������ ��������� �������� ��������� �������� ���������� ������������������� �� ������ ���� ��������� ��� ��������� ��������� �� ������� �� ��������� ������������ �� � �� ���� ������������ ���� ��#��� ��� �������� ������ ������ ����������� ������ ��� 3�!������� �� ���� ����� � ��� ���� �� ��� ������!��� �� ������ ������ ���#����� ��������� �� ��� ����� �� �������� ���

���� ��� �������� ����� ��F ���������� )������� �� ������ �� ������� ��� �������� ��������� � ��������� ���� ��F ������� ������� ��� ���� ��������� ��� �������� �� ����� �������� ���� ��������� �� ��������� �� ���� �������� ��� ���� �����(��� ��� �������(��� �������� ��������(� ���� ���� ��� ��� ������� � ������� ��� ������� ��� ����������� J����������� ���� �� ��� ����

� �� �

������ �� ������ �� �������� �� � ������� ���� ���������

���������� ������ ��������� ��'�� ��� ���� ��� ��� ������� ����������� ��� �������� ���� ���������� �������� ����� ���� ��� ������ ���� ��� ��� �������� ���� ��� ��� ����� ������� ���������

$��� 3�!������� ��� ��������� ����� ��� " ��������������������� �� ��� ����� ���� ��� " �������� �!��� ���� ���� ����� ��������� ��������� �� ��������� ����� ����� )����� ��� �������� ������ �����"������������� ���������� ���� ��� ������ ��� �������'�� ��� ��� �� �����"�� ������ ���������� K����� �� ������ ���� ������ �� �� ������ � ����� �� ��� ������ �� ���� �������� ����� ��� ���� ����������������� ����� ������������ )����� ���� ����������� ��� ������ ��� ��������� ��� ��������� ��� ������ �� ������� ��� ������� ��� ������� ���H������� ��� ��� ������ ����� ��� ������� �� �� ���� ������� ��� �������� ������ ����� � ���� �������� ��� ����������� �� ��� ������ ������ ���������(��� ,����� ��������� ��� ���� ��������� ��,������� ��� G��������

����� ������ �� ����

K���� �� ��� ����� ���������� �� ��� ��� ������� ��� ����� �������� ��� �������� ��������� ���� ����� �� �� ��� �� ������"�� �� � ��� �� ��������� ������ ��'������� ���������� )����� ��� � �� �������� �� ��������� ��������/ ���� �� ��������� ���������� ������ ��� ����� ���� ��������������������� ���� ��� ���� �������� �� ��� ���B��������� �� �� �������� �� ������� � ���� ����������������� ������� �� �2������ ��� ������� ������������ ��� ��� ����� ����������� ��������� ������ �� � �������� ������ ��� ��

������ ��� ��� ���� ���� �������� ����� ��� � ��

L# 6 ��$�$�

5% =&

$�% �� � �� = �� � �� = �& %1@&

L% 6�$�$�

5# =&

$�% �� � �� = �� � �� = �& %1A&

���� # % �� ��� M��� ������ �������� ��� ������ ���� �� ��� ��� ���������� $� $� �� ��� ������ �������� �� ��� ��� �� �!��� ��� ����� ��������� � ����������� ��� ������� � ������� ��� ��� ��������� �������� ����� �������� �� ��� ���� �� ���� ��������� �� ������� �� �� �� �� � 6 . 0 1 >� � � �� ���������� ����� ������ �� ������ ��� ����� ��� ���������� ������� �������������� ���� � �� ������ �� ��� �������

�� ����� ��� '�( ���� ������ ��� �������� 3�! %� ����� ���������

� 6 )*��

�. =

0!�+(

�%1C&

�� 6 ��*���

=0�

���!�*� %1E&

��� ��������� ������ �������� �� ������ �� ��������� �������� ������ �!����� %����� .&�

������� ������ ��� �� ���� ���� .?1.�AE,,�

( ���� ����� >9�99,,-� ������� ��� 9�??,,

$� ����� ������ �� ������ 9�111)! �,�

$� �!��� ������ �� ������ 9�9.1@)! �,�

& ���� ��� ������ �� ��� ����� 9�.1,) >�@A???A@� .9�

� ����� �� ���� ���� >99� ���� ��������� .>�@.(,N� ������� ����� 0�9E� .9��/�

����� � ������ ������ �����������

�� ��� ������� �� ����������� ��� �������� ������ ����� �������� �����"�� �� ����������� ������( ��� ��� �������� ��������� �� ��� ���������� ��������

