Post on 16-Oct-2021
KALKULUS 1TPE 4267 (2 sks)
Shinta Rosalia Dewi (SRD)
Rini Yulianingsih (RYN) / Bambang Dwi Argo (BDA)
Aturan perkuliahan
Format sms : salam-sebutkan identitas (namadan kelas)-keperluan-terima kasih. GunakanBahasa yg santun. Pada jam kerja normal
Keterlambatan 15 menit (berdasarkan jadwal), lebih dari itu tidak diperkenan masuk
Kehadiran minimal 80%. Kurang dari 80% tidakdiperkenankan mengikuti ujian, dan tidak akandiberikan memo utk ujian. Nilai tdk lengkap = E
Dilarang TA / menandatangani presensi teman. Sanksi : nilai E
Tidak diperkenankan makan selama perkuliahan
Aturan perkuliahan
Kuis diberikan tanpa pemberitahuan
Tidak ada remidi
Ujian susulan maksimal 1 minggu setelah jadwal ujian
Tidak ada tugas tambahan
Materi perkuliahan dan rekapan nilai diupload padablog : shintarosalia.lecture.ub.ac.id (pswd : strive).
Konfirmasi nilai dilakukan di ruangan, tidakdiperkenankan konfirmasi melaluisms/telp/email/chat/sosmed (pada batas waktu ygditentukan). Tidak ada nego nilai
Materi perkuliahan
Bilangan kompleks
Matriks
Fungsi trigonomerti lanjutan danhiperbolik
BILANGAN
Macam Bilangan Bilangan Kom pleks
Bilangan Real
Bil. Rasional
Bil. Bulat
Bil. Cacah
Bil Asli
Bil Genap Bil. Ganjil
Bil. PrimaBil
Komposit
Bil. nol
Bil. Bulat Negatif
Bil Pecahan
Pecahan Positif
Pecahan Negatif
Bil. Irasional
Bilangan Khayal
( Imajiner)
Bilangan REAL
Operasi pada bilangan real
1. Dua bilangan real x dan y dapat dijumlahkan untuk memperoleh bilangan real baru x+y.
2. Dua bilangan real x dan y dapat dikalikan untuk memperoleh bilangan real baru xy atau ditulis xy.
Sifat-sifat Medan
a. Hukum komutatif x+y = y+x dan xy = yx
b. Hukum asosiatif x+(y+z) = (x+y)+z dan x(yz) = (xy)z
c. hukum distribusi x(y+z) = xy +xz
d. elemen – elemen identitas x+0 = x dan x.1 = x
e. balikan (invers) x+(-x) = 0 dan x.x-1 = 1
3. Definisi pengurangan
x – y = x + (-y)
4. Definisi pembagian
x/y untuk y0 atau x.y-1
Sifat–sifat bilangan real
Sifat-sifat urutan : Trikotomi
Jika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti berlaku salah satu dari x < y atau x > y atau x = y
Ketransitifan
Jika x < y dan y < z maka x < z
Perkalian
Misalkan z bilangan positif dan x < y maka xz < yz, sedangkan bila z bilangan negatif, maka xz > yz
Garis bilangan
0 1
Setiap bilangan real mempunyai posisi pada suatu garis yang disebutdengan garis bilangan(real)
-3
2
Himpunan bagian dari garis bilangan disebut selang
Selang
Selang
Himpunan selang
{ }axx < ( )a,∞-
{ }axx ≤ ( ]a,∞-
{ }bxax <<( )ba,
{ }bxax ≤≤ [ ]ba,
{ }bxx > ( )+∞,b
{ }bxx ≥ [ )+∞,b
Jenis-jenis selangGrafik
a
a
a b
a b
b
b
Teorema Dasar Pecahan
Untuk sembarang pecahan , dengan
b ≠ 0, dan sembarang bilangan bulat c,
c ≠ 0, berlaku
atau
b
a
bc
ac
b
a
b
a
cb
ca
1. Operasi pada bilangan bulat
Penjumlahan / pengurangan
a + b = b + a Sifat-sifat komutatif Contoh : 2 + 5 = 5 + 2 = 7
(a + b) + c = a + (b + c) Sifat asosiatif Contoh : (-4)+6=6+(-4) = 2
a+0 = a = 0 + a Sifat identitas Contoh : 2 + 0 = 2 = 0 + 2
a+(-a) =0 Elemen invers Contoh : 5+(-5) = 0
Perkalian
a x b = b x a Sifat komutatif Contoh : 2 x 3 = 3 x 2
(axb)xc = a x (bxc) Sifat asosiatif Contoh : (2x3)x4 = 2x(3x4)
ax1 = a = 1xa Sifat identitas Contoh : 5 x 1 = 5 = 1 x 5
a x (1/a) = 1 Elemen invers Contoh : 6x(1/6) = 1
Pembagian
a x (b/c) = (a x b) / c
Contoh : 3 x (8/2) = (3 x 8) / 2 = 12
(a x b) / (c x d) = (a/c) x (b/d)
Contoh : (4x9)/(2x3)=(4/2) x (9/3) = 6
a / (b/c) = a x (c/b)
Contoh : 12 / (9/3) = 12 x (3/9) = 4
Pertidaksamaan
Pertidaksamaan
Suatu kalimat yang berbentuk ketaksamaan dalam x disebut pertidaksamaan.
