KALKULUS 1 TPE 4267 (3 sks)

KALKULUS 1TPE 4267 (2 sks)

Shinta Rosalia Dewi (SRD)

Rini Yulianingsih (RYN) / Bambang Dwi Argo (BDA)

Aturan perkuliahan

Format sms : salam-sebutkan identitas (namadan kelas)-keperluan-terima kasih. GunakanBahasa yg santun. Pada jam kerja normal

Keterlambatan 15 menit (berdasarkan jadwal), lebih dari itu tidak diperkenan masuk

Kehadiran minimal 80%. Kurang dari 80% tidakdiperkenankan mengikuti ujian, dan tidak akandiberikan memo utk ujian. Nilai tdk lengkap = E

Dilarang TA / menandatangani presensi teman. Sanksi : nilai E

Tidak diperkenankan makan selama perkuliahan

Aturan perkuliahan

Kuis diberikan tanpa pemberitahuan

Tidak ada remidi

Ujian susulan maksimal 1 minggu setelah jadwal ujian

Tidak ada tugas tambahan

Materi perkuliahan dan rekapan nilai diupload padablog : shintarosalia.lecture.ub.ac.id (pswd : strive).

Konfirmasi nilai dilakukan di ruangan, tidakdiperkenankan konfirmasi melaluisms/telp/email/chat/sosmed (pada batas waktu ygditentukan). Tidak ada nego nilai

Materi perkuliahan

Bilangan kompleks

Matriks

Fungsi trigonomerti lanjutan danhiperbolik

BILANGAN

Macam Bilangan Bilangan Kom pleks

Bilangan Real

Bil. Rasional

Bil. Bulat

Bil. Cacah

Bil Asli

Bil Genap Bil. Ganjil

Bil. PrimaBil

Komposit

Bil. nol

Bil. Bulat Negatif

Bil Pecahan

Pecahan Positif

Pecahan Negatif

Bil. Irasional

Bilangan Khayal

( Imajiner)

Bilangan REAL

Operasi pada bilangan real

1. Dua bilangan real x dan y dapat dijumlahkan untuk memperoleh bilangan real baru x+y.

2. Dua bilangan real x dan y dapat dikalikan untuk memperoleh bilangan real baru xy atau ditulis xy.

Sifat-sifat Medan

a. Hukum komutatif x+y = y+x dan xy = yx

b. Hukum asosiatif x+(y+z) = (x+y)+z dan x(yz) = (xy)z

c. hukum distribusi x(y+z) = xy +xz

d. elemen – elemen identitas x+0 = x dan x.1 = x

e. balikan (invers) x+(-x) = 0 dan x.x-1 = 1

3. Definisi pengurangan

x – y = x + (-y)

4. Definisi pembagian

x/y untuk y0 atau x.y-1

Sifat–sifat bilangan real

Sifat-sifat urutan : Trikotomi

Jika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti berlaku salah satu dari x < y atau x > y atau x = y

Ketransitifan

Jika x < y dan y < z maka x < z

Perkalian

Misalkan z bilangan positif dan x < y maka xz < yz, sedangkan bila z bilangan negatif, maka xz > yz

Garis bilangan

0 1

Setiap bilangan real mempunyai posisi pada suatu garis yang disebutdengan garis bilangan(real)

-3

2

Himpunan bagian dari garis bilangan disebut selang

Selang

Selang

Himpunan selang

{ }axx < ( )a,∞-

{ }axx ≤ ( ]a,∞-

{ }bxax <<( )ba,

{ }bxax ≤≤ [ ]ba,

{ }bxx > ( )+∞,b

{ }bxx ≥ [ )+∞,b

Jenis-jenis selangGrafik

a

a

a b

a b

b

b

Teorema Dasar Pecahan

Untuk sembarang pecahan , dengan

b ≠ 0, dan sembarang bilangan bulat c,

c ≠ 0, berlaku

atau

b

a

bc

ac

b

a

b

a

cb

ca

1. Operasi pada bilangan bulat

Penjumlahan / pengurangan

a + b = b + a Sifat-sifat komutatif Contoh : 2 + 5 = 5 + 2 = 7

(a + b) + c = a + (b + c) Sifat asosiatif Contoh : (-4)+6=6+(-4) = 2

a+0 = a = 0 + a Sifat identitas Contoh : 2 + 0 = 2 = 0 + 2

a+(-a) =0 Elemen invers Contoh : 5+(-5) = 0

Perkalian

a x b = b x a Sifat komutatif Contoh : 2 x 3 = 3 x 2

(axb)xc = a x (bxc) Sifat asosiatif Contoh : (2x3)x4 = 2x(3x4)

ax1 = a = 1xa Sifat identitas Contoh : 5 x 1 = 5 = 1 x 5

a x (1/a) = 1 Elemen invers Contoh : 6x(1/6) = 1

Pembagian

a x (b/c) = (a x b) / c

Contoh : 3 x (8/2) = (3 x 8) / 2 = 12

(a x b) / (c x d) = (a/c) x (b/d)