L# 6 ��$�$�

5% =&

$�%�>0�&# = 00�*� = �& %>9&

L% 6�$�$�

5# =&

$�%�>0�&% = 00�*� = �& %>.&

� 5*� 6 �� = 0��&# � ��*� %>0&

� 5*� 6 �� = 0��&% � ��*� %>1&

���� *� *� �� ��� ��'������� �������� 3�! ����������������� ���� ��� �� �� �� ��� �������� ��� ��'������ �� ������� �������� ��� ���������0� 0� �� �� ������ �� N� -� ��� � ��� ��� �� ����� �� ��� ������� �� �������

0� 6 0)N�

�. =

0-�

+(

� 0� 6

0)N��

+( %>>&

�� 60�-�

��� �� 6

0�N�

��� , 6

$�&� %>?&

��� ��������� ����� � ��� � �� ��������� ��� ���� �� ���������� ����������� ��� �� ����� ��

� 6%$� � $�&

&��1 ���%��& %>@&

� 6%$� � $�&

&��1 ���%��&� %>A&

�� ��������� ��������� ������ ��� ��������� ��������� �� ������ �� � ���������� ����� ����� 2� 6;&1 ���%��= 3& &1 ���%��= 3&< �� ��� ������� ��������������� ����� ��� �� ������ �� � ����� �������� ��

5� � 6

�4 ��� 4

�� � =

�.9

�O� %>C&

2 6

�. 99 .

�� � %>E&

���� 4 6 �9�99.�

��� �� 6�&# &% & 5# & 5% *� *� � � � �

� 5 6 O�

��� �� 6 ;�� ��<� 4�������� ��� �������� ��� ���

� �� �

������ �� ������ �� �������� �� � ������� ���� ���������

���������� �������� ��� ������(�� �������� ��� �������� ��

5� 6 �%�&�=��5 =��� %?9&

6 6 ���=���5 =���� %?.&

� 6 ���=���5 =���� %?0&

����

� 6

������������

9 9 . 9 9 9 9 99 9 9 . 9 9 9 9

� ���

9 9 ������

���

9 9 9

9 � ���

�����

9 9 ���

9 9� ��

9 9 9 � ��

9 9 9

9 � ��

9 9 9 � ��

9 99 9 9 9 9 9 4 ��9 9 9 9 9 9 � 4

�����������

%?1&

�� 6

��9���.9

� �� 6

.

��9�����9���

� %?>&

�� 6

��� 9���9���

� ��� 6 9��� ��� 6

�9�����

%??&

�� 6��� 9��� ��

� ��� 6 9��� ��� 6 9���

%?@&

G��� ���� ��� ������(�� ��� ������� �������� �� ����� ��� �� � ����� ������� ������ ������ ������� ��� ����� ������ �� ��� �������� 7� ���� ��������� ������ ��� ��������� ����� �� ������� ���� ��������� �� ��� ���� �� �������� ����

������������ ��� ������� �����

��� ������ ��2������� �� ��� ��� �������� ���� �������������� �������(� ��� ������ ��� ��� ��������� �� ��� ������ ��� �� ������(� �� �� ���������������� � �������� ��� �� ��� ����� �� ��� ��� ���� ��� ��� ������������ �� ��� ������ ������������ ��� ������ ����� ������������� ��� ���������� ������� �� ���� ������ ��

��� ��� �������� �� �� ������ ������ �� � "!�� �� ����� �� ��� ������ ������ ��� ������ ��2������ ��������"�� ��� � ��(�� ������� ������ ����������� ��������� ��������� ��� ��� �������� ���� ������������������ �� ����� �� 7���� .��� 7���� . ��� ��������� ��������� �� ������ ��

/�%�& 6099%�= .99&

�= 9�9.�� %?A&

/�%�& 69�99.�

9�9?�= .�� %?C&

/�%�& 6 9�99. %?E&

��� ��� ����� �� ������� �� ������ ����� �� ����� 1.?7��8� �� ..997��8�� ��� ��� ����� ��� �!����� �����"���� ��������� �'���� �� ���� �����

