PERSAMAAN LINEAR DAN PERSAMAAN KUADRAT

Materi SMP Kelas VII

PETA KONSEP

MATERI

LATIHAN

PROFIL

Persamaan

Persaman Linear

Satu peubah

Dua peubah

Persamaan Kuadrat

Satu Peubah

Dua Peubah

Pangkat Tinggi

Eliminasi SubstitusiEliminasi

& Substitusi

1. Kuadrat biasa

2. Kuadrat tak lengkap

3. Kuadrat Murni

1. Rumus abc2. Faktorisasi

3. Kuadrat Sempurna

PETA KONSEP

PERSAMAAN LINEAR DAN PERSAMAAN KUADRAT

A. Pengertian Persamaan

Persamaan adalah kalimat yang terbuka yang menyatakan hubungan “sama dengan” (=). Sedangkan kalimat terbuka adalah suatu kalimat yang belum dapat dinyatakan benar atau salah.Contoh persamaan : a. 2x + 5 = 9b. 3x² - 2 = 0Pada persamaan 2x+5 = 9 ( x disebut peubah)Bila x diganti dengan suatu bilangan maka dapat diketahui apakah kalimat terbuka diatas merupakan suatu pernyataan yang benar atau salah

Bila x = 3 maka kalimat terbuka : 2x+5 = 9

menjadi: ( 2 x 3) + 5 = 9

6 + 5 = 9

Bila x = 2 maka kalimat terbuka : 2x+5 = 9

menjadi: ( 2 x 2 ) + 5 = 9

4 + 5 = 9

Jadi persamaan (kalimat terbuka) 2x + 5 =

9 akan menjadi suatu pernyataan yang benar bila

peubah x = 2.

HOME

1. Persamaan linear dengan satu peubah adalah suatu persamaan

yang memiliki satu peubah dan peubahnya berpangkat satu.

contohya : 8x – 9 = 15 peubahnya : x

2. Persamaan linear dengan dua peubah

persamaan linear dengan dua peubah adalah persamaan yang memiliki dua peubah dan pangkatnya satu.

Contoh : 3x + 2y = 7 peubahnya x dan y

Beberapa bentuk persamaan :

3. Persamaan kuadrat dengan satu peubah

persamaan kuadrat dengan satu peubah adalah

suatu persamaan yang memiliki satu peubah dan

peubahnya berpangkat dua.

contoh : 3x² + 3x = 15 peubahnya x

4. Persamaan kuadrat dengan dua peubah

persamaan kuadrat dengan dua peubah adalah suatu persamaan yang memiliki dua peubah dan masing-masing peubah berpangkat dua.

contohnya : 2x² + 3y²- 17 = 0 peubahnya x dan y

5. Persamaan pangkat tinggi

Persamaan pangkat tinggi adalah suatu persamaan yang peubahnya berpangkat ≥ 3.

contoh : x³ + 2x²- x - 5 = 0

Persamaan linear denga satu peubah adalah

persamaan yang peubahnya hanya satu dan berpangkat satu.

Bentuk umum : ax + b = c, a ≠ 0 dengan x sebagai peubah

dalil-dalil : 1. jika a = b maka a – c = b - c atau a + c = b + c

2. jika a = b maka = atau a x c = b x c untuk c > 0

jadi kedua ruas dalam suatu persamaan dapat ditambah,

dikurangi,dikali, dibagi dengan satu bilangan

Contohnya : 3x-8 =10 peubahnya : x

(3x - 8) + 8 = 10 + 8 kedua ruas ditambah 8

3x = 18

= kedua ruas dibagi 3

x = 6

B. PERSAMAAN LINEAR DENGAN SATU PEUBAH

Persamaan linear dengan dua peubah adalah

persamaan yang memiliki dua peubah dan pangkatnya

satu. Bentuk umum : ax + by = c dengan x dan y sebagai

peubah

Contohnya : Persamaan linear dengan dua peubah x + y =

3

Supaya persamaan x + y = 3 menjadi pernyataan (kalimat)

yang benar maka harus dipilih pengganti x kemudian

menentukan harga y sebagai pasangannya, dengan cara

berikut. Jika :

x = 0 maka 0 + y = 3 sehingga y = 3

x = 1 maka 1 + y = 3 sehingga y = 2

x = 2 maka 2 + y = 3 sehingga y = 1

x = 3 maka 3 + y = 3 sehingga y = 0, dan seterusnya.

