JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, 97 - 109, Agustus 2003, ISSN : 1410-8518 __________________________________________________________________ 97 METODE PENENTUAN BENTUK PERSAMAANRUANG KEADAAN WAKTU DISKRIT Robertus Heri Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Abstrak Tulisaninimembahaspenentuanpersamaanruangkeadaandari sistemwaktudiskritdalambentuk:kanonikterkontrol,kanonik terobservasi,kanonikdiagonal,sertakanonikJordandengan menggunakanmetodapemrogramanlangsung,pemrograman bersarangdanperluasanpecahansebagian.Jugadibahas ketidaktunggalan persamaan ruang keadaan dari suatu sistem yang diberikan,yangdibuktikandenganrelasiantaraduavektor keadaanyangberdimensisama,dimanasatusamalain dihubungkan oleh sebarang matriks non singular. Kata kunci :fungsitransfer,sistempersamaanwaktudiskrit, transformasi z. 1.PENDAHULUAN Persamaanruangkeadaanterdiridaripersamaanruangkeadaanwaktu diskritdanpersamaanruangkeadaanwaktukontinu.Masing-masingdari persamaan ruang keadaan tersebut terbagi lagi menjadi persamaan ruang keadaan yangberubahterhadapwaktu(timevarying)danpersamaanruangkeadaanyang tidak berubah terhadap waktu (time invariant). Persamaanruangkeadaanyangberubahterhadapwaktuuntukwaktu diskrit (time varying discrete time state space equation) berbentuk: ( 1) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )x k G kx k Hk u ky k Ckx k D k u k+ = += +(1) dimana: x(k): vektor keadaan nx1 y(k): vektor keluaran mx1 u(k): vektor masukan rx1 G(k): matriks keadaan nxn Metode Penentuan Bentuk (Robertus Heri) __________________________________________________________________ 98 H(k): matriks masukan nxr C(k): matriks keluaran mxn D(k): matriks transmisi langsung mxr Variabelkdalam( ) G k ,( ) Hk ,( ) Ck dan( ) D k sepertipersamaan(1) menyatakanbahwamatriks-matrikstersebutberubahterhadapwaktu.Jika variabel k tidak berubah terhadap waktu, maka persamaan (1) dapat ditulis : ( 1) ( ) ( )( ) ( ) ( )x k Gx k Hu ky k Cx k Du k+ = += +(2) dandisebutpersamaanruangkeadaanyangtidakberubahterhadapwaktu(time invariant discrete time state space equation). Seperti kasus waktu diskrit yang diberikan oleh persamaan (1) dan (2), persamaan ruangkeadaanuntukwaktukontinuyangberubahterhadapwaktu,dinyatakan dengan persamaan: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t A t x t B t u ty t C t x t D t u t= += + (3) Sedangkanpersamaanruangkeadaanwaktukontinuyangtakberubahterhadap waktu berbentuk: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )x t Ax t Bu ty t Cx t Du t= += + (4) Blokdiagramuntukpersamaanruangkeadaanwaktudiskrityangdidefinisikan olehpersamaan(2)ditunjukkandenganGambar1,danblokdiagrampersamaan ruang keadaan waktu kontinu ditunjukkan dengan Gambar 2. Gambar 1 Blok diagram untuk persamaan ruang keadaan waktu diskrit ++ + HDGC z-1I( ) uk( 1) x k +( ) x k ( ) y kJURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, 97 - 109, Agustus 2003, ISSN : 1410-8518 __________________________________________________________________ 99 Gambar 2 Blok diagram untuk persamaan ruang keadaan waktu kontinu Modeldinamikyangmemuatvariabelmasukan,variabelkeluarandanvariabel keadaansangatberperandalamanalisisruangkeadaan.Demikianjuga