� �

�� �

9�

/�

/�

/�

O�

��

��

2��

��� � ������ ��������� ����������� ��� ��������� ������ �������

����� ��� ��� ��������� ������ ��� �� ������ �� ��� ����� � ������ � ������� ��������� ���������������� �������� ��� ��� ������� ������ �� � ��� ����������� ������� ������ � � ��� ��������� �� ������ ������ � ������ �������� �������� ��������%,P�7& ������� �� � 6 109�AC ����� �� ����� ��� ��������� ���� �������� ��� ������ ��������� ����������� ���� ��� ����� ������� ����� ����������� ��� ������� %;1.? A09<� ;A99 ..99<& ��� ��� ��� ���� %;1.? ?09< � ;?99 A09< � ;A99 E09< � ;E99 ..99<&������������ ���� "�� ������ �� ���� �� ��� ����������� �������� ��������� ��� ��� ���������� ��� �� �� ������ �� 9�.��� �� � � � � �� �(�� ��������� �� ���� ���������� ������� ��������� ��� ���� �� ��������� ����� ��������� �� ���� ����������(� ��� ���������� �����

�� %�& 6 . %@9&

!�� %�& 6 . !�� %�& 6 � %@.&

�� ���� �� G��� ���� ��� ����� �������� �� ��%�&�� ������ �� � �������� ��� ���� ������� ����������� ���� ���� ����� ����� ��������� ����������������� ���� ��� ����������� ����� �������� �� ��������� ,���� ���� � ��� � ������ ��������� ������������ �������� ���� ������������ ��� ���� ������� ��� �������� ���� ���� ������ �� ���� ���������� ��� ��� ���������� ��� ��������� ������� ��� ������������ ��� �������� ����� ����� ��������� ������� ���� ��'���� ������� ������������ �� ����� �� ����� 0� G��� ���� ��� � ������������� ��� *���� ����+ ������������ ��� ��������������� ��� ��'���� ������� �������� ��� �� ���� ��������� ��� ���� ������� ������ ����� ������ ���� ��� *���� ����+ ����������7� ��������� � ������ ������� ��������� ���

����� �������� �� ���� ��������� �� ���������� ����������� �� ��� ����� ������� ��� ��������� ����� ����� ��� ���������� ��������� ����� �� ����� ������� �� ��� *���� ����+ ��������� �� �������������� ������

� �� �

������ �� ������ �� �������� �� � ������� ���� ���������

�������� ��� �F�7 ������������ ���0 ������� > �������

. E�C@1 E�E1@ E�E?>.99 .9�9@> .9�.9A .9�.>E.9999 .>.�0> .>>�>1 .>1�?9

����� !��"���� � #� ��� ���������� #���� ����� �� �#����� ���������� ���� ��� �����#��" �#����� $�����%�

&�#����� ���#���

G�!� ��� ��� �������� ��������(�� ����� ��� ��� ���� �� ���� �� ��������� ����� ��� ���������� ��#�

�� ������ ��� ��� �������� ���� ��� ��������� �������� ����� ������ �� ������ ��� ��� ���� ��� ��� � ��� �� �������� �� ��������(�� �� ������������ ���������� ���� ���� �� ��� ������ ��������� ���� ��� ��� ������� ������ ������������� �� �������� �� ��� ��������� ��������� �� "!��������� ������� ����� �� ������� �� ��� ����� 1�

�%7��8�& �� ������������ ���1.? E�AAC E�C11>0A�. A�>CA C�.>A?1E�1 @�.>E @�A.E@?.�> ?�0CE ?�AA0A@1�@ >�@E@ >�ECCCA?�A >�0@> >�C1.ECA�E 1�E1@ >�@99..99 1�@AC >�1C1

����� ' ���(�� ������)��� ���� ����� ��

�����

,���� ��� ��� �������� �� �������� �� � ���� ���������� �� �� ��� �������� ���� ���� �� ���� ��� ������� �� ���� "!�� ������� ������ )����� ���� ������� ���� ��� ������� ��������� ����� ������� �� ��� ����� �� ��� ���������� ��������� �� ���� ��� ��������� ��� ��� �������� �� ���� ��(���������� )����� ��� ������� �������� �� ����������� �� ��� ���������� ��� ������ D��� � �������������� ������� �� � ��'���� ��������� ����� ������ ����� ��������� ���������� � ���� ���� �� ����������� �!������� 7� �!����� ��� ������� �� ���������������� �� � 6 A997��8� ������ �� � �������������� � 6 .�.@� .9� ���� ��� ��� �� �������� ���� ��� ���� ��� ����� �� ..997��8��

