EFISIENSI SIKLUS CARNOT UNTUK PERSAMAAN KEADAAN GAS SEMBARANG

Disusun oleh:

Paulus Cahyono Tjiang

Sylvia Hastuti Sutanto

LEMBAGA PENELITIAN DAN PENGABDIAN KEPADA MASYARAKAT

UNIVERSITAS KATOLIK PARAHYANGAN BANDUNG

2006

ll

Abstrak

Penurunan siklus Carnot dilakukan dengan melakukan perhitungan terhadap kalor

yang terlibat dalam dua proses isotermal dan menghubungkan kedua kalor tersebut de­

ngan dua proses adiabatik. Dalam semua buku teks fisika dasar maupun termodinamika,

penurunan efisiensi siklus Carnot melalui diagram p- V dilakukan dengan menggunakan

persamaan gas ideal. Beberapa usaha penurunan efisiensi siklus Carnot dengan menggu­

nakan persamaan gas lain telah dilakukan, seperti yang dilakukan oleh Agrawa.l et. al

dengan menggunakan gas van der Waals (Eur. J. Phys. 11, 88 - 90 (1990), namun untuk

beberapa persamaan keadaan gas tertentu seperti persamaan Redlich-Kwong, penurunan

efisiensi siklus mengalami masalah matematis yang cukup serius.

Penelitian ini hendak menganalisis dan memecahkan masalah matematis yang di­

alami dalam penurunan efisiensi siklus Carnot dengan menggunakan persamaan Redlich­

Kwong. Hasil yang diperoleh akan digunakan untuk menurunkan efisiensi siklus Carnot

bagi persamaan keadaan gas sembarang.

111

Daftar Isi

1 Pendahuluan 1

1.1 Latar Belakang Penelitian .

1.2 Perumusan Masalah . 2

1.3 Tujuan Penelitian .. 2

1.4 Langkah-langkah Penelitian 2

1.5 Metode Penelitian . 3

1.6 Batasan Istilah . . . • ! 3

1.7 Susunan Laporan Penelitian 4

2 Dasar-dasar Matematika dan Termodinamika 5

2.1 Diferensial Parsial dan Eksak dalam Termodinamika 5

2.2 Hubungan Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Hubungan-hubungan Umum Besaran-besaran Termodinamika 9

2.4 Hubungan Umum Proses Isotermal dan Adiabatik . . . . . . . IO

3 Efisiensi Siklus Carnot dengan Persamaan Keadaan Redlich-Kwong 11

~

4 Efisiensi Siklus Carnot dengan Persamaan Keadaan Gas Sembarang 15

5 Kesimpulan 17

Referensi 19

BAB 1

Pendahuluan

1.1 Latar Belakang Penelitian

Dalam buku-buku referensi tentang termodinamika, efi.siensi siklus Carnot

Tc rJ=l-TH'

I

( l. l)

dengan Tc dan TH masing-masing adalah temperatur rendah dan temperatur tinggi reser­

voir panas, tidak bergantung pada persamaan keadaan gas dan hal ini diturunkan melalui

siklus yang digambarkan dengan diagram temperatur - entropi (T - S). Namun untuk

penurunan efi.siensi Carnot melalui siklus terkait yang digambarkan oleh diagram tekanan

- volume (p- V), pengetahuan kita tentang persamaan keadaan gas sangatlah dibutuhkan.

Conteh yang sering digunakan di semua buku referensi tentang termodinamik~ adalah

penggunaan persamaan keadaan gas ideal unt.uk penurunan efi.siensi Carnot. Pa:da tahun

1990, D. C. Agrawal dan V. J. Menon [1] menunjukkan bahwa efisiensi siklus Carnot da­

pat diturunkan dengan persamaan keadaan gas van der Waals, namun mereka mengalami

kesulitan matematis saat menurunkan efi.siensi siklus Carnot dengan menggunakan per­

samaan keadaan Redlich-Kwong yang bentuk matematisnya lebih rumit daripada per­

samaan van der Waals. Penelitian terbaru yang dilakukan oleh S. Soegiarto [2] mengkon­

firmasi kesulitan yang dihadapi Agrawal dan Menon pada persarnaan keadaan Redlich­

Kwong, serta menemukan bahwa efi.siensi siklus Carnot dapat diturunkan melalui per­

samaan keadaan gas yang suku ke-duanya tidak memiliki kebergantungan terhadap tern­

peratur pada bagian penyebut.