Contoh : (4x9)/(2x3)=(4/2) x (9/3) = 6

a / (b/c) = a x (c/b)

Contoh : 12 / (9/3) = 12 x (3/9) = 4

Pertidaksamaan

Pertidaksamaan

Suatu kalimat yang berbentuk ketaksamaan dalam x disebut pertidaksamaan.

Pertidaksamaan satu variabel adalah suatubentuk aljabar dengan satu variabel yang dihubungkan dengan relasi urutan.

Bentuk umum pertidaksamaan :

dengan A(x), B(x), D(x), E(x) adalah sukubanyak (polinom) dan B(x) ≠ 0, E(x) ≠ 0

xE

xD

xB

xA

Pertidaksamaan

Menyelesaikan suatu pertidaksamaanadalah mencari semua himpunanbilangan real yang membuatpertidaksamaan berlaku. Himpunanbilangan real ini disebut jugaHimpunan Penyelesaian (HP)

Cara menentukan HP :

1. Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi :

, dengan cara :0

)(

)(

xQ

xP

Pertidaksamaan

Ruas kiri atau ruas kanan dinolkan

Menyamakan penyebut dan menyederhanakan bentuk pembilangnya

2. Dicari titik-titik pemecah dari pembilang dan penyebut dengan cara P(x) dan Q(x) diuraikan menjadi faktor-faktor linier dan/ atau kuadrat

3. Gambarkan titik-titik pemecah tersebut pada garis bilangan, kemudian tentukan tanda (+, -) pertidaksamaan di setiap selang bagian yang muncul

Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian

53213 x

352313 x

8216 x

48 x

84 x

8,4Hp =

4 8

1.


8462 x

248 x

248 x

842 x

22

1 x

2,

2

1

22

1

Hp

2.


3,

2

1

0352 2 xx

0312 xx

Titik Pemecah (TP) : 2

1x dan 3x

3

++ ++--

21

3.

Hp =


637642 xxx

xx 7642 6376 xxdan

4672 xx dan 6637 xx

4.

109 x 010 xdan

9

10x 010 xdan

9

10x dan 0x

Hp =

,0

9

10,

09

10

Dari gambar tersebut dapat disimpulkan :

Hp =

9

10,0


0

131

3

xx

x

13

2

1

1

xx

013

2

1

1

xx

0131

2213

xx

xx

5.

TP : -1, 3

1, 3

3

++ ++--

-1

--

31

Hp =

3,

3

11,

Penyelesaian ax2 + bx + c

512

1642

512

1642

042

2

1

2

x

x

xx6.

Hp = 51,51

1+√5

++ ++--

1-√5

Latihan 1

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut:a. 10x + 1 > 8x +5b. -3 < 1 - 6x ≤ 4c. 2+3x < 5x+1 < 16d. 2x2 + 5x -3 > 0e. 4

2

x

PR

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut:

a. 2x-4 ≤ 6-7x ≤ 3x+6

b. x2 + 2x -12 < 0

c.

d.

03

4

x

x

423

1

x

Nilai Mutlak

Nilai mutlak x (|x|) didefinisikan sebagaijarak x dari titik pusat pada garis bilangan, sehingga jarak selalu bernilai positif.

Definisi nilai mutlak :

0,

0,

xx

xxx

Pertidaksamaan nilai mutlak

Sifat-sifat nilai mutlak:

y

x

y

x

yxyx

2xx

axaaax 0,

axaax 0, atau ax

yx 22 yx

6. Ketaksamaan segitiga

1

2

3

4

5

yxyx


x+2 < 1

-1 < x + 2 < 1

-3 < x < -1

1,3 Hp =

-3 -1

1.

Latihan 2

1. 2x - 1 > 2

2.

3.

4. 4x+2 10

114

x

15

2 x

Latihan 3 : PR

5432 xx

22212

xx

Cari himpunan penyelesaian daripertidaksamaan

3232 xx

1

2

3

xx

x

1

24

2

4

3

122

x

x

x

x

5

23 xx6

KALKULUS 1 TPE 4267 (3 sks)

Documents

Transcript of KALKULUS 1 TPE 4267 (3 sks)