7������ �� ������ ��� ������ ���� ���� ��������� ���� ������� ��� ��� ���������� ��� ���� � ������� �� ��� ������� �������� ��� ��� ��� ��� ����� �� ����� �� 7����� 0 ��� 7���� 1 ����� ������� �� ��� �� ���� ���� ��� ���� �������� �� ��������������� ��� ���� ��������� �� ����� ������������ ��� ������ ������� �� �������� ��'���� ����� ��� ���������� �� ��� ����������

���� �����(��� ��� ��(�� ����� ��� �������������� �� �� ���� �� �� ���� �������� ������

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5x 10

−3

Time (s)

Dis

plac

emen

t (m

)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3−15

−10

−5

0

x 10−3

Time (s)

Dis

plac

emen

t (m

)

%�& ��� ������������ �� ��

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3−50

0

50

Time (s)

For

ce (

N)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3−200

−100

0

100

200

300

Time (s)

For

ce (

N)

%�& ������ ���� �� ��

��� �*� ��������� #������� �������� +���� ������ ����������

����� �� �� ���� ���� ������ ��������� ������ ����� ������ ��� ����� ��"�� �� ������ ��

�%�& 6

���

���%@C9�& 9 � � � 9�?����%:�& : 6 @?? = ?9� 9�?� � � � .�?����%A19�& .�?� � � � 0�

%@0&G��� ���� ��� ��� ����� ��2����� �� ������ ����� ������ �� ���� ��� ����������� �� ��� �������;1.? A09< ��� ;A99 ..99< �� ��� ���������� ����� �� �� ��������� ��� �������� ������������ �'����F��������� O� 6 .�1 � .9� �� ���� �� ��� ������ ���� ������� M!���� �� ����� �������� ����� ����������� ������������ ����� ��� ���������� ���������������� ���� ��������� �� ������������ ��������� �� ����� �� 7���� >�

���������� ������

�� ���� ���� �� ��� ������ ������������ ���� ���� ��� ������� �� ������� ���� ��������� ������ ��������� ������� ��� ������� ��� ������������� ���"�� ��� ���������� ��� ������ ��������� ������������ ���������� ��� ��������� �� ���

� �� �

������ �� ������ �� �������� �� � ������� ���� ���������

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5x 10

−3

Time (s)

Dis

plac

emen

t (m

)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3−15

−10

−5

0

x 10−3

Time (s)

Dis

plac

emen

t (m

)

%�& ��� ������������ �� ��

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3−50

0

50

Time (s)

For

ce (

N)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3−200

−100

0

100

200

300

Time (s)

For

ce (

N)

%�& ������ ���� �� ��

��� ' �*� ��������� #������� �������� +����� ����������

����������� ��� ������ ��� �������� �� ������������������ �� �������� �������� ��� ����� ������������� D��� ������ ������� �� ������������� �'����� ������� ��� ������������ ������ ������� ������ ������ ��������� ������������ ��� ����� �� ������� ��� ������ ��������� ������ ��� ������� ����� �������� ������ ������ ������ �� �2��� �� ��������� ���������� ����������� ��� ������������������� ��� ������ �������� ���������� ��������� ���������

7� ����� ������ �� 7 .@ �������� ����� ������� ������� ��� ��� G�,� ������� $������ 4�� �� ��� ��� ������� ��� ������ ��������� �� �� ����� ����� ������� �� � ������ ����������� �������� ������ ��� ��������� ��� ��� �!������ 3������������ ���� �������� �������� 3���� ������� � ����� ���������� ������� ��� �� ��������� �������� �� ���� ����� ���������� �� ����� ��#� �� ��� ���� ��� ������������ ���������� ������ ������������ ����� �������� %��& ������ �'������ ������ ����������� ������ ������ ������� �� ��������� �������� ��� ���������� ���� ��� ����� ���������� ��� ����������� �� � ���"�� ������# ���

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2660

670

680

690

700

710

720

730

740

750

Time (s)

Fre

quen

cy (

rad/

sec)

%�& $��� ����� ��"��

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4x 10

−7

Time (s)

Dis

plac

emen

t (m

)

%�& F�����������- ��Q����� ��Q����

��� , ���������� �� ����������� ��� ��������� ����"����� ����� ���� �

�� �������� ��������� ��������� ��� ��������� ������ 3���� ���������

�����������0�1� -$,�� 2����'��"�� ���#��3 �� ,��� �"�&$���,�4

���� ������ �� �� �� ������ 56�5� ������1�*� *����� ��& � ������� 2����'��� � (��� *"�&$�&