1.2 Perumusan Masalah 2

1.2 Perumusan Masalah

Dari latar belakang di atas, masalah dalam penelitian ini dapat dirumuskan sebagai

berikut:

• Apakah kesulitan matematis yang dihadapi Agrawal et.al dan S. Soegiarto dalam

penggunaan persamaan keadaan Redlich - Kwong dapat diatasi sehingga efisiensi

siklus Carnot dapat diturunkan melalui diagram p - V ?

• Apakah untuk persamaan keadaan gas sembarang

p = p(V, T) (1 .2)

efisiensi siklus Carnot dapat diturunkan melalui diagram p - V ?

1.3 Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah sebagai berikut:

• Menjawab masalah yang dikemukakan oleh Agrawal et. al dan S . Soegiarto tentang

pemecahan persamaan-persaman yang diperoleh dalam penurunan efisiensi siklus

Carnot dengan menggunakan persamaan keadaan Redlich-Kwong.

• Hasil ini akan digunakan dalam perkuliahan Termodinamika untuk menunjukkan

bahwa efisiensi siklus Carnot dapat diperoleh melalui diagram p - V tanpa bergan­

tung pada bentuk matematis persamaan keadaan gas.

1.4 Langkah-langkah Penelitian

Langkah-langkah penelitian yang diambil untuk mencapai tujuan seperti yang terse­

but dalam subbab 1.3 adalah sebagai berikut :

• Kesulitan matematis yang timbul adalah masalah pemecahan persamaan yang berka­

itan dengan proses adiabatik dalam siklus Carnot, sepe~·ti yang ditemukan oleh <·

Agrawal et. al [ 1] dan S. Soegiarto [2]. Untuk itu, akan dicari cam pemecahan

persamaan adiabatik tersebut.

1.5 Metode Penelitian 3

• Jika pemecahan persamaan tersebut di atas diperoleh, akan diturunkan efisiensi

siklus Carnot untuk gas Redlich-Kwong dan membandingkannya dengan efisiensi

siklus Carnot (I. I).

• Akan diteliti apakah masalah yang sama seperti yang terjadi dengan persamaan gas

Redlich-Kwong terjadi pula pada persamaan gas sembarang (1.2).

• Jika masalah yang terjadi pada persamaan-persarnaan gas sembarang dapat disele­

saikan, akan diturunkan efisiensi siklus Carnot untuk gas sembarang tersebut dan

membandingkannya dengan efisiensi ( 1.1 ).

1.5 Metode Penelitian

Metode penelitian yang digunakan dalam lan'gkah-langkah penelitian seperti yang

tersebut dalam subbab 1.4 adalah sebagai berikut :

• Pengumpulan metode matematika yang dibutuhkan melalui studi pustaka.

• Pemberitukan persamaan isotermal dan adiabatik secara aljabar.

• Penyelesaian persamaan isotermal dan adiabatik melalui metode pemecahan per­

samaan diferensial.

• Penurunan efisiensi siklus Carnot dengan menggunakan solusi-solusi persamaan­

persamaan diferensial isotermal dan adiabatik.

1.6 Batasan Istilah

Beberapa istilah yang digunakan dalam penelitian ini adalah

• Efisiensi siklus Carnot.

• Diagram p - F .

• Hukum pertama termodinamika.

1.7 Susunan Laporan Penelitian 4

• Hubungan Maxwell .

• Hubungan umum besaran-besaran termodinamika.

• Proses isotermal.

• Proses adiabatik.

• Persamaan keadaaan Redlich-Kwong.

• Persamaan keadaan gas sembarang

1.7 Susunan Laporan Penelitian

Laporan penelitian ini disusun sebagai berikut : Bab 1 membahas secara garis be-I

sar hal-hal yang akan dilakukan dalam penelitian ini. Dilanjutkan dengan Bab 2 yang

membahas dasar-dasar matematika dan termodinamika yang digunakan dalam penelitian

ini. Bab 3 membahas tentang penurunan efisiensi siklus Carnot ( 1.1) dengan menggu­

nakan persamaan keadaan Redlich-Kwong. Bab 4 membahas penurunan efisiensi sik­

lus carnot ( 1.1) dengan menggunakan persamaan keadaan sembarang ( 1.2). Kesimpulan

penelitian ini diberikan dalam Bab 5.