C. PERSAMAAN LINEAR DENGAN DUA PEUBAH

HOME

Jadi persamaan x + y = 3 agar menjadi pernyataan yang benar

maka peubah x dan y harus diganti dengan bilangan yang

berpasang-pasangan, yakni : (0,3); (1,2); (2,1); (3,0); dan

seteruanya.

Dengan demikian, himpunan penyelasaian persamaan x + y =

3 adalah {0,3),(1,2),(2,1),(3,0),.....} Himpunna penyelesaian

adalah himpunan pengganti peubah utuk menyelesaikan

kalimat terbuka menjadi pernyataan yang benar.

HOME

D. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN DUA PEUBAH

Adalah suatu sistem

persamaan yang terdiri atas dua

persamaan linear, setiap persamaan

mempunyai dua peubah.

Bentuk umum : ax + by = cpx + qy = c

contoh : 3x + y = 10x + y = 6

Untuk kedua persamaan diatas maka harus ditentukan pasangan-pasangan pengganti peubah x dan y. Penyelesaian sistem persamaan linear dengan dua peubah dapat dilakukan dengan dua metode, yaitu :

1. Metode substitusi yaitu menggantikan salah satu variabel dengan variabel dari persamaan yang kedua.

Contohnya : 3x + y = 10...................(1)

x + y = 6........................(2)

1). 3x + y = 10 y = 10 – 3x

2). x + y = 6 disubsitusikan y = 10 – 3x menjadi :

x + (10 - 3x ) = 6 x – 3x = 6 – 10

-2x = -4

x = 2

3). subsitusikan x = 2 ke salah satu persamaan, misalnya kepersamaan x + y = 6, maka :

2 + y = 6 y = 6 – 2 = 4

jadi harga x dan y yang memenuhi sistem persamaan di atas adalah x = 2 dan y = 4

.

HOME

2. Metode eliminasi yaitu menghilangkan salah satu peubah.

Contohnya : 3x + y = 10

x + y = 6

eliminasi (menghilangkan x)

3x + y = 10 | x1 | 3x + y = 10

x + y = 6 | x3 | 3x + 3y =18

-2y = -8

y = 4

E. Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang pangkat tertinggi dari peubahnya adalah 2.

Bentuk umum persamaan kuadrat :

Dengan : a = 0

x = peubah dengan pangkat paling tinggi 2 .

Jika :

a = 1 maka persamaan kuadrat biasa

b = 0 maka persamaan kuadrat murni

c = 0 maka persamaan kuadrat tak lengkap

𝑎𝑥 2+𝑏𝑥+𝑐=0

1. Penyelesaian persamaan kuadrat dengan rumus abc

Rumus abc

X1,2 =

X1 =

X2 =

Dengan :

a = koefisien

b = koefisien x

c = konstanta

a. Contoh untuk persamaan kuadrat biasa

Harga X1 dan X2 yang memenuhi persamaan - 10x + 16 = 0 adalah Penyelesaian dengan rumus abc :

X1,2 =

Dengan a = 1 b = 10 dan c = 16, maka :

X1,2 = = =

X1,2 = ↔ X1 = = 8, X2 = = 2

Jadi harga-harga x yang memenuhi persamaan kuadrat - 10x + 16 = 0 adalah X1 = 8 dan X2 = 2.