Pertidaksamaan satu variabel adalah suatubentuk aljabar dengan satu variabel yang dihubungkan dengan relasi urutan.
Bentuk umum pertidaksamaan :
dengan A(x), B(x), D(x), E(x) adalah sukubanyak (polinom) dan B(x) ≠ 0, E(x) ≠ 0
xE
xD
xB
xA
Pertidaksamaan
Menyelesaikan suatu pertidaksamaanadalah mencari semua himpunanbilangan real yang membuatpertidaksamaan berlaku. Himpunanbilangan real ini disebut jugaHimpunan Penyelesaian (HP)
Cara menentukan HP :
1. Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi :
, dengan cara :0
)(
)(
xQ
xP
Pertidaksamaan
Ruas kiri atau ruas kanan dinolkan
Menyamakan penyebut dan menyederhanakan bentuk pembilangnya
2. Dicari titik-titik pemecah dari pembilang dan penyebut dengan cara P(x) dan Q(x) diuraikan menjadi faktor-faktor linier dan/ atau kuadrat
3. Gambarkan titik-titik pemecah tersebut pada garis bilangan, kemudian tentukan tanda (+, -) pertidaksamaan di setiap selang bagian yang muncul
Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian
53213 x
352313 x
8216 x
48 x
84 x
8,4Hp =
4 8
1.
Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian
8462 x
248 x
248 x
842 x
22
1 x
2,
2
1
22
1
Hp
2.
Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian
3,
2
1
0352 2 xx
0312 xx
Titik Pemecah (TP) : 2
1x dan 3x
3
++ ++--
21
3.
Hp =
Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian
637642 xxx
xx 7642 6376 xxdan
4672 xx dan 6637 xx
4.
109 x 010 xdan
9
10x 010 xdan
9
10x dan 0x
Hp =
,0
9
10,
09
10
Dari gambar tersebut dapat disimpulkan :
Hp =
9
10,0
Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian
0
131
3
xx
x
13
2
1
1
xx
013
2
1
1
xx
0131
2213
xx
xx
5.
TP : -1, 3
1, 3
3
++ ++--
-1
--
31
Hp =
3,
3
11,
Penyelesaian ax2 + bx + c
512
1642
512
1642
042
2
1
2
x
x
xx6.
Hp = 51,51
1+√5
++ ++--
1-√5
Latihan 1
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut:a. 10x + 1 > 8x +5b. -3 < 1 - 6x ≤ 4c. 2+3x < 5x+1 < 16d. 2x2 + 5x -3 > 0e. 4
2
x
PR
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut:
a. 2x-4 ≤ 6-7x ≤ 3x+6
b. x2 + 2x -12 < 0
c.
d.
03
4
x
x
423
1
x
Nilai Mutlak
Nilai mutlak x (|x|) didefinisikan sebagaijarak x dari titik pusat pada garis bilangan, sehingga jarak selalu bernilai positif.
Definisi nilai mutlak :
0,
0,
xx
xxx
Pertidaksamaan nilai mutlak
Sifat-sifat nilai mutlak:
y
x
y
x
yxyx
2xx
axaaax 0,
axaax 0, atau ax
yx 22 yx
6. Ketaksamaan segitiga
1
2
3
4
5
yxyx
Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian
x+2 < 1
-1 < x + 2 < 1
-3 < x < -1
1,3 Hp =
-3 -1
1.
Latihan 2
1. 2x - 1 > 2
2.
3.
4. 4x+2 10
114
x
15
2 x
Latihan 3 : PR
5432 xx
22212
xx
Cari himpunan penyelesaian daripertidaksamaan
3232 xx
1
2
3
xx
x
1
24
2
4
3
122
x
x
x
x
5
23 xx6