Post on 08-Apr-2018
8/7/2019 limit fungsi kel.6
1/11
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur kami haturkan kepada Tuhan yang Maha Esa karna berkat dan
rahmatnyalah kami dapat menyelesaikan makalah ini dengan baik. Kami juga tidak lupa
berterimakasih kepada ibu Sarma sebagai dosen matematika kami. Di dalam makalah kami ini
kami akan membahas Limit.
Konsep limit dirasakan sebagai salah satu dari hal yang paling menyusahkan di dalam
matematika. Rupanya idea mendekati suatu titik atau nilai yagn ditentukan sangat dekat tetapi
masih tidak pernah mencapai titik atau nilai tersebut merupakan hal yang secara intutif tidak
menarik. Namun sesungguhnya konsep-konsep dalam bentuk limit digunakan sangat sering baik
dalam pemikiran yang non matematis maupun dalam pembicaraan. Misalnya, produksi
maximum teoritis dari sebuah mesin adalah suatu limit ia merupakan suatu penampilan ideal
(batas) yang dalam prakteknya tidak pernah dicapai tetapi yang dapat didekati sedekat mungkin.
Gagasan yang sama diterapkan terhadap penampilan banyak perlengkapan mekanis dan
elektronik terhadap mana insinyur mengkalkulasi suatu penampilan ideal batas. Hal ini
diterapkan juga, misalnya terhadap profit dalam keadaan yang ideal, jarak mil bensin dalam
kondisi dan operasiyang ideal dan sebagainya. Hal yang sama ada juga batas bawah dari biaya,
pemborosan umur kerusakan dan sebagainya. Konsep matematis tentang limit adalah mendasar
untuk dapat memahami kalkus diferensial dan di jelaskan secara rinci di bawah sifat-sifat limit
juga diberikan. Sifat-sifat ini juga digunakan pada seksi berikutnya terhadap bentuk rangkai dan
bentuk yang tidak tertentu.
Tentu saja makalah kami ini masih masih sanggat jauh dari sempurna jadi kami
mengharapkan kritik dan saran dari pembaca untuk menyempurnakan makalah kami ini agar
dapat bermanfaat bagi kita semua.
Pontianak, November 2010
Penulis
8/7/2019 limit fungsi kel.6
2/11
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ............................................................................................................... i
DAFTAR ISI .............................................................................................................................. iiBAB I PENDAHULUAN ........................................................................................................... 1
BAB II PEMBAHASAN ............................................................................................................. 2
A. LIMIT FUNGSI ALJABAR ....................................................................................... 2
1. Pengertian Limit Fungsi Secara Intuitif ............................................................... 2
2. Menentukan Limit Fungsi Aljabar Bila
Variabelnya Mendekati Nilai Tertentu ................................................................. 2
3. Menentukan Limit Fungsi Aljabar Bila
Variabelnya Mendekati Tak Berhingga ................................................................ 5
B. TEOREMA LIMIT ...................................................................................................... 7
C. LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI ........................................................................... 8
8/7/2019 limit fungsi kel.6
3/11
BAB IPENDAHULUAN
Didefinisikan sebagai berikut
untuk sebarang bilangan real ( dibaca epsilon) maka terdapat bilangan real ( dibaca delta) dimana
yang berakibat
atau dalam bahas simbol ditulis
Apa maksud dari definisi tersebut? Apa maksud dari adalah limit fungsi di .
Suatu fungsi di dikatakan mempunyai limit di jika memenuhi hal-hal sebagai berikut
1. Untuk sebarang bilangan real positif , sebarang artinya kita bebas memilih bilanganreal positif kita bisa memilih atau , terserah kita.Kemudian bentuk interfal jelas . Interval kita namakanhimpunan persekitaran
2. Ada bilangan real postif yang akan membentuk interfal himpunan persekitaran
3. Untuk semua (dengan kata lain jarak dengan kurang dari atau) yang berakibat (dengan kata lain jarak dengan kurang dari
atau ) ( note : )
Jadi untuk menunjukan adalah limit fungsi di . Pertama-tama bentuk intervaltidak peduli berapa panjang atau pendeknya interval tersebut. Apakah ada
bilangan real postif yang akan membentuk interval yang memuatdidalamnya ( ) sedemikian hingga ? Jika jawabannya ya, maka benar adalahlimit fungsi di .