pengetahuan tentang bentuk persamaan ruang keadaan, terutama dalam mengubah blokdiagrammenjadipersamaanruangkeadaandansebaliknya.Bahkandalam beberapa metode penentuan kestabilan suatu sistem, syarat perlu dan cukup untuk dapatmenentukankestabilansistemadalahtransformasikebentukkanonik terkontrol. Bagianpertamatulisaninimemperkenalkanbentukpersamaanruangkeadaan waktudiskritdankontinu,baikyangtimevaryingmaupuntimeinvariant, kemudiandibahasrepresentasiruangkeadaandalambentukkanonikterkontrol denganmetodepemrogramanlangsung,bentukkanonikterobservasidengan metodepemrogramanbersarang,sertabentukkanonikdiagonaldanbentuk kanonikJordan,keduanyadenganmetodeperluasanpecahansebagian.Bagian terakhir membahas ketidaktunggalan dari persamaan ruang keadaan.2.PEMBAHASAN Perhatikan sistem waktu diskrit berikut ini : 1 20 1 2( ) ( 1) ( 2) ... ( ) ( ) ( 1) ( 2) ... ( )nny k a y k ay k ay k nb u k bu k b u k b u k n+ + + + = + + + + (5) dimana( ) u kdan( ) y kberturut-turut adalah input dan output sistem. Transformasi zdari (5) menghasilkan : 1 21 21 20 1 2( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )nnnnYz a z Yz a z Yz a z Yzb Uz b z Uz b z Uz b z Uz + + + += + + + +

++ BDAC .dt}( ) x t ( ) x t ( ) y t ( ) u t++Metode Penentuan Bentuk (Robertus Heri) __________________________________________________________________ 100

10 111... ( )( ) 1 ...nnnnb b z b z YzUz a z a z + + +=+ + +(6) Persamaan(6)merupakanpembagianantaratransformasizkeluarandan masukan, dan disebut fungsi transfer. Ada4bentukpersamaanruangkeadaanyangdapatditentukandari persamaan(5)maupun(6),yaitu:bentukkanonikterkontrol(Controllable canonicalform),bentukkanonikterobservasi(Observablecanonicalform), bentukkanonikdiagonal(Diagonalcanonicalform),bentukkanonikJordan (Jordan canonical form). 2.1 Bentuk kanonik terkontrolBentukcontrollablecanonicalformditentukandenganmenggunakan metode pemrograman langsung (direct programming methode). Persamaan (6) dapat ditulis: 1 21 1 0 2 2 0 00111 21 1 0 2 2 0 0011( ) ( ) ... ( ) ( )( ) 1 ...( ) ( ) ... ( )( ) ( ) ( )1 ...nn nnnnn nnnb a b z b a b z b a b z YzbUz a z a zb a b z b a b z b a b zYz b Uz Uza z a z + + + = ++ + + + + + = ++ + +(7) Jika didefinisikan1 21 1 0 2 2 0 011( ) ( ) ... ( )( ) ( )1 ...nn nnnb a b z b a b z b a b zYz Uza z a z + + + =+ + + (8) maka (7) menjadi 0( ) ( ) ( ) Yz b Uz Yz = +(9) Persamaan (8) dapat juga ditulis : 1 2 11 1 0 2 2 0 0 1( ) ( )( )( ) ( ) ... ( ) 1 ...n nn n nYz UzQzb a b z b a b z b a b z a z a z = = + + + + + + sehingga diperoleh dua persamaan : JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, 97 - 109, Agustus 2003, ISSN : 1410-8518 __________________________________________________________________ 101 11( ) ( ) ... ( ) ( )nnQ z Q z a z Q z a z Uz = + (10) 1 21 1 0 2 2 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )nn nYz b a b z Q z b a b z Q z b a b z Q z = + + + (11) Jika didefinisikan: 112211( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )nnnnX z z QzX z z QzX z z QzX z z Qz +====,(12) maka: 1 22 31( ) ( )( ) ( )( ) ( )n nzX z X zzX z X zzX z X z===(13) Dengan invers transformasi z dari persamaan (13) diperoleh: 1 22 31( 1) ( )( 1) ( )( 1) ( )n nx k x kx k x kx