Teori Graph 1

Struktur Diskrit

Teori Graph

Kuliah_11

Suryadi MT

Teori Graph 2

Kelahiran Teori Graph

Masalah Jembatan Konigsberg : ▪ Mulai dan berakhir pada tempat yang sama,

bagaimana caranya untuk melalui setiap jembatan tepat satu kali ?

1736: Leonhard Euler ▪ Basel, 1707-St. Petersburg, 1786▪ Mampu mengungkap misteri Jembatan Konigsberg

Kuliah_11

Teori Graph 3

Problem dan Model Graph

Kuliah_11

MASALAH

MODEL

ALGORITMA

IMPLEMENTASIPROGRAM

SOLUSI YANGDIHARAPKAN

An

alis

isA

nalis

is

Data

Teori Graph 4

Problem 1

Setiap minggu sekali, seorang petugas kantor telepon berkeliling untuk mengumpulkan koin pada telepon umum yang dipasang diberbagai tempat. Berangkat dari kantornya, ia mendatangi satu demi satu telepon umum tersebut, dan akhirnya kembali ke kantor lagi. Problem yang muncul adalah petugas tersebut menginginkan suatu rute perjalanan dengan waktu minimal ?

Kuliah_11

Teori Graph 5

Problem 2

Pada suatu persimpangan jalan yang ramai akan dipasang lampu lalu lintas (TL). Telah diatur bahwa jalan A, C, D, E, dan F satu arah serta jalan B adalah 2 arah. Perjalanan yang diperbolehkan adalah : A B A C A E B C B E D C D E F B F C F EProblemnya adalah bagaimana menentukan pola TL dengan jumlah fase minimal,dan pada setiap fase tidak ada perjalanan yang saling melintas ?

Kuliah_11

Teori Graph 6

Problem 3

Rute perjalanan dari kota A ke P dapat dilakukan dengan berbagai macam alternatif. Dari sekian banyak alternatif yang ada maka tentukanlah rute yang paling minimal untuk ditempuh (misalkan minimal dalam hal jarak tempuh/waktu tempuh) ?

Kuliah_11

Teori Graph 7

Model Graph

Jika kita lakukan analisis terhadap ketiga problem tadi, maka kita akan buatkan model persoalannya ke dalam model Graph.

Problem 1 pada model Graph dikenal dengan problem Travelling Salesman.

Problem 2 pada model Graph dikenal dengan problem Coloring Graph (pewarnaan Graph).

Problem 3 pada model Graph dikenal dengan problem Shortest Path.

Kuliah_11

Teori Graph 8

Pendahuluan

Definisi 1 : Suatu Graph G adalah koleksi atau pasangan

dari dua himpunan V dan E dengan V = V(G) = himpunan verteks atau simpul atau node. E = E(G) = himpunan edge atau ruas atau sisi.

Kuliah_11

Banyaknya simpul disebut order Banyaknya ruas dsiebut size (ukuran)

Teori Graph 9

Pendahuluan (Lanjutan)

Contoh 1 : V = {s, u, v, w, x, y, z} E = {(x,s), (x,v)1, (x,v)2,

(x,u), (v,w), (s,v), (s,u), (s,w), (s,y), (w,y), (u,y), (u,z),(y,z)}

Kuliah_11

Teori Graph 10

Edges

Edge merupakan pasangan tak terurut dari simpul. Misalkan edge e = (v,w) = (w,v).

Edge e dikatakan incident pada v dan w. Simpul terpencil (terisolasi) adalah suatu

simpul tanpa incident edges.

Kuliah_11

p

Teori Graph 11

Special edges Parallel edges

Dua ruas atau lebih yang mempunyai kedua simpul ujung yang sama. ▪ Graph disamping : ruas

(a,b) merupakan ruas paralel atau ruas sejajar.

Loops (self-loops) Suatu ruas yang kedua

simpul ujungnya sama. ▪ Graph disamping, ruas

(d,d) self-loops.Kuliah_11

Teori Graph 12

Special graphs

Simple graph (Graph sederhana) Suatu graph yang tidak

memiliki self-loops dan ruas sejajar.

Weighted graph (Graph berlabel / berbobot) Suatu graph yang setiap

ruasnya dikaitkan dengan besaran tertentu (“bobot”).

Kuliah_11

Teori Graph 13

Graph Berarah

G disebut graph berarah atau directed graph/ digraph jika setiap ruas merupakan pasangan terurut dari simpul. (dpl. Setiap ruasnya memiliki arah).

Kuliah_11

Teori Graph 14

Graph Similar

Problem: bagaimana mengelompokan objek-objek ke dalam klas yang similar berdasarkan pada variasi komponen objeknya.?

Contoh 2: Beberapa program komputer dari suatu algoritma

yang sama memiliki perbedaan komponen k = 1, 2 dan 3 yaitu :

K=1 banyaknya baris program K=2 banyaknya statemen “return” K=3 banyaknya pemanggilan function

Kuliah_11

Teori Graph 15

Graph Similar (Lanjutan)

Hasil perbandingannya yaitu :

Kuliah_11

Program # of lines # of “return” # of function calls

1 66 20 1

2 41 10 2

3 68 5 8

4 90 34 5

5 75 12 14

Teori Graph 16

Graph Similar (Lanjutan)

Pembuatan model Graphnya yaitu : V(G) adalah himpunan program {v1, v2, v3, v 4, v5 }.