8/7/2019 limit fungsi kel.6
4/11
BAB II
PEMBAHASAN
A. LIMIT FUNGSI ALJABAR
1. Pengertian Limit Fungsi Secara Intuitif
Limit dapat digunakan untuk menjelaskan pengaruh variabel fungsi yang bergerak mendekati
suatu titik terhadap fungsi tersebut. Untuk dapat memahami pengertian limit secara intuitif,
perhatikanlah contoh berikut:
Fungsi f di definisikan sebagai f (x) =
Jika variabel x diganti dengan 2, maka f(x) = (tidak dapat ditemukan)
Untuk itu perhatikanlah tabel berikut :
x 0 1,1 1,5 1,9 1,99
9
2.00
0
2,00
1
2,0
1
2,5 2,7
f(x) 1 2,1 2,5 2,9 2,99
9
??? 3,00
1
3,0
1
3,5 3,7
Dari uraian tersebut dapat disimpulkan bahwa f (x) =2
22
x x x : mendekati 3. jika x
mendekati 2, baik didekati dari sebelah kiri (disebut limit kiri) maupun di dekati dari sebelah
kanan (disebut limit kanan). Dapat ditulis : 32
2lim
2
2=
x
x x x
2. Menentukan Limit Fungsi Aljabar Bila Variabelnya Mendekati Nilai Tertentu
Menentukan limit dengan cara diatas tidaklah efisien. Untuk mengatasinya, kita dapat
menentukan nilai limit suatu fungsi dengan beberapa cara, yaitu:
1. Subtitusi
Perhatikanlah contoh berikut!
Contoh:
Tentukan nilai ( )8lim 23
x x
!
Penyelesaian :
Nilai limit dari fungsi f(x) = x 2 8 dapat kita ketahui secara langsung, yaitu dengan cara
mensubtitusikan x =3 ke f(x)
8/7/2019 limit fungsi kel.6
5/11
8lim 23
x x 8983
2 ==
1=
Artinya bilamana x dekat 3 maka x 2 8 dekat pada 3 2 8 =9 8 = 1 Dengan ketentuan
sebagai berikut:
1. Jika f (a) = c, maka a x f a x = )(lim
2. Jika f (a) =0c
, maka ~)(lim = x f a x
3. Jika f (a) = c0
, maka 0)(lim = x f a x
2. Pemfaktoran
Cara ini digunakan ketika fungsi-fungsi tersebut bisa difaktorkan sehingga tidak
menghasilkan nilai tak terdefinisi.
Perhatikanlah contoh berikut!
Contoh:
Tentukan nilai39
lim2
3
x x
x!
Jika x = 3 kita subtitusikan maka f (3) =00
3393 2
=
.
Kita telah mengetahui bahwa semua bilangan yang dibagi dengan 0 tidak terdefinisi. Ini
berarti untuk menentukan nilai3
9lim
2
3
x
x x
, kita harus mencari fungsi yang baru sehingga tidak
terjadi pembagian dengan nol. Untuk menentukan fungsi yang baru itu, kita tinggal
menfaktorkan fungsi f (x) sehingga menjadi:
( )( )( )
( ).33
33 +=+
x x
x x 1
33 =
x x
Jadi,39
lim2
3
x x
x=
( )( )( )3
33lim
3 +
x x x
x
= ( )3lim3 + x x
= 3 + 3 = 6
3. Merasionalkan Penyebut
Cara yang ke-tiga ini digunakan apabila penyebutnya berbentuk akar yang perlu
dirasionalkan, sehingga tidak terjadi pembagian angka 0 dengan 0.
