limit fungsi kel.6

8/7/2019 limit fungsi kel.6

1/11

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur kami haturkan kepada Tuhan yang Maha Esa karna berkat dan

rahmatnyalah kami dapat menyelesaikan makalah ini dengan baik. Kami juga tidak lupa

berterimakasih kepada ibu Sarma sebagai dosen matematika kami. Di dalam makalah kami ini

kami akan membahas Limit.

Konsep limit dirasakan sebagai salah satu dari hal yang paling menyusahkan di dalam

matematika. Rupanya idea mendekati suatu titik atau nilai yagn ditentukan sangat dekat tetapi

masih tidak pernah mencapai titik atau nilai tersebut merupakan hal yang secara intutif tidak

menarik. Namun sesungguhnya konsep-konsep dalam bentuk limit digunakan sangat sering baik

dalam pemikiran yang non matematis maupun dalam pembicaraan. Misalnya, produksi

maximum teoritis dari sebuah mesin adalah suatu limit ia merupakan suatu penampilan ideal

(batas) yang dalam prakteknya tidak pernah dicapai tetapi yang dapat didekati sedekat mungkin.

Gagasan yang sama diterapkan terhadap penampilan banyak perlengkapan mekanis dan

elektronik terhadap mana insinyur mengkalkulasi suatu penampilan ideal batas. Hal ini

diterapkan juga, misalnya terhadap profit dalam keadaan yang ideal, jarak mil bensin dalam

kondisi dan operasiyang ideal dan sebagainya. Hal yang sama ada juga batas bawah dari biaya,

pemborosan umur kerusakan dan sebagainya. Konsep matematis tentang limit adalah mendasar

untuk dapat memahami kalkus diferensial dan di jelaskan secara rinci di bawah sifat-sifat limit

juga diberikan. Sifat-sifat ini juga digunakan pada seksi berikutnya terhadap bentuk rangkai dan

bentuk yang tidak tertentu.

Tentu saja makalah kami ini masih masih sanggat jauh dari sempurna jadi kami

mengharapkan kritik dan saran dari pembaca untuk menyempurnakan makalah kami ini agar

dapat bermanfaat bagi kita semua.

Pontianak, November 2010

Penulis


2/11

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ............................................................................................................... i

DAFTAR ISI .............................................................................................................................. iiBAB I PENDAHULUAN ........................................................................................................... 1

BAB II PEMBAHASAN ............................................................................................................. 2

A. LIMIT FUNGSI ALJABAR ....................................................................................... 2

1. Pengertian Limit Fungsi Secara Intuitif ............................................................... 2

2. Menentukan Limit Fungsi Aljabar Bila

Variabelnya Mendekati Nilai Tertentu ................................................................. 2

3. Menentukan Limit Fungsi Aljabar Bila

Variabelnya Mendekati Tak Berhingga ................................................................ 5

B. TEOREMA LIMIT ...................................................................................................... 7

C. LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI ........................................................................... 8


3/11

BAB IPENDAHULUAN

Didefinisikan sebagai berikut

untuk sebarang bilangan real ( dibaca epsilon) maka terdapat bilangan real ( dibaca delta) dimana

yang berakibat

atau dalam bahas simbol ditulis

Apa maksud dari definisi tersebut? Apa maksud dari adalah limit fungsi di .

Suatu fungsi di dikatakan mempunyai limit di jika memenuhi hal-hal sebagai berikut

1. Untuk sebarang bilangan real positif , sebarang artinya kita bebas memilih bilanganreal positif kita bisa memilih atau , terserah kita.Kemudian bentuk interfal jelas . Interval kita namakanhimpunan persekitaran

2. Ada bilangan real postif yang akan membentuk interfal himpunan persekitaran

3. Untuk semua (dengan kata lain jarak dengan kurang dari atau) yang berakibat (dengan kata lain jarak dengan kurang dari

atau ) ( note : )

Jadi untuk menunjukan adalah limit fungsi di . Pertama-tama bentuk intervaltidak peduli berapa panjang atau pendeknya interval tersebut. Apakah ada

bilangan real postif yang akan membentuk interval yang memuatdidalamnya ( ) sedemikian hingga ? Jika jawabannya ya, maka benar adalahlimit fungsi di .


4/11

BAB II

PEMBAHASAN

A. LIMIT FUNGSI ALJABAR

1. Pengertian Limit Fungsi Secara Intuitif

Limit dapat digunakan untuk menjelaskan pengaruh variabel fungsi yang bergerak mendekati

suatu titik terhadap fungsi tersebut. Untuk dapat memahami pengertian limit secara intuitif,

perhatikanlah contoh berikut:

Fungsi f di definisikan sebagai f (x) =

Jika variabel x diganti dengan 2, maka f(x) = (tidak dapat ditemukan)