Setiap simpul vi menyatakan (p1, p2, p3),

dengan pk adalah nilai dari komponen k = 1, 2, & 3

v1 = (66,20,1)

v2 = (41, 10, 2)

v3 = (68, 5, 8)

v4 = (90, 34, 5)

v5 = (75, 12, 14)

Kuliah_11

Teori Graph 17

Dissimilarity function

Definisi dissimilarity function adalah : Untuk setiap pasangan simpul v = (p1, p2, p3) dan w = (q1, q2, q3)

maka 3

s(v,w) = |pk – qk| = |p1 – q1|+ |p2 – q2|+ |p3 – q3| k = 1

s(v,w) dalah ukuran dari dissimilarity antara dua program v dan w.

Berdasarkan bilangan tetap N. Tambahkan ruas antara v dan w jika s(v,w) < N. Sehingga :

Kita katakan bahwa simpul v dan w berada pada kelas yang sama jika v = w atau terdapat jalur antara v dan w.

Kuliah_11

Teori Graph 18

Dissimilarity functions (Lanjutan) Misalkan N = 25. dan diketahui pula :

v1 = (66,20,1) v2 = (41, 10, 2) v3 = (68, 5, 8) v4 = (90, 34, 5) v5 = (75, 12, 14)

s(v1,v3) = 2+15+7 =24 buat ruasnyas(v3,v5) = 7+7+6 = 20 buat ruasnya dan semua yang lainnya s(vi,vj) > 25

Sehingga terdapat 3 kelas, yaitu :{v1,v3, v5}, {v2} and {v4}

Dan diperoleh Graphnya yaitu :

Kuliah_11

Teori Graph 19

Derajat Vertex

Derajat dari simpul v, dinotasikan dgn (v), adalah banyaknya ruas yang melalui v

Contoh : (a) = 4, (b) = 3, (c) = 4, (d) = 6, (e) = 4, (f) = 4, (g) = 3.

Kuliah_11

Teori Graph 20

Derajat pada Graph

Teorema: jika G suatu graph dengan m ruas dan n simpul maka jumlah derajat semua simpulnya adalah 2m.

n

(vi) = 2m i = 1

jumlah dari derajat semua simpul pada graph adalah genap.

Kuliah_11

Teori Graph 21

Graph Lengkap K n

Misalkan n > 3 Graph Lengkap (complete

graph) Kn adalah graph dengan n simpul dan setiap pasang simpulnya terhubung oleh satu ruas. Derajat setiap vertex sama

Contoh di samping merupakan Graph lengkap K5

Kuliah_11

Teori Graph 22

Graph Bipartisi

Graph bipartisi G adalah suatu graph sedemikian sehingga berlaku

V(G) = V(G1) V(G2)

|V(G1)| = m, |V(G2)| = n

V(G1) V(G2) = Tidak terdapat ruas

antara sembarang simpul pada subset V(Gk) yang sama; k = 1,2.

Kuliah_11

Teori Graph 23

Complete bipartite graph Km,n

Suatu graph bipartisi adalah graph bipartisi lengkap (Complete bipartite graph) Km,n jika setiap simpul pada V(G1) terhubung dengan simpul pada V(G2) dan sebaliknya,

|V(G1)| = m |V(G2)| = n

Kuliah_11

Teori Graph 24

Graph Terhubung

Suatu Graph dikatakan terhubung (Connected) jika setiap pasang dari simpul dapat dilalui dengan suatu jalur.

Setiap subgraph terhubung dari suatu graph tak terhubung G disebut component dari G

Kuliah_11

Teori Graph 25

Jalur dan Cycle

Suatu Jalur (Path) dengan panjang n adalah barisan dari n + 1 simpul dan n ruas secara berurutan. (v0, e1 , v1, e2 , v2, e3 , …, vn-1, en , vn)

Suatu Cycle adalah jalur dengan simpul awal dan simpul akhirnya sama.

Kuliah_11

Teori Graph 26

Jalur dan Cycle (Lanjutan)

Contoh : Diketahui suatu Graph G :

Jalur dari simpul 1 ke 5 : 1, 5 atau 1, 2, 5 atau 1, 2, 3, 4, 5 atau 1, 2, 3, 5, atau 1, 6, 5

Cycle dgn panjang 3 : 1, 2, 5, 1 atau 2, 3, 5, 5

Cycle dgn panjang 6 : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 1Kuliah_11

1 2 3

456

e1 e2

e3

e4e5

e6 e7

e8 e9

Teori Graph 27

Subgraph

Definisi : Misal G=(V,E) suatu Graph dan G’

=(V’,E’) disebut subgraph dari G jika : V’ V dan E’ E

Contoh: Diketahui graph G sebagai berikut :

Kuliah_11

a

b

c

esubgraph

Teori Graph 28

Perjalanan Euler

Sebuah perjalanan Euler (Euler cycle) pada graph G adalah sebuah cycle sederhana yang melalui setiap edge di G hanya sekali.

Problem jembatan Königsberg: Apakah memungkinkan untuk memulai dan

mengakhiri suatu perjalanan dari titik yang sama melalui ke 7 jembatan hanya sekali?

Problem dapat dinyatakan dengan sebuah graph

Edge menyatakan jembatan dan setiap vertex menyatakan daerah (region).

Kuliah_11

Teori Graph 29

Graph Euler

Sebuah graph G adalah graph Euler jika memiliki Euler cycle.

Teorema: G adalah Graph Euler jika dan hanya jika G terhubung dan semua vertex memiliki derajat genap.

Graph terhubung merepresentasikan

problem jembatan Königsberg. Graph tersebut bukan Graph Euler. Berarti problem jembatan Königsberg

tidak memiliki solusi.

Kuliah_11