5

BAB 2

Dasar-dasar Matematika dan

Termodinamika

Dalam bab ini akan dibahas dasar-dasar ma~ematika dan termodinamika yang akan

digunakan dalam penelitian ini .

2.1 Diferensial Parsial dan Eksak dalam Termodinamika

Dalam termodinamika, fungsi keadaan suatu sistem termodinamika dapat dinyatakan

dalam bentuk

f (p, V, T) = konstan, (2.1)

dimana p, V dan T adalah besaran-besaran fisis yang masing-masing menyatakan tekanan,

volume dan temperatur sistem tersebut. Dari Pers. (2.1 ), persamaan keadaan termodi­

namika dapat dinyatakan secara ekivalen sebagai berikut :

p

v T

p(V, T),

V(p, T),

T(p, V).

(2.2)

(2.3)

(2.4)

Jadi sebuah besaran termodinamika dapat dinyatakan sebagai fungsi dari dua besaran ' termodinamika lainnya.

Untuk itu, tinjaulah sebuah fungsi tiga variabel f (x, y, z) dimana x dan y adalah

2.1 Diferensial Parsial dan Eksak dalam Termodinamika 6

variabel-variabel bebas. Diferensial eksak df dapat dinyatakan sebagai

of of of dj ( x, y, z) = ~ dx + ~ dy + ~ dz,

ux uy uz (2.5)

dengan (?/-) , (?/- ) dan (?/-) adalah turunan parsial fungsi f (x, ·y, z) masing-x y, z Y x,z z x,y

masing terhadap x, y dan z .

Penerapan Pers. (2.5) terhadap persamaan keadaan (2.1) memberikan hasil

df(p, v, T) = (~~L.T dp + (:?) p,T dV + (;~) p,V dT. (2.6)

Dari Pers. (2.6), diperoleh beberapa hubungan sebagai berikut :

d = - (U)p,r dV - (U)p,v dT p ·(Qi ) (Qi)

f)p V,T l)p V,T ( op ) dV + ( op ) dT av r ar v

(2.7)

(Qi ) (!!L ) dV = - lJp V,T d - l)T p,V dT

( !!..f_) p ( !1..L ) av p,T av p,T

(aF) (av) op r dp + ar p dT (2.8)

(JlL ) (!!.1.) dT = - av p,T dV - ap v;r d

(EL ) (!ll) P 8T p,V 8T p,V

(2.9)

Dari Pers . (2.7) - (2.9), diperoleh hubungan antar diferensial parsial variabel-variabel fisis

sebagai berikut [3] :

1,

(2.10)

dengan x, y dan z adalah kombinasi variabel-variabel fisis p, V dan T.

Selanjutnya tinjaulah sebuah persamaan diferensial dalam bentuk sebagai berikut:

M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 (2.11)

Pers. (2.11) memiliki solusi umum g(x, y) = konstanjika persyaratan berikut dipenuhi [5]

(2.12)

2.2 Hubungan Maxwell 7

Jika hubungan (2.12) tidak dipenuhi untuk Pers. (2.11 ), maka untuk persamaan tersebut

selalu dapat diperoleh sebuahfactor integrasi µ(x, y) sedemikian hingga

µj\J(x, y) dx + µN(x, y) dy = 0

a (µ1\i!) o (µN) -oy ax (2 .13)

Sampai hari ini, belum terdapat prosedur yang baku dalam mencari factor integrasi µyang

sesuai untuk suatu persamaan diferensial dalam bentuk (2.11). Beberapa referensi, seperti

Ref. [6] hanya membahas tentang eksistensi faktor integrasi untuk suatu persamaan dife­

rensial orde pertama.

2.2 Hubungan Maxwell

Hukum ten'nodinamika pertama merupakan sebuah hubungan yang menyatakan hukum

kekekalan energi di dalam suatu sistem termodinamika. Secara matematis, hukum ini

dinyatakan dalam bentuk diferensial sebagai berikut:

dQ = dU+dW, (2.14)

dimana Q merupakan kalor yang terlibat dalam sistem, U merupakan energi dalam sis­

tem, dan W merupakan kerja yang dilakukan di dalam sistem. Kerja vV dapat dinyatakan

dalam variabel-variabel fisis sebagai

dW =pdV. . (2.15)

Dari besaran-besaran yang terdapat dalam Pers. (2.14), hanya energi dalam U yang tidak

bergantung pada jalannya proses termodinamika dan hanya bergantung pada keadaan

awal dan akhir proses tersebut. Oleh karena itu, kalor Q juga akan bergantung pada

jalannya proses termodinamika. Untuk itu, didefinisikanlah sebuah besaran dari besaran