Untuk itu perhatikanlah tabel berikut :

x 0 1,1 1,5 1,9 1,99

9

2.00

0

2,00

1

2,0

1

2,5 2,7

f(x) 1 2,1 2,5 2,9 2,99

9

??? 3,00

1

3,0

1

3,5 3,7

Dari uraian tersebut dapat disimpulkan bahwa f (x) =2

22

x x x : mendekati 3. jika x

mendekati 2, baik didekati dari sebelah kiri (disebut limit kiri) maupun di dekati dari sebelah

kanan (disebut limit kanan). Dapat ditulis : 32

2lim

2

2=

x

x x x

2. Menentukan Limit Fungsi Aljabar Bila Variabelnya Mendekati Nilai Tertentu

Menentukan limit dengan cara diatas tidaklah efisien. Untuk mengatasinya, kita dapat

menentukan nilai limit suatu fungsi dengan beberapa cara, yaitu:

1. Subtitusi

Perhatikanlah contoh berikut!

Contoh:

Tentukan nilai ( )8lim 23

x x

!

Penyelesaian :

Nilai limit dari fungsi f(x) = x 2 8 dapat kita ketahui secara langsung, yaitu dengan cara

mensubtitusikan x =3 ke f(x)


5/11

8lim 23

x x 8983

2 ==

1=

Artinya bilamana x dekat 3 maka x 2 8 dekat pada 3 2 8 =9 8 = 1 Dengan ketentuan

sebagai berikut:

1. Jika f (a) = c, maka a x f a x = )(lim

2. Jika f (a) =0c

, maka ~)(lim = x f a x

3. Jika f (a) = c0

, maka 0)(lim = x f a x

2. Pemfaktoran

Cara ini digunakan ketika fungsi-fungsi tersebut bisa difaktorkan sehingga tidak

menghasilkan nilai tak terdefinisi.


Contoh:

Tentukan nilai39

lim2

3

x x

x!

Jika x = 3 kita subtitusikan maka f (3) =00

3393 2

=

.

Kita telah mengetahui bahwa semua bilangan yang dibagi dengan 0 tidak terdefinisi. Ini

berarti untuk menentukan nilai3

9lim

2

3

x

x x

, kita harus mencari fungsi yang baru sehingga tidak

terjadi pembagian dengan nol. Untuk menentukan fungsi yang baru itu, kita tinggal

menfaktorkan fungsi f (x) sehingga menjadi:

( )( )( )

( ).33

33 +=+

x x

x x 1

33 =

x x

Jadi,39

lim2

3

x x

x=

( )( )( )3

33lim

3 +

x x x

x

= ( )3lim3 + x x

= 3 + 3 = 6

3. Merasionalkan Penyebut

Cara yang ke-tiga ini digunakan apabila penyebutnya berbentuk akar yang perlu

dirasionalkan, sehingga tidak terjadi pembagian angka 0 dengan 0.


6/11


Contoh:

Tentukan nilai2

23lim

2

2

+

x x x

x!

Penyelesaian:

223

lim2

2

+

x x x

x=

223

lim2

2

+

x x x

x 22

.

x

x

= ( )( )( )22

2 2223lim

+ x x x x

x

=( )( )( )

( )2221

lim2

x x x x

x

= ( ) 21lim2

x x x

= ( ) 22.12

= 1 . 0

= 0

4. Merasionalkan Pembilang


Contoh:

Tentukan nilai1

3423lim

1

x x x

x!

Penyelesaian:

13423

lim1

x x x

x

=1

3423lim

1

x x x

x.

34233423

+

+

x x x x

=( ) ( )

( )( )342313423

lim22

1 +

x x x x x

x

= ( )( )342311

lim1 +

+ x x x

x x

=( )

( )( )342311

lim1 +

x x x

x x


7/11

=3423

1lim

1 +

x x x

=31.421.3

1+

=11

1+

=11

1+

=

21

3. Menentukan Limit Fungsi Aljabar Bila Variabelnya Mendekati Tak Berhingga

Bentuk limit fungsi aljabar yang variabelnya mendekati tak berhingga,diantaranya:

)()(

lim~ x g

x f x

dan [ ])()(lim~ x g x f x

Untuk menentukan nilai limit dari bentuk-bentuk tersebut, dapat dilakukan cara-cara sebagai berikut:

1. Membagi dengan pangkat tertinggi

Cara ini digunakan untuk mencari nilai )()(

lim~ x g

x f x

. Caranya dengan membagi f(x) dan g(x)

dengan pangkat yang tertinggi dari n yang terdapat pada f(x ) atau g (x).

Contoh:

Tentukan nilai limit dari:

a.1214

lim~ +

x x

xb.

x x x

x

+

2~

14lim

Penyelesaian:

a. untuk menentukan nilai dari1214

lim~ +

x x

xperhatikan pangkat tertinggi dari x pada

f (x ) = 4x1 dan g(x) = 2x + 1. ternyata pangkat tertinggi dari x adalah satu.