k x k+ =+ =+ = (14) Inverstransformasizdarihasilsubstitusipersamaan(12)kedalampersamaan (10) menghasilkan : 1 1 2 1( 1) ( ) ( ) ... ( ) ( )n n n nx k a x k a x k a x k u k+ = + (15) Analogdengancarauntukmendapatkanpersamaan(15),persamaan(9)dapat ditulis dalam bentuk : 0 1 1 0 1 1 0 2 0 1( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ( )n n n n ny k b u k b a b x k b a b x k b a b x k = + + + + (16) Metode Penentuan Bentuk (Robertus Heri) __________________________________________________________________ 102 Penggabunganpersamaan(14)dan(15)sertapersamaan(16)menghasilkan persamaan ruang keadaan dalam bentuk controllable canonical form berikut ini : 1 12 21 11 2 1( 1) 0 1 0 0 ( ) 0( 1) 0 0 1 0 ( ) 0( )( 1) 0 0 0 1 ( ) 0( 1) ( ) 1n nn n n n nx k x kx k x kukx k x kx k a a a a x k +(((( ((((+ (((( (((( = + ((((+ (((( ((((+ | |120 1 1 0 1 1 0 01( )( )( ) ( )( )( )n n n nnnx kx ky k b a b b a b b a b b u kx kx k ( ( ( ( = + ( ( ( 2.2 Bentuk kanonik terobservasi (Observable canonical form) Transformasi z dari (5) dapat ditulis dalam bentuk : { }( )1 1 10 1 1 2 2 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... Yz b Uz z bUz aYz z b Uz a Yz z bUz aYz ( = + + + + (17) Bila didefinisikan: | || || || |11 1 111 2 2 212 1 1 111( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )n nn nn nn nX z z bUz a Yz X zX z z b Uz a Yz X zX z z b Uz a Yz X zX z z b Uz a Yz = += += += ,(18) maka diperoleh hubungan: 0( ) ( ) ( )nYz b Uz X z = + (19) Substitusipersamaan(19)ke(18)sertamengalikankeduaruasdenganz, dihasilkan : JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, 97 - 109, Agustus 2003, ISSN : 1410-8518 __________________________________________________________________ 103 1 1 1 1 01 2 2 2 2 02 1 1 1 1 1 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n nn n nn n nzX z X z a X z b a b UzzX z X z aX z b a b UzzX z X z a X z b a b Uz = + = + = + (20) 1 0( ) ( ) ( ) ( )n n n nzX z a X z b a b Uz = + Inverstransformasizdaripersamaan(20)dan(19)berturut-turutmenghasilkan persamaan keadaan dan persamaan keluaran dalam bentuk matriks berikut ini : 1 1 02 2 1 1 0 11 1 2 2 0 21 1 0 1( 1) ( ) 0 0 0 0( 1) ( ) 1 0 0 0( )( 1) ( ) 0 0 1 0( 1) ( ) 0 0 0 1n n nn n nn nn nx k x k b a b ax k x k b a b aukx k x k b a b ax k x k b a b a + (((( ((((+ (((( (((( = + ((((+ (((( ((((+ (21) | |1201( )( )( ) 0 0 0 1 ( )( )( )nnx kx ky k b ukx kx k ( ( ( ( = + ( ( ( (22) Persamaan(21)dan(22)merupakanpersamaanruangkeadaandalambentuk observablecanonicalform.Metodeuntukmenentukanruangkeadaanini dinamakan metode pemrograman bersarang (nested programming methode). 2.3 Bentuk kanonik Jordan (Jordan canonical form) Untukmembentukpersamaanruangkeadaandalambentukkanonik Jordan,diasumsikanbahwaterdapatpole(pembuatnoluntukpenyebut)dari fungsitransfer(6)yangsamasebanyakmbuahsedangkansisanyaberbedasatu sama lain. Sedangkan untuk menyatakan persamaan ruang keadaan dalam bentuk diagonalcanonicalformdiasumsikanpoledarifungsitransfer(6)semuanya Metode Penentuan Bentuk (Robertus Heri) __________________________________________________________________ 104 berbeda. Karena alasan itulah maka bentuk kanonik diagonal dan bentuk kanonik Jordan, keduanya ditentukan dengan metode perluasan pecahan sebagian. Sub bab ini membahas bentuk kanonik Jordan. Karenaterdapatmbuahpoleyangsamasedangkanyanglainberbeda, maka persamaan (6) dapat ditulis: 1 21 1 0 2 2 0 001 11 2 1 2011 1 1 1 2( ) ( ) ... ( ) ( )( ) ( ) ( )...