Q yang tidak bergantung pada jalannya proses termodinamika sebagai

ds = dQ - T . (2.16)

S disebut sebagai entropi sistem dan besarnya hanya bergantung pada keadaan awal dan

akhir sistem seperti halnya pada energi dalam U. Jika Pers. (2.16) dimasukkan ke dalam

2.2 Hubungan Maxwell 8

Pers. (2 .14), maka diperoleh

dU = TdS - pdV ------+ U = U(S, V), (2.17)

yang berarti bahwa terdapat derajat kebebasan barn dalam sistem termodinamika, yaitu

entropy S. Dari Pers. (2.17), jelaslah bahwa

T,

-p, (2.18)

yang memberikan

(2.19)

berdasarkan sifat ke-eksak-an energi dalam U.

Dengan menggunakan transforrnasi Legendre [4], didefiniskanlah besaran-besaran

berikut :

H(p, S)

F(V, T)

G(P,T)

U(S, F) + pV,

U(S, F) - TS,

H(p, S) -TS,

(2.20)

(2.21)

(2.22)

dimana H(p, S), F(V, T) dan G(p, T) masing-masing adalah entalpi, fungsi Helmholtz

dan fungsi Gibbs. Diferensiasi Pers. (2.20) - (2.22) akan membawa kita pada hubungan-

hubungan berikut :

(: ), - (av ) (2.23) as ' p

(Z)., (~i ) T 1 (2.24)

(: ), - (~!t (2.25)

jika sifat ke-eksak-an entalpi, fungsi Helmholtz dan fungsi Gibbs hams dipenuhi. Pers. (2.19),

(2.23), (2.24) dan (2.25) dinamakan hubunga11-hub1mgan Maxwell [3, 7, 8).

2.3 Hubungan-hubungan Umum Besaran-besaran Termodinamika 9

2.3 Hubungan-hubungan Umum Besaran-besaran Termodi-

namika

Tinjaulah energi dalam U = U(\ ·, T). Maka

du = (au) dT + (au) dV OT v av r

= CvdT + (~~) T dV, (2.26)

dengan Cv sebagai kapasitas kalor pada volume tetap. Jika Pers. (2.26) dimasukkan ke

dalam Pers. (2.17), maka diperoleh

dS = ; dT + ~ [ ( ~~) T + pl dV. (2.27)

Tinjau pula S = S(V, T), maka

dS = (as) dT +(as) dV. ar v av r

(fJS) dT + (op) dV, fJT v aT v

(2.28)

dimana telah digunakan hubungan Maxwell (2.24). Dengan membandingkan Pers. (2.28)

dengan (2.27), maka diperoleh

(2.29)

(2.30)

Dengan mensubstitusikan Pers. (2.30) ke dalam Pers. (2.17), maka diperoleh

dU = CvdT + [r ( ;~) v - pl dV. (2.31)

Sifat ke-eksak-an energi dalam _U mensyaratkan bahwa hubungan

(acv) = T (82p) mi r ar2 ir

(2.32)

hams dipenuhi. Jelas bahwa Pers. (2.32) juga hams dipenuhi oleh Pers. (2 .28) untuk

menjamin ke-eksak-an entropi S. Pers. (2.32) memberikan informasi tentang kebergan­

twzgan kapasitas kalor Cv terhadap volume, suatu hal yang kemudian menjadi kendala

bagi Agrawal et. al [I] dan Soegiarto [2] dalam menurunkan efisiensi siklus Carnot ( 1.1)

untuk persamaan keadaan Redlich-Kwong.

2.4 Hubungan Umum Proses Isotermal dan Adiabatik 10

2.4 Hubungan Umum Proses Isotermal dan Adiabatik

Untuk proses isotermal, perubahan energi dalam ~istem diberikan oleh

(2.33)

berdasarkan Pers. (2.31 ). Dari hukum pertama termodinamika (2.14 ), kalor yang terlibat

dalam proses ini adalah

(2.34)

Untuk proses adiabatik, hukum pertama termodinamika (2.14) dan Pers. (2.31) mem­

berikan hubungan

(2.35)

Persamaan-persamaan (2.34) dan (2.35) akan digunakan untuk memperoleh efisiensi si-I

klus Carnot dengan menggunakan persamaan keadaan Redlich-Kwong, yang akan diba-

has dalam bab selanjutnya.