.������ �� )������� �������4 ���� ����� �������� ����������������6�/ � ���/�

��� �%3����� ��& -�1� �&���� 2�&7��"& (�����"�&$���,!"���8$� �� 9�"����� *'�����4 ���� ����� ������ ��������� ��������:�� ��� �

��� �%3����� ��& �� (������ 2� .��7� .����"���;������ � (�����"�&$�& �� .����������4 ���� ����� ��������������� �����������:6��5� �����

�(� <"3� ��& ��=� ��"3��&� 2-��$�� �������" �+���� ��������"���' >��'��, *'���� $���, ��������"���'?%�&�� +���� ?'����" �&��"3�4 ��� ������ ��������:���/�6�������5�

���=� ��"3��&� 2(��� *"�&$���, 7�� +���� ���"������!��������������4 ��� ������ ������ ���� �6��� ���5�

�.�0� *"���� 2-��$�� ��& .������ ��& +�> .������#��� �$�� <��"3 *"����,��4 �� ������ ������� �� ��� �������� ������� �+� �� (���$�� *� )�"$��"$ &��� *�� � �����

��� 0$� @�A� B��,� ��=� ��"3��&� ��& (� <"3�� 2��&$"&�� )��� .������ �� +�> *'���� #��� <�$�&& �������>�������� -����4 ���� �� ����� ���� ������� ���C�/����:6���������

�?�1� *���#�� ��& 0�1� -$,�� 2*�������' ����7��, ����%�������� ���&� �� �� *'������ � (��� *"�&$�& .����������4����������� �������� �� �///�

�*� +�� ��& 1��� A�#� 2.������ � +�> �'���� $���, �

� �� �

������ �� ������ �� �������� �� � ������� ���� ���������

D$������"#�� �� ��������?%�&�� +'�%$��7 �$�"������4 �� ����� ����� ������ ������ ����� %%� ��//���/5�

��1�<� -��� 2�� ��"���� "����"�� ���,' *����, *'����� *%�" �%%��"������4 �� ��� �� �� ���������� ��� ��� !��� ����:����� �����

��.�?� A���� 2A�,� *%& ��'#��� �� ���,���& ���,'*����, ��& �����$& .�������4 �� ����� ����� ������ ��������� � %%� ���5������

�� ��-� )��� !� A��������� ��& =� )�����'�� 2?��,� ��� �����$& .��������� �� *%�""��� $���, � �,���"���'*$�%�&& ����$� 0���4 ����� �� ������� ����5���5���� �

���� !�������� A� *�� ��& .� A���� 2*������ �����$& .������� ��& ��#� !��"3��, #��� ����$� 0����4 �� ��������"���� ���������� �#������� ������ ��* %�%� )�� ���:� � �����

���� � ����& ��& �� <$�"��>������"� 2�������" .���%������� ��& �$�������� <����"��, �� �,���" <����,*'���� $���, �� ��%�������;����� !���'�4 ���� ����������� �� ������ ������/�6���� �����

���� ���$�$��� !� )����3�#�� =� A�,�#���� ��& � �$�E���� 2�%%��"����� � (��� *"�&$�& �� -��$�� .��������� ��� �,���" <����,�4 ���� ����� ������ �� ������ �����5�565�:� �����

��=� )����� ��& !� ���� 2� *'������ � ������ -�������,���" <����, *'����4 ���� ����� ������ �� ������������/:6���� �����

���� !������� ��& *� ����� 2*���"�&$�& �� .���������� �� �,���" <����,��4 �� ����� ���� ���� ����� �� ���� �� �$#��� ����� %%� ��������

���� !������� ��& .� =���%� 2-&$"��, .����7����� ��(�����"�&$�& �� .��������� �� � <F��4 �� ����� ��%&'(�� ����� )����� ���� ����� �$����� ��� �

�*� *�7���,�$ ��& =� )������ 2+ � �%%���"� �� (���*"�&$�& �� .������ <'��& ��? .������ �� ('���"�%�"-����� �,���" <����, *'�����4 �� ����� *+�� ���� �����,��� ������� ����� %%� :��5�:����

� �� �

������ �� ������ �� �������� �� � ������� ���� ���������