1214

lim~ +

x x

x=

x x x

x x x

x 12

14

lim~

+

=

x

x x 1

2

14

lim~

+

=

~1

2

~1

4

+

=0204

+

=

2

4= 2


8/11

b. Perhatikan fungsi h (x) =214

2

+

x x

! Fungsi tersebut memiliki x dengan pangkat

tertinggi 2, yaitu x 2 yang terdapat pada x 2 2. jadi, untuk menentukan nilai x x

x x

+

2~

14lim maka

fungsi 4x + 1 dan x 2 2 harus dibagi dengan x 2 .

x x x

x

+

2~

14lim =

22

2

22

~ 2

14

lim

x x x

x x x

x

+

=

2

2

~ 21

14

lim

x

x x x

+

=2

2

(~)2

1

(~)1

~4

+

=0100

+

=10

= 0

2. Mengalikan dengan faktor lawan

Cara ini digunakan untuk menyelesaikan [ ])()(lim~ x g x f x . Jika kita dimitai

menyelesaikan [ ])()(lim~ x g x f x maka kita harus mengalikan [f (x) + g (x)] dengan

(x)]g(x)[f (x)]g(x)[f

sehingga bentuknya menjadi:

[ ])()(lim~

x g x f x

. (x)]g(x)[f

(x)]g(x)[f

={ }

(x)g(x)f (x)][g(x)][f

lim22

~

xataupun sebaliknya.

Contoh:

Tentukan nilai dari x x x x x

++

22

~2lim

Penyelesaian:

x x x x x

++

22

~2lim

= x x x x x

++

22

~2lim .

x x x x

x x x x

++

++22

22

2

2


9/11

=( ) ( )

x x x x

x x x ++

++

22

22

~ 2

12lim

= x x x x

x x

++ 22~

2

3lim

=

22

2

22

2~ 2

3

lim

x x

x x

x x

x x

x x

x

++

=0101

3++

=23

B. TEOREMA LIMIT

Teorema limit yang akan disajikan berikut ini yang sangat berguna dalam menangani hampir

semua masalah limit. Misalkan n bilangan bulat positif, k sebuah konstanta dan f, g adalah

fungsi-fungsi yang mempunyai limit di a maka:

1. k k a x =

lim

2. a xa x=

lim

3. k a x

lim f (x) = k a x lim f (x)

4.a x

lim [f (x) g (x)] = a xlim f (x) a xlim g (x)

5.a x

lim v [f (x) . g (x)] = a x lim f (x) . a xlim g (x)

6.)(lim

)(lim

)(

)(lim

x g

x f

x g

x f

a x

a x

a x

=

, dimana a xlim

g(x) 0

7.a x

lim [f (x) ] n = [ a xlim f (x)]n

8. na x

n

a x x f x f )(lim)(lim

= dimana

a x lim f (x) 0 untuk n bilangan genap

a x lim

f (x) 0 untuk n bilangan ganjil

Contoh:

Carilah a. ( ) x x x

2

43lim ! b.

x x

x 29

lim2

3

+


10/11

Penyelesaian:

a. x x x

2

43lim = x x

x x 4

2

4lim3lim

(teorema 4)

= 3 x x x x 4

2

4limlim

(teorema 3)

= 3 x x x x 4

2

4limlim

(teorema 7)

= 3. (4) 2 4 (teorema 2)

= 3. 16 4 = 44

b. x

x x 2

9lim

2

3

+

= x

x

x

x

2lim

9lim

3

2

3

+

(teorema 6)

= x

x

x

x

3

2

3

lim2

)9(lim

+

(teorema 8 dan 3)

= x

x

x

x x

3

3

2

3

lim2

9limlim

+

(teorema 4)

= x

x

x

x x

3

3

2

3

lim2

9lim)lim(

+

(teorema 7)

=3.2

93 2 + (teorema 1 dan 2)

=618 = 2

63

= 221

C. LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI

Rumus limit fungsi trigonometri:

a. Limit fungsi sinus

1.1

sinlim

0

= x

x x

2. 1sin

lim0

= x

x x

3. 1sin

lim0

= ax

ax x

ba

bxax

x=

sinlim

0

4. 1sin

lim0

= ax

ax x

ba

bxax

x=

sinlim

0


11/11

b. Limit fungsi tangens

1. 1tan

lim0

= x

x x

2. 1tan

lim0

=

x

x

x

3. 1tan

lim0

= ax

ax x

ba

bxax

x=

tanlim

0

4. 1tan

lim0

= ax

ax x

ba

bxax

x=

tanlim

0

Contoh:

Hitunglah nilai limit fungsi-fungsi trigonometri berikut!

a. x

x x 2

3sinlim

0 b.

x x

x 2sin5sin

lim0

Penyelesaian:

a. x

x x 2

3sinlim

0=

x x

x x

x 23

.3

3sinlim

0

= x x

x x

x x 23

lim.33sin

lim 00

= 1 .23

=23

b. x x

x 2sin5sin

lim0

= x x

x x

x x

x 25

.2sin

2.

55sin

lim0

= x x

x x

x x

x x x 25

lim.2sin

2lim.

55sin

lim000

= 1. 1 .25

=25

limit fungsi kel.6

Documents

Transcript of limit fungsi kel.6