11

BAB 3

Efisiensi Siklus Carnot dengan

Persamaan Keadaan Redlich~Kwong

Persamaan keadaan Redlich-Kwong diberikan oleh

nRT n 2a p= V-b - T 112V(V + b) ' (3.1)

dimana n adalah jumlah mol gas, R ~ 8, 31 J mo1- 1 K- 1 adalah konstnnta gas, a dan b

adalah konstanta-konstanta yang diperoleh dari keadaan kritis gas [8]. Diagra11_1 indikator

siklus Carnot dalam grafik p - V diberikan oleh Gambar 3.1.

Dari Pers. (2.32), kebergantungan kapasitas kalor Cv terhadap volume diberikan oleh

(acv) av r 4T312 V(V + b)"

(3.2)

Dari Pers. (3.2), bentuk fungsional Cv dapat dituliskan sebagai

3n2a V + b Cv(V, T) = 4bT312 In --V- + J(T), (3.3)

dimana f (T) adalah fungsi sembarang yang bergantung hanya pada temperatur, karena

tidak terdapatnya informasi kebergantungan Cv terhadap temperatur melalui ( 887) v.

Kalor yang terlibat dalam proses ekspansi dan kompresi isotermal adalah

(3.4)

(3.5)

Tekanan p

Kompresi Adiabatik

Ekspansi isotermal pada temperatur TH

Kompresi isotermal pada temperatur Tc

.. Ekspansi Adiabatik

Volume V

Gambar 3.1: Diagram indikator siklus Carnot 1-2-3-4, dengan Tc <TH.

dimana telah digunakan Pers. (2.34) dan (3.1).

12

Untuk proses adiabatik, Pers. (2.35) membawa kita pada bentuk diferensial berikut

ini :

M(V,T) dT +

l\1(V, T)

N(V, T)

N(V, T) dV = 0,

3n2a V + b 4bT3/2 In ----V- + f (T),

nRT n2 a V - b + 2T112V (' . + b)'

(3.6)

(3.7)

(3.8)

Jelas bahwa Pers. (3.6) bukan bentuk diferensial eksak. Untuk itu diperlukan sebuah fak­

tor integrasi µ(V, T) yang dapat mengubah Pers. (3.6) menjadi diferensial eksak. Bentuk

faktor integrasi yang sesuai untuk Pers. (3 .6) ternyata sangat sederhana :

1 µ(V, T) -+ µ(T) = T .

Dengan rnengalikan faktor integrasi di atas pada Pers. (3.6), rnaka diperoleh

M(V,T) dT +

M(V,T)

N(V, T)

yang merniliki solusi umum

-··

N(V, T) dV = 0,

3n2a '! + b J(T) --In--+--4bT512 V T '

nR n 2a

V - b + 2T 312V (V + b) '

13

(3.9)

(3 .10)

(3 .11)

(3.12)

n2a V nRln(V - b) +

26T 312 ln V + b + g(T) =constant, (3.13)

dimana

g(T) = j J~) dT. (3.14)

Dengan menggunakan Pers. (3.13), hubungan antara keadaan 2 dan 3 yang dihubungkan

oleh ekspansi adiabatik adalah

n 2 a V nRin(Vi - b) + 312 In V

2 b + g(TJ.i)

2bTH 2 + n2a Vi

nRin(Vi - b) + 312 In V b + g(Tc) . 2bT0 3 +

(3.15)

Hubungan antara keadaan 4 dan 1 yang dihubungkan oleh kompresi adiabatik adalah

n2a Vi nRin(V1 - b) + 312 In V, b + g(TH)

2bT11 1 + r n2a V4

- nRin(,,4 - b) + . 312 In V: b + g(Tc). 2bTc 4 +

(3.16)

Pers. (3.15) dan (3 .16) masing-rnasing dapat dituliskan kernbali sebagai

g(TH) - g(Tc) = Vi - b n2a Vi

nR In 1'- b + 312 In \ . b 2 - 2bTc 3 +

n.2a In _Vi 2bT~Y'l V2 + b

(3.17)

14

dan

2

RI Vi - b 'fl.Cl l Vi n n + . n--

Vi - b 20Ti1 2 Vi + b g(TH) - g(Tc)

n2 a 1 '~1 - ------,- ln --2bT]/2 I· .t + b

(3.18)