8/7/2019 limit fungsi kel.6
6/11
Perhatikanlah contoh berikut!
Contoh:
Tentukan nilai2
23lim
2
2
+
x x x
x!
Penyelesaian:
223
lim2
2
+
x x x
x=
223
lim2
2
+
x x x
x 22
.
x
x
= ( )( )( )22
2 2223lim
+ x x x x
x
=( )( )( )
( )2221
lim2
x x x x
x
= ( ) 21lim2
x x x
= ( ) 22.12
= 1 . 0
= 0
4. Merasionalkan Pembilang
Perhatikanlah contoh berikut!
Contoh:
Tentukan nilai1
3423lim
1
x x x
x!
Penyelesaian:
13423
lim1
x x x
x
=1
3423lim
1
x x x
x.
34233423
+
+
x x x x
=( ) ( )
( )( )342313423
lim22
1 +
x x x x x
x
= ( )( )342311
lim1 +
+ x x x
x x
=( )
( )( )342311
lim1 +
x x x
x x
8/7/2019 limit fungsi kel.6
7/11
=3423
1lim
1 +
x x x
=31.421.3
1+
=11
1+
=11
1+
=
21
3. Menentukan Limit Fungsi Aljabar Bila Variabelnya Mendekati Tak Berhingga
Bentuk limit fungsi aljabar yang variabelnya mendekati tak berhingga,diantaranya:
)()(
lim~ x g
x f x
dan [ ])()(lim~ x g x f x
Untuk menentukan nilai limit dari bentuk-bentuk tersebut, dapat dilakukan cara-cara sebagai berikut:
1. Membagi dengan pangkat tertinggi
Cara ini digunakan untuk mencari nilai )()(
lim~ x g
x f x
. Caranya dengan membagi f(x) dan g(x)
dengan pangkat yang tertinggi dari n yang terdapat pada f(x ) atau g (x).
Contoh:
Tentukan nilai limit dari:
a.1214
lim~ +
x x
xb.
x x x
x
+
2~
14lim
Penyelesaian:
a. untuk menentukan nilai dari1214
lim~ +
x x
xperhatikan pangkat tertinggi dari x pada
f (x ) = 4x1 dan g(x) = 2x + 1. ternyata pangkat tertinggi dari x adalah satu.
1214
lim~ +
x x
x=
x x x
x x x
x 12
14
lim~
+
=
x
x x 1
2
14
lim~
+
=
~1
2
~1
4
+
=0204
+
=
2
4= 2
8/7/2019 limit fungsi kel.6
8/11
b. Perhatikan fungsi h (x) =214
2
+
x x
! Fungsi tersebut memiliki x dengan pangkat
tertinggi 2, yaitu x 2 yang terdapat pada x 2 2. jadi, untuk menentukan nilai x x
x x
+
2~
14lim maka
fungsi 4x + 1 dan x 2 2 harus dibagi dengan x 2 .
x x x
x
+
2~
14lim =
22
2
22
~ 2
14
lim
x x x
x x x
x
+
=
2
2
~ 21
14
lim
x
x x x
+
=2
2
(~)2
1
(~)1
~4
+
=0100
+
=10
= 0
2. Mengalikan dengan faktor lawan
Cara ini digunakan untuk menyelesaikan [ ])()(lim~ x g x f x . Jika kita dimitai
menyelesaikan [ ])()(lim~ x g x f x maka kita harus mengalikan [f (x) + g (x)] dengan
(x)]g(x)[f (x)]g(x)[f
sehingga bentuknya menjadi:
[ ])()(lim~
x g x f x
. (x)]g(x)[f
(x)]g(x)[f
={ }
(x)g(x)f (x)][g(x)][f
lim22
~
xataupun sebaliknya.