( )( )... ... ( )( ) ( )n nn nmm nm m m nm mm m nb a b z b a b z b a b z YzbUz z p z p z pc c c c c cYz b Uzz p z p z p z p z p z p ++ ++ + + + + = + | |= + + + + + + + + | \ ., dengan pole yang sama adalah 1z p = . Untuk 1 2( ), ( ),..., ( )mX z X z X zdidefinisikan: 1 211 1 1( ) ( ) ( )( ) , ( ) ,..., ( )( ) ( ) ( )mm mUz Uz UzX z X z X zz p z p z p= = = (23) sedangkan untuk 1 2( ), ( ),..., ( )m m nX z X z X z+ + didefinisikan : 1 21 2( ) ( ) ( )( ) , ( ) ,..., ( )m m nm m nUz Uz UzX z X z X zz p z p z p+ ++ += = = (24) Dari persamaan (23) didapat relasi : 1 1 22 3 1( ) ( ) ( ) 1...( ) ( ) ( )mmX z X z X zX z X z X z z p= = = =(25) Invers transformasi z dari persamaan (25) dan (24), didapatkan:1 2 1 12 3 1 21 1 1( 1) ( ) ( )( 1) ( ) ( )( 1) ( ) ( )m m mx k x k p x kx k x k p x kx k x k p x k + = ++ = ++ = + JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, 97 - 109, Agustus 2003, ISSN : 1410-8518 __________________________________________________________________ 105 11 1 1( 1) ( ) ( )( 1) ( ) ( )( 1) ( ) ( )m mm m mn n nx k p x k ukx k p x k ukx k p x k uk+ + ++ = ++ = ++ = +(26) Dan invers transformasi z untuk( ) Yzdidapatkan : 0 1 1 2 2 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ... ( )m m m m n ny k b u k c x k c x k cx k c x k c x k+ += + + + + + + + (27) Penggabunganpersamaan(26)dan(27)menghasilkanpersamaanruangkeadaan dalam bentuk Jordan canonical form berikut ini: 1 1 12 1 211 1 1( 1) 1 0 0 0 0 ( ) 0( 1) 0 1 0 0 0 ( ) 00 0( 1) 0 0 0 0 0 ( ) 1( 1) 0 0 0 0 0 ( )0( 1) 0 0 0 0 0 ( )m mm m mn n nx k p x kx k p x kx k p x kx k p x kx k p x k+ + ++((( (((+ ((( ((( (((= + + ((( (((+ ((( ((( (((+ | |121 2 01( )11( )( )( ) ( ) ( )( )( )n mmnukx kx ky k c c c b uk x kx kx k+ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (= + ( ( ( ( ( (28) Metode untuk mendapatkan persamaan (28) dinamakan metode perluasan pecahan bagian (partial fraction expansion methode). Berikutinidiberikancontohmetodepenentuanbentukpersamaanruang keadaan waktu diskrit. Metode Penentuan Bentuk (Robertus Heri) __________________________________________________________________ 106 1. Misalkan diketahui suatu sistem dengan blok diagram seperti Gambar 3. Gambar 3. Blok diagramsistem kontrol Makapersamaankeadaandanpersamaankeluaransistemdapatditentukan sebagai berikut : { }3 1 3 2 2 3 12 31 23 1 2 2 1 3 0 33 1 2 2 1 3 0 1 3 2 2 3 13 3 0 1 2 2 0 2( 1) ( ) ( ) ( ) ( )( 1) ( )( 1) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( 1)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )x k uk a x k a x k a x kx k x kx k x ky k b x k b x k b x k b x kb x k b x k b x k b uk a x k a x k a x kb a b x k b a b x k+ = ++ =+ == + + + += + + + += + + +1 1 0 3 0( ) ( ) ( ) b a b x k b uk + Sehinggapersamaan keadaan dan persamaan outputnya adalah : 1 12 23 3 2 1 3( 1) 0 1 0 ( ) 0( 1) 0 0 1 ( ) 0 ( )( 1) ( ) 1x k x kx k x k u kx k a a a x k+(((( ((((+ = + (((( (((( + | |13 3 0 2 2 0 1 1 0 2 03( )( ) ( ) ( )( )x ky