Dengan menyamakan Pers. (3.17) dan (3.18) serta melakukan perhitungan aljabar, diper-

oleh hubungan berikut :

Vi-b n 2a Vi(V1+b) nRln V b -1- 3/2 ln v; (1.r b)

1 - 2bTH 1 v2 +

R 1 \13-b n2a

1 V3(V4+b)

n n + n . Vi - b 2bT~l2 V4 (Vi + b)

(3.19)

Dengan menggunakan Pers. (3.4), ·(3.5) dan hubungan adiabatik (3.19), efisiensi siklus

Carnot dapat dihitung sebagai berikut:

Tc --t l - TH. (3.20)

Jelas bahwa Pers. (3.20) adalah efisiensi yang sama dengan Pers. ( 1.1) dalam Bab 1.

15

BAB 4

Efisiensi Siklus Carnot dengan

Persamaan Keadaan Gas Sembarang

Keberhasilan dalam melakukan penurunan efisiensi siklus Carnot dengan persamaan

keadaan Redlich-Kwong dalam Bab 3 membuat kita mempertanyakan apakah efisiensi

yang sama dengan Pers. ( 1.1) dapat diturunkan melalui diagram p - V tanpa mengetahui

bentukfungsional persamaan keadaan gas, atau dengan kata lain apakah efisiensi siklus

Carnot dapat diturunkan melalui diagram p - V untuk sembarang persamaan keadaan

gas.

Tinjau persamaan keadaan gas sembarang dengan bentuk seperti pada pers. (2.2).

Dengan kebergantungan kapasitas kalor terhadap volume yang diberikan oleh Pers. (2.32),

bentuk fungsional kapasitas kalor Cv adalah

C.(V,T) . T j (:;,) /Y+ f(T), (4.1)

dengan f (T) adalah fungsi sembarang yang bergantung hanya pada temperatur.

Kita akan mengikuti aluir siklus Carnot seperti yang tertera pada Gambar 3.1. Dalam

proses isotermal, kalor yang terlibat dalam proses ekspansi isotermal dan kompresi isoter-

mal adalah

(: t dV =TH [F(V,, TH) - F(\!i, TH)],

(;~) v dV - Tc [F(V1, Tc) - F(Vi, Tc)],

dimana F(F, T) = J (~) \! dV.

(4.2)

(4.3)

16

Dalam proses adiabatik, jelas sekali bahwa Pers. (2.35) bukan merupakan sebuah

persamaan diferensial eksak. Namun dengan membandingkan persamaan ini dengan

Pers. (2.32), maka jelas bahwa Pers. (2.35) dapat menj~di persamaan diferensial eksak

apabila dikalikan dengan faktor integrasi yang sama dengan yang digunakan dalam Bab 3,

yaitu µ(V, T) = ~- Pers. (2.35) menjadi

Cv dT+ (op) dV = 0. T oT v

(4.4)

yang memiliki solusi umum

J ( ;~) v dV + g(T) =constant ----t F(V, T) + g(T) =constant, (4.5)

dengan g(T) = J 1)p dT adalah sebuah fungsi sembarang yang bergantung hanya pada

temperatur.Dengan menggunakan Pers. (4.5), hubungan antara keadaan 2 dan 3 melalui

'ekspansi adiabatik dan hubungan antara keadaan 4 dan I melalui kompresi adiabatik

masing-masing adalah

g(TH) - g(Tc)

g(TH) - g(Tc)

F(Vi, Tc) - F(Vz, TH),

F(%, Tc) - F(Vi, Tu).

Dengan menyamakan Pers. (4.6) dan (4.7) diperoleh

F(Vi, Tc) - F(%, Tc)= F(Vi, TH) - F(Vi, TH).

(4.6)

(4.7)

(4.8)

Efisiensi siklus Carnot dapat dihitung sebagai berikut dengan menggunakan Pers. (4.2),

( 4.3) dan ( 4.8) :

1 _ IQ3-t41 IQ1-12l

1 _ Tc IF(V,1,Tc) - F(V3, Tc)I ----t

1 _ Tc

THIF(Vi,Tn)- F(V1,TFT)I TH'

yang merupakan efisiensi yang sama dengan Pers. ( 1.1) dalam Bab 1.