Contoh:
Tentukan nilai dari x x x x x
++
22
~2lim
Penyelesaian:
x x x x x
++
22
~2lim
= x x x x x
++
22
~2lim .
x x x x
x x x x
++
++22
22
2
2
8/7/2019 limit fungsi kel.6
9/11
=( ) ( )
x x x x
x x x ++
++
22
22
~ 2
12lim
= x x x x
x x
++ 22~
2
3lim
=
22
2
22
2~ 2
3
lim
x x
x x
x x
x x
x x
x
++
=0101
3++
=23
B. TEOREMA LIMIT
Teorema limit yang akan disajikan berikut ini yang sangat berguna dalam menangani hampir
semua masalah limit. Misalkan n bilangan bulat positif, k sebuah konstanta dan f, g adalah
fungsi-fungsi yang mempunyai limit di a maka:
1. k k a x =
lim
2. a xa x=
lim
3. k a x
lim f (x) = k a x lim f (x)
4.a x
lim [f (x) g (x)] = a xlim f (x) a xlim g (x)
5.a x
lim v [f (x) . g (x)] = a x lim f (x) . a xlim g (x)
6.)(lim
)(lim
)(
)(lim
x g
x f
x g
x f
a x
a x
a x
=
, dimana a xlim
g(x) 0
7.a x
lim [f (x) ] n = [ a xlim f (x)]n
8. na x
n
a x x f x f )(lim)(lim
= dimana
a x lim f (x) 0 untuk n bilangan genap
a x lim
f (x) 0 untuk n bilangan ganjil
Contoh:
Carilah a. ( ) x x x
2
43lim ! b.
x x
x 29
lim2
3
+
8/7/2019 limit fungsi kel.6
10/11
Penyelesaian:
a. x x x
2
43lim = x x
x x 4
2
4lim3lim
(teorema 4)
= 3 x x x x 4
2
4limlim
(teorema 3)
= 3 x x x x 4
2
4limlim
(teorema 7)
= 3. (4) 2 4 (teorema 2)
= 3. 16 4 = 44
b. x
x x 2
9lim
2
3
+
= x
x
x
x
2lim
9lim
3
2
3
+
(teorema 6)
= x
x
x
x
3
2
3
lim2
)9(lim
+
(teorema 8 dan 3)
= x
x
x
x x
3
3
2
3
lim2
9limlim
+
(teorema 4)
= x
x
x
x x
3
3
2
3
lim2
9lim)lim(
+
(teorema 7)
=3.2
93 2 + (teorema 1 dan 2)
=618 = 2
63
= 221
C. LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
Rumus limit fungsi trigonometri:
a. Limit fungsi sinus
1.1
sinlim
0
= x
x x
2. 1sin
lim0
= x
x x
3. 1sin
lim0
= ax
ax x
ba
bxax
x=
sinlim
0
4. 1sin
lim0
= ax
ax x
ba
bxax
x=
sinlim
0
8/7/2019 limit fungsi kel.6
11/11
b. Limit fungsi tangens
1. 1tan
lim0
= x
x x
2. 1tan
lim0
=
x
x
x
3. 1tan
lim0
= ax
ax x
ba
bxax
x=
tanlim
0
4. 1tan
lim0
= ax
ax x
ba
bxax
x=
tanlim
0
Contoh:
Hitunglah nilai limit fungsi-fungsi trigonometri berikut!
a. x
x x 2
3sinlim
0 b.
x x
x 2sin5sin
lim0
Penyelesaian:
a. x
x x 2
3sinlim
0=
x x
x x
x 23
.3
3sinlim
0
= x x
x x
x x 23
lim.33sin
lim 00
= 1 .23
=23
b. x x
x 2sin5sin
lim0
= x x
x x
x x
x 25
.2sin
2.
55sin
lim0
= x x
x x
x x
x x x 25
lim.2sin
2lim.
55sin
lim000
= 1. 1 .25
=25