k b a b b a b b a b x k b u kx k ( (= + + ( ( y (k)z-1b3z-1z-1b0b2b1a3a2a1u(k) x3(k) x1(k) x2(k)++++++++++ JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, 97 - 109, Agustus 2003, ISSN : 1410-8518 __________________________________________________________________ 107 Gambar 4. Sistem kontrol waktu diskrit 2.Analogdengancontohpertama,bilasistemkontrolwaktudiskritditunjukkan olehGambar4,makarepresentasiruangkeadaannyadapatditentukandengan cara berikut: 1 11 1 112 2 3 3 1 31 11 12 2 1 2 2 21 1 1 2 (1 )( ) (1 ) (1 ) (1 )(1 )(1 ) 1 1

(1 ) ( 1) 2( 1) ( 1)Tse z zGz Z z Z z Z zs s s s zz z z zz z z z ( + | | | |= = = = ||(\ . \ . + + = = = + Karena ( )( )( )YzGzUz= , maka persamaan terakhit dapat ditulis: 21( ) ( ) ( )2( 1) ( 1)zYz Uz Uzz z= + Dengan menggunakan metode expansi pecahan parsial yang digunakan dalam pembuktianJordanCanonicalForm,diperolehbentukpersamaanruang keadaan:: | |1 12 212( 1) ( ) 1 1 1( )( 1) ( ) 0 1 1( )( ) 1 0.5( )x k x kukx k x kx ky kx k+((((= + ((((+ (= ( Blok diagram dari contoh kedua adalah : 1Tses21sToY(s)( ) Gz+Metode Penentuan Bentuk (Robertus Heri) __________________________________________________________________ 108 3.KETIDAKTUNGGALAN PERSAMAAN RUANG KEADAAN Bila diberikan suatu fungsi transfer dari keluaran ke masukan, representasi ruangkeadaantidaklahtunggal.Akanditunjukkanbahwauntuksuatufungsi transferyangdiberikandimungkinkanterdapatlebihdarisatupersamaanruang keadaan yang berbeda. Perhatikansistempersamaanseperti(2).Jikavektor( ) x k berdimensi sama dengan( ) x k , maka dapat dibuat hubungan antara keduanya sebagai berikut: ( ) ( ) x k Px k = (29) dimanaPmatriks non singular. Dengan substitusi persamaan (29) ke persamaan (2) dan mengalikan kedua ruas dari kiri dengan 1P diperoleh persamaan: ( 1) ( ) ( ) x k Gx k Hu k + = + (30) dengan 1 1 , G PGPH P H = =Analog dengan persamaan keadaan, untuk keluaran didapatkan persamaan baru : ( ) ( ) ( ) y k Cx k Du k = + (31) dengan , C CPD D = = . z-10.5z-1++++++-x2(k) x1(k) u(k)y(k)JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, 97 - 109, Agustus 2003, ISSN : 1410-8518 __________________________________________________________________ 109 Jadi telah ditunjukkan bahwa persamaan ruang keadaan yang diberikan persamaan (2) ekivalen dengan persamaan ruang keadaan persamaan(30) dan (31). 4.KESIMPULAN Dari pembahasan di atas dapat disimpulkan: 1.Pengetahuan tentang transformasi z sangat diperlukan dalam langkah-langkah pembuktianuntukmenentukanbentukperssamaanruangkeadaanwaktu diskrit. 2.Bentuk kanonik diagonal merupakan kasus kusus bentuk kanonik Jordan. 3.Vektorkeadaan( ) x k dan( ) x k dihubungkandenganrelasi(29).Karena matriksPadalahmatrikssebarangnxn,makaterdapattakberhingga banyaknya persamaan ruang keadaan untuk suatu sistem yang diberikan.JikadalampenerapannyadiinginkanbentukdiagonaldarimatrikskeadaanG , makadapatdipilihmatriksP sedemikiansehingga 1PGP=matriksdiagonal. JikatidakdimungkinkanuntukmendiagonalkanG ,maka 1PGPdapat ditransformasi menjadi bentuk kanonik Jordan. DAFTAR PUSTAKA 1.Katsuhiko Ogata, Discrete Time Control Systems, Prentice Hall Inc, 1995. 2.R.W.Brocket, Finite Dimensional Linear Systems, John Wiley and SonsInc, 1970.