Himpunan penyelesaianyan {8,2}

HOME

b. Contoh persamaan kuadrat tak lengkap

Harga X1 dan X2 yang memenuhi persamaan 5 - 15x = 0

Penyelesaian dengan rumus abc : X1,2 = Dengan a = 5 b = -15 dan c = 0, maka :

X1,2 = = =

X1 = = 3 X2 = = 0

Jadi harga-harga x yang memenuhi persamaan kuadrat 5 - 15x = 0 adalah 3 dan 0.Himpunan penyelesaian = {3,0}

c. Contoh untuk persamaan kuadrat murni

Harga X1 dan X2 yang memenuhi persamaan 3 - 27 = 0

Penyelesaian dengan rumus abc :

X1,2 =

Dengan a = 3 b = 0 dan c = -27, maka :

X1,2 = = = =

X1 = 3 X2 = -3

Jadi harga-harga x yang memenuhi persamaan kuadrat

3 - 27 = 0 adalah 3 dan -3

Himpunan penyelesaian = {3,-3}

2. Penyelesaian persamaan kuadrat dengan faktorisasi

a. Untuk persaman kudrat biasa

Tentukan harga X1 dan X2 yang memenuhi persamaan

2 - 5x + 3 = 0

Penyelesaian dengan cara memfaktorkan :

2 - 5x + 3 = 0 ↔ 2 - 5x + 3 = 0

↔ (2-2x) – (3x – 3) = 0

↔ 2x (x - 1) – 3 (x-1) = 0

↔ (2x - 3) (x - 1) = 0

maka : 2x – 3 = 0 X1 = = 1,5

x – 1 = 0 X2 = 1

b. Untuk persamaan kuadrat tak lengkap secara umum

x (ax + b) = 0

X = 0 atau ax + b = 0

ax = -b

x = -

Tentukan harga X1 dan X2 yang memenuhi persamaan 5 - 15x = 0

Penyelesaian dengan cara memfaktorkan :

5 - 15x = 0

x (5x-15) = 0

x = 0 X1 = 0

5x -15 = 0

x = X2 = 3

c. Untuk persamaan kuadrat murni

Secara umum :

= 0 ( x + ) = 0

X1 = = +

Tentukan harga X1 dan X2 yang memenuhi persamaan 3 - 27= 0

3 - 27= 0

3 - 27 = 0 ↔

↔

↔ ( x -3 ) ( x + 3 ) = 0

X1= 3 dan X2 = -3

home

3. Penyelesaian persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat

a

=

x + = 0

x = -

x + = - +

Dan seterusnya, yang akhirnya di dapat rumus abc

HOME

1. Himpunan Penyelesaian dari + 6x – 8 = 0 adalah…

A. {-1,-4}

B. {-1,4}

C. {1, -4}

D. {1,4}

Pembahasan:

+ 6x – 8= 0 |x | + 4x – x – 4 = 0

( + 4x) – (x + 4) = 0

x(x + 4) – 1 (x + 4) = 0 (x - 1) (x + 4) = 0

x – 1 = 0 , x = 1

x + 4 = 0 , x = -4

Jadi himpunan penyelesaian dari + 6x – 8 = 0 adalah {-1,4}

2. Pemfaktoran dari – 4x – 12 = 0 adalah …

Pembahasan:

– 4x – 12 = 0, a = 1, b = -4, dan c = - 12

X1,2 = =

= = =

= = - 2 ; = = 6

Jadi pemfaktorran dari – 4x – 12

adalah (x – 6)(x + 2)

HOME

3. Harga 4 buah buku dan 3 buah pensil adalah Rp. 2.500,00. Sedangkan harga 2 buah buku dan 7 buah pensil Rp. 2.900,00. Harga 2 lusin buku dan 4 lusin pensil adalah …

Penyelesaian :

Misalkan harga 1 buah buku = x dan harga 1 buah pensil = y, maka persamaanya menjadi :

4x + 3y = 2500 x 1

4x + 7y = 2900 x 2 8X + 14y = 5800 -

-11y = - 330

y = 330

Dari persamaan 1 :

4x + 3y = 2.500 di substitusikan y= 300 menjadi : 4x + 3(3x300) = 2500

4x = 2500 -900 = 1.600

= 400

Jadi harga 1 buah buku = Rp. 400,00 dan harga 1 buah pensil = Rp. 300,00

Harga 2 lusin buku = 2 x 12 x rp. 400,00 = Rp. 9.600,00

Harga 4 lusin pensil = 4 x 12 x Rp. 300,00 = Rp. 14.400,00

Jadi harga 2 lusin buku dan 4 lusin pensil = Rp. 9.600,00 + Rp. 14.400.00