(4.9)

17

BAB 5

Kesimpulan

Berdasarkan pada pembahasan dalam bab-bab sebelumnya, beberapa masalah yang

telah dirumuskan dalam Bab 1 dapat dijawab dengan penelitian ini sebagai berikut:

1. Dalam penelitian ini telah diturunkan efisiensi siklus Carnot dengan menggunakan

persamaan keadaan Redlich-Kwong dan persamaan keadaan gas umum. Keduanya

menunjukkan bahwa efisiensi yang dihasilkan sama dengan efisiensi (1.1) yang

diberikan dalam Bab 1.

2. Masalah perhitungan efi.siensi siklus Carnot dengan persamaan Redlich-Kwong

yang dihadapi Agrawal et. al dan Soegiarto berpusat pada cara penurunan hubung­

an adiabatik yang terlibat dalam siklus tersebut. Dalam penurunan hubungan adia­

batik yang dilakukan oleh Agrawal et. al dan Soegiarto, keduanya menyelesaikan

Pers. (2.35) dengan metode pemisahan variabel antara variabel-variabef V dan T.

Metode ini hanya dapat dilakukan jika jika k~pasitas kalor Cv merupakan fungsi

terhadap temperatur saja. Dengan menggunakan Pers. (2.32), jelaslah bahwa kapa­

sitas kalor yang hanya bergantung pada temperatur dapat diperoleh dari persamaan

keadaan gas yang dituliskan dalam bentuk

nRT p(V, T) = V _ b + f (V), (5.1)

seperti yang ditemukan oleh Soegiarto [2].

3. Dalam penurunan efisiensi siklus Carnot dengan menggunakan persamaan keadaan

gas umum, Agrawal et. al mengusulkan untuk melakukan ekspansi Taylor per-

18

samaan keadaan gas tersebut di sekitar keadaan 1. Dal am penelitian ini ditunjukkan

bahwa ekspansi semacam itu tidak diperlukan. Dengan memahami konsep entropi

sebagai sebuah kuantitas yang tidak bergantung pada proses termodinamika, maka

jelas bahwa persamaan umum adiabatik (2.35) dapat diselesaikan secara eksak den­

gan membuat dimensi kedua ruas Pers. (2.35) menjadi berdimensi entropi, yaitu

dengan mengalikan faktor integrasi µ(V, T) = ~, karena kedua ruas Pers. (2.35)

memiliki dimensi energi.

Jika dicermati secara mendalam, keberhasilan penurunan efisiensi siklus Carnot dalam

representasi diagram p- V yang memberikan hasil yang sama dengan Pers. ( 1.1) tidaklah

mengherankan. Hal ini disebabkan karena:

1. Penurunan hubungan-hubungan umum termodinamika dalam Bab 1 menggunakan

konsep entropi.

2. Dengan bantuan Pers. (4.2), (4.3) dan (4.8), dapat ditunjukkan bahwa proses penu­

runan dalam Bab 1.2 ekivalen dengan kondisi reversibilitas sistem tern10dinamika

yang diberikan oleh

(5.2)

dimana dalam hukum termodinamika ke dua, pernyataan Pers. (5.2) di atas ekivalen

dengan efisiensi ( 1.1) [3, 7, 8].

Cata tan

Hasil penelitian ini akan dipublikasikan dalam European Journal of Physics Vol. 27

No. 4 July 2006, sebuah jurnal fisika yang diterbitkan oleh Institute of Physics, Bristol -

United Kingdom.

19

Referensi

[I] D. C. Agrawal and V. J. Menon, Eur. J. Phys 11, 88 - 90 (1990).

[2] S. Soegiarto, Efisiensi Siklus Carnot untuk Beberapa Gas, skripsi S-1, Jurusan

Fisika - FMIPA, Universitas Katolik Parahyangan (2005).

[3] Zemansky, M. W. and Dittman, R. H., Heat and Thermodynamics, 6th Ed.,

McGraw-Hill, New York (1982).

[4] Goldstein, H., Classical Mechanics, 2nd Ed., Addison-Wesley, Massachusetts

(1980), p. 339.

[5] Boas, M. L., Mathematical Methods in the Physical Science, John Wiley & Sons,

[6] Sneddon, Ian, Elements of Partial Differential Equations, McGraw-Hill Book Co.,

New Delhi, 1964.

[7] Sears, F.W. and Salinger, G. L., Thermodynamics, Kinetic Theory and Statistical

Thermodynamics, 3rd Ed., Addison-Wesley Pub. Co., Manila (1975)

[8] Ward, K., Thermodynamics, 9th Ed., McGraw-Hill · Book Company, New York

(1977).